2.2 平方根与立方根 同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本同步练习聚焦“平方根与立方根”，通过基础概念辨析、运算技能训练到综合应用探究的三层设计，强化抽象能力与运算能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|算术平方根、平方根、立方根概念|如单选题1直接考查64的算术平方根，填空题11辨析“平方根与立方根都等于本身的数”，夯实概念理解| |提升层|估算、性质应用、简单计算|如单选题3估算√5-1范围，解答题16解方程，训练运算能力与推理意识| |综合层|实际应用、规律探索、跨知识整合|如解答题18刹车距离计算、20长方体与球体积综合题，体现应用意识与空间观念|

2.2 平方根与立方根 同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．有理数64的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 2．如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（     ） A．只有1个 B．只有2个 C．不存在 D．有无数个 3．估计的值（    ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 4．实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 5．按一定规律排列的一列数：，，，，…，其中第6个数为（   ） A． B． C． D． 6．“以形助数”是借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为8与2，下列等式可解释它们边长之间的关系是（    ） A． B． C． D． 7．下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 8．一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（    ） A．2 B．4 C．7 D．49 9．若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 10．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（    ） A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm 二、填空题 11．一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是_______ 12．已知，，，则______． 13．已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是___________． 14．在计算器上按键： 显示的结果为____________． 15．有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 三、解答题 16．求的值： (1)； (2)； (3)． 17．已知的算术平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 18．超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中表示车速（单位：），表示刹车后滑行的距离（单位：m），表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（温馨提醒：在计算过程中不需要进行单位换算） 19．在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 20．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D A C C D C D 1．【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，算术平方根一定为非负数． 【详解】∵． ∴的算术平方根是． 2．【答案】A 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】由二次根式有意义的条件及平方的非负性，确定被开方数只能为0． 【详解】解：要使为实数，需， ∴ ∵， ∴， 解得， 即满足条件的x只有1个． 3．【答案】A 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题利用夹逼法估算无理数的大小，先确定的取值范围，再计算的范围即可得到答案． 【详解】解：， ， 即 ， ， 即 ， 因此 的值在1到2之间． 4．【答案】D 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】找到与26相邻的两个完全平方数，确定的范围，进而得到连续整数和的值，计算即可． 【详解】解：， ，即 ， ，且，是连续整数， ，， ． 5．【答案】A 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、数字类规律探索 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键； 根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是，进而求解. 【详解】解：第1个数是， 第2个数是， 第3个数是， 第4个数是， ……， 所以第n个数是， 所以第6个数为； 故选：A. 6．【答案】C 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】根据正方形的面积得大正方形的边长为，小正方形的边长为，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且， 则它们边长之间的关系是． 7．【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、平方根概念理解 【详解】解：根据平方根定义，负数没有平方根，∵是负数，∴没有平方根，故A错误； ∵0的平方根是0，∴0有平方根，故B错误； 的算术平方根是，符合算术平方根的定义，故C正确； ，的平方根是，不是，故D错误． 8．【答案】D 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据平方根的定义求出a的值，即可求出这个正数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得：， ∴这个正数是． 9．【答案】C 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、立方根概念理解 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 10．【答案】D 【知识点】从不同方向看几何体、立方根的实际应用 【分析】由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长，再由三视图可知，最高处有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm． 【详解】解：∵每个小立方体的体积为216cm3， ∴小立方体的棱长， 由三视图可知，最高处有四个小立方体， ∴该几何体的最大高度是4×6=24cm， 故选D． 【点睛】本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长． 11．【答案】 【知识点】立方根概念理解、平方根概念理解 【分析】此题主要考查了平方根和立方根的定义和性质，任意一个数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．根据平方根和立方根的性质解答即可． 【详解】解：∵的平方根是它本身，的立方根是它本身， ∴一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是． 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出的值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，先根据题意得出，，求出a、b的值，再计算的值，最后求其平方根即可． 【详解】∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， 解得， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】本题主要考查了同学们能熟练应用计算器和立方根，平方根，首先要求同学们熟悉每个键的功能，才能熟练应用计算器，这样才能使用科学记算器进行计算 【详解】解：在计算器上如图按键，是在计算， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】无理数、程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，算术平方根，立方根，无理数概念，根据程序流程图的顺序进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题图可知：当输入的值为时，，是有理数， 然后求的立方根：，是有理数， 再求的算术平方根：，是无理数， 则输出， 故答案为：． 16．【答案】(1)或 (2) (3)或 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【详解】（1）解：， 整理得， 解得或； （2）解：， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 开方得， ∴或， 解得或． 17．【答案】(1)，，； (2)的平方根是． 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】（）先根据算术平方根和立方根的定义，求出和的值，再通过估算的大小得到的值即可； （）把，，代入代数式计算，求出代数式的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴，即， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 把代入得， 解得， ∵， ∴，即， ∵是的整数部分， ∴， ∴，，； （2）解：将，，代入得， ∵， ∴的平方根为，即的平方根是． 18．【答案】 解：该汽车没有超速． 理由：将代入中，得 ， ， 该汽车没有超速． 【知识点】算术平方根的实际应用 【详解】略 19．【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3） 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位， ②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位， （2）①根据总结的规律可得：，， ②根据总结的规律可得：， ， （3），， ， ． 20．【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【知识点】立方根的实际应用 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 学科网（北京）股份有限公司 $