3.3 相似三角形判定定理的证明 预习自测 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学九年级上册3.3相似三角形判定定理的证明同步练，以“基础巩固-综合应用-拓展探究”分层设计，通过梯度化题型培养几何直观与推理能力，构建从单一判定到实际应用的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|平行线分线段成比例、基本判定定理|单选1-4直接考查定理应用，填空8-10强化比例计算，夯实概念理解| |中档|尺规作图与判定综合、比例线段计算|单选5-7结合作图过程证相似，填空11融入矩形性质，提升推理表达能力| |提升|动态几何、实际测量与综合证明|解答15-16设置动点问题与阴影面积探究，体现模型意识与创新思维，适配新授课能力拓展需求|

3.3 相似三角形判定定理的证明 预习自测2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．中，点分别为边和边上的点，下列式子可以判定的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知，求作，那么下列作图正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图所示是一张仿古信笺，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点都在竖格线上．若线段，则线段的长为（   ）． A． B． C． D． 4．如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 5．如图，在中，点是边上的一点，以点为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心，以相同的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长度为半径画弧，交于点，连接并延长交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交延长线于点F．若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 8．如图，直线 ，已知，，，___________． 9．在中，，分别反向延长到D、E，若，则当_____时，． 10．如图，是一块直角三角形木板，BC＝1.5米，AC＝2米，要在这个三角形内部裁剪出一个正方形，且正方形各顶点都在三角形的边上，则这个正方形最大面积是____． 11．在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”中，如图所示，点在上，且，若为边上一动点，当的周长最小时，则的值为______． 三、解答题 12．在的正方形网格中，四边形的顶点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，按要求完成下列作图． (1)在图1中作的平分线； (2)在图2中，连接交于点O，在上确定点M，使． 13．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC． （1）求证：； （2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长． 14．如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    15．追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，并利用类似方法完成题（2）． （1）如图1，在中，，，，如果动点D以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿边向点A运动（当点D到达点A时，运动停止），此时直线，交于点E．记x秒时的长度是y，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 变式拓展 （2）如图2，在中，，，，如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边向点A运动（当点D到达点A时，运动停止），直线，交于点E．记x秒时四边形的面积是S，求出S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 16．如图： (1)如图1，边长为的正方形对角线与相交于点，且正方形绕点旋转时，交边于点，交边于点．则图中阴影部分（四边形）的面积为______；（用含的代数式表示） (2)如图2，已知中，，，平分，点为的中点．正方形绕点旋转时，交边于点，交边于点．求图中阴影部分（即四边形）的面积； (3)如图3，与均为等腰直角三角形，，，．是斜边上的中线，点为的中点，交边于点，交边于点．设两三角形重叠部分（阴影部分）的面积为，已知，当两三角形的空白部分（除去阴影部分）的面积差为2时，直接写出阴影部分面积的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A D C D D C 1．【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理逐项跑的即可． 【详解】解∶A． ， ， ， ， ， 故该选项符合题意； B． 根据，，不能判定，故该选项不符合题意； C．根据 ，，不能判定，故该选项不符合题意； D．根据，，不能判定，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．利用得比例式，与已知图形作对比，可以得出结论． 【详解】解：∵， ∴或． 第一个图作出的为，故符合题意； 第二个图作出的为，但x是所求线段，所以图形不能画出，故不符合题意； 第三个图作出的为，但x是所求线段，所以图形不能画出，故不符合题意； 第四个图作出的为，即，故不符合题意； 综上所述，列作图正确的有1个． 故选：A． 3．【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 4．【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入已知数据计算即可得出结果． 【详解】∵直线 ∴ ∵， ∴ ∴． 5．【答案】D 【知识点】尺规作一个角等于已知角、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】由作图得，推出，然后利用平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：由作图得， ∴ ∴ ∴． 6．【答案】D 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，直接利用基本作图对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到，，，，再利用平行线的性质证明得到，则，所以，于是可对B选项进行判断；接着利用平行线的性质证明得到，则可对C选项进行判断；由于，则根据平行线分线段成比例定理可对D选项进行判断熟练利用平行四边形的性质是解题的关键 【详解】解：由作法得平分， ，所以A选项不符合题意； 四边形为平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ，所以B选项不符合题意； ， ， ， ， ，所以C选项不符合题意； ， ， ，所以D选项符合题意． 故选：D． 7．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合、选择或补充条件使两个三角形相似、利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用平行判定相似 【分析】利用相似三角形的判定定理逐一分析判断即可． 【详解】解：①，， ，故①符合题意； ②， ，不能确定，故②不符合题意； ③，， ，故③符合题意； ④， ， 此时不确定，故不能确定，故④不符合题意； ⑤，， ，故⑤符合题意； 综上所述，符合题意的有3个． 8．【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解： ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 9．【答案】/ 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行得到比例式是解决本题的关键．由可以得到，然后代入数据即可求出，故时，． 【详解】解：如图： ∵当 ∴时， ∴， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 10．【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段、根据正方形的性质求面积 【分析】作CE平分∠ACB交AB于E，作EG⊥BC于G，EF⊥AC于F，四边形EFCG即为所求，设正方形的边长为xm，再利用平行线分线段成比例定理，构建方程求出x即可求解． 【详解】解：作CE平分∠ACB交AB于E，作EG⊥BC于G，EF⊥AC于F， 设正方形的边长为xm， ∵ ， ∴即， ∴， ∴这个正方形最大面积是 （）， 故答案为： ． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．【答案】 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、根据矩形的性质求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值、用勾股定理解三角形 【分析】先设出矩形的边长，将AQ和CQ表示出来，再通过作对称点确定△AGQ的周长最小时的G点位置后，利用平行线分线段成比例的基本事实的推论建立等式求解即可． 【详解】解：设DC=，DQ=AD=x， ∴ ∵矩形ABCD， ∴∠D=∠DCB=∠B=90°，， ∴， 如图，作Q点关于BC的对称点E，连接AE交BC于点M， ∴GQ＝GE，CQ=CE= ∴AQ+QG+AG=， ∴当A、G、E三点共线时，△AGQ的周长最小， 此时G点应位于图中的M点处； ∵矩形ABCD中，∠QCG=90°， ∴E点位于QC的延长线上， ∴CE∥AB， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、最短路径、平行线分线段成比例的基本事实的推论等内容，解题关键是能正确找到满足题意的G点位置，同时要牢记平行线分线段成比例的推论，即平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 12．【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，点M即为所求． 【知识点】三线合一、勾股定理与网格问题、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理： （1）在上取点F，使，连接，取的中点，然后作射线，即可； （2）取的中点H，取格点，使，连接交于点M，即可． 【详解】（1）略 （2）略 13．【答案】 （1）证明：∵DF∥AC， ∴， ∵DE∥BC，       ∴，       ∴； （2）， 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】（1）由平行线分线段成比例得出和，即推出． （2）设BF＝x，根据题意可求出，再根据（1）结论，即可求出x的大小，即可求出BF和CF的长． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵，      ∴， ∵，且AE＝4，EC＝2，        ∴，        解得：， ∴，      ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 14．【答案】4米 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案． 【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：    由题意，米，米，米， ∴米， ∵， ∴， 即， 解得：米， ∴（米）， 答：路灯离地面的高度为4米． 15．【答案】(1)， (2)， 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，勾股定理的逆定理等知识点，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． (1)根据平行可得，利用表示出，代入可得到关于的函数关系式； (2)先证出为直角三角形，求出，然后用表示出，进而即可得解． 【详解】(1)解：由题意可知，则， ， ， 即， ， ， ； (2)，，， ， 为直角三角形， ， 由题意可知，则， ， ， 即， ， ， ， ， ． 16．【答案】(1)； (2)； (3)或 【知识点】由平行判断成比例的线段、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据正方形的性质证明△AOH≌△BOR，即可得到S阴影=，由此得到答案； （2）方法一：过点作分别与，交于点，，连接，．得到，推出点，，分别为，，的中点，证得四边形为正方形．根据（1）求出阴影部分的面积． 方法二：过点作，分别与，交于点，．证明．由求出答案； （3）先求出OE=OF=3，根据面积差为2列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线与， ∴OA=OB，， ∵∵四边形OEFG是正方形， ∴， ∴， ∴, ∴△AOH≌△BOR， ∴S阴影==， 故答案为：； （2）解：方法一： 如图，过点作分别与，交于点，，连接，． ∴， 又∵，平分， ∴，． 由上可知，点，，分别为，，的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵，， ∴四边形为正方形． 由（1）可得：． 方法二：过点作，分别与，交于点，． ∴，又，∴ 又∵，平分， ∴，，． ， ∴，∴． 所以． （3）解：∵，，， ∴OE=OF=3， 设， 由（2）可知 当S△ABC-S△EOF=2时， ， 解得=13， ∴=； 当S△EOF- S△ABC = 2时， ， 解得=5， ∴=； 综上，阴影部分面积S的值为或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的实际应用，正确理解正方形的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $