2.2平方根与立方根同步练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册“平方根与立方根”同步练，以五阶分层设计实现从概念辨析到综合探究的梯度递进，强化运算能力与模型意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知（选择/填空）|平方根、立方根概念及性质辨析|如选择1-6题考查无理数识别、算术平方根定义，填空11-13题强化立方根计算与平方根性质| |技能应用（解答一）|方程求解与性质直接应用|16题解方程（开平方/立方）、18题利用平方根互为相反数求参数，培养运算能力| |综合拓展（解答二）|实际问题与估算应用|19题彩泥球体积融合、20题立方体锻造，体现模型意识，结合无理数比较| |探究创新（解答三）|规律探究与跨情境应用|22题算术平方根规律归纳、23题日历数字规律探究，发展推理意识与数学表达|

· 2.2 平方根与立方根同步练习 · 2026-2027学年北师大版数学八年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列各数中：3.14159，，，，，，无理数个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．4的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 3．一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（　　）． A．5与5.5之间 B．5.5与6之间 C．6与6.5之间 D．6.5与7之间 4．下列说法：①是4的平方根；②的平方根是9；③的立方根是5；④0.25的算术平方根是0.5；其中正确的说法是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（ ） A．4的算术平方根是 B．3的平方根是 C．27的立方根是 D．的平方根是 7．下列命题中：①任意两个无理数的和还是无理数；②一个数的算术平方根一定是正数；③无限小数都是无理数；④负数没有平方根；⑤有理数和数轴上的点一一对应；⑥在数轴上可以找到表示的点；其中正确的个数有（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 8．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 9．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．3 10．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A．22 B． C．23 D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．若一个数的立方根是3，则这个数是 _______ ． 12．已知是的整数部分，则的平方根是______． 13．一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ___________ ． 14．将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为______． 15．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是______ 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解方程 (1)； (2)． 17．已知，求的算术平方根． 18．已知一个正数的两个平方根分别是和，求m和这个正数． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗，球的体积公式是，其中r是球的半径）． (1)求融合后大球的半径（结果保留根号）； (2)判断融合后大球的半径能否达到，并说明理由． 20．如图，是一块体积为的立方体铁块． (1)求这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为，求另一个小立方体铁块的棱长． 21．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 例如：，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为是 ，小数部分为 ，的值为 ． (2)已知的立方根为，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中我们可以发现a与变化的规律：a扩大100倍，则扩大_________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 23．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B D D B C A C 11．27 12． 13．2 14． 15．3 16．(1)或 (2) 【分析】本题考查解方程． （1）移项、开平方求解； （2）移项、开立方求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ 或 ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 17．3 【分析】根据非负性确定a，b的值，再计算的算术平方根． 本题考查了实数的非负性，算术平方根，熟练掌握非负性和算术平方根是解题的关键． 【详解】解：，，， ，， ，， ， 的算术平方根为3． 18．， 【分析】本题考查了平方根的定义，正确把握正数的平方根是一对相反数是解题关键．根据一个数的两个平方根互为相反数，列方程解答即可． 【详解】解：和是同一个正数的两个平方根， ， 解得， 则，， 这个正数为． 19．(1)融合后大球的半径为 (2)融合后大球的半径不能达到． 理由如下： 因为，，， 所以，即融合后大球的半径不能达到． 【分析】（1）融合后大球的体积等于半径为的球与半径为的球的体积之和，根据球的体积公式求出，再开立方求出r； （2）判断融合后大球的半径能否达到，就是比较无理数与6的大小关系，可将和6分别立方，立方大的，立方根也大． 【详解】（1）解：融合后大球的体积V= 设融合后大球的半径为． 根据题意，得， 所以． 所以 答：融合后大球的半径为． （2）略． 20．(1)这个铁块的棱长为 (2)另一个小立方体铁块的棱长为 【分析】本题考查立方根的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意列出式子再进行计算即可． 【详解】（1）根据题意，得 铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）设另一个小立方体铁块的棱长为， 则． ∵， ∴． 答：另一个小立方体铁块的棱长为． 21．(1)4；；8 (2) 【分析】本题考查无理数的估算，代数式求值，算术平方根、平方根和立方根的定义．掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）结合阅读材料可求出m和n的值，再代入求值即可； （2）根据算术平方根和立方根的定义可求出a和b的值，再结合阅读材料可求出c的值，从而可求出的值，最后计算其平方根即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为是4，小数部分为， ∴． （2）解：∵的立方根为， ∴， ∴． ∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∵，即， 又∵是的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根为． 22．(1)，； (2)10倍； (3)①，②32400； (4) 【分析】考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； （3）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案 （4）根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为，； （2）解：a扩大100倍，扩大10倍． 故答案为：10倍； （3）解：①∵， ∴， ②， ∴， 故答案为：，32400； （4）解：∵，， ∴， 故答案为：． 23．(1)8，6 (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字类规律探究、求一个数的算术平方根，理解题意，找到变化规律是解答的关键． （1）类比上述算法，结合算术平方根求解即可； （2）根据上述算法，得出规律，利用整式运算和算术平方根证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，图2中被框起来3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为8； 图3中被框起来的3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为6， 故答案为：8，6； （2）解：根据（1）中计算，可猜想， 理由如下： ． 答案第4页，共5页 答案第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $