2.4 一元二次方程的应用 同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用，以基础巩固为核心，通过三级梯度设计实现从单一模型到综合应用的进阶，培养数学建模与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|传播、增长率等单一模型|单选1-5、填空9-12，直接套用公式，强化模型认知| |中档层|图形、握手问题等综合模型|单选6-8、填空13，结合几何直观与逻辑推理，如矩形折叠动态问题| |提升层|动态几何与实际综合应用|解答14-18，需构建方程解决利润、面积等复杂问题，发展应用意识|

2.4 一元二次方程的应用 同步练习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某品牌新能源汽车在海南的月销售量从月份的辆增加到月份的辆．设该新能源汽车月份至月份的销售量平均每月的增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长、宽的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为，则根据题意，列方程为（ ） A． B． C． D． 4．两个相邻奇数的积是，求这两个奇数，设较小的奇数为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 5．某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销量，该商场准备降价销售.经市场调查发现，每件恤每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件T恤降价元，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 6．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 7．元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 10．下表是某公司1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为，则可列出方程为______． 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10    12 14    11．如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当时，则______．    12．有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为___________． 13．根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m)约为．根据上述规律，物体经过_____秒落回到地面． 三、解答题 14．李师傅开了一家商店，第1个月开始盈利，第2个月盈利2400元，第4个月盈利4056元，且从第2个月到第4个月，每月盈利的平均增长率都相同． (1)求从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率； (2)按照这个平均增长率，预计第5个月这家商店盈利多少元． 15．如图，一水产养殖基地计划在一块边长为的正方形空地上，修建一个面积为的正方形池塘，且正方形池塘的四个顶点分别在正方形空地的边上，池塘四周剩余的4个全等的直角三角形空地均铺满草坪，当直角三角形草坪的直角边长分别为多少米时，才能修建成符合要求的池塘？    16．小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇・赤壁怀古》；“大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年䍅为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，求周瑜去世时年龄．注：“而立之年”指的是三十岁，两位数表示为（十位数字）+（个位数字）． 17．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    18．如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C A A B A D 1．【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据传染模型正确列出方程．初始有人患流感，每轮传染中平均一个人传染人，经过两轮传染后总人数为，据此列方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人． 初始患病人数为， 第一轮后患病人数为：， 第二轮新增患病人数为：， 两轮后总患病人数为：． 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． 根据平均每月增长率模型，列方程即可． 【详解】解：根据题意可得． 故选：B. 3．【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元二次方程． 设小道的宽为，将小道平移后根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：如图，设小道的宽为，平移后的种植面积如图阴影所示， 则种植部分的长为，宽为， 由题意得：． 故选：C． 4．【答案】A 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由两个连续的奇数相差，得到较大的数为，再根据两数的积为即可列出方程，根据题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：依题意得，较大的数为， 则有：， 故选：． 5．【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意，每件利润为售价减进价，降价x元后每件利润为元；销售量因降价增加，为件，总利润为每件利润乘以销售量，据此列方程． 【详解】解：∵降价后每件利润为元，每周销售量为件， ∴由总利润3600元得方程：， 故选：A． 6．【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 7．【答案】A 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 8．【答案】D 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 9．【答案】9 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 10．【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用， 3月份的收入月份的收入月收入的增长率，由此可解． 【详解】解：由题意知，1月份收入10万元， 则2月份收入万元，3月份收入万元， 则可列方程为：， 故答案为：． 11．【答案】10 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设第层小黑点数为，由题意得：，再用x减去1即可求得n． 【详解】解：设第层小黑点数为， 由题意得： 化简得： 解得：（舍）， ∴， 故答案为：10． 12．【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（握手问题），解题的关键是理解每两人相互行礼一次的总次数为握手数． 通过分析诸侯人数与行礼次数的握手关系，列出对应的方程． 【详解】解：设有个诸侯，每个诸侯需与其余个诸侯行礼，但每两人之间的行礼会被重复计算一次，因此实际总行礼次数为， 已知总行礼次数为15次，所以可列方程：． 故答案为：． 13．【答案】2 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程解决问题． 由题意可知物体回落到地面，也就是说为0，建立方程求得答案即可． 【详解】解：， 落回地面时， 所以， 解得：或， 因为时间为零时未扔出， 所以舍去． 答：物体经过2秒回落地面． 故答案为：2． 14．【答案】(1)从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为 (2)预计第5个月这家商店的盈利为5272.8元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题． （1）设每月盈利的平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额 增长率 4月份的盈利额，列出方程求解即可； （2）5月份盈利4月份盈利（1+增长率）． 【详解】（1）解：设从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为x． ， ，， ， ， 答：从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为； （2）， 答：预计第5个月这家商店的盈利为5272.8元． 15．【答案】当直角三角形草坪的直角边长分别为4米和12米时，才能修建成符合要求的池塘 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、全等三角形的性质、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．全等三角形的性质，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先充分理解题意，得，则铺草坪的总面积是面积的4倍，，再结合修建一个面积为的正方形池塘，进行列出方程，再进行计算，即可作答． 【详解】解：由题可知， ∴铺草坪的总面积是面积的4倍，， 设的边长为x米， 则米， 根据题意得， 解得或， 当时，；当时，． 答：当直角三角形草坪的直角边长分别为4米和12米时，才能修建成符合要求的池塘． 16．【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为，然后根据个位的平方恰好等于该数列出方程求解即可． 【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为， 由题意得， 解得， ∴十位数字为2或3 ∵而立之年督东吴，“而立之年”指的是三十岁， ∴应舍去， ∴周瑜去世时年龄为36岁． 17．【答案】最小数为8，最大数为18 【知识点】图表信息题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 18．【答案】(1)或 (2)能， 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用； （1）根据题意得，，由勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）分类讨论：当时，当时，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ，， ， ， 解得，， 故或后，的长度等于． （2）解：能； ， ； 当时， ， ， 整理得， 解得； 当时， ， ， 整理得， ， 此时方程无实数解， 故此种情况不存在； 综上所述：当时，线段能将分成面积的两部分． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $