广东湛江市吴川市广大实验学校2025-2026学年度第二学期八年级数学期中考试试卷

**基本信息** 八年级数学期中试卷，涵盖二次根式、勾股定理等核心知识，非选择题注重综合实践与几何探究，如结合《周髀算经》考勾股数、设计测量池塘距离问题，体现数学应用与文化传承。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|最简二次根式、勾股数、平行四边形性质|文化素材（第2题《周髀算经》勾股数）| |填空题|5/15|二次根式意义、一次函数平移、菱形性质|开放与易错设计（第11题开放作答）| |解答题一|3/21|二次根式运算纠错、函数图像信息|过程性评价（第16题运算纠错）| |解答题二|3/27|勾股定理应用、一次函数几何综合|实践情境（第19题池塘距离测量）| |解答题三|2/27|勾股定理证明、四边形动态探究|创新探究（第23题几何元素关系）|

吴川市广大实验学校2025-2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 3．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，若，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（       ） A．B．C． D． 6．正七边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 7．若点都在一次函数的图象上，则和的大小是（   ） A． B． C． D．不能确定 8．如图，要使平行四边形成为矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 9．如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的值可能为______（写出一个符合条件的实数即可） 12．将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为______． 13．如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为________°． 14．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为______海里/时． 15．如图，在矩形 纸片中，E 为上一点，将 沿 翻折至，若点 F 恰好落在上， ， ，则 ________ ． 三、解答题一：共3小题，每小题7分，共21分。 16．下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ① ② ③ (1)指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）． (2)请写出正确的解题过程． 17．人的正常体温一般在左右，但一天中的不同时刻不尽相同．某人在一天24小时内体温随时间的变化情况如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)这一天中，这个人最低体温是多少？最高体温是多少？ (2)这一天中，这个人在什么时段内的体温逐渐降低？ 18．如图，在中，分别是边和上的中线，且相交于点，分别是的中点．求证：四边形是平行四边形． 四、解答题二：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19．综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点为轴上一动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标． 21．阅读下列材料，并回答问题： 把形如与（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：______和______； (2)和是共轭实数吗？若是，请指出a、b的值； (3)若两个共轭实数与的和是10，请求出这两个共轭实数差的绝对值及这两个共轭实数的积． 五、解答题三：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分 22．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 23．综合与探究 探究几何元素之间的关系 问题情境：四边形中，点O是对角线的中点，点E是直线上的一个动点（点E与点C，O，A都不重合），过点A，C分别作直线的垂线，垂足分别为F，G，连接． (1)初步探究： 如图1，已知四边形是正方形，且点E在线段上，求证； (2)深入思考： 如图2，已知四边形为菱形，且点E在的延长线上，其余条件不变．探究与的数量关系并说明理由； (3)拓展延伸： 如图3，已知四边形为矩形，且．点E在直线上运动的过程中，若，则的长为______． 吴川市广大实验学校2025-2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷参考答案 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，理解其定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A：不是最简二次根式，应化简为，故该选项不合题意； B：是最简二次根式，故该选项符合题意； C：不是最简二次根式，应化简为，故该选项不合题意； D：不是最简二次根式，应化简为，故该选项不合题意． 故选：B ． 2．据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，三个正整数满足两较小数的平方和等于最大数的平方，这样的三个数是勾股数． 根据勾股数的定义逐项验证即可解答． 【详解】解：A．，不符合勾股数的定义，不符合题意； B．，不符合勾股数的定义，不符合题意； C．，符合勾股数的定义，符合题意； D．，不符合勾股数的定义，不符合题意． 故选C． 3．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，若，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线与交于点O， ， ， ， 故选：B． 4．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】根据二次根式加法、乘法、除法的运算法则逐一计算，即可得到答案． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意，选项错误； B、，原计算错误，不符合题意，选项错误； C、，原计算正确，符合题意，选项正确； D、，原计算错误，不符合题意，选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 5．下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（       ） A．B．C． D． 【答案】C 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题考查的是函数的定义，准确理解“的每一个确定值对应唯一的值”是解题的关键． 根据函数的定义，判断取一个值时是否有唯一值与之对应，进而确定不是的函数的选项． 【详解】解：函数的定义是：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应， 选项、、中，任意一条垂直于轴的直线与曲线都只有一个交点，满足“每取一个值，有唯一值对应”，因此是的函数． 故选：． 6．正七边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形的外角问题、多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查多边形外角和，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键．根据多边形外角和直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵多边形外角和， ∴正七边形的外角和为， 故选：C； 7．若点都在一次函数的图象上，则和的大小是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，掌握知识点是解题的关键． 通过直接计算函数值比较大小即可． 【详解】解：∵ 点在一次函数上， ∴， ∴． 故选A． 8．如图，要使平行四边形成为矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质证明、添一条件使四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形等）是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项，判断哪个条件能使平行四边形成为矩形． 【详解】解：选项A：∵平行四边形本身就有的性质， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误； 选项B：∵ ，平行四边形中邻边相等时是菱形，不是矩形的判定条件， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误； 选项C：∵ 平行四边形本身就有的性质， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误； 选项D：∵ 矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形中， ∴ 平行四边形是矩形，该选项正确； 故选：D． 9．如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数的图象，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 分和两种情况讨论，根据的值分别判断出一次函数与正比例函数的图象分布位置，结合选项即可得出答案． 【详解】解：当时，函数经过第一、三象限，函数经过第一、三、四象限； 选项中没有符合条件的图象； 当时，函数经过第二、四象限，函数经过第一、二、三象限； 选项B的图象符合要求． 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的值可能为______（写出一个符合条件的实数即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，写出一个符合条件的实数即可． 【详解】解：若代数式在实数范围内有意义， 则， 解得， 所以x的值可以是答案不唯一， 故答案为：答案不唯一． 12．将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数图象的平移问题，根据一次函数图象平移的规律“上加下减”（对于，向上平移个单位时，解析式变为；向下平移个单位时，解析式变为），对直线进行平移． 【详解】解：直线向上平移个单位长度，根据“上加下减”原则，平移后直线的解析式为， 故答案为：． 13．如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为________°． 【答案】60 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题主要考查菱形的性质，由菱形性质得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴, 故答案为：60． 14．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为______海里/时． 【答案】15 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，方向角的概念，关键是应用勾股定理求出的长．由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：由条件得：(海里)，(海里)， 而， ∴ (海里)， ∴乙船的速度是(海里/时)． 故答案为：15． 15．如图，在矩形 纸片中，E 为上一点，将 沿 翻折至，若点 F 恰好落在上， ， ，则 ________ ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形中的折叠问题．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，是解题的关键．根据折叠的性质，得到，勾股定理求出，进而求出，设，则，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在矩形纸片中，E为上一点，将沿翻折至， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理，得：，即：， 解得：； ∴； 故答案为：． 三、解答题一：共3小题，每小题7分，共21分。 16．下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ① ② ③ (1)指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）化简二次根式错误，，1不能直接开平方到根号外，由此得出错误处； （2）由先化简各数，再合并同类二次根式，即可解得． 【详解】（1）解：， 故步骤①最先出现错误． （2） 17．人的正常体温一般在左右，但一天中的不同时刻不尽相同．某人在一天24小时内体温随时间的变化情况如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)这一天中，这个人最低体温是多少？最高体温是多少？ (2)这一天中，这个人在什么时段内的体温逐渐降低？ 【答案】(1)最低体温是，最高体温是 (2)0至5时以及17至24时 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据图象的横轴表示时间，纵轴表示体温可得答案； （2）根据体温随时间的变化情况解答即可． 本题考查了函数的图象，读懂统计图，从图中得到必要的信息是解决本题的关键． 【详解】（1）解：由图象可知：最低体温是，最高体温是 （2）由图象可知：这一天中，这个人在0至5时以及17至24时体温逐渐降低． 18．如图，在中，分别是边和上的中线，且相交于点，分别是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据三角形的中位线定理可得，且，，且，从而得到，且，进而得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明： 分别是边和上的中线， ∴点，分别是边，的中点， ∵点，分别是线段，的中点． 是的中位线，是的中位线， ∴，且，，且， ∴，且， 四边形是平行四边形， 四、解答题二：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19．综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）根据勾股定理进行计算即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 在中，，，， ∴， ∴． ∴是直角三角形． （2）∵是直角三角形，在同一直线上， ∴， ∴． 即池塘两端，之间的距离为． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点为轴上一动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，根据的面积是面积的2倍，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ∴或； ∴或． 21．阅读下列材料，并回答问题： 把形如与（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：______和______； (2)和是共轭实数吗？若是，请指出a、b的值； (3)若两个共轭实数与的和是10，请求出这两个共轭实数差的绝对值及这两个共轭实数的积． 【答案】(1)与，（答案不唯一） (2)和是共轭实数， (3)，13 【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】（1）根据定义举例即可； （2）根据定义进行变形，得出，，即可求解； （3）根据共轭实数的和求出的值，然后求解即可． 【详解】（1）解： 与，（答案不唯一）； （2）解：和是共轭实数， ∵，， ∴； （3）解：根据题意得，， ∴， 解得， ∴两个共轭实数为与， ∴， ． 五、解答题三：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分 22．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形的性质、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 23．综合与探究 探究几何元素之间的关系 问题情境：四边形中，点O是对角线的中点，点E是直线上的一个动点（点E与点C，O，A都不重合），过点A，C分别作直线的垂线，垂足分别为F，G，连接． (1)初步探究： 如图1，已知四边形是正方形，且点E在线段上，求证； (2)深入思考： 如图2，已知四边形为菱形，且点E在的延长线上，其余条件不变．探究与的数量关系并说明理由； (3)拓展延伸： 如图3，已知四边形为矩形，且．点E在直线上运动的过程中，若，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)4 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】对于（1），根据正方形的性质可得，进而说明，再根据“角角边”证明，则此题可证； 对于（2），延长上交的延长线于点H，再证明，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据直角三角形的性质得出答案； 对于（3），如图所示，连接，先证明是等边三角形，再说明，然后根据直角三角形的性质可得，接下来根据勾股定理求出,进而求出，则此题可解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 延长上交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， 在直角三角形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴点B是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $