25.3 实际问题与一元二次方程知识梳理与跟踪训练-2026-2027学年人教版 数学九年级上册

25.3 实际问题与一元二次方程知识梳理与跟踪训练-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024）

知识梳理

由实际问题抽象出一元二次方程

在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．

一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．

（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．

2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．

3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．

4．解：准确求出方程的解．

5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．

6．答：写出答案．

跟踪训练

一．选择题（共8小题）

1．（2026•沙坪坝区校级模拟）某商品原价400元，连续两次降价后售价为256元，若每次降价率相同，则每次降价率为（　　）

A．10% B．15% C．20% D．25%

2．（2026•泉州模拟）临近毕业，九（2）班组织每名同学给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）

A． B． 

C．x（x﹣1）＝1560 D．x（x+1）＝1560

3．（2026•北碚区校级模拟）某商场今年1月份的营业额为200万元，3月份的营业额达到288万元，若这两个月营业额的月平均增长率相同，则每个月的平均增长率为（　　）

A．10% B．20% C．25% D．30%

4．（2026•连州市二模）深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（　　）

A．672（1﹣x）2＝1050 B．1050（1﹣x）2＝672 

C．672（1+x）2＝1050 D．1050（1+x）2＝672

5．（2026•茂名一模）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地．如图，设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　）

A．x（6+x）＝8 B．6（1+x）2＝8 C．x（6﹣2x）＝8 D．x（6﹣x）＝8

6．（2026•巴南区模拟）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（　　）

A． B． 

C． D．

7．（2026•南岸区模拟）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为2cm的小正方形，做成一个无盖长方体的盒子．已知盒子的容积是200cm3（不考虑铁皮的厚度），则原铁皮的边长为（　　）

A．16cm B．14cm C．12cm D．10cm

8．（2026•汇川区二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，根据题意可列分式方程为（　　）

A． B． 

C． D．

二．填空题（共6小题）

9．（2026•鼓楼区一模）某商品经过两次涨价，由每件72元涨至100元，求这两次涨价的平均增长率．设平均增长率为x，则可以列方程为　               　 ．

10．（2026•兴平市一模）任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为48，面积为70，则它的减半矩形的长为　   　 ．

11．（2026•高新区校级二模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 　     　 元．

12．（2026•碑林区校级三模）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为10cm，则折成立方体的棱长为　              　 cm．

13．（2025秋•武汉期末）如图，某校有一块长15m、宽12m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为12m2的9个矩形地块，则路的宽度为　       　 m．