2.2 平方根与立方根 同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础概念辨析、综合运算应用到实际问题解决的三层设计，实现平方根与立方根知识从单一到综合的进阶，适配新授课知识巩固与核心素养培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平方根/立方根概念、基本运算|单选题1-7直接考查定义，填空题11-13强化概念辨析，解答题16基础解方程，夯实知识基础| |提升层|性质应用、无理数估算|单选题8-9结合平方根性质与估算，填空题14-15综合算术平方根与立方根，解答题17整合整数部分与平方根，培养数学思维| |拓展层|实际应用、规律探索|单选题10球形容器体积问题，解答题18-20刹车距离、纸箱放置、规律归纳，体现数学眼光与语言，提升应用意识|

2.2 平方根与立方根 同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．的平方根是（     ） A．3 B． C． D． 2．已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 3．已知实数，满足，那么的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．估计的值（    ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 5．按一定规律排列的单项式：．第个单项式是（    ） A． B． C． D． 6．“以形助数”是借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为8与2，下列等式可解释它们边长之间的关系是（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（） A．是49的一个平方根 B．的立方根是 C．的算术平方根是4 D．的立方根是2 8．若一个正数的两个不同的平方根分别为和，则这个正数是（   ） A．1 B．9 C．3 D．49 9．实数的整数部分是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是_______ 12．利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出的结果是______． 13．根据你发现的规律填空：已知，若，则_________ 14．若是64的算术平方根，是的立方根，则代数式的值为______． 15．小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 三、解答题 16．解方程： (1)； (2)． 17．已知为的整数部分，的立方根为，一个数的平方根分别为和 (1)求，，的值． (2)求的算术平方根． 18．超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中表示车速（单位：），表示刹车后滑行的距离（单位：m），表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（温馨提醒：在计算过程中不需要进行单位换算） 19．一个快递包装盒是体积为0.064立方米的正方体纸箱．快递员送货时，装快递用的篮子是长方体形状，篮子的长为50厘米，宽为38厘米，高为45厘米．这个正方体纸箱能否完全放入篮子中？为什么？ 20．在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C A D C A B B A 1．【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【详解】解：的平方根是． 2．【答案】A 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵立方根是， ∴这个数为， 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】绝对值非负性、两个有理数的乘法运算、利用算术平方根的非负性解题 【分析】根据非负数的性质求出，的值，再计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 4．【答案】A 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题利用夹逼法估算无理数的大小，先确定的取值范围，再计算的范围即可得到答案． 【详解】解：， ， 即 ， ， 即 ， 因此 的值在1到2之间． 5．【答案】D 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、单项式规律题 【分析】本题考查的是与单项式相关的规律探究，算术平方根的含义，观察单项式的结构，每个单项式由整数部分和含根号的部分组成，整数部分为项数n，根号部分符号交替变化，系数为，a的指数为n，通过分析符号规律，确定符号由调整，并验证各选项得出答案. 【详解】解：整数部分：第n项的整数部分为n，如第1项为1，第2项为2，依此类推； 符号规律：符号交替变化，奇数项为，偶数项为， 用表示符号，当n为奇数时，，当n为偶数时，， 根号与指数：根号内的数为n，a的指数为n，即， ∴第个单项式是； 故选：D 6．【答案】C 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】根据正方形的面积得大正方形的边长为，小正方形的边长为，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且， 则它们边长之间的关系是． 7．【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根、平方根概念理解 【分析】本题根据平方根、算术平方根、立方根的定义，逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：∵，∴是的一个平方根，A选项说法正确； ∵正数的立方根是唯一的正数，且，∴的立方根是，B选项说法错误； ∵，的算术平方根是，∴的算术平方根是，C选项说法错误； ∵，的立方根是，∴的立方根是，D选项说法错误． 8．【答案】B 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别为和， ∴， 解得：， ∴这个正数是． 9．【答案】B 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】只需确定在哪两个连续正整数之间，即可得到它的整数部分． 【详解】解：∵， ∴ ， 即， ∴的整数部分是． 10．【答案】A 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 11．【答案】 【知识点】立方根概念理解、平方根概念理解 【分析】此题主要考查了平方根和立方根的定义和性质，任意一个数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．根据平方根和立方根的性质解答即可． 【详解】解：∵的平方根是它本身，的立方根是它本身， ∴一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是． 故答案为：． 12．【答案】16 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】本题考查的是计算器的使用，熟练掌握计算器的使用是关键．求一个数的立方根的平方，根据计算器的按键代表的运算，列出算式可得答案． 【详解】解：根据按键顺序可知：， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 依据被开方数小数点向左或向右移动3位，对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解： ，， ， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根 【分析】根据算术平方根的定义求出的值，根据立方根的定义求出的值，再代入代数式计算即可得到结果． 【详解】是的算术平方根， ， 是的立方根， ， 将代入得： ． 15．【答案】 【知识点】程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解． 【详解】解：输入， 则， 然后， 4的倒数为， 然后得到， ∴输出的数为． 16．【答案】(1)， (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可，注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：． ， ， ． 17．【答案】(1)，， (2)2 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根、无理数整数部分的有关计算、平方根概念理解 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的估算，平方根的定义，立方根的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）先根据无理数的估算方法得到，据此可得a的值；一个正数的两个平方根互为相反数，据此列式可求出b的值；根据立方根的定义即可求出c的值； （2）根据（1）所求求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的整数部分， ∴； ∵一个数的平方根分别为，， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴； （2）解：由（1）知：，，， ∴， ∴的算术平方根为． 18．【答案】 解：该汽车没有超速． 理由：将代入中，得 ， ， 该汽车没有超速． 【知识点】算术平方根的实际应用 【详解】略 19．【答案】不能，理由见解析 【知识点】立方根的实际应用 【分析】设正方体纸箱的棱长为x米，利用正方体的体积求出，然后比较求解即可． 【详解】解：不能，理由如下： 设正方体纸箱的棱长为x米． 则， 解得，． ∴正方体纸箱的棱长为0.4米，即40厘米． ∵篮子的最短边长为38厘米，， ∴这个正方体纸箱不能完全放入篮子中． 20．【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3） 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位， ②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位， （2）①根据总结的规律可得：，， ②根据总结的规律可得：， ， （3），， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $