3.2 探索三角形相似的条件 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 围绕三角形相似条件，通过基础辨析、情境应用到综合探究的分层设计，构建从单一知识点到多情境综合应用的巩固路径，适配新授课教学，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一相似条件（AA/SAS/SSS）的直接辨析|单选题1-5题直接判断相似（如第2题剪开图形）| |情境应用|结合图形变换（旋转/翻折）、动点的相似判定|填空题11-14题动态情境（如第14题动点时间）| |综合探究|综合四边形、函数的多结论证明与计算|解答题19-21题多知识点综合（如第21题矩形相似与等腰直角三角形）|

3.2探索三角形相似的条件同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题（本大题共10小题） 1．如图，四边形，四边形,四边形都是正方形，则与相似的三角形为（ ） A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 3．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于各组中的两个三角形而言，下列说法正确的是（） A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似 4．如图,四边形 的两条不等长对角线 , 相交于点 ,且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若 ,则（ ） A． 甲、丙相似,乙、丁相似 B． 甲、丙相似,乙、丁不相似 C． 甲、丙不相似,乙、丁相似 D． 甲、丙不相似,乙、丁不相似 5．如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在锐角中，，分别是边，上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，已知.下列四个三角形中，与相似的是（ ） A． B． C． D． 8．有一题目：“如图，在四边形中，， ，，，，是上一点，当与相似时，求的长.”嘉嘉的结果为或4.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是（ ） A．淇淇说的对，且的另一个值是 B．淇淇说的不对，就等于3或4 C．嘉嘉求的结果不对，应等于3或5 D．两人都不对，应有4个不同值 9．如图，等腰中， ，垂足为D，点O是线段上一点，点P是延长线上一点，若 ，给出下列结论：①点P、C、B在以点O为圆心，为半径的圆上；② ；③ 是等边三角形；④其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，将矩形沿着，，翻折，使得点，，恰好都落在点处，且点，，在同一条直线上，同时点，，在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：；；；；．其中正确的是（ ） （第10题图） A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 二、填空题（本大题共6小题） 11．如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件______．（只要写出一种合适的条件） 12．如图，矩形中，，，为边上的动点，当______时，与相似. 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，连接，为的中点，点在轴上，若以，，为顶点的三角形与相似，则点的坐标为______________________. 14．如图，等边的边长为，，，为边上动点，以的速度从向运动，假设点运动时间为，当______时，与相似． 15．如图，在中，，．是内部的一个角，和与分别交于点D和点E，已知． （1）图中与相似的三角形有_______ 个； （2）若，，则的长为_________ ． 16．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于E，F两点，且∠MAN=45°，则下列结论：①MN=BM+DN；②△AEF∽△BEM；③=；④△FMC是等腰三角形．其中正确的是 ．（填写正确序号） 三、解答题（本大题共5小题） 17．已知中，，平分交于点，其中． （1）求的度数； （2）将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 18．如图，在三角形纸板 中， ， ， ， 是 上一点，过点 沿直线剪下一个与 相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么 长的取值范围是__________. 19．如图，在中， ，，，点从点出发沿线段以每秒的速度运动，同时点从点出发沿线段以每秒的速度运动.设运动时间为秒. （1） 填空：______； （2） 为何值时，与相似? 20．如图，中，分别以，向外作和，其中，，，，分别是边，，的中点，连接，，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）的度数为_____（用含的代数式表示）． 21．如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动.若，同时出发，移动的时间为. （1）当为何值时，是等腰直角三角形？ （2）当为何值时，以点，，为顶点的三角形与相似？ 参考答案 1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A 9．C 10．B 11．（答案不唯一） 12．2或8或5 13．或 14．或或 15．； 16．①②③④ 17．（1）解：∵，平分交于点，， ∴，， ∴； （2）如图，即为所求； 证明：∵旋转， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 18．如图（1）所示，过 作 交 于 ， 交 于 ，则易知 ， ，此时 . 图（1） 图（2） 如图（2）所示，过 作 交 于 ，则 ，此时 . 如图（3）所示，过 作 交 于 ，则 ，此时 . 图（3） 综上所述，要有4种不同的剪法，则 长的取值范围是 ． 19．（1） ，，，，故答案为. （2）由题意得，，则. ， 当时，，此时，解得；当时，，此时，解得.综上，当或2.5时，与相似. 20．（1）证明：∵，， ∴，即， 又∵，分别是边，的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接、， ∵，，分别是边，，的中点， ∴，，，， ∴， ∴ 由（1）可知，，，，且 ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，，， ∴，， ∴，， ∴， 由（1）可知， ∴ ． 21．（1）由题意得，，所以.当时，为等腰直角三角形，即，解得，所以当时，为等腰直角三角形. （2） 根据题意，可分为两种情况：①当时，，即，解得. ②当时，，即，解得.所以当或3时，以点，，为顶点的三角形与相似. 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $