第06讲 有理数的乘方 复习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统梳理乘方的定义（n个相同因数积的运算，结果为幂，含底数和指数）、混合运算顺序（先乘方再乘除后加减，同级从左到右，括号优先）、科学记数法（a×10ⁿ，1≤a<10）及近似数（与准确数的接近程度，精确度），承接有理数四则运算，为后续实际应用构建从概念到运算的学习支架。 资料亮点在于题型分层递进，涵盖乘方理解、符号规律、程序框图及水葫芦繁殖等综合应用，通过实例培养抽象能力（符号意识）、运算能力和模型意识。课中助力教师针对性教学，课后查缺补漏与分层作业帮助学生巩固知识，提升用数学语言表达现实问题的能力。

第6讲：有理数的乘方 一、考点梳理 二、知识点总结 知识点一、有理数的乘方 知识点 一般地，n个相同的因数a相乘，即，记作，读作“a的n次方”. 求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，a为底数，n叫做指数，一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，规律：奇负偶正. 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0. 知识点二、有理数的混合运算的运算顺序 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 知识点三、科学记数法表示绝对值较大的数 把一个大于10的数表示成或的形式（其中，n是正整数），使用的是科学记数法． 知识点四、近似数 定义 近似数 与准确数相近的一个数． 近似数与准确数 近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示． 三、常考的题型 考点一、有理数幂的理解 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 3．对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列可以表示的是（    ） A． B． C． D． 5．的底数是________，读作________． 考点二、有理数的乘方（逆)运算 6．下列计算结果相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．（    ） A． B．1 C． D． 8．若，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 10．计算： （1）．    （2）．    （3）． （4）．    （5）．    （6）． （7）．    （8）．    （9）． 考点三、乘方运算的符号规律 11．有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 12．当时，下列式子：①；② ；③；④中，成立的是___________． 13．如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 14．下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 15．记， ， ，…， (1)填空： ______，是一个______（填“正数”或“负数”）． (2)计算的值． (3)当时，求的值． 考点四、含乘方的有理数四则混合运算 16．计算：的结果是（     ） A．2 B．-25 C．-7 D．以上都不是 17．计算： (1)； (2) 18．计算： (1) (2) 19．下列计算是否正确？若不正确，试说明错在哪里，并予以改正： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 考点五、科学记数法 21．吉林省光电信息“一号工程”目标是：“十五五”末光电产业产值达1600亿元，将长春市建设成为“中国光电城”．数据1600亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 22．据统计，2026年暑假期间，我国民航客运累计发送旅客560万人次，把560万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 23．淮海战役期间有名群众支援前线，用科学记数法表示为________________． 24．用科学记数法表示下列数据： (1)水星的赤道半径约为； (2)木星的赤道半径约为； (3)地球上的陆地面积约为； (4)地球上的海洋面积约为． 25．下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？ (1)北京故宫的占地面积约为； (2)人体中约有个红细胞； (3)港珠澳大桥全长． 考点六：近似数 26．用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似数： (1)1102.5亿（精确到亿位）； (2)0.0792（精确到0.001）； (3)0.00291（精确到万分位）； (4)475301（精确到万位）． 27．一个两位小数四舍五入取近似值保留一位小数，结果是，这个数最大是( )，最小是( )． 28．圆周率…，如果取近似数，那么它精确到哪一位？如果取近似数呢？ 29．下列各数据中，哪些数是准确数？哪些数是近似数？ （1）小琳称得体重为； （2）现在的气温是； （3）等于； （4）某汽车集团去年累计汽车销量为280万辆． 30．用四舍五入法得到的近似数0.270，其准确数的范围是（    ） A． B． C． D． 考点七：程序框图 31．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 32．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 33．沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 34．图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 35．根据如图所示的程序回答问题： (1)当凡凡输入和这两个数时，则输出的结果是___________； (2)当林林输入和这两个数时，求输出的结果． 考点八：有理数乘方的综合应用 36．“星等”是表示天体相对亮度强弱的等级．天体越亮，星等的数值越小．早在公元前2世纪，人们已将肉眼能看见的恒星分为6等．现规定天体星等数值每减小1，亮度就大约增加为原来的倍．假如6等星的亮度是1，那么1等星的亮度是多少？等星的亮度是多少？ 37．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)试求出的值． 38．水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 39．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：___________，___________． (2)关于除方，下列说法错误的是 ___________． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 (3)算一算：． 40．观察下列式子： ； ； ； ； (1)猜想： ； ； (2)根据以上发现的规律计算：，并直接写出计算结果的个位数字． 四、查缺补漏 1．下列说法：①有理数是指整数和分数；②没有最大的有理数，最小的有理数是0；③有理数的绝对值都是非负数；④几个数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负；⑤3.14159精确到千分位是3.14，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列说法正确的是（    ） A．近似数18.0与近似数18的精确度相同 B．我国领土960万平方千米中的960万是准确数 C．近似数7百与近似数700的精确度相同 D．近似数2.1万与近似数的精确度相同 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为282，则开始输入的值可能为_________． 4．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：                  乙： 丙：     丁： A．甲和丙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丁 5．（新闻资料）根据乌克兰武装部队总参谋部的消息，自2026年2月24日至今，俄军在俄乌冲突中因战斗伤亡人数已经达到765000人，将765000用科学记数法表示为______． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．淇淇计算时，步骤如下： 解：原式① ② ．③ （1）在淇淇的计算过程中，开始出现错误的步骤是________（填序号）． （2）正确的答案是________． 8．计算： (1)； (2) 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 10．阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以得： ②， ②①，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 五、课后作业 1．中国高铁近年来迅速发展．高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到37900公里，将37900用科学记数法表示应为______． 2．(1)用四舍五入法，对5.649取近似值，精确到0.1的结果是____； (2)用四舍五入法，把1 999.508取近似值(精确到个位)，得到的近似数是____； (3)用四舍五入法，把36.547精确到百分位的近似数是____． 3．若a，b（，）互为相反数，n是正整数，则（　　） A．和互为相反数 B．和互为相反数 C．和互为相反数 D．和互为相反数 4．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去第2024次输出的结果为（   ） A． B． C． D． 5．观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 6．从n个不同元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且 ，…，若公式（，且为正整数），则_______． 7．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．计算： (1)； (2)； (3)． 10．用计算器计算： (1)； (2)； (3)． 11．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 12．【观察思考】欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边同时乘2，得②； 由①得，代入②中得：， 解得． 所以． 【尝试解答】根据以上解题过程，并解决问题： （1）计算：①． ②． 【拓展应用】（2）用上面学到的方法，将无限循环小数写成分数形式（写出解答过程）． 13．如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲：有理数的乘方 一、考点梳理 二、知识点总结 知识点一、有理数的乘方 知识点 一般地，n个相同的因数a相乘，即，记作，读作“a的n次方”. 求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，a为底数，n叫做指数，一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，规律：奇负偶正. 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0. 知识点二、有理数的混合运算的运算顺序 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 知识点三、科学记数法表示绝对值较大的数 把一个大于10的数表示成或的形式（其中，n是正整数），使用的是科学记数法． 知识点四、近似数 定义 近似数 与准确数相近的一个数． 近似数与准确数 近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示． 三、常考的题型 考点一、有理数幂的理解 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数幂的概念理解 【分析】可根据乘法的意义计算，可根据乘方的定义计算，再相加即可得到结果． 【详解】解：． 2．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 3．对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 4．下列可以表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘方的定义．根据定义：表示个相同因数乘积的运算，叫做乘方，即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 5．的底数是________，读作________． 【答案】 负的的次方 【知识点】有理数幂的概念理解 【详解】解：根据乘方的定义，在中，叫做乘方的底数，叫做乘方的指数． 对于，该式表示的相反数，负号不属于底数部分，因此底数是，该式读作负的的次方． 考点二、有理数的乘方（逆)运算 6．下列计算结果相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算 【详解】解：A、，，故，本选项不合题意； B、，，故，本选项不合题意； C、，，故，本选项不合题意； D、，，故，本选项符合题意． 7．（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆运算，积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法逆运算，积的乘方逆运算法则将原式变形为，即可求解． 【详解】解： 故选：D． 8．若，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) (5) (6) (7)1000 (8)0 【知识点】有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，熟练掌握乘方定义是解题的关键．分别根据有理数的乘方的定义进行计算即可． （1）根据有理数乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数乘方运算法则计算即可； （5）根据有理数乘方运算法则计算即可； （6）根据有理数乘方运算法则计算即可； （7）根据有理数乘方运算法则计算即可； （8）根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 10．计算： （1）．    （2）．    （3）． （4）．    （5）．    （6）． （7）．    （8）．    （9）． 【答案】（1）64（2）（3）（4）（5）32（6）（7）（8）（9） 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】（1）根据乘方的意义计算即可； （2）根据乘方的意义计算即可； （3）根据乘方的意义计算即可； （4）根据乘方的意义计算即可； （5）根据乘方的意义计算即可； （6）根据乘方的意义计算即可； （7）根据乘方的意义计算即可； （8）根据乘方的意义计算即可； （9）根据乘方的意义计算即可； 【详解】解：（1） = =64 （2） = = （3） = = （4） = = （5） = =32 （6） = = （7） = = （8） = = （9） = = = 【点睛】此题考查的是有理数的乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键． 考点三、乘方运算的符号规律 11．有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 12．当时，下列式子：①；② ；③；④中，成立的是___________． 【答案】①②③ 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据负数的奇次方结果为负数，偶次方结果为正数进行求解即可． 【详解】解：当时，是负数，即，故①正确； ∴， ∴，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故答案为：①②③． 13．如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【答案】A 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】根据有理数的乘方法则进行判断即可．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂数负数，0正整数次幂是0 ∴一个有理数的奇次幂是正数，这个数一定是正数． 故选：A． 14．下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【知识点】相反数的定义、有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】互为相反数的两个数和为0，由此逐项判断即可． 【详解】解：，故和互为相反数，A选项符合题意； ，故和不互为相反数，B选项不合题意； ，故和不互为相反数，C选项不合题意； ，故和不互为相反数，D选项不合题意． 15．记， ， ，…， (1)填空： ______，是一个______（填“正数”或“负数”）． (2)计算的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)；正数 (2) (3) 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律、含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查数字的变化规律，掌握乘方的意义，判定负数乘方的计算结果是解决问题的关键． （1）根据有理数的乘法法则得出答案即可； （2）先根据乘法法则计算，再根据有理数的加法计算，可得答案； （3）由题意可得，，然后代入计算即可求解． 【详解】（1）解：， 由1000个相乘，则是一个正数， 故答案为：；正数； （2）解：， ， 所以； （3）解：，则n为奇数， ，， ． 考点四、含乘方的有理数四则混合运算 16．计算：的结果是（     ） A．2 B．-25 C．-7 D．以上都不是 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】按照运算顺序，先算，再算，最后算即可． 【详解】解：． 17．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的绝对值、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、两个有理数的乘法运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）先括号里的有理数的加减运算，再根据有理数的乘法和加减运算法则求解即可； （2）先乘方和绝对值运算，再乘除运算，最后加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．下列计算是否正确？若不正确，试说明错在哪里，并予以改正： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 不正确，错误原因：运算顺序错误，未先计算乘方与除法，优先计算了减法 改正： ； (2) 不正确，错误原因：运算顺序错误，未先计算乘方，优先计算了乘法 改正： ； (3) 不正确，错误原因：运算顺序错误，错误去掉括号使用除法分配律，应先计算括号内的乘法 改正： ； (4) 不正确，乘法运算符号错误，的结果为，原题错误计算为，乘方计算错误，结果应为 改正： ． 【知识点】有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 20．用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数的加减混合运算、计算器——有理数、多个有理数的乘法运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据加法的交换律与结合律计算即可； （2）先去括号，再利用交换律与结合律即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘方法则计算即可； （5）先将科学记数法化为原数，再计算加法即可； （6）先将科学记数法化为原数，再计算除法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． （6）解：原式 ． 考点五、科学记数法 21．吉林省光电信息“一号工程”目标是：“十五五”末光电产业产值达1600亿元，将长春市建设成为“中国光电城”．数据1600亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【详解】解：1600亿． 22．据统计，2026年暑假期间，我国民航客运累计发送旅客560万人次，把560万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【详解】解：万 23．淮海战役期间有名群众支援前线，用科学记数法表示为________________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【详解】解：． 24．用科学记数法表示下列数据： (1)水星的赤道半径约为； (2)木星的赤道半径约为； (3)地球上的陆地面积约为； (4)地球上的海洋面积约为． 【答案】(1) 解：； (2) 解：； (3) 解：； (4) 解：． 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 25．下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？ (1)北京故宫的占地面积约为； (2)人体中约有个红细胞； (3)港珠澳大桥全长． 【答案】(1) ； (2) 个； (3) ． 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【详解】（1）解：； （2）解：个个； （3）解：． 考点六：近似数 26．用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似数： (1)1102.5亿（精确到亿位）； (2)0.0792（精确到0.001）； (3)0.00291（精确到万分位）； (4)475301（精确到万位）． 【答案】(1)亿（或） (2) (3) (4)（或万） 【知识点】求近似数的精确度 【分析】（1）根据四舍五入法，对需精确数位的下一位数字进行取舍，即可得到对应近似数； （2）类比（1）求解即可； （3）类比（1）求解即可； （4）类比（1）求解即可． 【详解】（1）解： （或）； （2）解：； （3）解：； （4）解：（或万）． 27．一个两位小数四舍五入取近似值保留一位小数，结果是，这个数最大是( )，最小是( )． 【答案】 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】根据四舍五入规则，“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，分别确定原数的最大值和最小值即可． 【详解】解：分两种情况讨论：当“四舍”得到近似值时， 因为原数是两位小数，四舍时百分位的数字小于，直接舍去，得到， 所以原数的十分位为，百分位最大取， 所以此时这个数最大是； 当“五入”得到近似值时， 因为原数是两位小数，五入时百分位的数字大于等于，向十分位进后得到， 所以原数的十分位为，百分位最小取， 所以这个数最小是． 28．圆周率…，如果取近似数，那么它精确到哪一位？如果取近似数呢？ 【答案】取近似数时精确到千分位；取近似数时精确到万分位． 【知识点】求近似数的精确度 【分析】根据近似数末位数字所在的数位，确定其精确到的位数． 【详解】因为近似数的末位数字在千分位，所以精确到千分位； 近似数的末位数字在万分位，所以精确到万分位． 29．下列各数据中，哪些数是准确数？哪些数是近似数？ （1）小琳称得体重为； （2）现在的气温是； （3）等于； （4）某汽车集团去年累计汽车销量为280万辆． 【答案】（1）是近似数． （2）是近似数． （3）等于中的和是准确数． （4）万辆是近似数． 【知识点】求一个数的近似数 【分析】在生活中有一些事物的数量，有时用比较准确的数表示，我们称之为精确数，有时不用准确的数表示，而用一个与它比较接近的数来表示，这样的数就是近似数．根据近似数和准确数的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：（1）体重由称量得到，存在测量误差，所以是近似数． （2）气温由测量得到，存在测量误差，所以是近似数． （3）是长度单位的规定换算关系，数值完全准确， 所以其中的1和100是准确数． （4）280万辆是汽车销量近似到万位的统计结果，与实际销量存在偏差， 所以280万辆是近似数． 30．用四舍五入法得到的近似数0.270，其准确数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数的确定方法是解题关键．近似数精确到哪一位，是对下一位的数字进行四舍五入得到的，由于的近似值为0.270，则由四舍五入近似可得的取值范围，即看万分位上的数． 【详解】解：由题意得，当满足时，得到的近似数为0.270． 故选：D． 考点七：程序框图 31．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】明确运算规则为，判断条件为结果小于，若否则循环计算． 【详解】解：当输入时，， ∵， ∴需将重新代入计算， ∴当时，， ∵， ∴最后输出的结果为． 32．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 【答案】 10 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】把代入转换器中计算即可． 【详解】解：， ， 输出结果为10． 33．沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【详解】解：输入n的值为3，， 输入n的值为8，，输出y． 34．图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 35．根据如图所示的程序回答问题： (1)当凡凡输入和这两个数时，则输出的结果是___________； (2)当林林输入和这两个数时，求输出的结果． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的绝对值、有理数四则混合运算、程序流程图与有理数计算 【分析】根据题意可得代数式，将值代入求解，得到正数直接得结果；得到负数取该数的绝对值． 【详解】（1）解：由题意得， ∵是正数， ∴输出的结果为． （2）解：由题意得， ∵为负数， ∴， ∴输出的结果为． 考点八：有理数乘方的综合应用 36．“星等”是表示天体相对亮度强弱的等级．天体越亮，星等的数值越小．早在公元前2世纪，人们已将肉眼能看见的恒星分为6等．现规定天体星等数值每减小1，亮度就大约增加为原来的倍．假如6等星的亮度是1，那么1等星的亮度是多少？等星的亮度是多少？ 【答案】1等星的亮度约为；等星的亮度约为 【知识点】乘方的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】根据题意列出算式，然后根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：等星的亮度是1，从6等星到1等星，星等数值减小5， 等星的亮度约为 ． 等星的亮度是1，从6等星到等星，星等数值减小8， 等星的亮度约为 ． 37．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)试求出的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的乘方运算、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）根据题意先计算出部分⑥的面积，即可获得答案； （2）利用数形结合的思想，把分数加法和正方形的面积联系起来，通过“正方形的面积减去剩余部分的面积”来简便计算多个分数的和，即可获得答案． 【详解】（1）解：观察图形发现部分①面积为：， 部分②的面积为， 部分③的面积为， …… ∴部分⑥的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． （2）解：结合题意可知，的值等于正方形面积减去阴影部分面积， 即， 所以的值为． 38．水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1) 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … (2)35天 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为; （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 39．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：___________，___________． (2)关于除方，下列说法错误的是 ___________． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 (3)算一算：． 【答案】(1) (2)C (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）分别按公式计算即可； （2）根据定义依次判定即可； （3）分别按公式计算即可． 本题考查的是正数与负数、有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：A．任何非零数的圈2次方表示的是两个相同非零数的商，结果都等于1，正确，不符合题意； B．对于任何正整数n，1的圈n次方表示的是n个1相除，都等于1，正确，不符合题意； C. ， ， 故，错误，符合题意； D．负数的圈奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数，负数的圈偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，正确，不符合题意； 故选C． （3） ． 40．观察下列式子： ； ； ； ； (1)猜想： ； ； (2)根据以上发现的规律计算：，并直接写出计算结果的个位数字． 【答案】(1)，； (2)，4 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了找规律，以及含乘方的有理数混合运算，解题的关键在于根据示例找出运算规律． （1）由题易得运算规律为 ，再分别表示和即可； （2）先将表示为题干规律形式，在寻找的个位数规律即可解题． 【详解】（1）解：由题可知：运算规律为 ， ， ， 故答案为：，； （2）解：根据题规律可得：， ，，，，，，，， 的个位数变化规律为2、4、8、6，4个数字为一个循环， ， 的个位数字为6， 的个位数字为4． 四、查缺补漏 1．下列说法：①有理数是指整数和分数；②没有最大的有理数，最小的有理数是0；③有理数的绝对值都是非负数；④几个数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负；⑤3.14159精确到千分位是3.14，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】有理数的分类、绝对值的几何意义、多个有理数的乘法运算、求近似数的精确度 【分析】根据有理数的分类判断①②；根据绝对值的性质判断③；根据几个有理数相乘的法则判断⑤；根据近似数的定义判断⑤；本题考查了有理数，有理数的乘法，绝对值，近似数等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①有理数是指整数和分数，说法正确，故①正确； ②没有最大的有理数，也没有最小的有理数，故②错误； ③有理数的绝对值都是非负数，说法正确，故③正确； ④几个非0数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负，故④错误； ⑤3.14159精确到千分位是3.142，故⑤错误； 综上，正确的2个， 故选：A． 2．下列说法正确的是（    ） A．近似数18.0与近似数18的精确度相同 B．我国领土960万平方千米中的960万是准确数 C．近似数7百与近似数700的精确度相同 D．近似数2.1万与近似数的精确度相同 【答案】D 【知识点】求近似数的精确度 【分析】此题考查了近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，熟练掌握近似数与精确度的概念是解题的关键．根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：、近似数精确到十分位，的精确到个位，此选项错误； 、我国领土960万平方千米中的960万是近似数，此选项错误； 、近似数百精确到百位，近似数精确到个位，此选项错误； 、近似数万和都精确到千位，此选项正确； 故选：． 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为282，则开始输入的值可能为_________． 【答案】57或12或3 【知识点】程序流程图与代数式求值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据题意列出等式，进而求解即可． 【详解】解：若运算一次输出282，则，得； 若运算两次输出282，则第一次输出57，令，得； 若运算三次输出282，则第一次输出12，令，得； 若运算四次输出282，则第一次输出3，令，得． 因为为正整数，所以开始输入的值可能为57或12或3． 【点睛】本题考查了代数式求值、有理数混合运算，掌握把数值代入代数式的方法，根据题意列等式是解题关键． 4．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：                  乙： 丙：     丁： A．甲和丙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丁 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】据甲乙丙丁的式子计算出正确的结果，从而解答本题即可． 【详解】解：，故甲的做法是错误的； ，故乙的做法是错误的； ，故丙的做法正确； ，故丁的做法错误． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 5．（新闻资料）根据乌克兰武装部队总参谋部的消息，自2026年2月24日至今，俄军在俄乌冲突中因战斗伤亡人数已经达到765000人，将765000用科学记数法表示为______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：将765000用科学记数法表示为． 故答案为：． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】按照乘方的定义(求个相同因数的积的运算)和运算顺序(先算括号内，再算乘方，最后处理符号)，结合“负数的偶次幂为正，奇次幂为负”的符号规则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 7．淇淇计算时，步骤如下： 解：原式① ② ．③ （1）在淇淇的计算过程中，开始出现错误的步骤是________（填序号）． （2）正确的答案是________． 【答案】 ；. 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握“乘方的运算法则”. 【详解】（1）： 所以出现错误的步骤为 （2）原式 故答案为： （1）；（2）． 8．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1） 先计算平方、立方、绝对值，再算乘除，最后算减法； （2） 先算乘方与小括号，再算中括号，接着算乘法，最后做减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以得： ②， ②①，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ， ， ； （2）设， ， ∴， ， ． 五、课后作业 1．中国高铁近年来迅速发展．高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到37900公里，将37900用科学记数法表示应为______． 【答案】3.79×104． 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将37900这个数用科学记数法表示为：3.79×104． 故答案为：3.79×104． 【点睛】此题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的基本要求并正确确定a及n的值是解题的关键． 2．(1)用四舍五入法，对5.649取近似值，精确到0.1的结果是____； (2)用四舍五入法，把1 999.508取近似值(精确到个位)，得到的近似数是____； (3)用四舍五入法，把36.547精确到百分位的近似数是____． 【答案】 (1)5.6 (2)2000 (3)36.55 【知识点】求一个数的近似数 【分析】（1）精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入，据此解答即可； （2）把十分位上的数字5进行四舍五入即可； （3）把千分位上的数字7进行四舍五入即可． 【详解】解：（1）5.649≈5.6． （2）1999.58≈2000 （3）36.547≈36.55 故答案为：5.6；2000；36.55 【点睛】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数为近似数．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位的说法． 3．若a，b（，）互为相反数，n是正整数，则（　　） A．和互为相反数 B．和互为相反数 C．和互为相反数 D．和互为相反数 【答案】B 【知识点】相反数的定义、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，以及相反数概念，掌握有理数的乘方法则是解题关键； 有理数的乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0； 然后根据相反数的定义结合有理数的乘方法则分别对每一项进行分析，即可得出正确答案． 【详解】解：A、 ，， 和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； B、a，b（，）互为相反数，为奇数， 和互为相反数，选项结论正确，符合题意； C、 ，， 和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； D、a，b（，）互为相反数， 当n为偶数时，和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 4．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去第2024次输出的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与代数式求值、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期的规律．先根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为5， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期， ∵， ∴第2024次计算输出的结果是， 故选：B． 5．观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了找规律-数字类，整式的混合运算，根据题意找出规律，当时代入规律求解，再找出2的次方末尾数字规律即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 当时，， ， ，，，，， 尾数是4个一循环， ， 尾数为：， 故选：C． 6．从n个不同元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且 ，…，若公式（，且为正整数），则_______． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、新定义下的实数运算 【分析】此题主要考查了新定义运算，以及有理数的混合运算，解答此题的关键是要明确的含义以及“！”的运算方法．根据题意，可得，据此求解即可． 【详解】解∶ （，且为正整数） ． 故答案为：． 7．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）负号在括号外面，只表示的相反数； （2）括号内是 ，括号外还有一个负号，先算括号内的平方，再取相反数； （3） 前面只有一个负号，所以先算 ，再取相反数； （4）分数线把 和 3分开了，所以先算 ，再取整个分数 的相反数． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 9．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 . 10．用计算器计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算器——有理数、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，减法即可； （2）先计算乘方，再计算乘法与除法，最后计算加法即可； （3）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 11．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： = = =． 12．【观察思考】欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边同时乘2，得②； 由①得，代入②中得：， 解得． 所以． 【尝试解答】根据以上解题过程，并解决问题： （1）计算：①． ②． 【拓展应用】（2）用上面学到的方法，将无限循环小数写成分数形式（写出解答过程）． 【答案】（1）①，②；（2） 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，理解题中所给计算方法是解题的关键． （1）①令，则有，根据题中所给方法，对所给算式进行计算即可． ②令①，则②，根据题中所给方法，对所给算式进行计算即可． （2）令所给无限循环小数为x，据此建立方程即可解决问题． 【详解】解：（1）①令①， 则②， 由①得：，并代入中，得，， 解得：， 所以． ②令①， 则②， 由①得：， 代入②得：， 解得， 所以． （2）令， 则， 所以， 解得x， 所以 ． 13．如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1) ， (2) 设， 则， 因为，所以． (3) 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解乘方的意义是解题关键． （1）仿照小明的做法画出图形求解即可； （2）仿照小亮的做法验证即可； （3）仿照小亮的做法求解即可； 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $