2.2 一元二次方程的解法 同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 分层覆盖一元二次方程解法全知识点，梯度从基础运算到综合应用，适配新授课巩固与能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一解法（直接开平方法、配方法等）|直接考查解法步骤（如选择1-3题）| |能力提升|解法综合与根的判别式|结合换元法及根的情况分析（如填空14-15题）| |综合应用|实际应用与规律探究|联系生活情境与规律推理（如解答19-20题）|

2.2 一元二次方程的解法 同步练习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 2．若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 3．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 4．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 6．已知某个一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是下列四个方程中的（　　） A． B． C． D． 7．小明运用配方法求解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时，发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为（   ） 解：……① ，即……② ……③ ，……④ A．① B．② C．③ D．④ 8．学校艺术节需用红纸花3000朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有名同学，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 9．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 10．关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（  ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 11．将方程配方成的形式，则_________． 12．某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是__________． 13．对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________． 14．对实数a，b，定义运算“*”如下：．例如：．若，则x的值为______ 15．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方法，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”，请你用这种思维方式和换元法解方程：．方程的解为 _____． 三、解答题 16．解方程： (1) (2) 17．解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 18．已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数． 19．某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求： (1)甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ (2)如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算） 20．观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…… (1)按照你发现的规律，写出第5个等式： ． (2)若为正整数，，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A A A A B C C 1．【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程，通过移项、系数化为1后开平方即可求出方程的根． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 解得 故选：C． 2．【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方得到完全平方形式，对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理得． 3．【答案】B 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 故选：B． 4．【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．【答案】A 【知识点】配方法的应用、整式的加减运算 【分析】本题考查比较两个代数式的大小．根据题意通常作差后判断符号．计算，利用配方法，再根据完全平方的非负性即可确定符号． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，即：， 故选：A． 6．【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关系 【详解】解：A.得，该项符合题意； B.得，该项不符合题意； C.得，该项不符合题意； D.得，该项不符合题意； 故选：A． 7．【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的步骤，关键是在方程两边同时除以同一个不为0的数时，等式两边的每一项都要除以这个数． 【详解】解：原方程为， 方程两边同时除以2时，右边的也应除以2， 正确的步骤①应为， 而题目中步骤①写成了， 因此计算开始出现错误的步骤为①． 故选：A． 8．【答案】B 【知识点】分式方程的其它实际问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设班级共有名同学，原定全班平均每人制作朵，实际参加人数为人，平均每人制作朵，根据题意，实际平均比原定多15朵，列方程即可． 【详解】解：设这个班级共有名同学，根据题意可得方程， 故选：B． 9．【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 10．【答案】C 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查换元法求一元二次方程的解，令，对于关于的一元二次方程的解为，，则或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：∵方程（m，h，k均为常数，）的解是，， 令， ∴对于关于的一元二次方程的解为，， 即或， 即，， ∴关于的一元二次方程的解是，． 故选：C． 11．【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、解一元二次方程——配方法 【分析】将原方程的常数项移到等号右侧，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程整理为的形式，确定与的值后，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴，， ∴． 12．【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、因式分解法解一元二次方程 【分析】根据给定的图找出其中的规律，列一元二次方程，求解即可． 【详解】解：第1个图有7个棋子，第2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，第个图有个棋子，第个图有个棋子，第个图有个棋子， 依题意，， 解得：（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律，列出方程是解题的关键． 13．【答案】 大 4 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查代数式的运算，配方法的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键．把化为 ，由平方的非负性得，，从而，由不等式性质，不等式两边同时加或减一个数，不等号不变，即，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 当时，有最大值为4． 故答案为：；大；4． 14．【答案】或 【知识点】新定义下的实数运算、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了实数的新定义运算，公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据新定义，转化为一元二次方程，先化为一般形式，再利用公式法求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ，，， ， ， 即，， 故答案为：或． 15．【答案】， 【知识点】无理方程、换元法解一元二次方程 【分析】设，则原方程化为，求出的值，当时，，根据算术平方根具有非负性得出此时方程无解；当时，，求出，最后进行检验即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为： ， ， 解得：，， 当时，， 算术平方根具有非负性，所以此方程无解； 当时，， 方程两边平方，得， 解得：，， 经检验，都是原方程的解． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了无理方程，解一元二次方程，用换元法解方程等知识点，能正确换元是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验． 16．【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）移项后提取公因式分解因式，转化为一元一次方程求解； （2）将方程左边用十字相乘法分解因式，转化为一元一次方程求解． 【详解】（1）解： 或 解得，． （2） 或 解得，． 17．【答案】 ；；；；；；；；； 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方法的步骤，在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程左侧化为完全平方式，再开平方即可求解． 【详解】 解：原方程为 一次项系数为， 一次项系数一半的平方为 ， 两边同时加，得 方程可化为 两边直接开平方得 即或 ，． 18．【答案】 （1）∵△=（-2m）2-4（m+1）（m-1）=4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）m=2或m=3 【知识点】公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可； （2）利用公式法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m的值． 【详解】解：（1）略 （2）∵△=（-2m）2-4（m+1）（m-1）=4＞0，m-1≠0， ∴x=， ∴，， ∵方程的两个实数根都为正整数，且m＞1， ∴是正整数， ∴m=2或m=3． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 19．【答案】(1) 甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品 (2) 至少需要18天 【知识点】有理数除法的应用、分式方程的工程问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】（1）以两厂单独加工的时间差为等量关系列分式方程求解； （2）先计算合作工作效率，再结合总工作量求工作时间，按要求取整． 【详解】（1）解：设乙厂每天加工件产品，则甲厂每天加工件产品 由题意得： 两边同乘，得 化简得 整理得 解得， ∵每天加工数量为正数 ∴不符合题意，舍去 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴ 答：甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品． （2）解：甲乙合作每天加工数量为（件） 所需时间为（天） ∵不满1天按1天计算， ∴ 至少需要18天 答：至少需要18天． 20．【答案】(1) (2)10 【知识点】数字类规律探索、二次根式的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）根据题干规律即可解答； （2）根据题干规律，列方程即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得第n个等式为， 所以第5个等式：； （2）解：， ， 解得或（舍去）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $