四川达州市渠县三汇中学2026-2027学年八年级上学期学情自测数学试题

**基本信息** 四川省达州市渠县三汇中学2026-2027学年八年级上学期开学考试数学试题，满分150分，分A、B卷梯度命题，覆盖几何、代数、概率等核心知识，通过生活情境（如太阳能热水器温度变化、山地爆破安全距离）和动态几何问题（如等腰直角三角形动点探究），考查数学眼光、思维与语言能力，适配开学学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|轴对称、整式运算、函数概念、全等判定|结合几何直观（第4题角平分线作图SSS依据）与代数推理（第2题幂运算辨析）| |填空题|10题40分|勾股定理、概率计算、完全平方公式|设置生活应用（第12题折断树高度计算）和动态几何（第23题Rt△中AD²求值）| |解答题|8题78分|三角形全等、代数式化简、实际问题建模|设计分层探究，A卷第17题以山地爆破考勾股定理应用，B卷第26题通过等腰直角三角形动点问题考查推理与创新意识|

四川省达州市渠县三汇中学2026-2027学年八年级上学期开学考试数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算结果正确的是（　　） A．m6÷m3＝m2 B．﹣m（n﹣m）＝﹣mn﹣m2 C．﹣（3m）2＝﹣9m2 D．（m﹣1）2＝m2﹣2m﹣1 3．太阳能作为一种新型能源，被广泛应用到实际生活中，在利用太阳能热水器来加热的过程中，热水器里水的温度随着太阳光照射时间的变化而变化，这一变化过程中因变量是（　　） A．水的温度 B．太阳光的强弱 C．太阳光照射的时间 D．热水器的容积 4．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 5．下列运算正确的是（　　） A．2 B．（2）2＝6 C． D． 6．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，选择下列条件中的一个，能判断△ABC是直角三角形的是（　　） ①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝3：4：5 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离等于（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 8．将一副直角三角板按如图所示摆放，∠EFG＝45°，∠MNP＝60°，AB∥CD，则下列结论不正确的是（　　） A．GE∥PN B．∠PNC＝∠AFG C．∠FMN＝150° D．∠MND＝∠PNM 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．比较大小：4　　 7．（填“＞”、“＝”、“＜”） 10．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n＝　　 ． 11．已知x+y＝5，xy＝﹣24，则x2+y2＝　　 ． 12．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为 　　 米． 13．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，高AD，CE交于点H．若AB＝19，CE＝12，则CH＝　　 ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．（1）|﹣3|﹣（π﹣3.14）0﹣（﹣1）2027； （2）[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x． 15．计算：（1）； （2）． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，∠A＝40°，AB边的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M． （1）求∠DBC的度数； （2）求△BCD的周长． 17．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 18．如图所示，点D是等腰Rt△ABC的斜边BC上一动点，连接AD，作等腰Rt△ADE，使AD＝AE，且∠DAE＝90°连接BE、CE． （1）判断BD与CE的数量关系与位置关系，并进行证明； （2）当四边形ADCE的周长最小值是6时，求BC的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．已知一个等腰三角形的两条边长分别为4cm、9cm，则该等腰三角形的腰长为 　　 cm． 20．已知x2+（n+1）x+9（n为常数）是一个完全平方式，则n的值为 　　 ． 21．若实数x，y满足，则xy＝　　 ． 22．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是 　15cm2 ． 23．如图，在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝90°，请写出线段AD2的值 　　 ． 故答案为：2或32． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是BC边上的一个动点，连接AE．设△ADE的面积为y，BE的长为x，小明对变量x和y之间的关系进行了探究，得到了如下的数据： x 0 3 6 y 3 0 3 请根据以上信息，解答下列问题： （1）题中的自变量和因变量分别是什么？当x＝0时，y的值是多少？直接写出BC的值； （2）当△ADE的面积为△ABC面积的时，求出x的值． 25．如图，在△ABC中，∠BAC＝∠ACB，点D是BC边上一点，且满足∠B＝∠1，CE平分∠ACB交AD于点E． （1）若∠ADC＝80°，求∠2的度数； （2）过点E作EF∥AB，交BD于点F，请说明∠FEC＝3∠3． 26．在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，过点B作射线AD的垂线，垂足为点E． （1）如图1，过点C作射线AD的垂线，垂足为点F，求证：△ABE≌△CAF； （2）在射线EB上取点G，使EG＝AE，连接AG，CG，CG与AD交于点H． ①如图2，若∠AGC＝90°，AE＝4，求线段BG的长； ②若，求的值． 参考答案 四川省达州市渠县三汇中学2026-2027学年八年级上学期开学考试数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项A、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：B． 2．下列运算结果正确的是（　　） A．m6÷m3＝m2 B．﹣m（n﹣m）＝﹣mn﹣m2 C．﹣（3m）2＝﹣9m2 D．（m﹣1）2＝m2﹣2m﹣1 【解答】解：m6÷m3＝m3，故A错误，不符合题意； ﹣m（n﹣m）＝﹣mn+m2，故B错误，不符合题意； ﹣（3m）2＝﹣9m2，故C正确，符合题意； （m﹣1）2＝m2﹣2m+1，故D错误，不符合题意； 故选：C． 3．太阳能作为一种新型能源，被广泛应用到实际生活中，在利用太阳能热水器来加热的过程中，热水器里水的温度随着太阳光照射时间的变化而变化，这一变化过程中因变量是（　　） A．水的温度 B．太阳光的强弱 C．太阳光照射的时间 D．热水器的容积 【解答】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，所晒时间为自变量． 故选：A． 4．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【解答】解：根据作图的过程可知： OC＝OD，CE＝DE，OE＝OE ∴△OCE≌△ODE（SSS） ∴∠COE＝∠DOE 故选：A． 5．下列运算正确的是（　　） A．2 B．（2）2＝6 C． D． 【解答】解：A：2，故本选项错误； B：12，故本选项错误； C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确． 故选：D． 6．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，选择下列条件中的一个，能判断△ABC是直角三角形的是（　　） ①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝3：4：5 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C， ∴∠A+∠C＝∠B， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝90°， ∴是直角三角形； ②∵a2＝（b+c）（b﹣c）， ∴a2＝b2﹣c2， a2+c2＝b2，是直角三角形； ③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝75°，不是直角三角形； ④∵a：b：c＝3：4：5， ∴32+42＝52， ∴a2+b2＝c2，是直角三角形； 故选：C． 7．△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离等于（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠BAC， 而∠C＝90°， ∴CD＝DE， 而CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3， ∴DE＝3， ∴点D到AB的距离等于3． 故选：C． 8．将一副直角三角板按如图所示摆放，∠EFG＝45°，∠MNP＝60°，AB∥CD，则下列结论不正确的是（　　） A．GE∥PN B．∠PNC＝∠AFG C．∠FMN＝150° D．∠MND＝∠PNM 【解答】解：延长FP交CD于点Q， ∵∠EGF＝∠MPN＝90°， ∴∠EGP＝180°﹣∠EGF＝90°， ∴∠EGP＝∠MPN＝90°， ∴EG∥PN， 故A不符合题意； ∵AB∥CD， ∴∠AFG＝∠PQN＝45°， ∵∠MPN是△PQN的一个外角， ∴∠PNC＝∠MPN﹣∠PQN＝45°， ∴∠AFG＝∠PFC， 故B不符合题意； ∵∠FMN是△PMN的一个外角， ∴∠FMN＝∠MPN+∠MNP＝90°+60°＝150°， 故C不符合题意； ∵∠PNC＝45°，∠PNM＝60°， ∴∠MND＝180°﹣∠PNC﹣∠PNM＝75°， ∴∠MND≠∠PMN， 故D符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．比较大小：4　＜　 7．（填“＞”、“＝”、“＜”） 【解答】解：∵（4）2＝42×（）2＝16×2＝32，72＝49． 且32＜49， ∴47． 故答案为：＜． 10．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n＝　1　 ． 【解答】解：由题意知：，解得n＝1． 11．已知x+y＝5，xy＝﹣24，则x2+y2＝　73　 ． 【解答】解：∵x+y＝5，xy＝﹣24， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy ＝52﹣2×（﹣24） ＝73． 故答案为73． 12．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为 　16　 米． 【解答】解：∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°， ∴（米）， ∴AB+BC＝6+10＝16（米）， 即这棵大树在折断前的高度为16米． 故答案为：16． 13．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，高AD，CE交于点H．若AB＝19，CE＝12，则CH＝　5　 ． 【解答】解：∵∠BAC＝45°，CE⊥AB， ∴∠ACE＝45°＝∠BAC， ∴CE＝AE＝12， ∵∠BCE+∠CHD＝90°，∠EAH+∠AHE＝90°，∠AHE＝∠CHD， ∴∠BCE＝∠EAH， 在△BCE和△HAE中， ， ∴△BCE≌△HAE（ASA）， ∴BE＝EH， ∵BE+AE＝AB＝19， ∴BE＝EH＝7， ∴CH＝CE﹣HE＝12﹣7＝5， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．（1）|﹣3|﹣（π﹣3.14）0﹣（﹣1）2027； （2）[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x． 【解答】解：（1）|﹣3|﹣（π﹣3.14）0﹣（﹣1）2027 ＝3﹣1﹣（﹣1）+4 ＝3﹣1+1+4 ＝7； （2）[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x ＝（x2+4xy+4y2﹣3x2﹣2xy+y2﹣5y2）÷2x ＝（﹣2x2+2xy）÷2x ＝﹣x+y． 15．计算：（1）； （2）． 【解答】解：（1） ＝0； （4） ＝5﹣4﹣12+41 ＝﹣12+4． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，∠A＝40°，AB边的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M． （1）求∠DBC的度数； （2）求△BCD的周长． 【解答】解：∵AB＝AC＝8，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠C＝70° ∵AB边的中垂线MN交AC于点D， ∴AD＝BD，∠ABD＝∠A＝40°， ①由（1）得，∠ABD＝40°，∠ABC＝70°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°， ②△BCD的周长＝BC+CD+DB＝BC+（CD+DB）＝BC+AC＝5+8＝13． 17．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【解答】解：（1）由题意可知，AC＝300米，BC＝400米，AB＝500米， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， 如图1，过点C作CD⊥AB于点D， ∴S△ABCAB•CDAC•BC， ∴CD240（米）， 答：山地C距离公路的垂直距离为240米； （2）公路AB有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图2，过C作CD⊥AB于点D，以点C为圆心，260米为半径画弧，交AB于点E、F，连接CE，CF， 则EC＝FC＝260米，DE＝DF， 由（1）可知，CD＝240米， ∵240米＜260米， ∴有危险需要暂时封锁， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE100（米）， ∴EF＝2DE＝200（米）， 即需要封锁的公路长为200米． 18．如图所示，点D是等腰Rt△ABC的斜边BC上一动点，连接AD，作等腰Rt△ADE，使AD＝AE，且∠DAE＝90°连接BE、CE． （1）判断BD与CE的数量关系与位置关系，并进行证明； （2）当四边形ADCE的周长最小值是6时，求BC的值． 【解答】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE； 理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠BCE＝90°， ∴BD⊥CE； （2）当AD⊥BC时，AD最小，则四边形ADCE的周长最小， 即当四边形ADCE为正方形时，四边形ADCE的周长最小是6， ∴AD， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝2AD＝3． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．已知一个等腰三角形的两条边长分别为4cm、9cm，则该等腰三角形的腰长为 　9　 cm． 【解答】解：当4cm是等腰三角形的底边长时，腰长为9cm，9cm，符合题意； 当9cm是等腰三角形的底边长时，腰长为4cm，4cm，4+4＜9，不能构成三角形，不符合题意． 故答案为：9． 20．已知x2+（n+1）x+9（n为常数）是一个完全平方式，则n的值为 　5或﹣7　 ． 【解答】解：∵x2+（n+1）x+9（n为常数）是一个完全平方式， ∴n+1＝±2×3， 解得n＝5或﹣7． 故答案为：5或﹣7． 21．若实数x，y满足，则xy＝　﹣12　 ． 【解答】解：根据题意， ，解得：x＝3， ∴y＝﹣4， ∴xy＝﹣4×3＝﹣12． 故答案为：﹣12 22．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是 　15cm2 ． 【解答】解：在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm， AC12（cm）， ∵BD是AC边上的中线， ∴CD＝AD＝6（cm）， ∴△BCD的面积5×6＝15（cm2）， 故答案为：15cm2． 23．如图，在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝90°，请写出线段AD2的值 　2或32　 ． 【解答】解：当点A在BC的上方， 由题意得，点A在BC的垂直平分线上，如图， 将△ADB逆时针旋转90°得到△AEC， ∴△ADB≌△AEC，∠DAE＝90°， ∴∠ABD＝∠ACE，AD＝AE， ∵∠ABD+∠ABC+∠BCD＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠ABD+∠BCD＝45°， ∴∠ACE+∠BCD＝45°＝∠ACB， ∴点E在CD上， ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴ADAE（CD﹣CE）（5﹣3）， ∴AD2＝2； 如图，当点A在BC的下方时， 同理得到AD（CD+CE）＝4． ∴AD2＝32， 综上所述，AD2＝2或32． 故答案为：2或32． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是BC边上的一个动点，连接AE．设△ADE的面积为y，BE的长为x，小明对变量x和y之间的关系进行了探究，得到了如下的数据： x 0 3 6 y 3 0 3 请根据以上信息，解答下列问题： （1）题中的自变量和因变量分别是什么？当x＝0时，y的值是多少？直接写出BC的值； （2）当△ADE的面积为△ABC面积的时，求出x的值． 【解答】解：（1）由题目信息可知，自变量是BE长，因变量是三角形ADE的面积， 当x＝0时，y＝3， 由图表信息可知，当x＝3时，y＝0，即点E与点D重合时，三角形ADE的面积为0， ∵点D是BC边的中点， ∴BC＝2BD＝6． （2）由图表信息可知，x＝6时，y＝3 ∴S△ABC＝2S△ADE＝2×3＝6， ∴三角形BC边上的高h＝2， ∵S△ADES△ABC6； ∴x•2， x． 当点E在D点左侧时，BE＝3，即x． 综上，x或x． 25．如图，在△ABC中，∠BAC＝∠ACB，点D是BC边上一点，且满足∠B＝∠1，CE平分∠ACB交AD于点E． （1）若∠ADC＝80°，求∠2的度数； （2）过点E作EF∥AB，交BD于点F，请说明∠FEC＝3∠3． 【解答】解：（1）∵∠ADC＝∠B+∠1，∠B＝∠1， ∴2∠B＝80°， ∴∠B＝40°， ∵∠BAC＝∠ACB， ∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠2＝∠3＝35°； （2）设∠B＝x，则∠1＝x， ∵EF∥AB， ∴∠DEF＝∠1＝x， ∴∠ACB＝90°x， ∴∠2＝∠3＝45°， ∴∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠DCE）＝180°﹣（2x+45°）＝135°x， ∴∠FEC＝∠FED+∠CED＝x+135°x＝135°x， ∴∠FEC＝3∠3． 26．在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，过点B作射线AD的垂线，垂足为点E． （1）如图1，过点C作射线AD的垂线，垂足为点F，求证：△ABE≌△CAF； （2）在射线EB上取点G，使EG＝AE，连接AG，CG，CG与AD交于点H． ①如图2，若∠AGC＝90°，AE＝4，求线段BG的长； ②若，求的值． 【解答】（1）证明：∵等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°， ∴AB＝AC， ∵CF⊥AD，BE⊥AD， ∴∠BAC＝∠F＝∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝∠CAF， ∴△ABE≌△CAF（AAS）； （2）解：①过点C作射线AD的垂线，垂足为点F，由（1）可得△ABE≌△CAF， ∴AE＝CF，BE＝AF， ∵EG＝AE， ∴EG＝AE＝CF，∠BEF＝∠F＝90°，∠EHG＝∠FHC， ∴△EHG≌△FHC（AAS）， ∴EH＝FH； ∵EG＝AE，BE⊥AD， ∵∠AGE＝45°，∠AGC＝90°， ∴∠EGH＝45°， ∴EH＝EG， ∴EH＝FH＝EG＝CF＝AE＝CF， ∴BE＝3AE，BG＝2AE， ∵AE＝4， ∴BG＝8； ②根据， 设BG＝3x，AH＝5x，EG＝AE＝CF＝a， 当点E在△ABC的内部时，如图，过点C作CF⊥AD于F， ∴BE＝AF＝3x+a，EH＝AH﹣AE＝5x﹣a， ∴FH＝AF﹣AH＝a﹣2x， ∵EH＝FH， ∴5x﹣a＝a﹣2x， 解得：ax， ∴； 当点E在△ABC的外部时，如图，过点C作CF⊥AD于F， 设BG＝3x，AH＝5x，EG＝AE＝CF＝a， 则BE＝AF＝a﹣3x，EH＝AE﹣AH＝a﹣5x，∴FH＝AH﹣AF＝8x﹣a，∵EH＝FH， ∴a﹣5x＝8x﹣a， ∴ax， ∴； 综上所述，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $