5.1 认识二元一次方程组（课件）--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，通过“栽种绿植”“买门票”等情景探究导入，引导学生从实际问题中发现等量关系，设未知数列方程，对比一元一次方程形成知识支架，帮助学生从具体到抽象理解概念。 其特色是以实际问题为载体，通过观察思考归纳定义，培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理意识）。如情景探究从生活现象抽象数量关系，归纳小结对比提炼二元一次方程条件，当堂检测结合教材习题强化应用，提升学生模型意识，也为教师提供清晰教学逻辑和丰富实例。

北师大版八年级上册5.1 认识二元一次方程组专项练习 一、核心知识点梳理 1. 二元一次方程定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。核心满足三个条件：整式方程、含两个未知数、未知数最高次数为1，同时未知数不能出现在分母、平方、根号中。一般形式：$$ax+by=c$$（$$a、b eq0$$，$$a、b、c$$为常数）。 2. 二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程有无数组解，每组解都是成对的数值$$(x,y)$$。 3. 二元一次方程组定义：由两个共含两个未知数的一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组。方程组中两个方程可以都是二元一次方程，也可以一个是二元一次方程、一个是一元一次方程，整体只含两个未知数即可。 4. 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。方程组的解是唯一一组同时满足两个方程的未知数取值，需同时代入两个方程检验成立。 二、基础巩固练习题 1. 下列方程中，属于二元一次方程的是（） A. $$x+2y^2=3$$    B. $$\frac{1}{x}+y=2$$    C. $$3x-y=5$$    D. $$x+3=0$$ 2. 判断：$$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$$ 是否是二元一次方程 $$2x+3y=7$$ 的解。 3. 已知二元一次方程$$3x+y=9$$，写出它的两组整数解。 4. 下列属于二元一次方程组的是（） A. $$\begin{cases}x+y=3\\x+z=5\end{cases}$$    B. $$\begin{cases}x+y=4\\xy=2\end{cases}$$    C. $$\begin{cases}x=1\\2x-y=3\end{cases}$$ 三、中档提升练习题 5. 已知方程$$(m-2)x+(n+3)y=5$$是二元一次方程，求$$m、n$$的取值范围。 6. 已知$$\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}$$是方程组$$\begin{cases}ax+by=1\\bx+ay=-7\end{cases}$$的解，求$$a、b$$的值。 7. 根据题意列二元一次方程组：某班级购买钢笔和笔记本，1支钢笔加2本笔记本共18元，2支钢笔加3本笔记本共31元。设钢笔单价为$$x$$元，笔记本单价为$$y$$元，列出方程组。 四、综合应用题 8. 已知二元一次方程$$2x-3y=6$$，完成下列问题：（1）用含$$x$$的代数式表示$$y$$；（2）用含$$y$$的代数式表示$$x$$；（3）求出方程的两组正整数解。 9. 已知方程组$$\begin{cases}2x+y=k\\x+2y=3\end{cases}$$的解满足$$x=y$$，求$$k$$的值。 五、参考答案与详细解析 1. 答案：C。解析：A未知数次数为2，B是分式方程，D只有一个未知数，均不符合二元一次方程定义，只有C符合要求。 2. 解：将$$x=2，y=1$$代入方程左边：$$2\times2+3\times1=7$$，左边=右边，因此是该方程的解。 3. 解：由$$3x+y=9$$得$$y=9-3x$$，可取整数解：$$\begin{cases}x=0\\y=9\end{cases}$$、$$\begin{cases}x=1\\y=6\end{cases}$$（答案不唯一）。 4. 答案：C。解析：A含三个未知数，B含二次项$$xy$$，均不是二元一次方程组，C符合定义。 5. 解：根据二元一次方程定义，未知数系数不为0，即$$m-2 eq0$$，$$n+3 eq0$$，解得$$m eq2$$，$$n eq-3$$。 6. 解：将$$x=3，y=-2$$代入方程组得：$$\begin{cases}3a-2b=1\\3b-2a=-7\end{cases}$$，解得$$a=-1，b=-2$$。 7. 解：根据总价关系列方程组：$$\begin{cases}x+2y=18\\2x+3y=31\end{cases}$$。 8. 解：（1）$$3y=2x-6$$，得$$y=\dfrac{2x-6}{3}$$；（2）$$2x=3y+6$$，得$$x=\dfrac{3y+6}{2}$$；（3）正整数解：$$\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}$$、$$\begin{cases}x=6\\y=2\end{cases}$$。 9. 解：因为$$x=y$$，代入$$x+2y=3$$得$$3x=3$$，$$x=y=1$$。将$$x=1，y=1$$代入$$2x+y=k$$，得$$k=3$$。 六、高频易错点汇总 1. 概念判断失误：误将含$$xy$$、$$x^2$$的方程当作一次方程，忽略未知数次数为1的要求；误把分式方程归为整式方程。 2. 系数取值遗漏：判断二元一次方程时，忘记未知数系数不能为0的限制条件，导致参数取值错误。 3. 解的概念混淆：混淆二元一次方程（无数组解）和二元一次方程组（唯一公共解）的解的个数。 4. 检验步骤缺失：验证方程组的解时，只代入一个方程，未检验两个方程，导致误判。 5. 列式不规范：根据实际问题列方程组时，未知数设定混乱，方程左右两边单位、数量关系不匹配。 北师大版（新教材）数学八年级上册 5.1 认识二元一次方程组 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第五章 二元一次方程组 1. 理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义. 2. 会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解. 3. 能根据问题情境列二元一次方程组. 学习目标 情景探究一： 小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种的绿植比小颖多2 株，如果将小颖栽种的绿植减少 1 株，将小明栽种的绿植增加 1 株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的 2 倍。 分析：你能找出其中的等量关系吗? ①小明栽种的绿植比小颖多 2 株. ②小颖栽种的绿植减少 1 株，小明栽种的绿植增加 1 株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的 2 倍. 分析：你能设出适当的未知数列出相应的方程吗？ ①小明栽种的绿植比小颖多 2 株. ②小颖栽种的绿植减少 1 株，小明栽种的绿植增加 1 株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的 2 倍. 设小明栽种了 x 株绿植，小颖栽种了 y 株绿植. x － y = 2 x + 1 = 2 （ y － 1 ） 情景探究二： 找出等量关系 x + y = 8 5x + 3y = 34 成人数+儿童数=8 成人总票价+儿童总票价=34 周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，他们一共 8 人，买门票花了 34 元。已知每张成人票 5 元，每张学生票 3 元。 设他们中有成人 x 人，学生 y 人，由此你能得到怎样的方程？ x － y = 2 x + 1 = 2 （ y － 1 ） x + y = 8 5x + 3y = 34 观察·思考 思考1 上述方程有什么共同特点？ 思考2 它们与你学过的一元一次方程比较有什么区别？ 思考3 你能给它们起个名字吗？ 都是整式 含有两个未知数 未知数的次数都是1 二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫作二元一次方程. 条件 二元 所含未知数的项的次数都是1 方程两边都是整式 知识点1 二元一次方程（组）的概念 1.［2025深圳期中］下列是二元一次方程的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2.下列方程组是二元一次方程组的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 10 3.已知方程是关于，的二元一次方程，则 ___， ___。 2 1 返回 举一反三 11 下列方程中哪些是二元一次方程，哪些不是？ （1）x+y=5z （2）-5x=4z+2 （4）2y2-6x=1 （5）xy=1 （6）7x+2=3 （3） 三个未知数 不是整式 此项的次数是2次 此项的次数是2次 只含有一个未知数 （1）在上面的方程 x + y = 8 和 5x + 3y = 34 中，x 所表示的对象相同吗？ y 呢？ 二元一次 （2）当 x，y 同时满足方程 x + y = 8 和 5x + 3y = 34，把它们联立起来，得 ，称这个方程组为___________方程组. 思考·交流 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组. 请你判断：下列方程组中，哪些是二元一次方程组，哪些不是？为什么？ 请你找出符合下列二元一次方程实际意义的值填入表格： x + y = 8 5x + 3y = 34 x 1 2 3 4 5 6 y 7 6 5 4 3 2 x 2 5 y 8 3 二元一次方程的一个解：使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值. 尝试·思考 x + y = 8 5x + 3y = 34 x 1 2 3 4 5 6 y 7 6 5 4 3 2 x 2 5 y 8 3 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解. 的解是 分析：你能找到一组x，y值，同时适合方程x+y=8和5x+ 3y =34吗? 注意： 1. 二元一次方程的解是成对出现的； 2. 二元一次方程的解有无数多个，与一元一次方程有显著区别.而二元一次方程组的解一般只有一个. 1.甲种物品每个4kg，乙种物品每个7kg. 现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76kg. （1）列出关于x，y的二元一次方程___________ （2）若x=12，则y=__________； （3）若乙种物品有8个，则甲种物品有______个. 【选自教材P113 习题5.1 第1题】 4x ＋7y= 76 4 5 当堂检测 2.下面四组数值中，哪一组是二元一次方程组 的解？ 【选自教材P113 习题5.1 第2题】 7x － 3y = 2 2x + y = 8 x = -1， y = -3； （1） x = 2， y = 4； （2） x = 4， y = 2； （3） x = 1， y = 6. （4） 当堂检测 3.根据题意列方程组： （1）2017年和2021年，我国成功完成宇航发射共计69次，其中2021年成功完成宇航发射的次数比2017年的3倍多1次，我国2017年和2021年成功完成宇航发射各多少次？ 【选自教材P114 习题5.1 第3题】 解：（1）设我国2017年成功完成宇航发射 x 次， 2021年成功完成宇航发射 y 次，则 x ＋ y = 69， y = 3x＋1. 当堂检测 （2）将一摞笔记本分给若干名学生.若每名学生5本，则剩下8本；若每名学生8本，则又差了7本.共有多少本笔记本、多少名学生？ 【选自教材P114 习题5.1 第3题】 （2）设有 x 名学生，y 本笔记本，则 5x ＋ 8 = y， 8x－7 = y. 当堂检测 4.（1）找出几组满足方程 x+y=0 的 x，y 的值； （2）找出几组满足方程 x-y=2 的 x，y 的值； （3）找出一组 x，y的值，使它们同时满足方程 x+y=0 和 x-y=2； 【选自教材P114 习题5.1 第4题】 x = -1， y = 1； 解：（1） x = 1， y = -1； x = 2， y = -2. x = -1， y = -3； （2） x = 0， y = -2； x = 1， y = -1； x = 2， y = 0. x = 1， y = -1. （3） 当堂检测 4. （4）根据上面的结论，请直接写出二元一次方程组 的解. 【选自教材P114 习题5.1 第4题】 x ＋ y = 0， x － y = 2 x = 1， y = -1. （4） 当堂检测 5.小明和小丽两人同时到一家水果店买水果.小明买了1kg苹果和2kg梨，共花了26元；小丽买了2kg同样品种的苹果和1kg同样品种的梨，共花了28元.这种苹果和梨的价格各为多少？根据题意，小明列出方程组 而小丽列出的是 交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的.他们列出的方程组正确吗？你认为他们产生分歧的原因是什么？ 【选自教材P114 习题5.1 第5题】 x ＋ 2y = 26， 2x ＋ y = 28. 2x ＋ y = 26， x ＋ 2y = 28. 当堂检测 解：他们列出的方程组均正确. 他们产生分歧的原因如下：小明设每千克苹果和梨的价格分别为 x 元、y 元，而小丽设每千克梨和苹果的价格分别为 x 元、y 元，因此，他们列出的方程组中，同一个 x 的意义不同，当然列出的方程组也就不相同. 当堂检测 知识点2 二元一次方程（组）的解 4.［教材P随堂练习T 变式］ 下列4组数值中，不是二元一次方程 的解的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 27 5. 请写出一个解为 的二元一次方程组： _ __________________________。 （答案不唯一） 返回 举一反三 28 知识点3 根据实际问题列方程（组） 6.某校八年级共有学生160人，已知男生人数比女生人数的2倍少50人， 设男生、女生分别有， 人，根据题意可列方程组是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 29 7.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程（组）。 （1）甲数的 比乙数的2倍少7：_________________________________； （2）摩托车的速度是货车的倍，它们的速度之和是 ： _ ___________________________________________________________； （3）上衣的单价是裤子单价的1.4倍，5件裤子比3件上衣贵700元： _ ______________________________________________________。 设甲数为,乙数为,则 设摩托车的速度为,货车的速度为,则 设上衣的单价为元，裤子的单价为元，则 返回 举一反三 30 8.［教材习题 变式］ 某校学生坐船游览。若每船坐7人，则有3人 不能上船；若每船坐8人，则最后一艘船少坐5人，设学生人数为 人， 船数为 艘，依题意可列方程组为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 31 9. 已知是方程 的解，则代数式 的值为___。 1 返回 举一反三 32 10.魏子航和朱明浩共同解方程组 根据魏子航和朱明浩两名同学的对话（如图），则 的值为____。 11 返回 举一反三 33 课堂小结 二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫作二元一次方程. 二元一次方程组 两个成组 二元一次方程的解 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解. 谢谢观看 THANKS $