精品解析：广东省吴川市金沙学校2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试卷

吴川市金沙实验学校2024-2025学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 3，4，5 B. 9，12，15 C. 1，，2 D. 5，12，14 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　） A. 30米 B. 32米 C. 36米 D. 48米 5. 如图，的对角线，交于点O，则下列结论错误的是（　　） A. ， B. C. D. 6. 如图，平行四边形中，平分，,则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，有一个圆柱形物体，一只蚂蚁要绕着圆柱外壁从点爬到点，圆周率取3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为和的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角时（是的对应点），则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 10. 把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8．则△DEF的面积是（　　） A. 6 B. 10 C. 12 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是_______． 12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 13. 如图，要在两幢楼房的房顶、间拉一根光缆线（按线段计算），则至少要______米． 14. 如图，，则在数轴上点表示的实数是______． 15. 如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是_____． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知：如图，在矩形中，点E，F在上，．求证：． 18. 如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求四边形的面积； （2）若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 19. 如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）如果，试证明：四边形为矩形． 20. 如图，一架2．5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，，这时，如果梯子的顶端A沿墙下滑0．4m，那么梯子底端B外移多少m？ 21. 综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明： （1）直接写出纸板上与纸盒上的大小关系； （2）证明（1）中你发现的结论． 22. （1）【问题提出】如图1，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，求证：四边形为正方形． （2）【问题拓展】如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，求的长． 23. 如图1，已知正方形，E是边上的一个动点（不与点B、C重合），连接，点B关于直线的对称点为F，连接并延长交于点G，连接，． （1）求的度数． （2）如图2，连接，若点G为中点，，求的面积． （3）如图3，过点G作于点H，连接，请探究线段与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴川市金沙实验学校2024-2025学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、原式＝2，故A不是最简二次根式； B、原式＝，故B是最简二次根式； C、原式＝2，故C不是最简二次根式； D、原式＝，故D不是最简二次根式； 故选B． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 2. 下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 3，4，5 B. 9，12，15 C. 1，，2 D. 5，12，14 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【详解】解：A、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长； B、92+122=152，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长； C、12+()2=22，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长； D、52+122≠142，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的化简，二次根式的乘法分别计算并判断． 【详解】解：与不是同类项，故不能合并，故选项A不正确； ，故选项B正确； ，故选项C不正确； ，故选项D不正确； 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的化简，二次根式的乘法，熟记各计算法则是解题的关键． 4. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　） A. 30米 B. 32米 C. 36米 D. 48米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到． 【详解】解：∵D、E分别是、中点， ∴是的中位线， ∴， ∵米， ∴米， ∴A、B两点间的距离为32米． 故选：B 5. 如图，的对角线，交于点O，则下列结论错误的是（　　） A. ， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边相等且平行，对角相等，对角线互相平行．据此逐个判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，；；；， 故A、B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意； 故选：D． 6. 如图，平行四边形中，平分，,则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，，，结合平分，解答即可，本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】∵平行四边形中，平分，， ∴，，， ∴， 故选D． 7. 如图，有一个圆柱形物体，一只蚂蚁要绕着圆柱外壁从点爬到点，圆周率取3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，圆柱的侧面展开图的长方形的长为，长方形的宽等于圆柱的高，根据题意，爬行到对面的意义即为求图中的长，利用勾股定理解答即可． 本题考查了勾股定理的应用，正确确定展开图中各线段的长度是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设圆柱的侧面展开图为长方形，，，， 如图所示：， 故选：A． 8. 如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为和的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的应用，先求出阴影部分的长和宽，再根据长方形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：由图可得，阴影部分的长为， 阴影部分的宽为：， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：A． 9. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角时（是的对应点），则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，由勾股定理可得，由可得，进而得到，即可得，再利用线段的和差关系即可求解，掌握勾股定理及直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8．则△DEF的面积是（　　） A. 6 B. 10 C. 12 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠的性质可得AE=A′E，AB=A′D，∠A=∠A′=90°，由勾股定理可求DE的长，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：AE=A′E，AB=A′D，∠A=∠A′=90° 设AE=A′E=x，则DE=(8-x） 在Rt△A′ED中，A′E=x，A′D=AB=4 由勾股定理得：x2+42=(8-x)2 解得x=3 ∴DE=8-3=5 ∴重叠部分的面积=×5×4=10 故选：B 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠与矩形的性质，由勾股定理列出方程是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，列不等式求解． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于或等于0． 12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式． 13. 如图，要在两幢楼房的房顶、间拉一根光缆线（按线段计算），则至少要______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点作于点，则，米，米，利用勾股定理求出即可求解 ，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，则，米，米， ∴由勾股定理得，米， 故答案为：． 14. 如图，，则在数轴上点表示的实数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，求出长是解题的关键． 先由勾股定理求解，再由即可求解数轴上点表示的实数． 【详解】解：， ， 点在原点的左侧，到原点的距离是， 点表示的实数是． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，过A作于，先根据三角形的中位线性质得到，则要求的最小值只需求的最小值；根据垂线段最短知，当时，最小，最小值为的长度；利用平行四边形的性质和勾股定理求解即可求解． 【详解】解：连接，过A作于， ∵、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴，则要求的最小值只需求的最小值； 当时，最小，最小值为的长度， ∵平行四边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴由得， 即的最小值为, ∴的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的中位线性质，将的最小值转化为求的最小值是解答的关键． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简绝对值、计算算术平方根与立方根，再计算实数的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法与除法、化简二次根式，再计算二次根式的减法即可得． 【小问1详解】 原式 ． 【小问2详解】 原式 ． 17. 已知：如图，在矩形中，点E，F在上，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】略 18. 如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求四边形的面积； （2）若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 【答案】（1） （2）学校需要投入元买草皮 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求出，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，用即可解答； （2）根据总价单价数量计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ，，， 在中，， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为：， ； 【小问2详解】 解：根据题意：（元） 答：学校需要投入元买草皮． 19. 如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）如果，试证明：四边形为矩形． 【答案】（1） 证明：∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是边上的中线， ∴， ∴． （2） 证明：∵，， ∴， ∴， 由（1）得， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合点E是的中点，，得，，再结合对顶角相等，证明，则，又因为是边上的中线，故，即可作答； （2）因为，，得，由（1）得，又∵，得出四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，一架2．5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，，这时，如果梯子的顶端A沿墙下滑0．4m，那么梯子底端B外移多少m？ 【答案】0.8. 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出OB的长，再根据梯子的长度不变求出OD的长，根据BD＝OD−OB即可得出结论． 【详解】解：∵中，，， ∴； 同理，中， ∵，， ∴， ∴（m）． 答：梯子底端B向外移了0．8米。 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解体的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 21. 综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明： （1）直接写出纸板上与纸盒上的大小关系； （2）证明（1）中你发现的结论． 【答案】（1） （2） 证明：连接， 设小正方形边长为1，则，， ， 为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， 故 【解析】 【分析】（1）和均是等腰直角三角形，； （2）证明是等腰直角三角形即可. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键． 22. （1）【问题提出】如图1，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，求证：四边形为正方形． （2）【问题拓展】如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴四边形为正方形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质、折叠的性质，得出，，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，得出四边形是矩形，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，即可证明四边形为正方形； （2）根据矩形与正方形的性质，推出，，根据折叠的性质，得出，，根据勾股定理计算，由计算出的长，设，则，根据勾股定理，，列出方程求解，由，计算得出答案即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形是矩形，，，由（1）得四边形为正方形， ∴，，， ∴，， ∵将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠问题、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质、运用勾股定理计算求解是解题的关键． 23. 如图1，已知正方形，E是边上的一个动点（不与点B、C重合），连接，点B关于直线的对称点为F，连接并延长交于点G，连接，． （1）求的度数． （2）如图2，连接，若点G为中点，，求的面积． （3）如图3，过点G作于点H，连接，请探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：， 理由：如图3，过点H作于点L，交于点K， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵于点H， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由点B关于直线AE的对称点为F，得证明，则，由正方形的性质得，，则，可证明，得，所以； （2）由点G为中点，，得，则，而，由勾股定理得，即可求得，，，即可得到； （3）过点H作于点L，交于点K，则四边形是矩形，所以，，，则，可证明，得，可得，由得，则． 【小问1详解】 解：连接， ∵点B关于直线的对称点为F，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵点G为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积是． 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $