第06讲 有理数与有理数的运算 专项讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学讲义以有理数概念与运算为核心，通过知识框架图系统梳理基本概念（正数负数、数轴、相反数等）和运算法则（加减乘除、混合运算顺序），用对比表格呈现6个易错点的误区与正解，构建“概念-运算-应用”的递进知识脉络，突出数形结合与分类讨论思想的内在联系。 讲义亮点在于14个典例题型的分层设计，如用体重上升下降表示相反意义的量培养模型意识，通过数轴上点的运动问题发展几何直观，结合“先定符号再算绝对值”的运算准则强化运算能力。配套小测题覆盖选择、填空、解答，基础题巩固概念，综合题提升应用能力，助力学生自主复习时精准避坑，教师可据此实施分层教学与效果检测。

第06讲 有理数与有理数的运算 综合复习+小测 （核心知识+6易错辨析+14典例精讲） 【知识点01】有理数的基本概念 1. 正数与负数：大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数。正数、负数可用来表示具有相反意义的量，如收入与支出、上升与下降、向东与向西等。 2. 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。所有有理数都可以写成分数（p、q为整数，q≠0）的形式。 3. 有理数的分类 按定义分类：有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；有限小数和无限循环小数都属于分数，是有理数。 按性质符号分类：有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 4. 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。所有有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上右边的点表示的数总比左边的大。 5. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。若a、b互为相反数，则a+b=0；数轴上互为相反数的两个点关于原点对称，到原点的距离相等。 6. 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作。绝对值具有非负性，。 绝对值化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即： 【知识点02】有理数的运算法则 有理数运算包含加、减、乘、除、乘方五种运算，运算核心是先定符号，再算绝对值。 1. 有理数加减法 加法法则：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，用大绝对值减小绝对值；互为相反数的两数和为0；一个数加0仍得原数。 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)，加减法可统一为加法运算。 运算律：加法交换律a+b=b+a；加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)。 2. 有理数乘除法 乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0得0；1乘任何数得原数，-1乘任何数得其相反数。 多个非0数相乘：负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负。 除法法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，即（b≠0）；同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何非0数得0。 运算律：乘法交换律ab=ba；乘法结合律(ab)c=a(bc)；乘法分配律a(b+c)=ab+ac。 3. 有理数乘方 定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，结果叫做幂，记作aⁿ（a为底数，n为指数）。 符号规则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1、偶次幂是1。 4. 有理数混合运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右依次进行；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）。 易错点1：有理数概念混淆 误区：认为带负号的数就是负数、带正号的数就是正数；认为小数不是有理数。 正解：-a不一定是负数，a可能为负数或0；有限小数、无限循环小数属于分数，是有理数，只有无限不循环小数（无理数）不是有理数。 易错点2：绝对值、相反数理解错误 误区：|a|=a；认为绝对值相等的两个数相等；忽略0的特殊性。 正解：只有a≥0时，|a|=a；若|a|=|b|，则a=b或a=-b；0的相反数、绝对值都是本身，0没有倒数。 易错点3：乘方运算符号出错 误区：混淆和，计算时符号判断错误。 正解：（先算乘方，再取相反数）；（底数为-2，整体平方）。 易错点4：运算律使用不当 误区：除法误用分配律；乘法分配律漏乘、符号出错。 正解：除法没有分配律，；使用时，括号内每一项都要与a相乘，注意符号。 易错点5：混合运算顺序混乱 误区：加减优先于乘除、乘方；同级运算跳步计算。 正解：严格遵循“乘方→乘除→加减”顺序，同级运算从左至右，括号优先。 易错点6：相反意义的量表述错误 误区：忽略基准量，正负号赋值混乱。 正解：先规定一个方向/状态为正，相反即为负，0为基准量，不代表没有。 【题型一】正数和负数 1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）下列有理数中为负数的是（    ） A．0 B．1 C． D． 2．（2025·四川雅安·中考真题）如果向东走记为，那么向西走记为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）史料证明：中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家．追溯到两千多年前，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，如果体重上升记作，那么体重下降可以记作（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数，1～9的算筹表示如表所示．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，在个位数上斜放一筹可以表示负数，如可以用算筹表示为“”，则“”表示的数是_________． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）请任意写出3个正数与3个负数： 正数：{                                  …}． 负数：{                                  …}． 6．（25-26七年级上·湖南常德·期中）一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面哪对量是具有相反意义的量? (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【题型二】有理数的概念 8．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在，，，，，这六个数中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）下列说法：①是负分数；②1.5不是整数；③0不是非负有理数；④0是最小的自然数．其中说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．（25-26七年级上·全国·期末）把下列各数填入相应的集合：，0，，，5，，1.2 正数集合：｛________｝；负数集合：｛________｝；整数集合：｛________｝． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）正数：比____大的数；负数：在正数前面加上_______的数，______既不是正数，也不是负数． 13．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）下列各数：15，，，，0，，，中． (1)非负有理数有_________________ (2)非负整数有__________________ (3)非正整数有_________________ 15．（25-26七年级上·四川南充·期中）把下列各数分类 6，，，，，0，，，， (1)整数：{ …}； (2)分数：{ …}； (3)非负整数：{ …}； (4)有理数：{ …}． 【题型三】数轴 16．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，数轴上雪容融所在点表示的数可能为（    ） A． B． C．11 D．3 17．（25-26七年级上·湖南湘西·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上点A表示的数是2026，，则点表示的数是（   ） A．2026 B． C． D． 19．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是_____．（写出一个即可） 20．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）在数轴上，点表示的数是，将点A向右移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级上·新疆·期末）如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 22．（25-26七年级上·山东日照·期末）如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 23．（25-26七年级上·福建·期中）已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 24．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 25．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 【题型四】相反数 26．（25-26七年级上·福建漳州·期中）若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 27．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）若和互为相反数，那么_______． 28．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）化简符号：___________． 29．已知，互为相反数，则值为______．，互为倒数，则值为______． 30．（25-26七年级上·全国·期末）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，求的值． 【题型五】绝对值 31．（2025七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 32．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）四个有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则这四个点中表示的数的绝对值最大的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 33．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）一批食品，标准质量为，现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，那么最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 34．当______时，的最小值是______． 35．已知，，则x的值为______，y的值为______． 36．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【题型六】有理数的大小比较 37．（25-26七年级上·河北保定·期末）某日河北省4个地区的最低气温：石家庄，唐山，沧州，秦皇岛．则最低气温最高的地区是（    ） A．石家庄 B．唐山 C．沧州 D．秦皇岛 38．若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 39．（25-26七年级上·山东德州·期中）比较大小：0___________0.01，___________（填“<”“>”或“=”） 40．（25-26七年级上·全国·课后作业）请写出符合下列要求的数： (1)绝对值小于3的整数． (2)绝对值小于或等于2的负整数． 41．（24-25七年级上·全国·单元测试）生活情境·气温变化 下表记录了我国几个城市某年一月份的平均气温． 北京 武汉 广州 哈尔滨 南京 -4.6 3.8 13.2 -18.5 2.6 (1)将各个城市的平均气温从高到低排列； (2)这几个城市按从北到南排列的顺序为哈尔滨、北京、南京、武汉、广州，请与平均气温相比较，指出地理位置与气温的关系． 【题型七】有理数的加法 42．（24-25七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 43．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）综合实践活动中，善思小组研究了二进制数的加法运算法则，如下表所示，根据二进制数的加法运算法则，计算的结果为（   ） 加数 加数 和 A． B． C． D． 44．（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：_______． 45．（2024七年级上·四川泸州·竞赛）计算： 46．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型八】有理数的减法 47．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）某天昆明的最高气温是，最低气温是，那么这天的温差是（    ） A． B． C． D． 48．（25-26七年级上·浙江台州·期末）有理数减法运算可以转化为加法运算．对的运算进行转化，正确的是（   ） A． B． C． D． 49．_______ 50．（24-25七年级上·全国·期中）计算的结果是_________． 51．将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 52．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【题型九】有理数的乘法 53．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）计算的结果为（   ） A．2026 B．-2026 C． D． 54．（25-26七年级上·北京海淀·期末）中央民族大学附属中学开展民族团结主题活动，七年级共有320名学生参与，其中少数民族学生人数占总人数的，则少数民族学生人数为（   ） A．120 B．160 C．200 D．240 55．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）_________． 56．（25-26七年级上·青海海东·期中）计算的过程中运用的运算律是______． 57．计算： 58．请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为： 所以： 计算： (1)； (2)． 【题型十】有理数的除法 59．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 60．（25-26七年级上·广西河池·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）．以2026年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为（   ） A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年 61．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算：_______ 62．_______ 63．（25-26七年级上·广东惠州·期末）计算：___________． 64．（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 65．（2025七年级上·全国·专题练习）某冷冻厂的一个冷库现在的温度是，一批食品需要在下冷冻保存，如果该冷库每小时能降温，那么需要几小时才能降到这批食品所需的保存温度？ 【题型十一】有理数四则混合运算的实际应用 66．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 67．（25-26七年级上·河南·期末）一家游泳馆每年6月—8月出售夏季会员证．每张会员证120元，只限本人使用，凭会员证购入场券每张15元，不凭会员证购入场券每张20元．小明计划暑假游泳20次，那他选择____________最合算（填“办会员证”或“不办会员证”）． 68．（23-24七年级上·河南郑州·期中）郑州地铁10号线于2023年9月28日开通运营，起于荥阳市郑州西站，途经中原区，止于二七区郑州火车站，线路主要沿中原路、康复后街呈东西向布置，其中的12个站点如图所示. 小墩从郑州西站开始乘坐地铁，在图中12个地铁站点做值勤志愿服务，到A站下车时本次志愿者活动结束，约定向郑州火车站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，. (1)请你通过计算说明A站是哪一站？ (2)已知相邻两站之间的平均距离为千米，求小墩在志愿者服务期间乘坐地铁行进的路程是多少千米？ 69．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： (1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元； (2)每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． 【题型十二】乘方 70．计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．9 71．若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 72．的值是 _______． 73．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 74．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）我们常用的数是十进制数，如十进制中的数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，而在电子计算机中用的二进制的数只用两个数码：0和1，如果二进制中的等于十进制的11，二进制中的数等于十进制的13，那么二进制中的数转换为十进制的数是_____． 75．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算：． 76．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 77．（24-25七年级上·全国·课后作业）为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【题型十三】科学记数法 78．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）年，人工智能在全球范围内发展迅速，据统计，其平台第三季度月均活跃用户为，其中用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 79．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）光年是天文学上的一种长度单位，一光年是指光在一年内走过的路程，用科学记数法表示约为，已知原数中“0”的个数为10，则的值为（    ） A． B． C． D． 80．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 81．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）唐代诗人李白在《望庐山瀑布》中写道“飞流直下三千尺”，若唐代一尺约合现代0.3米，则“三千尺”约为________米（用科学记数法表示）． 82．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克．按我国14亿人口，每年365天，每人每天两餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，那么一年大约能节约大米多少千克？如果把一年节约的大米卖掉，按5元/千克计算，那么可以卖得人民币多少元？（结果用科学记数法表示） 【题型十四】近似数 83．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 84．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）用四舍五入对取近似数，精确到得到的正确结果是（  ） A． B． C． D． 85．（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段检测）近似数是由数a四舍五入得到的，则数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 86．将数用四舍五入法精确到为______． 87．（25-26七年级上·四川广元·期中）用四舍五入法对下列各数取近似数 (1)（精确到千分位）； (2)（精确到0.001）； (3)（精确到十位）； (4)亿（精确到万位）； 1. 核心体系：本章以有理数概念为基础，有理数运算为核心，是初中数学所有计算的根基，后续整式、方程、函数的计算都以此为依托。 2. 两大核心思想：一是数形结合思想，借助数轴直观理解有理数大小、相反数、绝对值；二是分类讨论思想，处理绝对值、乘方、已知绝对值求数等问题时，需全面考虑正负、0的情况。 3. 运算核心准则：所有有理数运算统一遵循先定符号，再算绝对值，混合运算严格遵守运算顺序，灵活运用运算律简化计算。 4. 避坑关键：重点区分易混淆概念（如乘方底数、绝对值化简），杜绝符号错误、顺序错误、漏项错误，计算养成“先观察、再简便、最后检查”的习惯。 5. 学习目标：熟练掌握有理数各类运算，能解决基础计算题、概念题和实际应用题，夯实初中数学计算功底。 一、单选题 1．下列语句中的数，不是近似数的是（    ）． A．牛郎星和织女星相距亿千米 B．生物圈中已知的绿色植物有万种 C．某实验中学有人 D．某人的身高为 2．把写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 3．有理数，在数轴上表示的点如图所示，则，，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度．则数轴上点B所对应的数b为（   ） A．3 B． C． D． 5．下列各数：5，﹣，1.03003，，0，﹣2π，，其中有理数的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．6和 C．和 D．7和 8．下列算式中，积为正数的是（　　） A． B． C． D． 9．下列算式中正确的有（　　） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 二、填空题 11．计算：______． 12．用简便方法计算：________． 13．计算：_____． 14．绝对值大于1而小于5的所有正整数之和为______． 15．染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，号染色体共有超过个碱基对，将用科学记数法可表示为__________． 16．有下列各数：0.01，10，，，0，，，，，其中属于非负整数的共有______个． 17．把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 三、解答题 18．画出数轴，表示下列有理数，并按从小到大的顺序用“”号连接起来： 19．计算： (1) (2) 20．计算： (1)（﹣8）+10﹣2+（﹣1） (2)（﹣3）+12.5+（﹣16）﹣（﹣2.5） (3) (4)（）×（﹣36） 21．如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 22．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 23．数轴是重要的数学工具，体现了数形结合思想，解决以下问题： (1)如图1在数轴上有数a，b，在数轴上标出数，并借助数轴比较的大小，用“”连接； (2)如图2在数轴上有数a，b，c， ①若，原点在刻度上，请在数轴上标出原点； ②在①的条件下，化简：． 24． 阅读下面的材料：我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算． 定义：如果（，，），则b叫做以a为底N的对数，记作． 例如：因为，所以；因为，所以． (1)填空： ，   (2)如果 ，求m的值． (3)对于“对数”运算，小明同学认为有“（，，，）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 有理数与有理数的运算 综合复习+小测 （核心知识+6易错辨析+14典例精讲） 【知识点01】有理数的基本概念 1. 正数与负数：大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数。正数、负数可用来表示具有相反意义的量，如收入与支出、上升与下降、向东与向西等。 2. 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。所有有理数都可以写成分数（p、q为整数，q≠0）的形式。 3. 有理数的分类 按定义分类：有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；有限小数和无限循环小数都属于分数，是有理数。 按性质符号分类：有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 4. 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。所有有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上右边的点表示的数总比左边的大。 5. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。若a、b互为相反数，则a+b=0；数轴上互为相反数的两个点关于原点对称，到原点的距离相等。 6. 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作。绝对值具有非负性，。 绝对值化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即： 【知识点02】有理数的运算法则 有理数运算包含加、减、乘、除、乘方五种运算，运算核心是先定符号，再算绝对值。 1. 有理数加减法 加法法则：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，用大绝对值减小绝对值；互为相反数的两数和为0；一个数加0仍得原数。 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)，加减法可统一为加法运算。 运算律：加法交换律a+b=b+a；加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)。 2. 有理数乘除法 乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0得0；1乘任何数得原数，-1乘任何数得其相反数。 多个非0数相乘：负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负。 除法法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，即（b≠0）；同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何非0数得0。 运算律：乘法交换律ab=ba；乘法结合律(ab)c=a(bc)；乘法分配律a(b+c)=ab+ac。 3. 有理数乘方 定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，结果叫做幂，记作aⁿ（a为底数，n为指数）。 符号规则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1、偶次幂是1。 4. 有理数混合运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右依次进行；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）。 易错点1：有理数概念混淆 误区：认为带负号的数就是负数、带正号的数就是正数；认为小数不是有理数。 正解：-a不一定是负数，a可能为负数或0；有限小数、无限循环小数属于分数，是有理数，只有无限不循环小数（无理数）不是有理数。 易错点2：绝对值、相反数理解错误 误区：|a|=a；认为绝对值相等的两个数相等；忽略0的特殊性。 正解：只有a≥0时，|a|=a；若|a|=|b|，则a=b或a=-b；0的相反数、绝对值都是本身，0没有倒数。 易错点3：乘方运算符号出错 误区：混淆和，计算时符号判断错误。 正解：（先算乘方，再取相反数）；（底数为-2，整体平方）。 易错点4：运算律使用不当 误区：除法误用分配律；乘法分配律漏乘、符号出错。 正解：除法没有分配律，；使用时，括号内每一项都要与a相乘，注意符号。 易错点5：混合运算顺序混乱 误区：加减优先于乘除、乘方；同级运算跳步计算。 正解：严格遵循“乘方→乘除→加减”顺序，同级运算从左至右，括号优先。 易错点6：相反意义的量表述错误 误区：忽略基准量，正负号赋值混乱。 正解：先规定一个方向/状态为正，相反即为负，0为基准量，不代表没有。 【题型一】正数和负数 1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）下列有理数中为负数的是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了有理数的定义，正负数的定义，根据负数的定义（小于0的数是负数），进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴是负数， 故选：D 2．（2025·四川雅安·中考真题）如果向东走记为，那么向西走记为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反意义的量 【详解】解：∵向东走记为， ∴向西走记为． 3．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）史料证明：中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家．追溯到两千多年前，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，如果体重上升记作，那么体重下降可以记作（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】根据已知上升记为正，推出相反意义的下降记为负即可得到结果． 【详解】解：∵体重上升记作， ∴体重下降可以记作． 4．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数，1～9的算筹表示如表所示．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，在个位数上斜放一筹可以表示负数，如可以用算筹表示为“”，则“”表示的数是_________． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【分析】对照表格，从左到右，找到每个算筹对应的数，再注意个位数上的斜放的算筹即可． 【详解】 解：由“”对照表格可得，从左到右，依次对应的数为、、， 又∵个位数上斜放了一筹，表示负数， ∴“”表示的数是． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）请任意写出3个正数与3个负数： 正数：{                                  …}． 负数：{                                  …}． 【答案】正数：（答案不唯一）；负数：（答案不唯一） 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0的数是正数、小于0的数是负数解答即可得． 【详解】解：正数：； 负数：． 6．（25-26七年级上·湖南常德·期中）一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 【答案】(1)是 (2)米 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把所有数据相加即可解答； （2）把跑过的路程相加即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 答：守门员最后回到了球门线的位置． （2）解：由题意可得：， 答：守门员全部练习结束后，他共跑了米． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面哪对量是具有相反意义的量? (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【答案】(1)是 (2)是 (3)是 (4)否 【知识点】相反意义的量 【分析】本题主要考查相反意义的量的定义，掌握 “相反意义的量需同时具备‘相反意义’和‘同类量’两个条件” 是解题的关键．依据相反意义的量的定义判断即可． 【详解】（1）∵ 得20分表示分数增加，扣10分表示分数减少， ∴ 得分为正，扣分为负，具有相反意义． （2）∵ 蓄水量增加表示水量增加，减少表示水量减少， ∴ 增加为正，减少为负，具有相反意义． （3）∵ 下去10名乘客表示乘客减少，上来8名乘客表示乘客增加， ∴ 下去为负，上来为正，具有相反意义． （4）∵ 周长是长度量，面积是面积量， ∴ 两者无相反方向含义，故无相反意义． 【题型二】有理数的概念 8．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在，，，，，这六个数中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】有理数的定义 【分析】根据有理数的定义逐个判断六个数即可得到结果． 【详解】解：∵整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数， 逐个判断得： 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，不是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数. 故有理数共5个，故选C． 9．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）下列说法：①是负分数；②1.5不是整数；③0不是非负有理数；④0是最小的自然数．其中说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】带“非”字的有理数、0的意义、有理数的分类 【分析】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键；因此此题可根据有理数的分类进行排除选项． 【详解】解：①是负分数，说法正确；②1.5不是整数，说法正确；③0是非负有理数，原说法错误；④0是最小的自然数，说法正确； 故选C． 10．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】带“非”字的有理数、正负数的定义、有理数的定义、有理数的分类 【分析】根据整数、有理数、非负数的定义逐一判断各说法正误，统计正确结论个数即可． 【详解】解：①整数包含负整数、0、正整数，所有负整数都小于0，原说法错误； ②有理数分为正有理数、0、负有理数，原说法错误； ③非负数就是正数和0，原说法错误； ④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，正确． 综上，正确的结论共有1个． 11．（25-26七年级上·全国·期末）把下列各数填入相应的集合：，0，，，5，，1.2 正数集合：｛________｝；负数集合：｛________｝；整数集合：｛________｝． 【答案】 ，5，1.2 ，， ，0，5 【知识点】正负数的定义、有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类，正数是大于0的数，负数是小于0的数，整数包括正整数、0和负整数，据此进行分类判断即可． 【详解】解：正数集合：{ ，5，1.2 }；负数集合：{ ，， }；整数集合：{ ，0，5 }． 故答案为：，5，1.2；，，；，0，5． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）正数：比____大的数；负数：在正数前面加上_______的数，______既不是正数，也不是负数． 【答案】 0 负号 0 【知识点】正负数的定义、有理数的定义、0的意义 【分析】根据有理数的有关概念判断即可． 【详解】解：根据题意， 正数：比0大的数；负数：在正数前面加上负号的数，0既不是正数，也不是负数． 故答案为：0，负号，0 【点睛】本题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数的定义进行判断． 13．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 【答案】，，；，，；， 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】根据有理数的分类进行逐个分析，即可得答案． 【详解】解：分数集合：{，，，…}； 负数集合：{，，，…}； 非负整数集合：{，，…}． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）下列各数：15，，，，0，，，中． (1)非负有理数有_________________ (2)非负整数有__________________ (3)非正整数有_________________ 【答案】(1)，，， (2)15，0 (3)，0 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】本题考查有理数的概念，掌握好有理数的定义是关键． 非负有理数是指大于或等于零且能表示为两个整数之比的数；非负整数是指大于或等于零的整数；非正整数是指小于或等于零的整数．根据给定数字，逐一判断其类型并分类． 【详解】（1）解：非负有理数有 ，，，； （2）解：非负整数有15，0； （3）解：非正整数有，0． 15．（25-26七年级上·四川南充·期中）把下列各数分类 6，，，，，0，，，， (1)整数：{ …}； (2)分数：{ …}； (3)非负整数：{ …}； (4)有理数：{ …}． 【答案】(1)6，，0； (2)，，，，，； (3)6，0； (4)6，，，，，0，，，． 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． （1）根据整数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据非负整数的定义作答即可； （4）根据有理数的定义作答即可． 【详解】（1）解：整数：{6，，0…}； 故答案为：6，，0； （2）解：分数：{，，，，，…}； 故答案为：，，，，，； （3）解：非负整数：{6，0…}； 故答案为：6，0； （4）解：有理数：{6，，，，，0，，，…}． 故答案为：6，，，，，0，，，． 【题型三】数轴 16．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，数轴上雪容融所在点表示的数可能为（    ） A． B． C．11 D．3 【答案】B 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】根据数轴上点的位置选择即可． 【详解】解：由图可知雪容融所在点在和0之间， 故选B． 17．（25-26七年级上·湖南湘西·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查数轴的概念．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.数轴的三要素缺一不可． 【详解】A、没有原点，数轴错误，不符合题意； B、单位长度不统一，数轴错误，不符合题意； C、数字顺序混乱，数轴错误，不符合题意； D、符合数轴的概念，数轴正确，符合题意． 故选：D． 18．（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上点A表示的数是2026，，则点表示的数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，先求出，进而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数是2026， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故选：B． 19．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数轴的概念和实数与数轴上点的对应关系，熟练掌握数轴上左边的数总比右边的数小这一性质是解题的关键． 先根据数轴上点的位置关系，判断出数与的大小关系，再写出一个满足该关系的数即可． 【详解】解：∵数轴上表示数的点在表示数的点的左侧， ∴． 取（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 20．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）在数轴上，点表示的数是，将点A向右移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴上点的移动，正确理解移动方向与数值变化的关系是解题关键．根据数轴上点的移动规则，向右移动表示加，向左移动表示减． 【详解】解：∵点表示的数是，向右移动个单位长度到达点， ∴点表示的数为：． 故选：C． 21．（25-26七年级上·新疆·期末）如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上找原点、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴的有关知识以及相反数的性质，关键是先求出、两点在直尺上的距离，再结合“互为相反数的两点到原点距离相等”确定原点对应的刻度． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点对应刻度， ∴、在直尺上的距离为， ∵点、表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为； 故答案为：6． 22．（25-26七年级上·山东日照·期末）如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的规律探究 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离．先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2026次跳动的点表示的数，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为． ∴点与点O的距离是：． 故答案为：． 23．（25-26七年级上·福建·期中）已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 【答案】(1) 如图所示； (2)7；0,1,2,3,4 (3)2或 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、数轴的三要素及其画法、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了画数轴，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据规定了原点，正方向，单位长度的直线画出数轴，并在数轴上描出各点； 对于（2），在数轴上确定整数点，并根据“非负整数”是正整数或0解答； 对于（3），分两种情况解答． 【详解】（1）略 （2）解：在与4之间的整数点有，共有7个点；其中“非负整数”有0,1,2,3,4； 故答案为：7；0,1,2,3,4； （3）解：从表示的点，沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，这个数是； 从表示的点，沿数轴向左移动4个单位长度到达点B，这个数是， 所以这个数是2或． 故答案为：2或． 24．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 【答案】(1) (2) (3) 将点表示在数轴上，如下： ∴点、、三个点表示的数用“”连接为． 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查的是数轴的认识以及实数与数轴上点的对应关系，解题的关键是找出各点在数轴上的位置； （1）直接观察数轴即可解决； （2）分析题意可知点与点是关于点的对称点，由此可以求解； （3）先在数轴上标记点，，然后根据数轴上点的大小关系即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，点表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点到点的距离为， ∵点与点到点的距离相等且两点不重合， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是， 故答案为：； 25．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 【答案】(1)B表示的数为：5；C表示的数为 (2)①左；②6秒，此时点M表示的数为；③8秒，此时点M表示的数为； (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题）、数轴上的规律探究、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到点到原点的距离为，再由点A和点B不重合，点B表示的数为5，再用点B表示的数减去点C到点的距离即可求出点C表示的数，最后在数轴上表示出点A，点B，点C即可； （2）①设运动时间为t，由于，且点M的运动速度大于点N的运动速度，故只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度；②二者相遇前运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数；③二者相遇后运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数； （3）根据题意可得动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度，据此求出2024次运动后点P表示的数，再由第2025次点P是向左运动2025个单位长度进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等， ∴点到原点的距离为， ∵点A和点B不重合， ∴点B表示的数为5， ∵点在原点的左侧，且到点的距离为7， ∴点C表示的数为， （2）解：①设运动时间为t， ∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度， ∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度， 故答案为：左 ②当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； ③当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； （3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……， ∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度， ∴第2024次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为， ∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度， ∴表示的数为． 【题型四】相反数 26．（25-26七年级上·福建漳州·期中）若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】相反数的应用、相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，两数之和为零则互为相反数，计算各组数的和，判断是否为零． 【详解】解：∵ a 和 b 互为相反数， ∴ ； A.，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； B.，该选项两个数互为相反数，符合题意； C. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； D. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 27．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）若和互为相反数，那么_______． 【答案】 【知识点】相反数的应用 【分析】本题考查了相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和等于0列式计算即可得解． 【详解】解：依题意， ∴ 故答案为：． 28．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）化简符号：___________． 【答案】 【知识点】化简多重符号 【详解】解：． 29．已知，互为相反数，则值为______．，互为倒数，则值为______． 【答案】 【知识点】倒数、相反数的定义 【分析】根据相反数和倒数的定义，直接求解即可． 【详解】解：相反数的定义，互为相反数的两个数的和为， ∴当，互为相反数，则； 倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积为， ∴当，互为倒数，则． 故答案为：；． 30．（25-26七年级上·全国·期末）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，求的值． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、倒数、相反数的定义 【分析】本题考查代数式求值，涉及相反数定义、倒数定义、绝对值等相关知识，掌握相关数学知识得到式子与字母的值是解决问题的关键． 先由题意，得到，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数， ， 即， ∴ ． 【题型五】绝对值 31．（2025七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 【答案】C 【知识点】绝对值非负性 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键． 利用绝对值的非负性，得出的最小值为0，进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：∵为有理数， ∴， ∴， ∴． 当时，即，取等号， ∴最大值为． 故选C． 32．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）四个有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则这四个点中表示的数的绝对值最大的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作a的绝对值，记为，因此哪个点与原点的距离最大，哪个点表示的数的绝对值最大． 【详解】解：由数轴知，点A到原点的距离大于3小于4， 点B到原点的距离大于1小于2， 点C到原点的距离大于0小于1， 点D到原点的距离大于2小于3， 综上可知，点A到原点的距离最大， 故这四个点中表示的数的绝对值最大的点是点， 故选：A． 33．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）一批食品，标准质量为，现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，那么最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查绝对值的意义，利用绝对值表示样品与标准质量的偏差程度，绝对值越小则越接近标准质量，通过计算各选项数的绝对值并比较大小即可求解． 【详解】解：∵，，， 又∵ ∴对应的样品与标准质量的偏差最小，即最接近标准质量． 故选：D． 34．当______时，的最小值是______． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、绝对值的几何意义 【分析】表示数轴上点到点的距离，原式可转化为数轴上一点到三个定点，，的距离之和，当取奇数个定点中位于中间的点时，距离之和取得最小值，代入计算即可得到结果． 【详解】根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 因此表示点到，，三点的距离之和， 将三点从小到大排列为，共奇数个点，中间点为，此时距离之和最小， 将代入原式． 35．已知，，则x的值为______，y的值为______． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】若一个数的绝对值为正数，则这个数为． 【详解】解：已知，可得． 已知，可得． 36．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【知识点】绝对值的其他应用、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 【题型六】有理数的大小比较 37．（25-26七年级上·河北保定·期末）某日河北省4个地区的最低气温：石家庄，唐山，沧州，秦皇岛．则最低气温最高的地区是（    ） A．石家庄 B．唐山 C．沧州 D．秦皇岛 【答案】A 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查负数比较大小的知识点，根据“绝对值大的负数反而小”的规则比较四个地区最低气温的大小即可得出答案．熟练掌握负数比较大小的方法是解题关键，注意负数比较时不要混淆绝对值与数的大小关系． 【详解】解：∵ 四个地区的最低气温分别为、、、， 又∵ 负数比较大小，绝对值大的数反而小， ，，，， 且， ∴ ， ∴ 最低气温最高的地区是石家庄． 故选：A． 38．若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数大小比较 【分析】设，得，从而可得a、b、c、d 的值，然后比较大小即可解答． 【详解】解：根据题意，可设， 则， ∴，，，, ∵, ∴， ∴，即． 39．（25-26七年级上·山东德州·期中）比较大小：0___________0.01，___________（填“<”“>”或“=”） 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】根据有理数大小比较法则，正数大于0，负数小于正数，据此比较即可． 【详解】解：比较和， ∵是正有理数，正有理数都大于， ∴； ∵是负有理数，是正有理数，负有理数小于一切正有理数， ∴． 40．（25-26七年级上·全国·课后作业）请写出符合下列要求的数： (1)绝对值小于3的整数． (2)绝对值小于或等于2的负整数． 【答案】(1), , 0, 1, 2 (2), 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的大小、绝对值的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据绝对值的定义确定数的取值范围，再在范围内找出符合条件的整数． 【详解】（1）解：满足的整数的取值范围是， 其中的整数有, , 0, 1, 2； （2）满足的负整数的取值范围是， 其中的整数有, ． 41．（24-25七年级上·全国·单元测试）生活情境·气温变化 下表记录了我国几个城市某年一月份的平均气温． 北京 武汉 广州 哈尔滨 南京 -4.6 3.8 13.2 -18.5 2.6 (1)将各个城市的平均气温从高到低排列； (2)这几个城市按从北到南排列的顺序为哈尔滨、北京、南京、武汉、广州，请与平均气温相比较，指出地理位置与气温的关系． 【答案】(1) (2)从北到南，气温逐渐升高 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． （1）利用有理数的大小比较排列顺序即可； （2）根据排列顺序即可得到答案． 【详解】（1）解：由记录表得，， （2）解：从北到南，气温逐渐升高． 【题型七】有理数的加法 42．（24-25七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 43．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）综合实践活动中，善思小组研究了二进制数的加法运算法则，如下表所示，根据二进制数的加法运算法则，计算的结果为（   ） 加数 加数 和 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查的知识点是二进制加法运算，解题关键是正确理解题意． 需依据给定的加法法则，对齐数位从右往左逐位计算，遵循满进的规则进行计算． 【详解】解：二进制加法法则为：，，，（满进）， 将两个数对齐数位后从右往左逐位相加： 第位：， 第位：， 第位：，本位记，向第位进， 第位：， 第位：， ． 故选：． 44．（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：_______． 【答案】1008 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查有理数加法的简便运算，从左边第一个数开始，相邻的两个数为一组，每组的值为，共有组还剩余2015，由此可解，正确分组是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：1008． 45．（2024七年级上·四川泸州·竞赛）计算： 【答案】 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【详解】解： ． 46．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则和交换律\结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． 【题型八】有理数的减法 47．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）某天昆明的最高气温是，最低气温是，那么这天的温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】利用这天的最高气温减去最低气温即可． 【详解】解：由题意得：这天的温差是． 48．（25-26七年级上·浙江台州·期末）有理数减法运算可以转化为加法运算．对的运算进行转化，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数减法法则的应用，减去一个数等于加上这个数的相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵有理数减法法则为：减去一个数，等于加上这个数的相反数． ∴． 故选：A． 49．_______ 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据去括号法则化简原式，再利用有理数加减法则计算即可得到结果． 【详解】解： 原式 ． 50．（24-25七年级上·全国·期中）计算的结果是_________． 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算， 先将分数化成小数，再根据有理数的加减法法则计算即可. 【详解】解：原式 . 51．将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 【答案】（1），读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 ；（2），负，负，负，正，正，正4的和；负减减加加； 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】（1）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可； （2）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可． 【详解】解：（1）原式； 读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 （2）原式． 读作：负，负，负，正，正，正4的和； 负减减加加； 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 52．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)； (2)会发出充电提示 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】（1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车天行驶的总路程，再求出用电量剩余时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【详解】（1）解：第三天行驶了， 故应记作， ∴“■”处的数为； 第六天行驶了， 故应记作， ∴“●”处的数为； 故答案为：；． （2）解：总行程为， 剩余电量占比， ∴会发出充电提示． 【题型九】有理数的乘法 53．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）计算的结果为（   ） A．2026 B．-2026 C． D． 【答案】A 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，需依据有理数乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 54．（25-26七年级上·北京海淀·期末）中央民族大学附属中学开展民族团结主题活动，七年级共有320名学生参与，其中少数民族学生人数占总人数的，则少数民族学生人数为（   ） A．120 B．160 C．200 D．240 【答案】A 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查有理数乘法的实际应用，用总人数乘以少数民族学生所占的比例即可求出人数． 【详解】∵总人数为320名，少数民族学生人数占总人数的， ∴少数民族学生人数为=120（名）． ∴故选：A． 55．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）_________． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，需先确定积的符号，再计算数值部分，因式中有三个负因数，故结果为负，数值部分通过分数乘法约分简化后结果为1，因此最终结果为． 【详解】解： ， 故答案为：． 56．（25-26七年级上·青海海东·期中）计算的过程中运用的运算律是______． 【答案】乘法的交换律和乘法的结合律 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，在计算过程中，通过改变因子的顺序和分组，简化运算步骤，这涉及乘法运算律的应用． 【详解】解：的过程中运用的运算律是乘法的交换律和乘法的结合律， 故答案为：乘法的交换律和乘法的结合律． 57．计算： 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】解： ． 58．请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为： 所以： 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】（1）先拆分，再抵消法计算即可求解； （2）先拆分，再抵消法计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【题型十】有理数的除法 59．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的除法运算 【详解】解：，，，， 故是． 60．（25-26七年级上·广西河池·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）．以2026年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为（   ） A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年 【答案】D 【知识点】有理数除法的应用 【分析】根据给出的计算方法，分别列式计算即可. 【详解】解：天干为：， 地支为：， 故2035年为农历乙卯年. 61．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算：_______ 【答案】0 【知识点】有理数的除法运算 【详解】解：． 62．（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）_______ 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】根据有理数除法法则将除法运算转化为乘法运算，再约分计算即可． 【详解】解： ． 63．（25-26七年级上·广东惠州·期末）计算：___________． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】此题考查了有理数的除法，根据有理数除法法则，异号两数相除结果为负，并将绝对值相除． 【详解】解：． 故答案为：． 64．（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 65．（2025七年级上·全国·专题练习）某冷冻厂的一个冷库现在的温度是，一批食品需要在下冷冻保存，如果该冷库每小时能降温，那么需要几小时才能降到这批食品所需的保存温度？ 【答案】需要才能降到这批食品所需的保存温度 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题主要考查有理数除法的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列式进行求解即可． 【详解】解：由题意得：； 答：需要才能降到这批食品所需的保存温度． 【题型十一】有理数四则混合运算的实际应用 66．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】先计算6枚月饼的标准总质量，再计算所有质量偏差的和，两者相加得到实际总质量． 【详解】解：∵由题意得，每枚月饼标准质量为70克，共6枚， ∴6枚月饼的标准总质量为克， 计算6枚月饼的质量偏差和： ， ∴这六枚月饼的实际总质量为克． 67．（25-26七年级上·河南·期末）一家游泳馆每年6月—8月出售夏季会员证．每张会员证120元，只限本人使用，凭会员证购入场券每张15元，不凭会员证购入场券每张20元．小明计划暑假游泳20次，那他选择____________最合算（填“办会员证”或“不办会员证”）． 【答案】不办会员证 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数混合运算法则，是解题的关键．比较办会员证和不办会员证两种方案的总费用，即可得出答案． 【详解】解：办会员证的总费用为会员证费用120元加上20次游泳费用，即：（元）， 不办会员证的总费用为：（元）， 因为400元元，因此不办会员证更合算． 故答案为：不办会员证． 68．郑州地铁10号线于2023年9月28日开通运营，起于荥阳市郑州西站，途经中原区，止于二七区郑州火车站，线路主要沿中原路、康复后街呈东西向布置，其中的12个站点如图所示. 小墩从郑州西站开始乘坐地铁，在图中12个地铁站点做值勤志愿服务，到A站下车时本次志愿者活动结束，约定向郑州火车站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，. (1)请你通过计算说明A站是哪一站？ (2)已知相邻两站之间的平均距离为千米，求小墩在志愿者服务期间乘坐地铁行进的路程是多少千米？ 【答案】(1)A站是郑州西站 (2)小墩在志愿者服务期间乘坐地铁行进的路程是45千米 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了正数和负数的应用、有理数加减运算、绝对值的意义； （1）先根据有理数的加法运算法则计算，然后根据正负数的意义解答即可； （2）先根据绝对值的意义和有理数的加法求得总站数，再乘以即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴A站是郑州西站； （2）解：由题意得：， 千米， ∴小墩在志愿者服务期间乘坐地铁行进的路程是45千米 69．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： (1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元； (2)每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． 【答案】(1)元 (2)元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，列式计算即可． 【详解】（1）解： （元）， 答：该便利店这一周平均每天营业额为元； （2）解： （元）， 答：这周总盈利元． 【题型十二】乘方 70．计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．9 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的乘方运算 【分析】根据有理数的乘方计算即可． 【详解】解：． 71．若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 72．的值是 _______． 【答案】 【知识点】乘方运算的符号规律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握乘方运算的符号规律是解题的关键．根据乘方运算的符号规律得到每一项的结果，然后相加即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 73．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 【答案】7 【知识点】含乘方的有理数混合运算、程序流程图与有理数计算 【详解】解：由题意得， ∴输出的值是7． 74．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）我们常用的数是十进制数，如十进制中的数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，而在电子计算机中用的二进制的数只用两个数码：0和1，如果二进制中的等于十进制的11，二进制中的数等于十进制的13，那么二进制中的数转换为十进制的数是_____． 【答案】5 【知识点】乘方的应用、含乘方的有理数混合运算 【分析】根据题目给出的二进制转十进制的规则，将二进制数按位展开后计算乘方与加法，即可得到结果． 【详解】解：根据二进制转十进制的规则展开， 得， 即二进制中的数转换为十进制的数是． 75．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、含乘方的有理数混合运算、有理数的乘方运算 【分析】先算乘方、绝对值，再算除法，最后从左到右依次进行加减运算即可． 【详解】解： ． 76．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 【答案】(1) (2) (3)0 【知识点】有理数的除法运算、含乘方的有理数混合运算、有理数的乘方运算 【分析】（1）根据题目中的例子计算即可得解； （2）根据题目中的例子计算即可得解； （3）先求出、、，再结合有理数的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：，； （2）解： ， ； （3）解：， 原式 ． 77．（24-25七年级上·全国·课后作业）为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【答案】(1) (2)； 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据题干所提供的思路，设，再把这个等式两边同时乘以得到，把这两个等式两边分别相减得到得，然后再把两边同时除以可得结果； （2）根据规律可得第个数是；仿照（1）中的解题思路设，把等式两边同式乘以得到则，把两个等式两边同时相加可得，然后再把两边同时除以即可得到结果． 【详解】（1）解：设， 则． 由，得， ， 即； （2）解：第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 根据规律可得第个数是； 设， 则． 由，得， ， 即这列数中前个数的和是． 【题型十三】科学记数法 78．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）年，人工智能在全球范围内发展迅速，据统计，其平台第三季度月均活跃用户为，其中用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】首先明确科学记数法的定义，其形式为，先确定的取值范围是．因为要将原数146000000转化为的形式，所以先把原数的小数点向左移动，直到满足取值要求，统计小数点移动的位数得到的值．对照得到的和的结果，匹配对应的选项即可． 【详解】解：． 79．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）光年是天文学上的一种长度单位，一光年是指光在一年内走过的路程，用科学记数法表示约为，已知原数中“0”的个数为10，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查科学记数法与原数的互化，核心是掌握科学记数法中指数与原数位数、0的个数的关系．根据科学记数法还原原数的规律，结合原数中0的个数建立关于的等式，进而求解的值． 【详解】解：将科学记数法还原为原数，需把的小数点向右移动位． ∵有两位小数，移动两位后得到整数，剩余的位需补0，且原数中0的个数为， ∴，； 故选：C． 80．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【答案】705000000 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查将科学记数法表示的数还原为原数，只需把科学记数法中的小数点向右移动位，即可得到原数． 【详解】解：根据题意，得 81．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）唐代诗人李白在《望庐山瀑布》中写道“飞流直下三千尺”，若唐代一尺约合现代0.3米，则“三千尺”约为________米（用科学记数法表示）． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【详解】解：三千尺米米米． 82．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克．按我国14亿人口，每年365天，每人每天两餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，那么一年大约能节约大米多少千克？如果把一年节约的大米卖掉，按5元/千克计算，那么可以卖得人民币多少元？（结果用科学记数法表示） 【答案】一年大约能节约大米千克，如果把一年节约的大米卖掉，按5元/千克计算，那么可以卖得人民币元 【知识点】含乘方的有理数混合运算、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了有理数的混合运算，科学记数法表示较大的数，我国有14亿人口，即人；每年365天，每人每天两餐，每人每餐节约1粒大米，则一年节约大米的总粒数为：（粒），已知500粒大米约重10克，先将总粒数换算为克：（克），因为1千克克，所以换算为千克：（千克），已知大米单价为5元/千克，总重量为千克，则总钱数为：（元）． 【详解】解：（粒）， （克）， 因为1千克克， 所以（千克）， 则总钱数为：（元）． 答：一年大约能节约大米千克，如果把一年节约的大米卖掉，按5元/千克计算，那么可以卖得人民币元． 【题型十四】近似数 83．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【答案】B 【知识点】求近似数的精确度 【分析】根据近似数精确度的定义，即最后一位有效数字所在的数位就是该近似数精确到的数位，即可求解． 【详解】解：∵近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定，2.30的最后一位有效数字是0，位于百分位， ∴近似数2.30精确到百分位． 84．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）用四舍五入对取近似数，精确到得到的正确结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查近似数的四舍五入规则，精确到即保留两位小数，需观察第三位小数(千分位)的数字，根据“四舍五入”的原则判断是否向百分位进位． 【详解】解：要将精确到，即保留两位小数，需看千分位上的数字4． ∵， ∴舍去千分位及后面的所有数字，得到近似数； 故选：A． 85．（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段检测）近似数是由数a四舍五入得到的，则数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题考查近似数，熟练掌握近似数的方法是解题的关键． 近似数精确到百分位，即是从千分位上的数字四舍五入得到的，若千分位上的数字大于等于5，百分位上的数字应是“9”，十分位上是“3”；若千分位上的数字小于5，百分位上的数字应是“0”，十分位上是“4”，据此解答即可． 【详解】解：近似数是由a四舍五入到百分位得到的， 则a的取值范围为， 故选：D． 86．将数用四舍五入法精确到为______． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】精确到，需要对千分位上的数字进行四舍五入，根据四舍五入法则即可得到结果． 【详解】解：的千分位数字为，，向百分位进， 因此用四舍五入法精确到为． 87．（25-26七年级上·四川广元·期中）用四舍五入法对下列各数取近似数 (1)（精确到千分位）； (2)（精确到0.001）； (3)（精确到十位）； (4)亿（精确到万位）； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】（1）根据小数点左边第一位为个位，右边第一位为十分位，第二位是百分位，第三位是千分位，第四位是万分位，精确到千分位，只需对万分位上的数字实施四舍五入求解即可； （2）精确到0.001即千分位，解答即可； （3）根据解答即可； （4）根据亿，且，解答即可； 本题考查了精确度的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． （3）解：根据， 故． （4）解：根据亿，且， 故亿． 1. 核心体系：本章以有理数概念为基础，有理数运算为核心，是初中数学所有计算的根基，后续整式、方程、函数的计算都以此为依托。 2. 两大核心思想：一是数形结合思想，借助数轴直观理解有理数大小、相反数、绝对值；二是分类讨论思想，处理绝对值、乘方、已知绝对值求数等问题时，需全面考虑正负、0的情况。 3. 运算核心准则：所有有理数运算统一遵循先定符号，再算绝对值，混合运算严格遵守运算顺序，灵活运用运算律简化计算。 4. 避坑关键：重点区分易混淆概念（如乘方底数、绝对值化简），杜绝符号错误、顺序错误、漏项错误，计算养成“先观察、再简便、最后检查”的习惯。 5. 学习目标：熟练掌握有理数各类运算，能解决基础计算题、概念题和实际应用题，夯实初中数学计算功底。 一、单选题 1．下列语句中的数，不是近似数的是（    ）． A．牛郎星和织女星相距亿千米 B．生物圈中已知的绿色植物有万种 C．某实验中学有人 D．某人的身高为 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，近似数的运用，根据科学记数法的表示形式，近似数的表示方法即可求解． 【详解】解：A、相距亿千米是大概范围，有一定的误差，是近似数，不符合题意； B、绿色植物有万种是大概范围，有一定的误差，是近似数，不符合题意； C、实验室有人，数量相当较少，可以通过计算确定，不是近似数，符合题意； D、身高是大概范围，有一定的误差，是近似数，不符合题意； 故选：C ． 2．把写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是熟记去括号法则，先根据加减法统一化为加法，再省略括号和加号． 【详解】， 故答案为：D． 3．有理数，在数轴上表示的点如图所示，则，，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键． 根据各点在数轴上的位置判断出，的符号及绝对值的大小，进而可得出结论． 【详解】解：∵由图可知，，， ∴． 故选：D． 4．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度．则数轴上点B所对应的数b为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴的概念，解题的关键是确定数轴上的单位长度等于多少厘米．先求出，从而可得每一个刻度对应数轴上的单位长度，再列出运算式子，计算有理数的乘除法可得的长，然后根据数轴的性质即可得． 【详解】解：由题意得：， 数字0对齐数轴上的点，点B对齐刻度，点C对齐刻度， ， ， 解得， 故选：C． 5．下列各数：5，﹣，1.03003，，0，﹣2π，，其中有理数的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】整数与分数统称有理数，根据有理数的含义与分类逐一分析可得答案. 【详解】解：5，﹣，1.03003，，0，﹣2π，中有理数有： 共6个， 故选C 【点睛】本题考查的是有理数的概念与分类，掌握“有理数的概念与分类”是解题的关键. 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握有理数的除法法则是解题的关键． 根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，逐一验证各选项的计算过程，判断其正确性即可． 【详解】解：A、，但选项结果为，错误． B、，但选项结果为，错误． C、，但选项结果为，错误． D、，与选项结果一致，正确． 故选：D． 7．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．6和 C．和 D．7和 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的绝对值和相反数，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 先化简A、B、D三项中的相关数据，再根据相反数的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A．和2不互为相反数，故本选项不符合题意； B．6和互为相反数，故本选项符合题意； C．和不互为相反数，故本选项不符合题意； D．7和不互为相反数，故本选项不符合题意． 故选：B． 8．下列算式中，积为正数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，掌握两数相乘，同号为正，异号为负是解题的关键． 根据有理数的乘法计算法则进行求解判断即可． 【详解】解：A．，积为负数，不符合题意； B．，积为正数，符合题意； C．，不符合题意； D．，积为负数，不符合题意． 故选：B． 9．下列算式中正确的有（　　） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据运算法则逐一计算每个算式的结果，判断是否正确． 本题考查有理数的减法和绝对值运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ∵ ① ， ∴①错误。 ∵ ② ， ∴②错误。 ∵ ③ ，， ∴③错误。 ∵ ④ ， ∴④正确。 故正确的算式有1个， 故选：A． 10．如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的特征和应用以及绝对值的含义和求法，有理数的加法和乘法，解题的关键是掌握相关的知识的灵活运用．根据数轴得：，故可判断②，再根据有理数的乘法即可判断①，根据有理数的加法即可判断③，根据绝对值的性质即可判断④，根据绝对值的几何意义即可判断⑤． 【详解】解：根据数轴得：，故②正确； ， ，故①正确； ②， ， ，故③正确； ，， ， ，故④不正确； 当时，的值最小，即， ，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤，共4个， 故选：． 二、填空题 11．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12．用简便方法计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 根据乘法分配律计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．计算：_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方，再计算除法，再根据乘法分配律求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：3． 14．绝对值大于1而小于5的所有正整数之和为______． 【答案】 【分析】根据题意和绝对值的性质，即可求解． 【详解】解：绝对值大于1而小于5的所有正整数有：2、3、4， 它们的和为：2+3+4=9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，有理数的加法运算熟练掌握和运用求一个数的绝对值的方法是解决本题的关键． 15．染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，号染色体共有超过个碱基对，将用科学记数法可表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：， 故答案为：． 16．有下列各数：0.01，10，，，0，，，，，其中属于非负整数的共有______个． 【答案】4 【分析】先根据有理数运算法则化简每个数，再根据非负整数的定义，即和正整数，找出符合条件的数，统计个数即可． 【详解】解：，，， 因此符合条件的数有：，，，，共个． 17．把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 【答案】16 【分析】根据题干所给的运算法则，结合有理数的四则混合运算法则，计算即可得出结果． 【详解】解：∵把称作二阶行列式，规定它的运算法则为， ∴． 三、解答题 18．画出数轴，表示下列有理数，并按从小到大的顺序用“”号连接起来： 【答案】数轴见解析， 【分析】先把各数化简，然后在数轴上表示出来各数，即可求解． 【详解】解：， 把各数在数轴上表示出来，如下： 按从小到大的顺序用“”号连接起来如下： ． 【点睛】本题考查了数轴和有理数大小的比较，掌握在数轴上比较有理数大小的方法是解决本题的关键． 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．计算： (1)（﹣8）+10﹣2+（﹣1） (2)（﹣3）+12.5+（﹣16）﹣（﹣2.5） (3) (4)（）×（﹣36） 【答案】(1)-1 (2)-5 (3)4 (4)-11 【分析】（1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可得到答案； （2）原式先根据有理数减法法则变形，再运用有理数加法交换律和结合律进行计算即可得到答案； （3）原式先计算乘方运算，再计算乘除法，最后进行加减运算即可； （4）原式运用乘法分配律去括号，再进行乘法运算，最后计算加减法即可 【详解】（1）（﹣8）+10﹣2+（﹣1） = = = （2）（﹣3）+12.5+（﹣16）﹣（﹣2.5） = = =-20+15 =-5 （3） = = = = =4 （4）（）×（﹣36） = = =-11 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算律是解答本题的关键 21．如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，点第一次落回到数轴上时向右滚动的距离为长方形的周长，则可得到，从而得到答案； （2）长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上，用点A表示的数加上滚动的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，若点与原点重合，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上时，，即点表示的数为； （2）解：由题意可得，长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上， ∴若点表示的数为，点表示的数为． 22．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】（1）根据各点在数轴上的位置即可得出结论； （2）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论； （3）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论． 【详解】（1）解：根据数轴可得，点A、B、C三点表示的数分别为3； 故答案为：3 （2）∵， ∴将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是． 故答案为：； （3）将点A向右平移个单位长度，点A所表示的数是，将点A向左平移个单位长度，点A所表示的数是． 故答案为：或． 23．数轴是重要的数学工具，体现了数形结合思想，解决以下问题： (1)如图1在数轴上有数a，b，在数轴上标出数，并借助数轴比较的大小，用“”连接； (2)如图2在数轴上有数a，b，c， ①若，原点在刻度上，请在数轴上标出原点； ②在①的条件下，化简：． 【答案】(1) 如图所示即为所求， ； (2)①如图所示，即为所求： ② 【分析】本题主要考查了数轴和有理数大小比较，相反数，绝对值的性质，有理数的加法、乘法运算，整式的加减运算等知识点． （1）先根据数轴得到，，然后求出，根据在数轴上右边的数总比左边的数大判断即可； （2）①可得所以、异号，，即可在数轴上表示原点；②由数轴可得，，则，，去绝对值化简即可． 【详解】（1）解： ∵，， ∴，； （2）解：①因为， 所以、异号， 因为， 所以； ②由数轴可得， ∴，， 原式 ． 24． 阅读下面的材料：我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算． 定义：如果（，，），则b叫做以a为底N的对数，记作． 例如：因为，所以；因为，所以． (1)填空： ，   (2)如果 ，求m的值． (3)对于“对数”运算，小明同学认为有“（，，，）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正． 【答案】(1)1；4 (2)29 (3)不正确，理由见解析， 【分析】（1）利用阅读材料中的方法计算各项即可得到结果； （2）根据新运算的定义将已知转化为，然后解方程即可得出答案； （3）设，，根据同底数幂的乘法的运算性质和新运算的定义整理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1，4； （2）∵， ∴， ∴； （3）不正确，理由如下： 设，， 则，（，，，）， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题立意比较新颖，根据题中条件计算并且推算出对数运算的法则，考查了学生的举一反三的能力和对新知识的掌握，属于基础题．结合已有知识读懂新运算的定义是解决此题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $