27.2.1 二次函数y=ax2的图像和性质（分层作业练题型）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础巩固到思维拔高，覆盖二次函数图像与性质全知识点，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|开口方向、对称轴、顶点坐标等单一知识点|基础题型为主，如填空（求a的取值范围）、选择（比较a大小），强化概念理解，培养数学眼光| |B组|增减性、区间最值、表达式确定等综合应用|结合图像分析（比较函数值大小）、几何综合（与正方形结合），发展逻辑推理能力| |C组|数形结合、规律探索、代几综合等复杂问题|探究性题型（等边三角形与抛物线规律），提升创新意识与数学思维| |拓展|中考真题及变式|链接中考考点（生长点问题），强化模型意识与应用能力|

分层作业 27. 21二次函数y=ax2的图像和性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数y=ax2图像的开口 题型02二次函数y=ax2的图像的对称轴 题型03 二次函数y=ax2的图像的顶点坐标 题型04 二次函数y=ax2的增减性 题型05 二次函数y=ax2区间内的最值 题型06 二次函数y=ax2表达式的确定 题型07 二次函数y=ax2的实际应用 题型08 二次函数y=ax2与几何综合 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 二次函数y=ax2图像的开口 题型01 1．（2026·上海虹口·一模）如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是___________． 2．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北邢台·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 二次函数y=ax2的图像的对称轴 题型02 4．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是__________． 5．抛物线的对称轴方程是___，顶点坐标是___． 6．（25-26九年级上·上海·期中）下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 二次函数y=ax2的图像的顶点坐标 题型03 7．若抛物线有最低点，则m的取值范围是_________． 8．写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 9．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 10．如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_____________． 二次函数y=ax2的增减性 题型04 11．拋物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是______． 12．已知抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是___________． 13．下列函数图像中，函数值随自变量的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 15．若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 二次函数y=ax2区间内的最值题型05 16．请按要求画出函数的图象： x …… 0 1 2 3 y …… (1)列表并画出图象； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性与最值； x …… 0 1 2 3 y …… 9 4 1 0 1 4 9 17．已知y＝（m+1）x是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小． （1）求m的值； （2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？ 18．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，其中． (1)求的面积； (2)当时，求的最值； (3)当时，描述的增减性． 二次函数y=ax2表达式的确定 题型06 19．在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象关于y轴对称，其顶点在原点O，且过点，则该二次函数的表达式是________． 20．已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 二次函数y=ax2的实际应用 题型07 21．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 22．一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．当水面宽时，水位上升___________ 二次函数y=ax2与几何综合 题型08 23．如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是__________． 24．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 25．（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是_____． 1．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．下列各点中，不在二次函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 3．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的开口向上，且关于轴对称 B．它与的图象关于x轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与轴只有一个交点 4．下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．抛物线，，的共同性质是（    ） A．开口向上 B．对称轴是轴 C．都有最高点 D．随的增大而增大 6．如图，正方形三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在同一平面直角坐标系中，作出了二次函数①；②；③的图象，则开口由小到大的三条抛物线分别对应的二次函数依次是______．（按照要求只填写序号） 8．已知，，三点都在二次函数的图象上，比较、、的大小：______．（用“＞”连接） 9．如图，的图象上可以看出，当时，y的取值范围是________． 10．若抛物线上两点和，与原点点围成等腰直角三角形，且斜边轴，．则_________． 11．已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． 12．通过课本上对函数的学习，我们积累了研究函数性质的经验，以下是探究函数，的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题． (1)完成表格 … 0 1 2 … … 2 3 4 3 … … 2 n 0 2 … ___________；___________． (2)在同一平面直角坐标系中，根据表中数值画出这两个函数的图象；并写出这两个函数图象共有的一条性质：___________． (3)观察画出的图象，直接写出使的自变量的取值范围． 1．【数形结合】在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是____． 2．【数形结合】请使用“数形结合”的思想判断方程的根的情况是（     ） A．有一个实数根 B．有两个实数根 C．有三个实数根 D．没有实数根 3．【规律探索】二次函数的图像x如图所示，点位于坐标原点，点，，，…在y轴的正半轴上，点，，，…在二次函数位于第一象限的图像上，若，，，…都为等边三角形，则的边长为（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 4．【代几综合】如图，正方形ABCD的顶点B，D在开口向上的二次函数的图象上，点B在点D的左侧，点A在y轴正半轴上，设点B，D的横坐标分别为m、n，已知，则________． 1.（2026·湖北·中考真题）已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏镇江·中考真题节选）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． 二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 27. 21二次函数y=ax2的图像和性质 答案参考 二次函数y=ax2图像的开口 题型01 1．【答案】 2．【答案】D 3．【答案】A 二次函数y=ax2的图像的对称轴 题型02 4．【答案】轴（或直线） 5．【答案】 6．【答案】B 二次函数y=ax2的图像的顶点坐标 题型03 7．【答案】 8．【答案】对称轴为轴（答案不唯一） 9．【答案】 轴（或直线） 下 下 高 10．答案为：． 二次函数y=ax2的增减性 题型04 11．答案为：． 12．答案为：． 13．B． 14．A． 15．B 二次函数y=ax2区间内的最值题型05 16．【答案】(1) 解：列表如下： x …… 0 1 2 3 y …… 9 4 1 0 1 4 9 描点、连线，画出图象如下： (2) 解：根据图象可得： 抛物线的开口方向向上； 顶点坐标为； 对称轴为y轴； 函数有最小值0， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小． 17．【答案】（1）m＝﹣2；（2）当x＝0时，y最大＝0． 【详解】解：（1）∵y＝（m+1）x是关于x的二次函数，∴m2+m＝2，解得m＝1或﹣2， ∵当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴开口向下,a=m+1＜0，即m＜﹣1．所以m＝﹣2，m＝1（不符合题意，舍）； （2）开心向下，顶点（0,0） 当x＝0时，y最大＝0． 18．【答案】(1)3 (2)的最小值为，最大值为0 (3)当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小 【详解】（1）解：将代入，得 ∴ 将代入，得 ∴ ∴ 联立得，，即 ∴ 解得， 将代入 ∴ 当时，一次函数 ∴的面积； （2）当时，，当时，， ∴由图象可得，当时，， 即的最小值为，最大值为0； （3）∵ ∴对称轴为y轴， ∵ ∴点B关于对称轴对称的点的坐标为 ∴由图象可得，当时， 当时，随x的增大而增大； 当时，随x的增大而减小． 二次函数y=ax2表达式的确定 题型06 19．答案为：． 20．B． 二次函数y=ax2的实际应用 题型07 21．A ． 22．答案为：． 二次函数y=ax2与几何综合 题型08 23．答案为：或或． 24．A 25．答案为：． 1．D 2．B 3．C 4．B． 5．B． 6．A． 7．①③②． 8．． 9．． 10．． 11．【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式和求二次函数的函数值： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 在中，当时，． 12．【答案】(1)， (2) 两个函数的图象，如图所示， 观察图象得：这两个函数的图象都关于y对称； (3) 【详解】（1）解：根据题意得：，； 故答案为：； （2）略 （3）解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴使的自变量的取值范围为． 1．． 2．A 3．C 4．． 1.D 2．【答案】(1)① ②猜想，理由如下： ∵点在直线上， ∴， 由（1）知：当时，此时， ∴当时，，此时直线上不存在点使， ∴； 又∵过点作轴的垂线与的图像交于点， 而的最小值为， ∴； ∴； 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ∴， ∴当时，， 此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意； 当时，， ∴当点在线段上时，，满足题意； 当时，， ∴直线上不存在点使，不满足题意； 综上：使该函数图像有生长点的的值是； ②略 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 27. 21二次函数y=ax2的图像和性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数y=ax2图像的开口 题型02二次函数y=ax2的图像的对称轴 题型03 二次函数y=ax2的图像的顶点坐标 题型04 二次函数y=ax2的增减性 题型05 二次函数y=ax2区间内的最值 题型06 二次函数y=ax2表达式的确定 题型07 二次函数y=ax2的实际应用 题型08 二次函数y=ax2与几何综合 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 二次函数y=ax2图像的开口 题型01 1．（2026·上海虹口·一模）如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线 的开口向下， ∴， 解得． 故答案为： 2．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 3．（25-26九年级上·河北邢台·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】A 【详解】解：在二次函数和中，对称轴均为直线，顶点坐标为， 故选项C、D不符合题意； ∵原函数，新函数， ∴开口方向均向上，未改变，故选项B不符合题意； ∵， ∴开口大小改变，故选项A符合题意， 故选：A． 二次函数y=ax2的图像的对称轴 题型02 4．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是__________． 【答案】轴（或直线） 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是y轴． 故答案为：y轴（或直线）． 5．抛物线的对称轴方程是___，顶点坐标是___． 【答案】 【详解】解：对于抛物线，其中，则对称轴方程是，顶点坐标是． 故答案为：；． 6．（25-26九年级上·上海·期中）下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． 二次函数y=ax2的图像的顶点坐标 题型03 7．若抛物线有最低点，则m的取值范围是_________． 【答案】 【详解】解：抛物线有最低点， 二次函数图象开口向上，即，解得． 故答案为：． 8．写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 【答案】 对称轴为轴（答案不唯一） 【详解】解：二次函数的对称轴为轴，顶点坐标为， 当取、、时，这一性质保持不变． 故答案为：对称轴为轴（答案不唯一）． 9．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 10．如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_____________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线有最高点， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴， 故答案为：． 二次函数y=ax2的增减性 题型04 11．拋物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵拋物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴拋物线在对称轴左侧y随x增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 12．已知抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是___________． 【答案】/ 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴， 故答案为：． 【点睛】本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下． 13．下列函数图像中，函数值随自变量的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. ，，函数值随自变量的值增大而增大，该选项错误，不符合题意； B. ，，函数值随自变量的值增大而减小，该选项正确，符合题意； C. ，，在每个象限内函数值随自变量的值增大而减小，但第一象限内的函数值比第三象限内的函数值要大，该选项错误，不符合题意； D. ，，开口向下，当时，函数值随自变量的值增大而增大，当时，函数值随自变量的值增大而减小，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 14．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴时，y随x的增大而增大， ∵点都在抛物线上，且， ∴ 故选：A． 15．若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：将代入得：， 将代入得， ， ， 即． 二次函数y=ax2区间内的最值题型05 16．请按要求画出函数的图象： x …… 0 1 2 3 y …… (1)列表并画出图象； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性与最值； 【答案】(1) 解：列表如下： x …… 0 1 2 3 y …… 9 4 1 0 1 4 9 描点、连线，画出图象如下： (2) 解：根据图象可得： 抛物线的开口方向向上； 顶点坐标为； 对称轴为y轴； 函数有最小值0， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小． 17．已知y＝（m+1）x是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小． （1）求m的值； （2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？ 【答案】（1）m＝﹣2；（2）当x＝0时，y最大＝0． 【详解】解：（1）∵y＝（m+1）x是关于x的二次函数，∴m2+m＝2，解得m＝1或﹣2， ∵当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴开口向下,a=m+1＜0，即m＜﹣1．所以m＝﹣2，m＝1（不符合题意，舍）； （2）开心向下，顶点（0,0） 当x＝0时，y最大＝0． 18．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，其中． (1)求的面积； (2)当时，求的最值； (3)当时，描述的增减性． 【答案】(1)3 (2)的最小值为，最大值为0 (3)当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小 【详解】（1）解：将代入，得 ∴ 将代入，得 ∴ ∴ 联立得，，即 ∴ 解得， 将代入 ∴ 当时，一次函数 ∴的面积； （2）当时，，当时，， ∴由图象可得，当时，， 即的最小值为，最大值为0； （3）∵ ∴对称轴为y轴， ∵ ∴点B关于对称轴对称的点的坐标为 ∴由图象可得，当时， 当时，随x的增大而增大； 当时，随x的增大而减小． 二次函数y=ax2表达式的确定 题型06 19．在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象关于y轴对称，其顶点在原点O，且过点，则该二次函数的表达式是________． 【答案】 【详解】解：设该二次函数的解析式为， 将带入得：， 解得：， 该二次函数的表达式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 20．已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的对称轴为轴，且点和的纵坐标均为， 点和点关于轴对称， ， 故选：B． 二次函数y=ax2的实际应用 题型07 21．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为， 设该函数解析式为， ∵当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为． 则点， 将点代入可得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． 故选：A ． 22．一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．当水面宽时，水位上升___________ 【答案】/8米 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为， ∴，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当水面宽时， 的横坐标为， ∴的纵坐标为， ∴水位上升 ， 故答案为：． 二次函数y=ax2与几何综合 题型08 23．如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是__________． 【答案】或或 【详解】解：当时， 把点代入，得； 把点代入，得， 如图： ∵如果抛物线与线段没有公共点， ∴a的取值范围为或． 当时。抛物线开口向下，与线段没有公共点， 综上，a的取值范围是或或． 故答案为：或或． 24．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 25．（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是_____． 【答案】 【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 1．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 2．下列各点中，不在二次函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、当时，， ∴在二次函数图象上，不符合题意； 、当时，， ∴不在二次函数图象上，符合题意； 、当时，， ∴在二次函数图象上，不符合题意； 、当时，， ∴在二次函数图象上，不符合题意； 故选：． 3．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的开口向上，且关于轴对称 B．它与的图象关于x轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与轴只有一个交点 【答案】C 【详解】解：、由，，则它的开口向上，且关于轴对称，原选项说法正确，不符合题意； 、它与的图象关于x轴对称，原选项说法正确，不符合题意； 、由，，则它的开口向上，它的顶点是抛物线的最低点，原选项说法错误，符合题意； 、它与轴只有一个交点，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 4．下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当a＞0时， y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第一、二、三象限， 当a＜0时， y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第二、三、四象限， 故选项A、C、D错误，选项B正确， 故选：B． 5．抛物线，，的共同性质是（    ） A．开口向上 B．对称轴是轴 C．都有最高点 D．随的增大而增大 【答案】B 【详解】解：抛物线，，共有的性质是： 顶点坐标是都是即原点，对称轴都是y轴， 故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意． 故选：B． 6．如图，正方形三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，由3=a×12得：a=3， 当抛物线经过（3，1）时，由1=a×32得：a=， 观察图象可知：， 故选：A． 7．如图，在同一平面直角坐标系中，作出了二次函数①；②；③的图象，则开口由小到大的三条抛物线分别对应的二次函数依次是______．（按照要求只填写序号） 【答案】①③② 【分析】二次函数，越大，抛物线的开口越小，根据这一结论判断即可． 【详解】∵， 由里到外的三条抛物线对应的函数分别是：①③②． 故答案为：①③②． 8．已知，，三点都在二次函数的图象上，比较、、的大小：______．（用“＞”连接） 【答案】 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵A（-1，y1），B（-2，y2），C（，y3）， ∴点A到对称轴的距离是1个单位， 点B到对称轴的距离是2个单位， 点C到对称轴的距离是个单位， ∴点B离y轴最远，点C离y轴最近， ∵ ∴抛物线开口向下， ∴点离对称轴越近，其函数值越大， ∴， 故答案为：． 9．如图，的图象上可以看出，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：由图象可知：当时，y的取值范围是； 故答案为． 10．若抛物线上两点和，与原点点围成等腰直角三角形，且斜边轴，．则_________． 【答案】/ 【详解】解：是等腰直角三角形，且斜边轴， 轴垂直平分线段， 两点关于轴对称， ， ， 把代入中，解得． 故答案为：． 11．已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式和求二次函数的函数值： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 在中，当时，． 12．通过课本上对函数的学习，我们积累了研究函数性质的经验，以下是探究函数，的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题． (1)完成表格 … 0 1 2 … … 2 3 4 3 … … 2 n 0 2 … ___________；___________． (2)在同一平面直角坐标系中，根据表中数值画出这两个函数的图象；并写出这两个函数图象共有的一条性质：___________． (3)观察画出的图象，直接写出使的自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2) 两个函数的图象，如图所示， 观察图象得：这两个函数的图象都关于y对称； (3) 【详解】（1）解：根据题意得：，； 故答案为：； （2）略 （3）解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴使的自变量的取值范围为． 1．【数形结合】在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是____． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，因为抛物线与线段有公共点，则抛物线开口必须向上， 的顶点坐标为，对称轴为轴， 把代入解析式，得，解得， 把代入解析式，得，解得， 因为抛物线与线段有公共点， 则 故答案为：． 2．【数形结合】请使用“数形结合”的思想判断方程的根的情况是（     ） A．有一个实数根 B．有两个实数根 C．有三个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：由题意可得方程的根的个数等价于函数与的图象交点个数， 画出函数图象如图所示： 由图象可得：函数与的图象交点个数为， 故方程的根的情况是有一个实数根． 3．【规律探索】二次函数的图像x如图所示，点位于坐标原点，点，，，…在y轴的正半轴上，点，，，…在二次函数位于第一象限的图像上，若，，，…都为等边三角形，则的边长为（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 【答案】C 【分析】先计算出；；的边长，推理出等边的边长为n的规律，依据规律得到的边长． 【详解】解：作轴于，轴于，轴于． 设，，． ∵等边， ∴， ∴， ∴点坐标为，代入解析式得， 解得（舍去）或，于是等边的边长为； ∵等边， ∴， 所以，点坐标为，代入解析式得， 解得（舍去）或， 于是等边的边长为； ∵等边， ∴， 所以，点坐标为，代入解析式得， 解得（舍去）或， 于是等边的边长为． … 等边的边长为n， 于是的边长为2008． 4．【代几综合】如图，正方形ABCD的顶点B，D在开口向上的二次函数的图象上，点B在点D的左侧，点A在y轴正半轴上，设点B，D的横坐标分别为m、n，已知，则________． 【答案】/0.5 【详解】解：过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示： ∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上， ， ． ∵四边形是正方形， ，， ． ， ， ，， ，， ， ， ∵点B，D在y轴的同侧， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． （2026·湖北·中考真题）已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：联立与得，整理得，解得：， 联立与得，解得：或， 联立与得，整理得，解得：或， ∴函数、函数、函数的图象在第一象限交于点， 故三个函数的图象位于第一象限的部分， 当时，，B选项可能； 当时，根据图象可得，，A选项可能； 当时，根据图象可得，，C选项可能； 综上，D选项不可能． 2．（2025·江苏镇江·中考真题节选）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． 二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． 【答案】(1)① ②猜想，理由如下： ∵点在直线上， ∴， 由（1）知：当时，此时， ∴当时，，此时直线上不存在点使， ∴； 又∵过点作轴的垂线与的图像交于点， 而的最小值为， ∴； ∴； 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ∴， ∴当时，， 此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意； 当时，， ∴当点在线段上时，，满足题意； 当时，， ∴直线上不存在点使，不满足题意； 综上：使该函数图像有生长点的的值是； ②略 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $