25.3 实际问题与一元二次方程知识梳理与跟踪训练-2026-2027学年人教版 数学九年级上册

**基本信息** 以“问题情境—模型构建—规范求解”为主线，系统整合一元二次方程应用的方法体系与知识逻辑，突出数学建模与实际问题解决能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|6类问题+“六字诀”|审设列解验答流程；增长率/形积等问题公式模型|从实际问题抽象等量关系→建立一元二次方程模型→分类应用（数字/增长率/形积/运动点）| |跟踪训练|19题（8选择+6填空+5解答）|方程求解技巧；验根取舍原则；几何与代数综合建模|覆盖高频考法（经济问题/几何图形/传统文化题），体现数学眼光观察现实、模型意识解决问题|

25.3 实际问题与一元二次方程知识梳理与跟踪训练-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 知识梳理 由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 跟踪训练 一．选择题（共8小题） 1．（2026•沙坪坝区校级模拟）某商品原价400元，连续两次降价后售价为256元，若每次降价率相同，则每次降价率为（　　） A．10% B．15% C．20% D．25% 2．（2026•泉州模拟）临近毕业，九（2）班组织每名同学给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝1560 D．x（x+1）＝1560 3．（2026•北碚区校级模拟）某商场今年1月份的营业额为200万元，3月份的营业额达到288万元，若这两个月营业额的月平均增长率相同，则每个月的平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．25% D．30% 4．（2026•连州市二模）深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（　　） A．672（1﹣x）2＝1050 B．1050（1﹣x）2＝672 C．672（1+x）2＝1050 D．1050（1+x）2＝672 5．（2026•茂名一模）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地．如图，设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．x（6+x）＝8 B．6（1+x）2＝8 C．x（6﹣2x）＝8 D．x（6﹣x）＝8 6．（2026•巴南区模拟）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（　　） A． B． C． D． 7．（2026•南岸区模拟）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为2cm的小正方形，做成一个无盖长方体的盒子．已知盒子的容积是200cm3（不考虑铁皮的厚度），则原铁皮的边长为（　　） A．16cm B．14cm C．12cm D．10cm 8．（2026•汇川区二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，根据题意可列分式方程为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 9．（2026•鼓楼区一模）某商品经过两次涨价，由每件72元涨至100元，求这两次涨价的平均增长率．设平均增长率为x，则可以列方程为　 　 ． 10．（2026•兴平市一模）任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为48，面积为70，则它的减半矩形的长为　 　 ． 11．（2026•高新区校级二模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 　 　 元． 12．（2026•碑林区校级三模）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为10cm，则折成立方体的棱长为　 　 cm． 13．（2025秋•武汉期末）如图，某校有一块长15m、宽12m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为12m2的9个矩形地块，则路的宽度为　 　 m． 14．（2026秋•同步）如图，在某日历表上用一个方框圈出四个数，若圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为20，则这个最小的数为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 15．（2026春•同步）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入4株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.2元．要使每盆的盈利为18元，则每盆应植花苗多少株？ 16．（2026春•同步）对于竖直上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h＝v0tgt2（h是物体与起点的高度差，v0是初速度，g是重力系数，取10m/s2t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出，几秒后球与起点的高度差达到1.8m？ 17．（2026春•同步）列方程解应用题：在乡村振兴战略的指引下，我国始终坚持把促进农民共同富裕作为出发点和落脚点，促进农民持续增收，不断提升农民的获得感、幸福感、安全感．统计调查得出，2020年，我国农村居民人均可支配收入为17131元，经过两年的发展，到2022年，我国农村居民人均可支配收入增加到20133元，求从2020年至2022年，我国农村居民人均可支配收入的年平均增长率（精确到0.01%）． 18．（2026•虹口区三模）某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价y（万元）与年产量x（吨）的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式；（不用写定义域） （2）当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价＝每吨售价×年产量） 19．（2026春•天台县期末）综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为80cm，宽为60cm的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，EF和GH两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高BF为10cm，求该收纳盒底面ABCD的两邻边AB和BC的长度； 任务二：若收纳盒底面ABCD的面积为400cm2，求该收纳盒的高BF； 任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为20cm，宽为15cm，高为25cm长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中BF的取值范围；如果不能，请说明理由． 25.3 实际问题与一元二次方程知识梳理与跟踪训练-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026•沙坪坝区校级模拟）某商品原价400元，连续两次降价后售价为256元，若每次降价率相同，则每次降价率为（　　） A．10% B．15% C．20% D．25% 【分析】设每次降价率为x，根据“原价400元，连续两次降价后售价为256元，”列出方程即可． 【解答】解：设每次降价率为x， 400（1﹣x）2＝256， （1﹣x）2＝0.64， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）， ∴每次降价率为20%， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 2．（2026•泉州模拟）临近毕业，九（2）班组织每名同学给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝1560 D．x（x+1）＝1560 【分析】若全班有x名学生，则每名学生需写（x﹣1）份留言，根据全班学生共写了1560份留言，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：若全班有x名学生，则每名学生需写（x﹣1）份留言， 根据题意得：x（x﹣1）＝1560． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2026•北碚区校级模拟）某商场今年1月份的营业额为200万元，3月份的营业额达到288万元，若这两个月营业额的月平均增长率相同，则每个月的平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．25% D．30% 【分析】设每个月的平均增长率为x，利用该商场今年3月份的营业额＝该商场今年1月份的营业额×（1+每个月的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设每个月的平均增长率为x， 根据题意得：200（1+x）2＝288， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴每个月的平均增长率为20%． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2026•连州市二模）深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（　　） A．672（1﹣x）2＝1050 B．1050（1﹣x）2＝672 C．672（1+x）2＝1050 D．1050（1+x）2＝672 【分析】设进书城人次的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可． 【解答】解：∵第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次， ∴672（1+x）2＝1050， 故选：C． 【点评】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 5．（2026•茂名一模）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地．如图，设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．x（6+x）＝8 B．6（1+x）2＝8 C．x（6﹣2x）＝8 D．x（6﹣x）＝8 【分析】设矩形的一边长为x米，根据题意列出方程即可． 【解答】解：设矩形的一边长为x米， 根据题意得，x（6﹣x）＝8． 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 6．（2026•巴南区模拟）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】理解题意，找到剩余知识量的等量关系．每天遗忘百分比为x，剩余知识量每天在上一天剩余的基础上按比例衰减，据此列出方程即可． 【解答】解：根据题意可得：． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键． 7．（2026•南岸区模拟）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为2cm的小正方形，做成一个无盖长方体的盒子．已知盒子的容积是200cm3（不考虑铁皮的厚度），则原铁皮的边长为（　　） A．16cm B．14cm C．12cm D．10cm 【分析】设原铁皮的边长为xcm，则做成的长方体盒子的底面是（x﹣2×2）cm的正方形，根据盒子的容积是200cm3，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设原铁皮的边长为xcm，则做成的长方体盒子的底面是（x﹣2×2）cm的正方形， 根据题意得：2（x﹣2×2）2＝200， 解得：x1＝14，x2＝﹣6（不符合题意，舍去）， ∴原铁皮的边长为14cm． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．（2026•汇川区二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，根据题意可列分式方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】找到题目中的等量关系：少拿一株椽后，剩下椽的总运费等于一株椽的价钱，再结合单价＝总价÷数量列出方程即可． 【解答】解：根据题意“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可得方程． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键． 二．填空题（共6小题） 9．（2026•鼓楼区一模）某商品经过两次涨价，由每件72元涨至100元，求这两次涨价的平均增长率．设平均增长率为x，则可以列方程为　72（1+x）2＝100　 ． 【分析】利用该商品经过两次涨价后的价格＝该商品的原价×（1+这两次涨价的平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：72（1+x）2＝100． 故答案为：72（1+x）2＝100． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．（2026•兴平市一模）任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为48，面积为70，则它的减半矩形的长为　7　 ． 【分析】设它的减半矩形的其中一边的长度是a，可得其相邻边的长度是12﹣a，从而列出方程a（12﹣a）＝35，解方程得到减半矩形的相邻两边长，其中更大的是减半矩形的长． 【解答】解：设它的减半矩形的其中一边的长度是a， ∵原矩形的周长为48，面积为70， ∴它的减半矩形的周长为：，面积为：， ∴边长为a的边的邻边长度是：， ∴根据题意列一元二次方程得，a（12﹣a）＝35， 解得a1＝5，a2＝7， 当a＝5时，12﹣a＝7；当a＝7时，12﹣a＝5； ∴减半矩形的相邻两边分别是5和7， ∴减半矩形的长为7， 故答案为：7． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 11．（2026•高新区校级二模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 　54　 元． 【分析】设每千克这种商品应定价为x元，则降价（60﹣x）元，平均每天的销售量增加10（60﹣x）件，根据进价为每千克40元，平均每天获利2240元，列出一元二次方程，解方程，取最小值即可． 【解答】解：设每千克这种商品应定价为x元，则降价（60﹣x）元，平均每天的销售量增加10（60﹣x）件， 由题意得：（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240， 整理得：x2﹣110x+3024＝0， 解得：x1＝54，x2＝56， ∵要使销量尽可能大， ∴x＝54， 故答案为：54． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（2026•碑林区校级三模）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为10cm，则折成立方体的棱长为　　 cm． 【分析】设BC＝xcm，则，根据勾股定理得到AE2+AB2＝BE2，列出方程求解即可． 【解答】解：如图，∵正方形硬纸板的边长为10cm， 设BC＝xcm， ∴AB＝AE＝（10﹣x）cm， ∵CD＝BC＝x（cm）， ∴BDx（cm）， ∴BE＝4x（cm）， ∴在Rt△ABE中，由勾股定理可得：AE2+AB2＝BE2， ∴， 解得：x＝2或（舍去）， ∴正方体的棱长为BDx＝2（cm）． 故答案为：2． 【点评】本题考查了立体图形的展开图，勾股定理的应用，正确认识图形是解题的关键． 13．（2025秋•武汉期末）如图，某校有一块长15m、宽12m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为12m2的9个矩形地块，则路的宽度为　0.75　 m． 【分析】设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为（15﹣4x）m，宽为（12﹣4x）m的矩形，根据小路把种植园分成面积均为12m2的9个矩形地块，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为（15﹣4x）m，宽为（12﹣4x）m的矩形， 根据题意得：（15﹣4x）（12﹣4x）＝12×9， 整理得：4x2﹣27x+18＝0， 解得：x1＝0.75，x2＝6（不符合题意，舍去）， 即小路的宽度为0.75m， 故答案为：0.75． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．（2026秋•同步）如图，在某日历表上用一个方框圈出四个数，若圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为20，则这个最小的数为　2　 ． 【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据圈出的四个数中最小数与最大数的乘积为20，即可得出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设这个最小数为x，则最大数为（x+8）， 依题意得：x（x+8）＝20， 解得，x1＝2，x2＝﹣10（不合题意，舍去）， 即这个最小数为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 15．（2026春•同步）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入4株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.2元．要使每盆的盈利为18元，则每盆应植花苗多少株？ 【分析】设每盆增加x株花苗，则每盆应植花苗（x+4）株，根据要使每盆的盈利为18元，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设每盆增加x株花苗，则每盆应植花苗（x+4）株， 由题意得：（x+4）（3﹣0.2x）＝18， 整理得：x2﹣11x+30＝0， 解得：x1＝5，x2＝6， 当x＝5时，x+4＝9； 当x＝6时，x+4＝10； 答：每盆应植花苗9株或10株． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．（2026春•同步）对于竖直上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h＝v0tgt2（h是物体与起点的高度差，v0是初速度，g是重力系数，取10m/s2t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出，几秒后球与起点的高度差达到1.8m？ 【分析】根据h＝v0tgt2，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：10t10t2＝1.8， 整理得：25t2﹣50t+9＝0， 解得：t1，t2． 答：或秒后球与起点的高度差达到1.8m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．（2026春•同步）列方程解应用题：在乡村振兴战略的指引下，我国始终坚持把促进农民共同富裕作为出发点和落脚点，促进农民持续增收，不断提升农民的获得感、幸福感、安全感．统计调查得出，2020年，我国农村居民人均可支配收入为17131元，经过两年的发展，到2022年，我国农村居民人均可支配收入增加到20133元，求从2020年至2022年，我国农村居民人均可支配收入的年平均增长率（精确到0.01%）． 【分析】设我国农村居民人均可支配收入的年平均增长率是x，根据题意列出方程即可． 【解答】解：设我国农村居民人均可支配收入的年平均增长率是x， 根据题意得，17131（1+x）2＝20133， 解得x1≈0.0841＝8.41%，x2≈﹣2.0841（不合题意舍去）， 答：我国农村居民人均可支配收入的年平均增长率约为8.41%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．（2026•虹口区三模）某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价y（万元）与年产量x（吨）的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式；（不用写定义域） （2）当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价＝每吨售价×年产量） 【分析】（1）根据图中数据，利用待定系数法，即可求出y关于x的函数解析式； （2）利用该产品的总售价＝该产品的年产量×该产品每吨的售价，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将（20，70），（100，30）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y关于x的函数解析式为y＝﹣0.5x+80； （2）根据题意得：x（﹣0.5x+80）＝2400， 整理得：x2﹣160x+4800＝0， 解得：x1＝40，x2＝120（不符合题意，舍去）． 答：该产品的年产量为40吨． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数解析式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 19．（2026春•天台县期末）综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为80cm，宽为60cm的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，EF和GH两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高BF为10cm，求该收纳盒底面ABCD的两邻边AB和BC的长度； 任务二：若收纳盒底面ABCD的面积为400cm2，求该收纳盒的高BF； 任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为20cm，宽为15cm，高为25cm长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中BF的取值范围；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）依据题意，由BF＝10cm，则AB＝60﹣10×2＝40cm，BC＝（80﹣10×2）÷2＝30cm，从而可以得解； （2）依据题意，设BF＝xcm，则AB＝（60﹣2x）cm，BC＝（40﹣x）cm，则（60﹣2x）（40﹣x）＝400，从而计算可以得解； （3）依据题意，设BF＝xcm，则AB＝（60﹣2x）cm，BC＝（40﹣x）cm，进而分六种情况列不等式组进行计算可以得解． 【解答】解：（1）∵BF＝10cm， ∴AB＝60﹣10×2＝40（cm），BC＝（80﹣10×2）÷2＝30（cm）； （2）由题意，设BF＝xcm，则AB＝（60﹣2x）cm，BC＝（40﹣x）cm， ∴（60﹣2x）（40﹣x）＝400， ∴x＝20或x＝50（由x＜30，故舍去）， ∴BF＝20cm； （3）能设计出符合题意的长方体礼盒． 设BF＝xcm，则AB＝（60﹣2x）cm，BC＝（40﹣x）cm， 分六种情况列不等式组如下： ①， ∴x＝15； ②， ∴15≤x≤17.5； ③，则，无解舍去； ④，则，无解舍去； ⑤，则，无解舍去； ⑥，则，无解舍去； 综上，15cm≤BF≤17.5cm． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $