3.1.2 函数的表示法 分层梯度课时练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 练习围绕函数表示核心知识点，采用中等、提高、高考、创新四阶分层，题量配比合理，梯度衔接自然，实现从概念理解到综合应用再到创新拓展的知识巩固路径，培养数学抽象、运算能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |中等题型|函数表示法概念、解析式基础求解|以选择、填空考查解析法、列表法等单一知识点，夯实概念理解| |提高题型|分段函数求值、复合函数解析式|结合分段函数综合运算，提升推理能力，衔接中等题型| |高考题型|定义域求解、分段函数值域|改编高考真题，对接考纲要求，强化知识应用的规范性| |创新题型|新定义函数（如取整函数）|引入新情境问题，培养探究意识，体现数学创新思维|

新课标高中数学分层梯度课时精练 第三章 函数的概念和性质 3.1 函数的概念及表示 3.1.2 函数的表示（人教A版2019） 分层梯度课时精练 知识点核心：函数的解析法、列表法、图象法，分段函数表示与求值，函数解析式求解，根据图象分析函数性质 一、单项选择题 （一）中等题型 1. 下列关于函数表示法的说法正确的是（ ） A. 解析法可以表示所有函数 B. 列表法能直观反映函数的变化趋势 C. 图象法可以直观展示函数的增减性 D. 列表法可以求出函数的精确解析式 【答案】C 【解析】函数三种表示法各有优缺点： 选项A：并非所有函数都有解析式，如分段抽象函数、随机对应函数无法用解析法表示，错误； 选项B：列表法只能展示有限自变量对应的函数值，无法反映整体变化趋势，错误； 选项C：图象法通过曲线走势可直观判断函数增减、最值、对称性等性质，正确； 选项D：列表法仅能呈现对应数值，无法推导精确函数解析式，错误。 故答案为:C. 2. 已知函数，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】采用代入替换法求解复合函数解析式： 将原式中自变量全部替换为，得： . 故答案为:A。 （二）提高题型 3. 已知分段函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分段函数需根据自变量取值范围选择对应解析式： ； ； 求和得：. 故答案为:C. 4. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】换元法求解抽象函数解析式： 令，则，代入原解析式： ； 替换自变量符号得. 故答案为:A. 5. 若函数满足对任意实数，均有，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由可知，该函数为周期函数，最小正周期。 根据周期性化简：， 故答案为C. （三）高考题型 6. （高考真题改编）已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分层逐级计算复合分段函数值： 第一步：，代入上段解析式，； 第二步：，代入下段解析式，； 故。 故答案为A. 7. （高考真题改编）已知函数定义域是，则函数的定义域为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为函数y=f(x)的定义域是[−1,3]，对于​， 则f(2x−1)中2x−1的取值范围应满足y=f(x)的定义域. 所以 的定义域为：[0,2] 故答案为C. （四）创新题型 8. 定义取整函数，其中表示不超过的最大整数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据取整函数定义计算： 为不超过的最大整数，即； 为不超过的最大整数，即； 因此. 故答案为A. 二、多项选择题 9. 下列关于函数表示法的表述正确的有（ ） A. 解析法便于运算、推导函数性质 B. 列表法适用于自变量取值有限的函数 C. 图象法能精准求出函数的解析式 D. 分段函数是一个函数，而非多个函数 【答案】ABD 【解析】选项A：解析法公式清晰，适合代数运算、求单调性、最值等，正确； 选项B：列表法只能罗列有限组自变量与函数值，适用于有限取值函数，正确； 选项C：图象法仅能直观观察性质，无法精准求解解析式，错误； 选项D：分段函数定义域为各分段区间的并集，对应唯一对应关系，是一个函数，正确。 故答案为ABD. 10. 已知分段函数，则下列说法正确的有（ ） A. 、 B. C.函数定义域为R D. 若，则 【答案】ABC 【解析】选项A：，，A正确； 选项B：，，B正确； 选项C：分段区间和覆盖全体实数，定义域为R，C正确。 选项D：分类讨论：时，；时，（舍去）， 仅，故D错误， 故答案ABC； 三、填空题 11.（中等题型） 已知，则________。 【答案】 【解析】换元法求解解析式： 令，则，代入得： ，替换自变量得。 12.（提高题型） 已知分段函数，若，则实数的值为________。 【答案】 【解析】分类讨论求解参数： ① 当时，，解得，不满足，舍去； ② 当时，，解得或（舍去）； 综上，。 四、解答题 （一）中等题型 13.已知一次函数满足，，求的解析式。 【解析】设一次函数解析式为，代入已知条件： ，两式作差得，代入得； 故函数解析式为。 14.已知分段函数，求、、的值。 【解析】根据自变量范围分段代入求值： ； ； 。 （二）高考题型 15.（高考改编）已知函数满足，求的解析式。 【解析】利用方程组法求解： 已知 ①， 替换为得： ②； ②①得：， 化简解得：。 16.（高考改编）已知分段函数，求函数的值域。 【解析】分段求解取值范围，再取并集： 1. 当时，为减函数，故； 2. 当时，为增函数，故； 两段取值取并集得函数值域为。 （三）创新题型 17.定义新分段函数，完成下列问题： （1）求、的值； （2）若，求所有满足条件的实数。 【解析】（1）分段代入求值： ，； ，。 （2）分类解方程： ① 当时，，解得或，均在区间内； ② 当时，，无解； 综上，满足条件的为。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学分层梯度课时精练 第三章 函数的概念和性质 3.1 函数的概念及表示 3.1.2 函数的表示（人教A版2019） 分层梯度课时精练 知识点核心：函数的解析法、列表法、图象法，分段函数表示与求值，函数解析式求解，根据图象分析函数性质 一、单项选择题 （一）中等题型 1. 下列关于函数表示法的说法正确的是（ ） A. 解析法可以表示所有函数 B. 列表法能直观反映函数的变化趋势 C. 图象法可以直观展示函数的增减性 D. 列表法可以求出函数的精确解析式 2. 已知函数，则的解析式为（ ） A. B. C. D. （二）提高题型 3. 已知分段函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数满足对任意实数，均有，且，则的值为（ ） A. B. C. D. （三）高考题型 6. （高考真题改编）已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. （高考真题改编）已知函数定义域是，则函数的定义域为（ ）． A. B. C. D. （四）创新题型 8. 定义取整函数，其中表示不超过的最大整数，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 下列关于函数表示法的表述正确的有（ ） A. 解析法便于运算、推导函数性质 B. 列表法适用于自变量取值有限的函数 C. 图象法能精准求出函数的解析式 D. 分段函数是一个函数，而非多个函数 10. 已知分段函数，则下列说法正确的有（ ） A. 、 B. C.函数定义域为R D. 若，则 三、填空题 11.（中等题型） 已知，则________。 12.（提高题型） 已知分段函数，若，则实数的值为________。 四、解答题 （一）中等题型 13.已知一次函数满足，，求的解析式。 14.已知分段函数，求、、的值。 （二）高考题型 15.（高考改编）已知函数满足，求的解析式。 16.（高考改编）已知分段函数，求函数的值域。 （三）创新题型 17.定义新分段函数，完成下列问题： （1）求、的值； （2）若，求所有满足条件的实数。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $