2.3二次根式同步练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|二次根式意义、最简判定、基本计算|选择填空聚焦单一知识点，如第1题考意义、第2题考最简根式| |技能应用|运算化简、简单实际应用|解答题（一）（二）结合生活情境，如第18题电流计算、第19题高空抛物时间问题| |综合拓展|规律探究、跨知识整合|解答题（三）融合秦九韶公式、均值不等式，如第23题篱笆最短问题，发展创新意识|

· 2.3 二次根式同步练习 · 2026-2027学年北师大版数学八年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道（如图），这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道．已知汽车在进入避险车道上的速度与路程的关系式为，并且避险车道坡比（斜坡竖直高度：水平宽度）为，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为，则刚进入避险车道时的速度是（    ） A． B． C． D． 6．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 7．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 8．如果是二次根式，那么x的取值范围（    ） A． B． C． D． 9．已知，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 10．观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．比较大小：________；（填“<”，“=”或“>”）． 12．若二次根式有意义，则a的取值范围是____________． 13．若一个数与相乘等于一个整数，则这个数可以为______． 14．已知，化简：_____． 15．如图，点A，B在直线EF的同一侧，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，AC=2，BD=CD=4．Q是直线EF上的一个动点，AQ+BQ的最小值为a，|AQ－BQ|的最大值为b，则a2+b2的值为__________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．计算：． 17．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 18．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．若导线电阻为，1s时间导线产生的热量为80J，则电流的值是多少？ 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？ (2)从高空抛出的物体，经过落地，所抛物体下落的高度是多少？ 20．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 21．观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．对于求三角形的面积，古今中外不少人都进行了研究，其中比较早且卓有成效的当属我国古代数学家秦九韶．他在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：①（其中为三角形的三边长，为面积）． （）若已知三角形的三边长分别为，试运用公式①，计算该三角形的面积； （）国外有求三角形面积的“海伦公式”：②（其中）．请你取一组你喜欢的值，验算公式①、公式②的结果是否一样？ 23．【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C A C D B A D 11． 12． 13．（答案不唯一） 14．5 15．72 16． 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 17．(1) (2)24 【分析】（1）根据平方差公式即可解答； （2）根据完全平方公式可得，代入x，y即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】此题考查了求代数式的值、利用平方差公式和完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 18．电流I的值为4A 【分析】本题考查代入求值，以及二次根式的运算，解题的关键是根据已知量代入公式求解．先把公式变形为，然后代入已知量求出结果，即可解题． 【详解】解：， ， 将，，代入，得， 因为，所以． 答：电流I的值为4A． 19．(1)从抛出到落地所需时间是； (2)所抛物体下落的高度是． 【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式是解题的关键； （1）由题意可把代入公式进行求解即可； （2）把代入公式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入公式得：； 答：从抛出到落地所需时间是； （2）解：把代入公式得：， 解得：； 答：所抛物体下落的高度是． 20．(1) (2)元 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 21．(1) (2)a (3)； (4) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及与实数有关的规律问题，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）根据题干数据规律即可求解； （2）根据题干数据规律即可求解； （3）由（1）的结论计算即可； （4）由（1）的结论计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：；， 故答案为：；； （4）解：∵ ∴． 22．（）；（）一样 【分析】（）把，，代入公式①计算即可求解； （）取，，，求出的值，再代入公式②计算求出结果，进而根据（）的结果比较即可判断求解； 本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）把，，代入公式①得， ； （）取，，， 则由公式②得，， ∴把，，，代入公式②得， ， 23．(1)6；3； (2)；； (3)10； 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、配方法的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为6，进而可以判断得解； （2）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为，进而可以判断得解； （3）依据题意，由米，则米，则篱笆的总长度，又，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为40，最后可以判断得解． 【详解】（1）由题意，当时，， ，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：6； （2）由题意，当时， ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：； （3）由题意，米，则米， 篱笆的总长度 ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 答：当这个矩形花园的宽为米时，所用的篱笆的总长度最短，最短为米． 故答案为：； 答案第4页，共6页 答案第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $