精品解析：陕西省西安市阎良区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 算式可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 2. 已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的样本相关系数分别为，，，，则线性相关程度最强的是（ ） A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组 【答案】A 【解析】 【分析】根据相关系数的知识确定正确答案. 【详解】相关系数的绝对值越接近，则线性相关程度越强. ，所以线性相关程度最强的是甲组. 3. 从2幅不同的国画和5幅不同的水彩画中任选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 4种 B. 7种 C. 10种 D. 25种 【答案】B 【解析】 【详解】从2幅不同的国画里选1幅，共有2种选法； 从5幅不同的水彩画里选1幅，共有5种选法. 根据分类加法计数原理，总的不同选法数是两类选法数相加：种. 4. 已知随机变量，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】因为随机变量， 则. 5. 若离散型随机变量的分布列如下，则（ ） A. 0.7 B. 0.8 C. 0.5 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据离散型随机变量性质建立方程求解参数，再结合对立事件概率性质求解. 【详解】由离散型随机变量分布列的所有概率之和为1，可得， 解得，即. 所以. 6. 某中学从4名男生和2名女生中任选3人参加社会公益活动，则选出的3人中既有男生又有女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用组合数的公式分别求得所有不同的选法，以及所求事件的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】从4名男生和2名女生中任选3人参加社会公益活动，共有种不同的选法， 若选出的3人中既有男生又有女生， ①当选出的3人中1男2女，有种不同的选法； ②当选出的3人中2男1女，有种不同的选法， 所以选出的3人中既有男生又有女生，共有种不同的选法， 则选出的3人中既有男生又有女生的概率为. 7. 某种植园种植的脐橙单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量超过的脐橙个数约为（ ） 附：若，则， ，． A. 130 B. 273 C. 1631 D. 1804 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布确定参数和，进而利用正态分布的对称性，结合给出的区间概率公式计算出单果质量超过210g的概率，再根据总个数计算符合条件的脐橙估计个数. 【详解】由，可知均值，方差，因此标准差， 目标质量210g恰好等于， 所以， 即单果质量在之间的概率约为0.9545. 根据正态分布的对称性，总概率为1， 可得超出区间的概率为， 因此右侧（质量>210g）的概率为：， 所以单果质量超过210g的个数约为：. 8. 游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是（ ） A. 336 B. 120 C. 56 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】利用插空法可得结果. 【详解】在空置的5个车位的4个间隔安排三辆不同的车， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. 二项式的展开式中各项系数之和为 D. 四名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式共有种 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A选项，由组合数的性质可得，A对； 对于B选项，由二项式系数的性质可知， 所以，B错； 对于C选项，二项式的展开式中各项系数之和为，C对； 对于D选项，四名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻， 将甲乙捆绑，形成一个“大元素”，与其他两个人进行排序， 所以不同的站队方式种数为种，D对. 10. 某人工智能公司从某年起连续7年的年利润情况如下表所示： 第年 1 2 3 4 5 6 7 年利润/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 根据表中的数据得到关于的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与正相关 B. 经验回归方程斜率的意义是每增加一个单位，平均增加0.5个单位 C. 第8年的利润一定为6.3亿元 D. 第6年年利润的残差为亿元 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据经验回归方程的斜率为正可判断A；根据回归系数的意义可判断B；根据经验回归方程得到的是预测值而非确定值可判断C；根据残差的定义可判断D. 【详解】选项A：经验回归方程的斜率为，说明增大时，的预测值随之增大， 因此变量与正相关，A正确； 选项B：经验回归直线斜率的统计含义就是：每增加1个单位，的估计值平均增加斜率对应的数值， 本题中即平均增加0.5个单位，B正确； 选项C：经验回归方程得到的第8年利润预测值为亿元， 这只是预测结果，实际利润受多种因素影响，并非“一定为6.3亿元”，C错误； 选项D：第6年的实际年利润为5.2亿元，代入回归方程得预测值亿元， 残差定义为实际值减预测值，即亿元，D正确. 11. 袋中有7个大小相同的球，其中4个黑球、3个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为得分，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由取到个白球，则可得取到个黑球，所以得分， 所以，故A正确； 由，得，解得，所以，故B错误； 由，得，解得，所以，故C正确； 由题意可得，， ，， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从两点分布，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用两点分布的性质，即可求解. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 则. 13. 由数字0,1,2,3可以组成________个没有重复数字的四位偶数． 【答案】10 【解析】 【详解】解析过程略 14. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的．则接收的信号为0的概率为________． 【答案】0.45## 【解析】 【分析】根据全概率公式求得正确答案. 【详解】由题意，发送信号为或的概率为，则接收的信号为0的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在二项式的展开式中，求： （1）第3项的二项式系数； （2）含的项． 【答案】（1）28 （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意，二项展开式中第3项的二项式系数为． 【小问2详解】 展开式的通项公式为， 令，得， 所以含的项为． 16. 小张水果店对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米，则大小达标，着色度不低于90%，则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知小张购进了一批苹果，从中随机抽取200个进行检验，得到如下统计表格： 色泽 大小 合计 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 着色度低于90% 20 50 着色度不低于90% 120 合计 （1）完成上面的列联表； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为苹果的大小达标和色泽达标有关？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 色泽 大小 合计 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 着色度低于90% 20 30 50 着色度不低于90% 30 120 150 合计 50 150 200 （2）认为苹果的大小达标和色泽达标有关．【解析】 【分析】（1）根据列联表行、列总和的关系，即可求出各空的数据；（2）提出零假设，计算出卡方值，与小概率值对应的临界值对比，判断是否拒绝独立的原假设，即可得出两者是否有关. 【小问1详解】 （1）列联表如下： 色泽 大小 合计 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 着色度低于90% 20 30 50 着色度不低于90% 30 120 150 合计 50 150 200 【小问2详解】零假设为：苹果的大小达标和色泽达标无关． 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为苹果的大小达标和色泽达标有关． 17. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中．（结果均用数字表示） （1）共有多少种不同的放法？ （2）每盒至多放一个球，有多少种不同的放法？ （3）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？ 【答案】（1）256 （2）24 （3）144 【解析】 【分析】（1）每个小球有4种方法，利用分步乘法计数原理直接计算总放法数； （2）每盒至多一个球，即每个盒子都只能放1个球，利用排列数直接计算即可； （3）利用分步计数原理，先计算在4个球中任选2个，放入1个盒子中的放法，再求出在剩下的3个盒子中，任选2个，放入剩下2个小球的放法，即可计算出所有不同的放法. 【小问1详解】 根据题意，每个小球有4种放法，则4个小球有种放法． 【小问2详解】 根据题意，每盒至多一个球，即每个盒子都只能放1个球，有种放法． 【小问3详解】 根据题意，分2步进行分析：在4个球中任选2个，放入1个盒子中，有种放法， 在剩下的3个盒子中，任选2个，放入剩下2个小球，有种放法，则共有种放法． 18. 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了年每年油纸伞的销量数据，结果如下表： 年份/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 年销量/万把 7 8 10 11 14 （1）根据表中样本数据，计算与的样本相关系数（精确到0.01），并推断它们线性相关程度的强弱； （2）求关于的经验回归方程，并预测该工坊油纸伞的年销量最早在哪一年能超过20万把． 附：①样本相关系数； ②经验回归方程的斜率的最小二乘法估计公式为； ③． 【答案】（1）0.98，与的线性相关程度很强 （2）； 2029年． 【解析】 【分析】（1）根据公式计算样本相关系数，并判断线性相关程度即可； （2）根据公式求出经验回归方程后再通过解不等式即可. 【小问1详解】 ，， ，，， 所以， 所以与的线性相关程度很强． 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为； 令，得， 所以预测该工坊油纸伞的年销量最早在2029年能超过20万把． 19. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （2）当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式求解；（2）求出的可能值，再利用二项分布的概率求出分布列及期望. （3）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出概率，再结合已知建立不等式求解. 【小问1详解】 记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”， 则，， 所以. 【小问2详解】 可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. 【小问3详解】 记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则， ， ， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团答对的概率的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 算式可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的样本相关系数分别为，，，，则线性相关程度最强的是（ ） A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组 3. 从2幅不同的国画和5幅不同的水彩画中任选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 4种 B. 7种 C. 10种 D. 25种 4. 已知随机变量，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 若离散型随机变量的分布列如下，则（ ） A. 0.7 B. 0.8 C. 0.5 D. 0.6 6. 某中学从4名男生和2名女生中任选3人参加社会公益活动，则选出的3人中既有男生又有女生的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 某种植园种植的脐橙单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量超过的脐橙个数约为（ ） 附：若，则， ，． A. 130 B. 273 C. 1631 D. 1804 8. 游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是（ ） A. 336 B. 120 C. 56 D. 24 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. 二项式的展开式中各项系数之和为 D. 四名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式共有种 10. 某人工智能公司从某年起连续7年的年利润情况如下表所示： 第年 1 2 3 4 5 6 7 年利润/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 根据表中的数据得到关于的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与正相关 B. 经验回归方程斜率的意义是每增加一个单位，平均增加0.5个单位 C. 第8年的利润一定为6.3亿元 D. 第6年年利润的残差为亿元 11. 袋中有7个大小相同的球，其中4个黑球、3个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为得分，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从两点分布，且，则________． 13. 由数字0,1,2,3可以组成________个没有重复数字的四位偶数． 14. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的．则接收的信号为0的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在二项式的展开式中，求： （1）第3项的二项式系数； （2）含的项． 16. 小张水果店对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米，则大小达标，着色度不低于90%，则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知小张购进了一批苹果，从中随机抽取200个进行检验，得到如下统计表格： 色泽 大小 合计 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 着色度低于90% 20 50 着色度不低于90% 120 合计 （1）完成上面的列联表； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为苹果的大小达标和色泽达标有关？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中．（结果均用数字表示） （1）共有多少种不同的放法？ （2）每盒至多放一个球，有多少种不同的放法？ （3）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？ 18. 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了年每年油纸伞的销量数据，结果如下表： 年份/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 年销量/万把 7 8 10 11 14 （1）根据表中样本数据，计算与的样本相关系数（精确到0.01），并推断它们线性相关程度的强弱； （2）求关于的经验回归方程，并预测该工坊油纸伞的年销量最早在哪一年能超过20万把． 附：①样本相关系数； ②经验回归方程的斜率的最小二乘法估计公式为； ③． 19. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （2）当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $