3.3《三角形判定定理的证明》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册3.3节同步练，分基础过关、进阶思维、中考链接三层，以平行线分线段成比例和相似判定为核心，梯度推进知识应用与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|平行线分线段成比例基本事实及推论、相似判定定理理解|以选择填空为主，聚焦单一知识点直接应用，如A型图线段计算| |进阶思维|比例综合应用、面积比、双平行模型|含解答题，强化多步推理，如DE∥BC与EF∥AB的线段转化| |中考链接|中考常见考点（如比例线段、相似判定应用）|对接中考真题题型，提升应用意识，如相似三角形存在性问题|

北师大版九年级上册 第3章 图形的相似 3.3 三角形相似判定定理的证明 本节知识点总结 1．平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。即在△ABC中，若DE∥BC，D在AB上，E在AC上，则AD/DB = AE/EC，AD/AB = AE/AC = DE/BC。 3．相似三角形判定定理1（AA）：两角分别相等的两个三角形相似。 4．相似三角形判定定理2（SAS）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5．相似三角形判定定理3（SSS）：三边成比例的两个三角形相似。 6．判定定理的证明方法（选学）：在大三角形的边上截取等于小三角形对应边的线段，作平行线，利用平行线分线段成比例证明中间三角形与大三角形相似，再证明中间三角形与小三角形全等。 7．注意：判定定理的证明是选学内容，不作考试要求，重点掌握平行线分线段成比例及其推论的应用。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 平行线分线段成比例的基本应用 1．（2025秋·北京海淀·期中）如图，直线l₁∥l₂∥l₃，直线AC分别交l₁、l₂、l₃于点A、B、C，直线DF分别交l₁、l₂、l₃于点D、E、F。若AB = 3，BC = 5，DE = 2.4，则EF =（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例得AB/BC = DE/EF，即3/5 = 2.4/EF，解得EF=4。 【详解】解：∵ l₁∥l₂∥l₃， ∴ = （平行线分线段成比例）。 ∵ AB = 3，BC = 5，DE = 2.4， ∴ = ，解得 EF = 2.4× = 4。 故选：B。 2．（2025秋·上海浦东·月考）如图，直线l₁∥l₂∥l₃，两条直线被这组平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F。若AB = 4，BC = 6，DF = 15，则DE = __6____，EF = ___9___。 【答案】6；9 【分析】由平行线分线段成比例得AB/BC = DE/EF = 4/6 = 2/3，又DE+EF=DF=15，所以DE=15×2/(2+3)=6，EF=15×3/(2+3)=9。 【详解】解：∵ l₁∥l₂∥l₃， ∴ = = = （平行线分线段成比例）。 设 DE = 2k，EF = 3k，则 DF = DE + EF = 5k。 ∵ DF = 15，∴ 5k = 15，解得 k = 3。 ∴ DE = 2×3 = 6，EF = 3×3 = 9。 故答案为：6；9。 3．（2025秋·广东广州·单元测）如图，直线l₁∥l₂∥l₃，直线AC分别交l₁、l₂、l₃于A、B、C，直线DF分别交l₁、l₂、l₃于D、E、F。已知AB = 5，BC = 7，DE = 3。 （1）求EF的长； （2）求DF的长。 【答案】（1）EF = 4.2；（2）DF = 7.2 【分析】（1）由平行线分线段成比例得AB/BC = DE/EF，代入求EF；（2）DF = DE + EF。 【详解】解：（1）∵ l₁∥l₂∥l₃， ∴ = （平行线分线段成比例）。 ∵ AB = 5，BC = 7，DE = 3， ∴ = ，解得 EF = 3× = 4.2。 （2）DF = DE + EF = 3 + 4.2 = 7.2。 答：（1）EF的长为4.2；（2）DF的长为7.2。 题型02 平行线分线段成比例求线段长度 4．（2025秋·江苏南京·期中）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC = 6，CE = 9，BD = 4，则DF =（　　） A．4 B．5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】由平行线分线段成比例得 = ，即 =，解得DF=6。 【详解】解：∵ AB∥CD∥EF， ∴ = （平行线分线段成比例）。 ∵ AC = 6，CE = 9，BD = 4， ∴ =，解得 DF = 4× = 6。 故选：C。 5．（2025秋·浙江杭州·月考）如图，l₁∥l₂∥l₃，AM = 4，MB = 6，CN = 5，则ND = ___7.5___。 【答案】7.5 【分析】由平行线分线段成比例得 = ，即 = ，解得ND=7.5。 【详解】解：∵ l₁∥l₂∥l₃， ∴ = （平行线分线段成比例）。 ∵ AM = 4，MB = 6，CN = 5， ∴ = ，解得 ND = 5× = 7.5。 故答案为：7.5。 6．（2025秋·山东济南·期中）如图，直线a∥b∥c，直线m、n分别交a、b、c于点A、B、C和D、E、F。已知AB = 3，BC = 6，EF = 8。 （1）求DE的长； （2）若直线m上还有一点G，且AG = 4，求G在直线n上的对应点H到D的距离。 【答案】（1）DE = 4；（2）DH = 【分析】（1）由平行线分线段成比例得 = ，即 = ，DE=4；（2）AG=4，AC=AB+BC=9，GC=AC-AG=5，由==，DF=DE+EF=12，DH=12×=。 【详解】解：（1）∵ a∥b∥c， ∴ = （平行线分线段成比例）。 ∵ AB = 3，BC = 6，EF = 8， ∴ = ，解得 DE = 3×8/6 = 4。 （2）∵ AG = 4，AC = AB + BC = 3 + 6 = 9， ∴ GC = AC - AG = 9 - 4 = 5。 ∵ a∥b∥c，∴ ==。 设 DH = 4k，HF = 5k，则 DF = DH + HF = 9k。 ∵ DF = DE + EF = 4 + 8 = 12， ∴ 9k = 12，解得 k = 。 ∴ DH = 4× = 。 答：（1）DE的长为4；（2）DH的距离为。 题型03 三角形中平行线分线段成比例（A型图） 7．（2025秋·湖北武汉·月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。若AD = 3，DB = 5，AE = 2.4，则EC =（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】由∥BC得 = ，即 = ，解得EC=4。 【详解】解：∵ DE∥BC， ∴ = （平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例）。 ∵ AD = 3，DB = 5，AE = 2.4， ∴ = ，解得 EC = 2.4× = 4。 故选：B。 8．（2025秋·湖南长沙·期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。若 = ，AC = 14，则AE = __6____，EC = __8____。 【答案】6；8 【分析】由DE∥BC得 = = ，所以AE=14×=6，EC=AC-AE=14-6=8。 【详解】解：∵ DE∥BC， ∴ = （平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例）。 ∵ = ，AC = 14， ∴ = ，即 AE = 14×3/7 = 6。 ∴ EC = AC - AE = 14 - 6 = 8。 故答案为：6；8。 9．（2025秋·河南郑州·月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。已知AD = 4，DB = 3，BC = 14。 （1）求的值； （2）求DE的长。 【答案】（1） = ；（2）DE = 8 【分析】（1）由DE∥BC得 = ，AB=AD+DB=7，所以 = ；（2）由DE∥BC得△ADE∽△ABC，= = ，所以DE=14×=8。 【详解】解：（1）∵ DE∥BC， ∴ = （平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例）。 ∵ AB = AD + DB = 4 + 3 = 7， ∴ = = 。 （2）∵ DE∥BC，∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C（两直线平行，同位角相等）。 又∵ ∠A = ∠A（公共角）， ∴ △ADE ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴ DE/BC = AD/AB = 。 ∵ BC = 14，∴ DE = 14× = 8。 答：（1）AE/AC的值为；（2）DE的长为8。 题型04 平行线分线段成比例的综合应用 10．（2025秋·河北石家庄·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC。下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由DE∥BC得AD/DB=AE/EC，AD/AB=AE/AC，AB/DB=AC/EC都正确。D选项AD/AB=EC/AC与正确的AD/AB=AE/AC矛盾，是错误的。 【详解】解：∵ DE∥BC， ∴ （推论），A正确； （推论），B正确； 由，得，两边减1得 = )，即 = ，所以，C正确； D选项，而由B正确知，若D正确则 = ，即AE=EC，这不一定成立，所以D错误。 故选：D。 11．（2025秋·陕西西安·月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。若AD = 5，AB = 8，DE = 10，则BC = __16____。 【答案】16 【分析】由得△ADE∽△ABC， = =，所以BC=10×=16。 【详解】解：∵ DE∥BC， ∴ △ADE ∽ △ABC（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似）。 ∴ = 。 ∵ AD = 5，AB = 8，DE = 10， ∴ = ，解得 BC = 10× = 16。 故答案为：16。 12．（2025秋·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，D在AB上，E在AC上，F在BC上。已知AD = 5，DB = 3，BF = 6。 （1）求FC的长； （2）求BC的长。 【答案】（1）FC = ；（2）BC = 【分析】（1）由DE∥BC得==，由EF∥AB得==，所以FC=6×=；（2）BC=BF+FC=6+=。 【详解】解：（1）∵ DE∥BC， ∴ = = （平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例）。 ∵ EF∥AB， ∴ = = （同理）。 ∵ BF = 6， ∴ = ，解得 FC = 6× = 。 （2）BC = BF + FC = 6 + = + = 。 答：（1）FC的长为；（2）BC的长为。 题型05 相似三角形判定定理的理解（选学内容） 13．（2025秋·重庆沙坪坝·月考）下列条件中，不能判定两个三角形相似的是（　　） A．两角分别相等 B．两边成比例且夹角相等 C．三边成比例 D．两边成比例且其中一边的对角相等 【答案】D 【分析】A是AA判定，B是SAS判定，C是SSS判定，D是SSA，不能判定相似。 【详解】解：A选项，两角分别相等的两个三角形相似（AA判定），可以判定； B选项，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS判定），可以判定； C选项，三边成比例的两个三角形相似（SSS判定），可以判定； D选项，两边成比例且其中一边的对角相等（SSA），不能判定两个三角形相似。 故选：D。 14．（2025秋·天津南开·期中）在△ABC和△A'B'C'中，若∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，则△ABC ∽ △A'B'C'，判定依据是___两角分别相等的两个三角形相似___。 【答案】两角分别相等的两个三角形相似（AA） 【分析】两角分别相等的两个三角形相似，这是AA判定定理。 【详解】解：在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∠A = ∠A'，∠B = ∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'（两角分别相等的两个三角形相似）。 判定依据是：两角分别相等的两个三角形相似（AA判定）。 故答案为：两角分别相等的两个三角形相似（AA）。 15．（2025秋·四川成都·月考）已知△ABC的三边长分别为AB = 6，BC = 9，AC = 12；△A'B'C'的三边长分别为A'B' = 2，B'C' = 3，A'C' = 4。 （1）判断△ABC与△A'B'C'是否相似； （2）说明判定依据。 【答案】（1）△ABC ∽ △A'B'C'；（2）三边成比例的两个三角形相似（SSS） 【分析】（1）计算对应边的比：==3，==3，==3，三边成比例，所以相似；（2）SSS判定。 【详解】解：（1）△ABC ∽ △A'B'C'。 （2） ∵ = = 3， = = 3， = = 3， (3)∴ = = = 3， 即△ABC与△A'B'C'的三边成比例。 ∴ △ABC ∽ △A'B'C'（三边成比例的两个三角形相似，SSS判定）。 答：（1）△ABC与△A'B'C'相似；（2）判定依据是三边成比例的两个三角形相似（SSS）。 题型06 判定定理证明方法的理解（选学内容） 16．（2025秋·安徽合肥·期中）在证明"两角分别相等的两个三角形相似"时，通常采用的方法是（　　） A．直接测量角度 B．在大三角形边上截取线段，作平行线 C．利用勾股定理 D．利用面积法 【答案】B 【分析】证明相似三角形判定定理的常用方法是：在大三角形的边上截取等于小三角形对应边的线段，作平行线，利用平行线分线段成比例证明。 【详解】解：证明相似三角形判定定理的常用方法： 在大三角形的边上截取等于小三角形对应边的线段，过截点作平行线， 利用平行线分线段成比例证明中间三角形与大三角形相似， 再证明中间三角形与小三角形全等，从而得到两个三角形相似。 故选：B。 17．（2025秋·福建福州·月考）在证明相似三角形判定定理时，在大三角形的边上截取等于小三角形对应边的线段后，需要作__平行____线，利用平行线分线段成比例来证明。 【答案】平行 【分析】证明判定定理时，截取线段后作平行线，利用平行线分线段成比例证明中间三角形与大三角形相似。 【详解】解：在证明相似三角形判定定理时， 先在大三角形的边上截取等于小三角形对应边的线段， 然后过截点作平行线， 利用平行线分线段成比例证明中间三角形与大三角形相似， 再证明中间三角形与小三角形全等。 故答案为：平行。 18．（2025秋·江西南昌·期中）简述证明"两边成比例且夹角相等的两个三角形相似"的基本思路。 【答案】证明思路见详解 【分析】在大三角形边上截取等于小三角形对应边的线段，作平行线，证明中间三角形与大三角形相似，再证明中间三角形与小三角形全等（SAS）。 【详解】解：证明"两边成比例且夹角相等的两个三角形相似"的基本思路： 设在△ABC和△A'B'C'中， = = k，∠A = ∠A'。 ① 在AB上截取AD = A'B'，在AC上截取AE = A'C'； ② 过D作DE∥BC，交AC于点E（由 = 可知E与截点重合）； ③ 由DE∥BC，得△ADE ∽ △ABC（平行线分线段成比例）； ④ 在△ADE和△A'B'C'中，AD = A'B'，∠A = ∠A'，AE = A'C'， ∴ △ADE ≌ △A'B'C'（SAS）； ⑤ ∴ △A'B'C' ∽ △ABC。 题型07 相似三角形判定的综合应用 19．（2025秋·云南昆明·期中）在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，若 = ，则下列结论正确的是（　　） A．DE∥BC B．△ADE ∽ △ACB C．△ADE ∽ △ABC D．AD = AE 【答案】B 【分析】由=，且∠A=∠A（公共角），根据SAS判定得△ADE∽△ACB（注意对应关系：AD对应AC，AE对应AB）。 【详解】解：在△ADE和△ACB中， ∵ = （已知）， ∠A = ∠A（公共角）， ∴ △ADE ∽ △ACB（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，SAS）。 注意对应关系：AD对应AC，AE对应AB，∠A对应∠A。 故选：B。 20．（2025秋·贵州贵阳·月考）在△ABC中，AB = 9，AC = 6，点D在AB上，AD = 3，点E在AC上。若△ADE与△ABC相似，则AE = ___2或4.5___。 【答案】2或4.5 【分析】分两种情况：①△ADE∽△ABC（AD对应AB，AE对应AC），===，AE=2；②△ADE∽△ACB（AD对应AC，AE对应AB），===，AE=4.5。 【详解】解：分两种情况： ① 当△ADE ∽ △ABC时， = ， 即 = ，解得 AE = 2； ② 当△ADE ∽ △ACB时， = ， 即 = ，解得 AE = 4.5。 故答案为：2或4.5。 21．（2025秋·广西南宁·期中）如图，在△ABC中，AB = 10，AC = 8，BC = 12，点D在AB上，AD = 4，点E在AC上，连接DE。 （1）若AE = 5，求证：△ADE ∽ △ACB； （2）在（1）的条件下，求DE的长。 【答案】（1）证明见详解；（2）DE = 6 【分析】（1）计算==，==，且∠A=∠A，由SAS得△ADE∽△ACB；（2）由相似得==，所以DE=12×=6。 【详解】解：（1）证明：∵ AD = 4，AC = 8，∴ = = 。 ∵ AE = 5，AB = 10，∴ = = 。 ∴ = = 。 又∵ ∠A = ∠A（公共角）， ∴ △ADE ∽ △ACB（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，SAS）。 （2）由（1）知△ADE ∽ △ACB， ∴ = = 。 ∵ CB = 12， ∴ DE = 12× = 6。 答：（1）△ADE ∽ △ACB得证；（2）DE的长为6。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2025秋·北京朝阳·期中）如图，l₁∥l₂∥l₃，直线a、b分别与l₁、l₂、l₃相交于A、B、C和D、E、F。若AB = 4，BC = 6，DE = 2，则DF =（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由平行线分线段成比例得=，即=，EF=3，DF=DE+EF=2+3=5。 【详解】解：∵ l₁∥l₂∥l₃， ∴ = （平行线分线段成比例）。 ∵ AB = 4，BC = 6，DE = 2， ∴ = ，解得 EF = 2× = 3。 ∴ DF = DE + EF = 2 + 3 = 5。 故选：C。 2．（2025秋·上海闵行·月考）在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。若AD:DB = 3:5，则下列结论正确的是（　　） A．AE:EC = 5:3 B．DE:BC = 3:5 C．AD:AB = 3:8 D．△ADE与△ABC的面积比为3:8 【答案】C 【分析】由DE∥BC得==，所以AE:EC=3:5，A错误；==，C正确；==，B错误；面积比为()²=，D错误。 【详解】解：∵ DE∥BC， ∴ = = ， ∴ AE:EC = 3:5，A错误； = = = ，C正确； ∵ △ADE ∽ △ABC， ∴ = = ，B错误； 面积比 = ² = ()² = ，D错误。 故选：C。 3．（2025-2026九年级上·广东深圳·单元测）如图，AB∥CD，AC与BD交于点O。若AO = 4，OC = 6，OD = 3，则OB =（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4.5 【答案】A 【分析】由AB∥CD得△OAB∽△OCD，所以=，即=，解得OB=2。 【详解】解：∵ AB∥CD， ∴ ∠OAB = ∠OCD，∠OBA = ∠ODC（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠AOB = ∠COD（对顶角相等）， ∴ △OAB ∽ △OCD（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴ = 。 ∵ AO = 4，OC = 6，OD = 3， ∴ = ，解得 OB = 4× = 2。 故选：A。 4．（2025秋·江苏苏州·期中）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（　　） A． = B． = C． = D． = 【答案】D 【分析】A、B、C都是平行线分线段成比例推论的逆用，可以判定DE∥BC。D选项=只能说明比例关系，不能判定平行。 【详解】解：A选项， = ，根据平行线分线段成比例推论的逆定理，可以判定DE∥BC； B选项， = ，同理可以判定DE∥BC； C选项， = ，即 = ，即 = ，所以 = ，可以判定DE∥BC； D选项， = ，只有两边成比例，没有夹角相等的条件，不能判定△ADE∽△ABC，也就不能判定DE∥BC。 故选：D。 5．（2025-2026九年级上·浙江宁波·月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD。下列比例式中正确的是（　　） A． = B． = C． = D．以上都正确 【答案】D 【分析】由DE∥BC得=，=，B正确；由EF∥CD得=，又=，所以=，A、C正确。所以以上都正确。 【详解】解：∵ DE∥BC， ∴ = ， = （平行线分线段成比例推论），B正确。 ∵ EF∥CD， ∴ = （同理）。 又∵ = ， ∴ = ，A、C正确。 ∴ 以上都正确。 故选：D。 6．（2025秋·山东青岛·期中）两个三角形的三边比分别为3:4:5和6:8:10，则这两个三角形（　　） A．一定相似 B．一定不相似 C．可能相似也可能不相似 D．全等 【答案】A 【分析】6:8:10 = 3:4:5（各项除以2），两个三角形的三边成比例，根据SSS判定，一定相似。 【详解】解：第一个三角形的三边比为3:4:5， 第二个三角形的三边比为6:8:10 = 3:4:5（各项除以2）。 ∴ 两个三角形的三边成比例。 根据SSS判定定理：三边成比例的两个三角形相似。 ∴ 这两个三角形一定相似。 故选：A。 （二）填空题 7．（2025秋·湖北武汉·月考）如图，l₁∥l₂∥l₃，两条直线被这组平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F。若AB:BC = 3:7，DF = 20，则DE = __6____，EF = __14____。 【答案】6；14 【分析】由平行线分线段成比例得DE:EF=AB:BC=3:7，DE+EF=DF=20，所以DE=20×=6，EF=20×=14。 【详解】解：∵ l₁∥l₂∥l₃， ∴ = = （平行线分线段成比例）。 设 DE = 3k，EF = 7k，则 DF = DE + EF = 10k。 ∵ DF = 20，∴ 10k = 20，解得 k = 2。 ∴ DE = 3×2 = 6，EF = 7×2 = 14。 故答案为：6；14。 8．（2025秋·湖南长沙·期中）在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。若AD = 6，DB = 4，AC = 15，则AE = __9____，EC = ___6___。 【答案】9；6 【分析】由DE∥BC得===，AE+EC=AC=15，所以AE=15×=9，EC=15×=6。 【详解】解：∵ DE∥BC， ∴ = = = （平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例）。 设 AE = 3k，EC = 2k，则 AC = AE + EC = 5k。 ∵ AC = 15，∴ 5k = 15，解得 k = 3。 ∴ AE = 3×3 = 9，EC = 2×3 = 6。 故答案为：9；6。 9．（2025秋·河南郑州·月考）在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。若 = ，△ADE的周长为8，则△ABC的周长为___20___。 【答案】20 【分析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，相似比为=，周长比等于相似比，所以△ABC的周长=8×=20。 【详解】解：∵ DE∥BC， ∴ △ADE ∽ △ABC（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似）。 相似比 k = = 。 ∵ 相似三角形的周长比等于相似比， ∴ △ADE的周长/△ABC的周长 = 。 ∵ △ADE的周长 = 8， ∴ 8/△ABC的周长 = ，解得 △ABC的周长 = 8× = 20。 故答案为：20。 10．（2025秋·河北石家庄·期中）如图，AB∥CD，AC与BD交于点O。若AO:OC = 3:5，△AOB的面积为9，则△COD的面积为___25___。 【答案】25 【分析】由AB∥CD得△AOB∽△COD，相似比为=，面积比为()²=，所以△COD的面积=9×=25。 【详解】解：∵ AB∥CD， ∴ △AOB ∽ △COD（两角分别相等的两个三角形相似）。 相似比 k = = 。 ∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴ S△△COD = ()² = 。 ∵ S△AOB = 9， ∴ △COD = ，解得 S△COD = 9× = 25。 故答案为：25。 11．（2025秋·陕西西安·月考）在△ABC中，AB = 12，AC = 8，点D在AB上，AD = 4，点E在AC上。若△ADE与△ABC相似，则AE = __或6____。 【答案】或6 【分析】分两种情况：①△ADE∽△ABC（AD对应AB），===，AE=；②△ADE∽△ACB（AD对应AC），===，AE=6。 【详解】解：分两种情况： ① 当△ADE ∽ △ABC时， = ， 即 = ，解得 AE = ； ② 当△ADE ∽ △ACB时， = ， 即 = ，解得 AE = 6。 故答案为：或6。 （三）解答题 12．（2025秋·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上，F在BC上，EF∥AB。已知AD = 6，DB = 4，BF = 8。 （1）求FC的长； （2）求BC的长； （3）求DE的长。 【答案】（1）FC = ；（2）BC = ；（3）DE = 8 【分析】（1）由DE∥BC得===，由EF∥AB得==，FC=8×=；（2）BC=BF+FC=8+=；（3）由DE∥BC得△ADE∽△ABC，===，DE=()×=8。 【详解】解：（1）∵ DE∥BC， ∴ = = = （平行线分线段成比例推论）。 ∵ EF∥AB， ∴ = = （同理）。 ∵ BF = 8， ∴ = ，解得 FC = 8× = 。 （2）BC = BF + FC = 8 + = + = 。 （3）∵ DE∥BC， ∴ △ADE ∽ △ABC。 ∴ = = = = 。 ∴ DE = BC× = ()× = 8。 答：（1）FC的长为；（2）BC的长为；（3）DE的长为8。 13．（2025秋·重庆渝中·月考）如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F。已知BD:DC = 3:2。 （1）求AF:FB的值； （2）求AE:EC的值； （3）若AB = 15，求AF和FB的长。 【答案】（1）AF:FB = 2:3；（2）AE:EC = 3:2；（3）AF = 6，FB = 9 【分析】（1）由DF∥AC得==；（2）由DE∥AB得==；（3）AF:FB=2:3，AF+FB=15，AF=6，FB=9。 【详解】解：（1）∵ DF∥AC， ∴ = （平行线分线段成比例推论）。 ∵ BD:DC = 3:2，∴ = ， ∴ AF:FB = 2:3。 （2）∵ DE∥AB， ∴ = = （同理）。 ∴ AE:EC = 3:2。 （3）∵ AF:FB = 2:3， 设 AF = 2k，FB = 3k， 则 AB = AF + FB = 5k。 ∵ AB = 15，∴ 5k = 15，解得 k = 3。 ∴ AF = 2×3 = 6，FB = 3×3 = 9。 答：（1）AF:FB = 2:3；（2）AE:EC = 3:2；（3）AF = 6，FB = 9。 14．（2025秋·天津和平·期中）如图，在△ABC中，AB = AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD = CE，DE交BC于点F。 （1）求证：DF = FE； （2）若AB:BD = 5:2，BC = 10，求BF和FC的长。 【答案】（1）证明见详解；（2）BF = 7，FC = 3 【分析】（1）过D作DG∥AC交BC于G，证明△DGF≌△ECF（ASA），得DF=FE；（2）由DG∥AC得==，BG=4，GC=6，由全等得GF=FC=3，所以BF=BG+GF=7。 【详解】解：（1）证明：过D作DG∥AC，交BC于点G。 ∵ DG∥AC， ∴ ∠DGB = ∠ACB。 ∵ AB = AC，∴ ∠B = ∠ACB， ∴ ∠B = ∠DGB， ∴ BD = DG（等角对等边）。 ∵ BD = CE，∴ DG = CE。 ∵ DG∥AC， ∴ ∠GDF = ∠E，∠DGF = ∠ECF。 在△DGF和△ECF中： ∠GDF = ∠E，DG = CE，∠DGF = ∠ECF， ∴ △DGF ≌ △ECF（ASA）。 ∴ DF = FE。 （2）∵ DG∥AC，∴ = （平行线分线段成比例推论）。 ∵ AB:BD = 5:2， ∴ = ， ∴ = ，BG = BC× = 10× = 4。 ∴ GC = BC - BG = 10 - 4 = 6。 由（1）知△DGF ≌ △ECF， ∴ GF = FC。 ∵ GC = GF + FC = 2FC， ∴ FC = = = 3。 ∴ BF = BG + GF = 4 + 3 = 7。 答：（1）DF = FE得证；（2）BF = 7，FC = 3。 15．（2025秋·四川成都·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，点F是边BC的中点，连接AF交DE于点G。已知AD = 5，DB = 3，BC = 16。 （1）求DE的长； （2）求证：DG = GE； （3）求AG:GF的值。 【答案】（1）DE = 10；（2）证明见详解；（3）AG:GF = 5:3 【分析】（1）由DE∥BC得△ADE∽△ABC， = = ，DE=×=10；（2）由DG∥BF得 = ，由GE∥FC得 = ，所以 = ，又BF=FC（F是中点），所以DG=GE；（3）由DE∥BC得 = = ，所以AG:GF=5:3。 【详解】解：（1）∵ DE∥BC， ∴ △ADE ∽ △ABC。 ∴ = = 。 ∵ BC = 16，∴ DE = 16× = 10。 （2）证明：∵ DG∥BF（DE∥BC）， ∴ = （平行线分线段成比例）。 ∵ GE∥FC（DE∥BC）， ∴ = （同理）。 ∴ = 。 ∵ F是BC的中点，∴ BF = FC。 ∴ DG = GE。 （3）∵ DE∥BC， ∴ = = 。 设 AG = 5k，AF = 8k，则 GF = AF - AG = 3k。 ∴ AG:GF = 5k:3k = 5:3。 答：（1）DE的长为10；（2）DG = GE得证；（3）AG:GF = 5:3。 三、中考链接题 1．（2026·北京中考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点O。若AO = 3，OC = 5，BD = 16，则OD =（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由AB∥CD得△OAB∽△OCD，，OB+OD=BD=16，OD=16×=10。 【详解】解：∵ AB∥CD， ∴ △OAB ∽ △OCD（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴。 设 OB = 3k，OD = 5k，则 BD = OB + OD = 8k。 ∵ BD = 16，∴ 8k = 16，解得 k = 2。 ∴ OD = 5×2 = 10。 故选：C。 2．（2026·上海中考）在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。若AD = 4，AB = 10，DE = 6，则BC =（　　） A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，DE/BC=AD/AB=4/10=2/5，BC=6×5/2=15。 【详解】解：∵ DE∥BC， ∴ △ADE ∽ △ABC（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似）。 ∴ 。 ∵ AD = 4，AB = 10，DE = 6， ∴ ，解得 BC = 15。 故选：C。 3．（2026·广东中考）如图，l₁∥l₂∥l₃，直线a、b分别与l₁、l₂、l₃相交于A、B、C和D、E、F。若AB = 4，BC = 6，DF = 15，则DE =（　　） A．5 B．6 C．7.5 D．9 【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例得AB/BC=DE/EF=4/6=2/3，DE+EF=DF=15，DE=15×2/(2+3)=6。 【详解】解：∵ l₁∥l₂∥l₃， ∴ （平行线分线段成比例）。 设 DE = 2k，EF = 3k，则 DF = DE + EF = 5k。 ∵ DF = 15，∴ 5k = 15，解得 k = 3。 ∴ DE = 2×3 = 6。 故选：B。 4．（2026·江苏中考）在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，下列条件中能判定DE∥BC的是（　　） A． = B． = C． = D． = 【答案】A 【分析】A选项AD/AB=AE/AC，根据平行线分线段成比例推论的逆定理，可以判定DE∥BC。B、C、D都只有比例关系，没有对应角相等的条件，不能判定相似，也就不能判定平行。 【详解】解：A选项， = ，根据平行线分线段成比例推论的逆定理，可以判定DE∥BC； B选项， = ，只有两边成比例，没有夹角相等，不能判定相似，也就不能判定平行； C选项， = ，只有比例关系，不能判定相似； D选项， = ，只有两边成比例，不能判定相似。 故选：A。 5．（2026·浙江中考）两个相似三角形的相似比为2:5，面积差为63，则较大三角形的面积为（　　） A．75 B．90 C．100 D．125 【答案】A 【分析】相似比为2:5，面积比为4:25，设面积分别为4k和25k，25k-4k=21k=63，k=3，较大面积=25×3=75。 【详解】解：∵ 两个相似三角形的相似比为2:5， ∴ 它们的面积比为(2:5)² = 4:25。 设较小三角形的面积为4k，较大三角形的面积为25k。 由题意得 25k - 4k = 63，即 21k = 63，解得 k = 3。 ∴ 较大三角形的面积 = 25k = 25×3 = 75。 故选：A。 6．（2026·山东中考）在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。若AD:DB = 2:3，△ADE的面积为8，则△ABC的面积为__50____。 【答案】50 【分析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，相似比 = ，面积比为()²=，△ABC的面积=8×=50。 【详解】解：∵ DE∥BC， ∴ △ADE ∽ △ABC。 相似比 k = = 。 ∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴ =()²= 。 ∵ = 8， ∴ ，解得 S△ABC = 8× = 50。 故答案为：50。 7．（2026·湖北中考）如图，l₁∥l₂∥l₃，两条直线被这组平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F。若AB = 3，BC = 5，EF = 10，则DE = ___6___，DF = __16____。 【答案】6；16 【分析】由平行线分线段成比例得AB/BC=DE/EF=3/5，DE=10×3/5=6，DF=DE+EF=6+10=16。 【详解】解：∵ l₁∥l₂∥l₃， ∴ AB/BC = DE/EF（平行线分线段成比例）。 ∵ AB = 3，BC = 5，EF = 10， ∴ = ，解得 DE = 3× = 6。 ∴ DF = DE + EF = 6 + 10 = 16。 故答案为：6；16。 8．（2026·四川中考）在△ABC中，AB = 15，AC = 10，点D在AB上，AD = 5，点E在AC上。若△ADE与△ABC相似，则AE = __或7.5____。 【答案】或7.5 【分析】分两种情况：①△ADE∽△ABC（AD对应AB）， = = =，AE=；②△ADE∽△ACB（AD对应AC）， = = =，AE=7.5。 【详解】解：分两种情况： ① 当△ADE ∽ △ABC时， =， 即 = AE/10，解得 AE = ； ② 当△ADE ∽ △ACB时， =， 即 = ，解得 AE = 7.5。 故答案为：或7.5。 9．（2026·河南中考）如图，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上，F在BC上，EF∥AB。已知AD = 8，DB = 4，FC = 5。 （1）求BF的长； （2）求BC的长； （3）求DE的长。 【答案】（1）BF = 10；（2）BC = 15；（3）DE = 10 【分析】（1）由DE∥BC得，由EF∥AB得，BF=5×2=10；（2）BC=BF+FC=10+5=15；（3）由DE∥BC得△ADE∽△ABC，，DE=15×=10。 【详解】解：（1）∵ DE∥BC， ∴ （平行线分线段成比例推论）。 ∵ EF∥AB， ∴ （同理）。 ∵ FC = 5，∴ = 2，解得 BF = 5×2 = 10。 （2）BC = BF + FC = 10 + 5 = 15。 （3）∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽ △ABC。 ∴ 。 ∴ DE = 15× = 10。 答：（1）BF的长为10；（2）BC的长为15；（3）DE的长为10。 10．（2026·陕西中考）如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F。已知BD = 6，DC = 4，AB = 15，AC = 10。 （1）求AF和FB的长； （2）求AE和EC的长； （3）求四边形AFDE的周长。 【答案】（1）AF = 6，FB = 9；（2）AE = 6，EC = 4；（3）周长为24 【分析】（1）由DF∥AC得，AF+FB=15，AF=6，FB=9；（2）由DE∥AB得，AE+EC=10，AE=6，EC=4；（3）四边形AFDE是平行四边形，AF=DE=6，AE=DF=6，周长=2×(6+6)=24。 【详解】解：（1）∵ DF∥AC， ∴ （平行线分线段成比例推论）。 设 AF = 2k，FB = 3k，则 AB = AF + FB = 5k。 ∵ AB = 15，∴ 5k = 15，解得 k = 3。 ∴ AF = 2×3 = 6，FB = 3×3 = 9。 （2）∵ DE∥AB， ∴ （同理）。 设 AE = 3m，EC = 2m，则 AC = AE + EC = 5m。 ∵ AC = 10，∴ 5m = 10，解得 m = 2。 ∴ AE = 3×2 = 6，EC = 2×2 = 4。 （3）∵ DE∥AB，DF∥AC， ∴ 四边形AFDE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。 ∴ DE = AF = 6，DF = AE = 6。 四边形AFDE的周长 = 2(AF + AE) = 2(6 + 6) = 24。 答：（1）AF = 6，FB = 9；（2）AE = 6，EC = 4；（3）四边形AFDE的周长为24。 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第3章 图形的相似 3.3 三角形相似判定定理的证明 本节知识点总结 1．平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。即在△ABC中，若DE∥BC，D在AB上，E在AC上，则AD/DB = AE/EC，AD/AB = AE/AC = DE/BC。 3．相似三角形判定定理1（AA）：两角分别相等的两个三角形相似。 4．相似三角形判定定理2（SAS）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5．相似三角形判定定理3（SSS）：三边成比例的两个三角形相似。 6．判定定理的证明方法（选学）：在大三角形的边上截取等于小三角形对应边的线段，作平行线，利用平行线分线段成比例证明中间三角形与大三角形相似，再证明中间三角形与小三角形全等。 7．注意：判定定理的证明是选学内容，不作考试要求，重点掌握平行线分线段成比例及其推论的应用。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 平行线分线段成比例的基本应用 1．（2025秋·北京海淀·期中）如图，直线l₁∥l₂∥l₃，直线AC分别交l₁、l₂、l₃于点A、B、C，直线DF分别交l₁、l₂、l₃于点D、E、F。若AB = 3，BC = 5，DE = 2.4，则EF =（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 2．（2025秋·上海浦东·月考）如图，直线l₁∥l₂∥l₃，两条直线被这组平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F。若AB = 4，BC = 6，DF = 15，则DE = ______，EF = ______。 3．（2025秋·广东广州·单元测）如图，直线l₁∥l₂∥l₃，直线AC分别交l₁、l₂、l₃于A、B、C，直线DF分别交l₁、l₂、l₃于D、E、F。已知AB = 5，BC = 7，DE = 3。 （1）求EF的长； （2）求DF的长。 题型02 平行线分线段成比例求线段长度 4．（2025秋·江苏南京·期中）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC = 6，CE = 9，BD = 4，则DF =（　　） A．4 B．5 C．6 D．7.5 5．（2025秋·浙江杭州·月考）如图，l₁∥l₂∥l₃，AM = 4，MB = 6，CN = 5，则ND = ______。 6．（2025秋·山东济南·期中）如图，直线a∥b∥c，直线m、n分别交a、b、c于点A、B、C和D、E、F。已知AB = 3，BC = 6，EF = 8。 （1）求DE的长； （2）若直线m上还有一点G，且AG = 4，求G在直线n上的对应点H到D的距离。 题型03 三角形中平行线分线段成比例（A型图） 7．（2025秋·湖北武汉·月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。若AD = 3，DB = 5，AE = 2.4，则EC =（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 8．（2025秋·湖南长沙·期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。若 = ，AC = 14，则AE = ______，EC = ______。 9．（2025秋·河南郑州·月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。已知AD = 4，DB = 3，BC = 14。 （1）求的值； （2）求DE的长。 题型04 平行线分线段成比例的综合应用 10．（2025秋·河北石家庄·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC。下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 11．（2025秋·陕西西安·月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。若AD = 5，AB = 8，DE = 10，则BC = ______。 12．（2025秋·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，D在AB上，E在AC上，F在BC上。已知AD = 5，DB = 3，BF = 6。 （1）求FC的长； （2）求BC的长。 题型05 相似三角形判定定理的理解（选学内容） 13．（2025秋·重庆沙坪坝·月考）下列条件中，不能判定两个三角形相似的是（　　） A．两角分别相等 B．两边成比例且夹角相等 C．三边成比例 D．两边成比例且其中一边的对角相等 14．（2025秋·天津南开·期中）在△ABC和△A'B'C'中，若∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，则△ABC ∽ △A'B'C'，判定依据是______。 15．（2025秋·四川成都·月考）已知△ABC的三边长分别为AB = 6，BC = 9，AC = 12；△A'B'C'的三边长分别为A'B' = 2，B'C' = 3，A'C' = 4。 （1）判断△ABC与△A'B'C'是否相似； （2）说明判定依据。 题型06 判定定理证明方法的理解（选学内容） 16．（2025秋·安徽合肥·期中）在证明"两角分别相等的两个三角形相似"时，通常采用的方法是（　　） A．直接测量角度 B．在大三角形边上截取线段，作平行线 C．利用勾股定理 D．利用面积法 17．（2025秋·福建福州·月考）在证明相似三角形判定定理时，在大三角形的边上截取等于小三角形对应边的线段后，需要作______线，利用平行线分线段成比例来证明。 18．（2025秋·江西南昌·期中）简述证明"两边成比例且夹角相等的两个三角形相似"的基本思路。 题型07 相似三角形判定的综合应用 19．（2025秋·云南昆明·期中）在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，若 = ，则下列结论正确的是（　　） A．DE∥BC B．△ADE ∽ △ACB C．△ADE ∽ △ABC D．AD = AE 20．（2025秋·贵州贵阳·月考）在△ABC中，AB = 9，AC = 6，点D在AB上，AD = 3，点E在AC上。若△ADE与△ABC相似，则AE = ______。 21．（2025秋·广西南宁·期中）如图，在△ABC中，AB = 10，AC = 8，BC = 12，点D在AB上，AD = 4，点E在AC上，连接DE。 （1）若AE = 5，求证：△ADE ∽ △ACB； （2）在（1）的条件下，求DE的长。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2025秋·北京朝阳·期中）如图，l₁∥l₂∥l₃，直线a、b分别与l₁、l₂、l₃相交于A、B、C和D、E、F。若AB = 4，BC = 6，DE = 2，则DF =（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025秋·上海闵行·月考）在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。若AD:DB = 3:5，则下列结论正确的是（　　） A．AE:EC = 5:3 B．DE:BC = 3:5 C．AD:AB = 3:8 D．△ADE与△ABC的面积比为3:8 3．（2025-2026九年级上·广东深圳·单元测）如图，AB∥CD，AC与BD交于点O。若AO = 4，OC = 6，OD = 3，则OB =（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4.5 4．（2025秋·江苏苏州·期中）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（　　） A． = B． = C． = D． = 5．（2025-2026九年级上·浙江宁波·月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD。下列比例式中正确的是（　　） A． = B． = C． = D．以上都正确 6．（2025秋·山东青岛·期中）两个三角形的三边比分别为3:4:5和6:8:10，则这两个三角形（　　） A．一定相似 B．一定不相似 C．可能相似也可能不相似 D．全等 （二）填空题 7．（2025秋·湖北武汉·月考）如图，l₁∥l₂∥l₃，两条直线被这组平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F。若AB:BC = 3:7，DF = 20，则DE = ______，EF = ______。 8．（2025秋·湖南长沙·期中）在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。若AD = 6，DB = 4，AC = 15，则AE = ______，EC = _____。 9．（2025秋·河南郑州·月考）在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。若 = ，△ADE的周长为8，则△ABC的周长为______。 10．（2025秋·河北石家庄·期中）如图，AB∥CD，AC与BD交于点O。若AO:OC = 3:5，△AOB的面积为9，则△COD的面积为______。 11．（2025秋·陕西西安·月考）在△ABC中，AB = 12，AC = 8，点D在AB上，AD = 4，点E在AC上。若△ADE与△ABC相似，则AE = ______。 （三）解答题 12．（2025秋·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上，F在BC上，EF∥AB。已知AD = 6，DB = 4，BF = 8。 （1）求FC的长； （2）求BC的长； （3）求DE的长。 13．（2025秋·重庆渝中·月考）如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F。已知BD:DC = 3:2。 （1）求AF:FB的值； （2）求AE:EC的值； （3）若AB = 15，求AF和FB的长。 14．（2025秋·天津和平·期中）如图，在△ABC中，AB = AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD = CE，DE交BC于点F。 （1）求证：DF = FE； （2）若AB:BD = 5:2，BC = 10，求BF和FC的长。 15．（2025秋·四川成都·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，点F是边BC的中点，连接AF交DE于点G。已知AD = 5，DB = 3，BC = 16。 （1）求DE的长； （2）求证：DG = GE； （3）求AG:GF的值。 三、中考链接题 1．（2026·北京中考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点O。若AO = 3，OC = 5，BD = 16，则OD =（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2026·上海中考）在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。若AD = 4，AB = 10，DE = 6，则BC =（　　） A．10 B．12 C．15 D．18 3．（2026·广东中考）如图，l₁∥l₂∥l₃，直线a、b分别与l₁、l₂、l₃相交于A、B、C和D、E、F。若AB = 4，BC = 6，DF = 15，则DE =（　　） A．5 B．6 C．7.5 D．9 4．（2026·江苏中考）在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，下列条件中能判定DE∥BC的是（　　） A． = B． = C． = D． = 5．（2026·浙江中考）两个相似三角形的相似比为2:5，面积差为63，则较大三角形的面积为（　　） A．75 B．90 C．100 D．125 6．（2026·山东中考）在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上。若AD:DB = 2:3，△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______。 7．（2026·湖北中考）如图，l₁∥l₂∥l₃，两条直线被这组平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F。若AB = 3，BC = 5，EF = 10，则DE = ______，DF = ______。 8．（2026·四川中考）在△ABC中，AB = 15，AC = 10，点D在AB上，AD = 5，点E在AC上。若△ADE与△ABC相似，则AE = ______。 9．（2026·河南中考）如图，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上，F在BC上，EF∥AB。已知AD = 8，DB = 4，FC = 5。 （1）求BF的长； （2）求BC的长； （3）求DE的长。 10．（2026·陕西中考）如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F。已知BD = 6，DC = 4，AB = 15，AC = 10。 （1）求AF和FB的长； （2）求AE和EC的长； （3）求四边形AFDE的周长。 学科网（北京）股份有限公司 $