2.2.3 用因式分解法解一元二次方程 同步练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以“因式分解法解一元二次方程”为核心，通过基础应用、参数探究、换元拓展三层递进设计，覆盖从概念理解到综合创新的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|直接因式分解解方程|结合菱形面积、杨辉三角等情境，培养抽象能力与应用意识| |参数探究|根与参数关系分析|通过“邻根方程”“同族方程”等新定义问题，发展推理能力| |换元拓展|换元法解方程|设置模仿例题与几何应用，渗透转化思想，提升创新意识|

2.2.3 用因式分解法解一元二次方程 考向1 用因式分解的方法解一元二次方程 1.（2025-2026学年六安初二下学期期末）一元二次方程的解是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】使用因式分解法解题，先移项变形，提取公因式分解后，即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 2.（2025-2026学年杭州初二下学期期末）已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出每个选项一元二次方程的根，再一一辨别即可． 【详解】A：，两个根分别为，符合题意； B：，两个根分别为，不符合题意， C：，两个根分别为，不符合题意， D：，两个根分别为，不符合题意． 3.（2026宜宾中考）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 4.（2025-2026学年台州初二下学期期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中引用的三角形数表如图所示，此数表又被称为“杨辉三角”．若将“杨辉三角”中每一行从左往右数的第三个数字取出，比如，从第3行中取出数字1，从第4行中取出数字3，从第5行中取出数字6，…，以此类推，则数字15是从第_________行中取出的． 【答案】7 【解析】 【分析】观察杨辉三角中每一行第三个数字的变化规律，归纳出第行第三个数字的通项公式，建立方程求解行数． 【详解】解：由图可知：第3行从左往右数的第3个数字为1，即； 第4行从左往右数的第3个数字为3，即； 第5行从左往右数的第3个数字为6，即； 归纳规律：第行第三个数字为， 令， 整理得， 解得，（舍去）， 故数字15是从第7行中取出的． 5.（2026齐齐哈尔中考）解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 或 ，． 6.（2026连云港中考）解方程． 【答案】， 【解析】 【分析】方程移项后运用因式分解法解答即可． 【详解】解：， ， ， 或， ， ． 7.（2025-2026学年台州初二下学期期末）某同学解一元二次方程的步骤如下： （1）小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号） （2）请写出你认为正确的解答过程． 【答案】（1）第②步 （2）或 【解析】 【分析】不能在不确定的前提下，等式两边同时除以，否则会漏掉这个解，正确做法是移项后因式分解求解方程． 【小问1详解】 第②步 【小问2详解】 解：， ， 或． 8.（2025-2026学年义务初二下学期期末）我们把形如（，，是常数，，且）的多项式叫做关于的二次三项式．通过学习可知，利用因式分解可解一元二次方程．反过来，也可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式因式分解．例如：一元二次方程的两个根为，，则二次三项式因式分解的结果是． （1）下面是代数推理过程，请补全过程： 设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则 ． 即． （2）已知关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，，则二次三项式因式分解的结果是 ． （3）请仔细阅读内容中的方法，将多项式进行因式分解． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干所给例子即可得出结果； （2）根据题干所给例子即可得出结果； （3）利用公式法求出一元二次方程的解，并结合题意即可得出结果． 【小问1详解】 解：设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则． 即． 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，， ∴二次三项式因式分解的结果是； 【小问3详解】 解：对于一元二次方程，其中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴将多项式进行因式分解为． 考向2 根据一元二次方程的根求参数 1.（2025-2026学年淄博初二下学期期末）已知一元二次方程的两根为、，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 2.（2025-2026学年泰安初二下学期期末）若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知、是一元二次方程的两个不相等实根，先求解方程得到两个根，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵实数m、n分别满足方程，，且， ∴、是一元二次方程的两个不相等实根， 解得，， ∴． 3.（2025-2026学年台州初二下学期期末）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 4.（2026山东中考）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得 ，， 方程的一个根是，  ， 因此方程的另一个根为2． 5.（2025-2026学年宣城初二下学期期末） 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 6.（2025-2026学年吉林期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． （1）以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． （2）如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； （3）关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【答案】（1）①④ （2）证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 （3）正整数的值为1或3 【解析】 【分析】（1）分别解四个方程即可得解； （2）由题意可知根的判别式，从而求出； （3）求解这个一元二次方程，再根据同族方程定义即可得解． 【小问1详解】 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3． 考向3 用换元法解一元二次方程 1.（2025-2026学年汕头初三上学期期末）已知方程的解是或，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 2.（2025-2026学年滁州初二下学期期末）已知实数a，b满足，则的值为（ ） A. 5或 B. 或2 C. 5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 3.已知，则的值是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查换元法和完全平方公式的应用，通过设，将原式转化为关于的方程，利用完全平方公式展开求解即可． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：D． 4.（2025-2026泉州初三上学期月考）若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 把化为： 再结合题意可得，从而可得方程的解． 【详解】解：可化为： 关于的一元二次方程有一个根为， 把看作是整体未知数，则 即有一根为． 故选D． 5.（2024-2025学年太原初三上学期月考）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 6.（2025-2026学年济南初二下学期期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． （1）请你利用这种方法解方程：； （2）已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）， （2）是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【小问1详解】 解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； 【小问2详解】 略 7.（2025-2026学年铜仁初三上学期期中）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：； （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键． （1）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出y的值即可得到答案； （2）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出t的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：设，则原方程化为， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3 用因式分解法解一元二次方程 考向1 用因式分解的方法解一元二次方程 1.（2025-2026学年六安初二下学期期末）一元二次方程的解是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 2.（2025-2026学年杭州初二下学期期末）已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（ ）． A. B. C. D. 3.（2026宜宾中考）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 4.（2025-2026学年台州初二下学期期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中引用的三角形数表如图所示，此数表又被称为“杨辉三角”．若将“杨辉三角”中每一行从左往右数的第三个数字取出，比如，从第3行中取出数字1，从第4行中取出数字3，从第5行中取出数字6，…，以此类推，则数字15是从第_________行中取出的． 5.（2026齐齐哈尔中考）解方程：． 6.（2026连云港中考）解方程． 7.（2025-2026学年台州初二下学期期末）某同学解一元二次方程的步骤如下： （1）小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号） （2）请写出你认为正确的解答过程． 8.（2025-2026学年义务初二下学期期末）我们把形如（，，是常数，，且）的多项式叫做关于的二次三项式．通过学习可知，利用因式分解可解一元二次方程．反过来，也可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式因式分解．例如：一元二次方程的两个根为，，则二次三项式因式分解的结果是． （1）下面是代数推理过程，请补全过程： 设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则 ． 即． （2）已知关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，，则二次三项式因式分解的结果是 ． （3）请仔细阅读内容中的方法，将多项式进行因式分解． 考向2 根据一元二次方程的根求参数 1.（2025-2026学年淄博初二下学期期末）已知一元二次方程的两根为、，且，则（ ） A. B. C. D. 2.（2025-2026学年泰安初二下学期期末）若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 3.（2025-2026学年台州初二下学期期末）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（ ） A. B. C. D. 4.（2026山东中考）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 5.（2025-2026学年宣城初二下学期期末） 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 6.（2025-2026学年吉林期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． （1）以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． （2）如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； （3）关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 考向3 用换元法解一元二次方程 1.（2025-2026学年汕头初三上学期期末）已知方程的解是或，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 2.（2025-2026学年滁州初二下学期期末）已知实数a，b满足，则的值为（ ） A. 5或 B. 或2 C. 5 D. 2 3.已知，则的值是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 4.（2025-2026泉州初三上学期月考）若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 5.（2024-2025学年太原初三上学期月考）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 6.（2025-2026学年济南初二下学期期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． （1）请你利用这种方法解方程：； （2）已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 7.（2025-2026学年铜仁初三上学期期中）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：； （2）已知实数满足，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $