2.4 一元二次方程的应用——行程问题、营销利润问题 同步练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程的行程与营销利润问题，通过基础选择、中档应用到综合情境题的三层设计，实现从单一知识点到复杂问题解决的进阶，培养数学抽象与模型应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一问题方程建立|选择/填空题（如行程问题第1题），考查方程抽象能力| |进阶层|基本情境应用|简单应用题（如营销利润问题第1题），训练运算与推理能力| |综合层|复杂多问情境综合|多问情境题（如行程问题第5题、营销利润问题第5题），提升数学建模与问题解决能力|

2.4 一元二次方程——行程问题、营销利润问题 考向1 行程问题 1.（2025-2026达州初三上学期期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 2.（2024-2025学年乌鲁木齐初三上学期期中）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． （1）两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ （2）到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】（1）第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 （2）60分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； 【小问2详解】 解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 3.（2026贵阳一模）如图，某海军基地位于处，在其正南方向20海里处有一重要目标，在的正西方向20海里处有一重要目标，小岛位于的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从出发，经到匀速直线巡航． （1）为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处，求军舰原来的速度是多少？ （2）在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰航行的总路程是补给船的3倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里？ 【答案】（1）军舰原来的速度是海里； （2）补给船航行了海里． 【解析】 【分析】（1）设原来的速度为v海里，则调整后的速度为海里，先求出总路程，再根据题意列分式方程求解即可； （2）连接交中点于F，则是的中位线，可知海里，海里，，设相遇时补给船航行了海里，则海里，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设原来的速度为v海里，则调整后的速度为海里， 由题意可知海里，海里， 则总路程为（海里）， ∵军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴军舰原来的速度是海里； 【小问2详解】 解：取的中点，连接， 则是的中位线， ∴海里，海里，， 设相遇时补给船航行了海里，即海里， ∵军舰航行的总路程是补给船的3倍， ∴军舰路程为海里， 则海里， ∴海里， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 当时，与重合，为正南方向，不符合“南偏东”的条件，舍去， ∴补给船航行了海里． 4.（2025-2026学年新乡初三上学期期末）物理实验课上某小组做一个实验：在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度在A处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度（单位：）随滚动时间t（单位：）变化的数据，整理得下表． 滚动时间 0 1 2 3 4 滚动速度 8 7 6 5 4 （1）探究发现，黑球的滚动速度与滚动时间t之间成一次函数关系．直接写出关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． （2）黑球在滑道上滚动用了多少秒？ （3）求黑球在滑道上滚动的最远距离．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度） 【答案】（1） （2）2秒 （3）黑球在滑道上滚动的最远距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，求一次函数关系式，不等式组的应用，正确求出关于t的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再根据得出，据此建立方程求解即可； （3）根据，由二次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设关于t的函数解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴关于t的函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵，，且黑球均匀减速， ∴黑球的平均速度为， ∴黑球所走的路程， 当时，则， 整理得 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴， 答：黑球在滑道上滚动用了2秒； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由（2）得黑球所走的路程， ∵， ∴当，即时，s有最大值，最大值为32， 答：黑球在滑道上滚动的最远距离为． 5.（2025-2026学年三明初三上学期阶段测试）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． （1）两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ （2）若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】（1）或小时； （2）上午时． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； 【小问2详解】 解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 考向2 营销利润问题 1.（2025-2026学年吉林初二下学期期中）某品牌粽子专营店在销售中发现，一盒鲜肉粽的进价为元，销售价为元时，每天可售出盒，为了迎接“端午节”，该店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若该种粽子每盒降价元，则平均可多售出盒．设该种粽子每盒降价元； （1）每天可销售______盒，每盒盈利______元；（用含的代数式表示） （2）求该种粽子每盒降价多少元时，平均每天可盈利元； （3）若店长希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）这个愿望不能实现，理由如下： 根据题意，得， 整理得：， ， 所以该方程没有实数根，店长的平均每天盈利元的愿望不能实现． 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用以及一元二次方程根的判别式的应用． （1）根据降价后的销量变化和单盒利润变化列出含的代数式； （2）根据总利润=单盒利润×销售量的等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合题意的根得到结果； （3）同样根据总利润的等量关系列一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否存在实数根，即可判断愿望能否实现． 【小问1详解】 设该种粽子每盒降价元，由题意可得： 可多售出盒， 每天可销售盒数是：盒． 降价前每盒原利润是:元, 降价元后每盒利润为:元． 【小问2详解】 由题意可得: 解得:(舍去), , 答:该种粽子每盒降价元时，平均每天可盈利元 【小问3详解】 略 2.（2026烟台中考）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量 （件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求 与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】（1） （2）该款文创产品每件的售价为35元． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【小问1详解】 解：设 与的函数表达式为 ， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 3.近年来，公园露营成为市民休闲的新方式．每逢周末，在各大公园总能见到成片的帐篷．某户外用品店看准商机，决定采购星空帐篷和普通帐篷两种产品进行销售．已知每顶星空帐篷的进价是每顶普通帐篷的2倍，4月份该店用5000元采购普通帐篷，8000元采购星空帐篷，结果普通帐篷的数量比星空帐篷的数量多5顶． （1）求每顶普通帐篷和星空帐篷的进价分别为多少元？ （2）4月份帐篷销售火爆，库存告急，5月份该店决定再次采购两种帐篷．其中普通帐篷的采购数量与上月相同，每顶的进价比上月降低了；星空帐篷的采购数量比上月增加了顶，每顶的进价比上月降低了，结果5月份采购这两种帐篷一共用了12000元，求m的值． 【答案】（1）每顶普通帐篷进价元，每顶星空帐篷进价元 （2） 【解析】 【分析】（1）设每顶普通帐篷的进价为元，由题意得每顶星空帐篷进价为元， 根据普通帐篷数量比星空帐篷多5顶列方程求解即可； （2）根据普通帐篷总费用为元，星空帐篷数量为顶，新进价为元，由总采购费为12000元，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设每顶普通帐篷的进价为元，由题意得每顶星空帐篷进价为元， 根据普通帐篷数量比星空帐篷多5顶 列分式方程：  化简得：，解得 经检验，是原方程的解， 因此 即普通帐篷进价200元，星空帐篷进价400元； 【小问2详解】 解：4月份采购数量： 普通帐篷数量：顶，星空帐篷数量：顶， 5月份采购条件：普通帐篷：数量25顶，新进价为元，总费用：元； 星空帐篷：数量为顶，新进价为元， 由总采购费为12000元，列方程：  化简整理得：    因为， 所以 4.（2025-2026学年重庆初二下学期期中） 某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为，其中乘坐游船的人数为万人，乘坐观光车人数为万人，游船票与观光车票销售总额为万元． （1）求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ （2）为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础上降低，观光车票价比四月份降低元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了万元，求的值． 【答案】（1）四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据票价比例设未知数，结合总销售额列一元一次方程求解； （2）据票价和人数的变化表示出五月份总销售额，结合总额变化条件列方程求解，舍去不符合的根得到结果． 【小问1详解】 解：设四月份游船票价为元，观光车票价为元. 将单位统一为元，0.8万人人，1万人人，60万元元． 根据题意列方程得：， 解得， 因此，． 答：四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元； 【小问2详解】 解：根据题意，五月份游船票价为元，乘坐游船人数为0.8万人，观光车票价为元，乘坐观光车人数为万人，总销售额为 万元，单位统一为万元， 列方程得：， 化简得：， 整理得：， 解得，（舍去）． 答：a的值为50． 5.（2025-2026学年大庆初二下学期期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过6米，且不小于2.5米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下：，由，得；∴代数式的最大值是7． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额−收购总成本−冷库总费用） （2）该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ （3）请写出此次收购的草莓一次性出售的最大利润为__________元． 【答案】（1）米时，符合要求 （2）在第10天出售 （3）900元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案； （2）设在第天出售，根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案； （3）设草莓存放天，总利润为，则，利用配方法可得，然后确定最大利润即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可得， 整理可得， 解得， 又∵， ∴当时，不符合题意，当米时，符合题意， ∴米时，符合要求； 【小问2详解】 设在第天出售，根据题意，可得 ， 整理可得， 解得（超出最大保存期限，舍去）， ∴在第10天出售； 【小问3详解】 设草莓存放天，总利润为， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为900元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 一元二次方程——行程问题、营销利润问题 考向1 行程问题 1.（2025-2026达州初三上学期期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（ ） A. B. C. D. 2.（2024-2025学年乌鲁木齐初三上学期期中）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． （1）两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ （2）到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 3.（2026贵阳一模）如图，某海军基地位于处，在其正南方向20海里处有一重要目标，在的正西方向20海里处有一重要目标，小岛位于的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从出发，经到匀速直线巡航． （1）为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处，求军舰原来的速度是多少？ （2）在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰航行的总路程是补给船的3倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里？ 4.（2025-2026学年新乡初三上学期期末）物理实验课上某小组做一个实验：在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度在A处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度（单位：）随滚动时间t（单位：）变化的数据，整理得下表． 滚动时间 0 1 2 3 4 滚动速度 8 7 6 5 4 （1）探究发现，黑球的滚动速度与滚动时间t之间成一次函数关系．直接写出关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． （2）黑球在滑道上滚动用了多少秒？ （3）求黑球在滑道上滚动的最远距离．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度） 5.（2025-2026学年三明初三上学期阶段测试）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． （1）两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ （2）若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 考向2 营销利润问题 1.（2025-2026学年吉林初二下学期期中）某品牌粽子专营店在销售中发现，一盒鲜肉粽的进价为元，销售价为元时，每天可售出盒，为了迎接“端午节”，该店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若该种粽子每盒降价元，则平均可多售出盒．设该种粽子每盒降价元； （1）每天可销售______盒，每盒盈利______元；（用含的代数式表示） （2）求该种粽子每盒降价多少元时，平均每天可盈利元； （3）若店长希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 2.（2026烟台中考）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量 （件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求 与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 3.近年来，公园露营成为市民休闲的新方式．每逢周末，在各大公园总能见到成片的帐篷．某户外用品店看准商机，决定采购星空帐篷和普通帐篷两种产品进行销售．已知每顶星空帐篷的进价是每顶普通帐篷的2倍，4月份该店用5000元采购普通帐篷，8000元采购星空帐篷，结果普通帐篷的数量比星空帐篷的数量多5顶． （1）求每顶普通帐篷和星空帐篷的进价分别为多少元？ （2）4月份帐篷销售火爆，库存告急，5月份该店决定再次采购两种帐篷．其中普通帐篷的采购数量与上月相同，每顶的进价比上月降低了；星空帐篷的采购数量比上月增加了顶，每顶的进价比上月降低了，结果5月份采购这两种帐篷一共用了12000元，求m的值． 4.（2025-2026学年重庆初二下学期期中） 某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为，其中乘坐游船的人数为万人，乘坐观光车人数为万人，游船票与观光车票销售总额为万元． （1）求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ （2）为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础上降低，观光车票价比四月份降低元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了万元，求的值． 5.（2025-2026学年大庆初二下学期期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过6米，且不小于2.5米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下：，由，得；∴代数式的最大值是7． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额−收购总成本−冷库总费用） （2）该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ （3）请写出此次收购的草莓一次性出售的最大利润为__________元． 学科网（北京）股份有限公司 $