陕西省西安市阎良区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

高二期末教学质量检测 数 学 注意事项： 1,着延首，考重多必尊自已的姓名.考生号，考场号.布位号填写在溶题卡上， 2回花这择题时，法出每小疑养案后，用的笔纪养遥卡上对应题目的等米标号除 属，加西改动，用蒙皮擦干停后，再透涂其他答案标号。目备非缝择想时，蒋答星写在 答愿卡七。可在本试参上无效， 至考试结束后，算本试程和答慧卡并受阿。 《本试卷主要考试内容：卉考全单内容， d 一，珠挥那：本源具8小原，每小调5分，其0分.在每小副龄出的因个薄项中，尺有一项是行省 题■要袋的， 平 L已如果合M=z毛N川2x,N=一2，-1.0,2.4，期M门N= A0.2 且-2.-1.0} C21 Dt0.1.1 名没复数x“白期一 长 A-2-% G4- 02-图 表规有8道因话一的单线题，甲利其中6透题有氟培，2道都完全没有银蜂有眼好的眼独对的 复率子，及有卫晓的感只臣任壁调一个青案，腰对答蜜的复率为宁甲从这8道睡中商机这 精1道绳，则甲做对这道延瓶率为 人 1营 e ni 4等装数列a,l的能x项烈为5.，若5w=,用十an一 A米 1246 C16 D.156 5已知向量a与的夹角为子，a一ce子，时-4，则：在上的投影内番为 A五 a c D.2海 点定文-种运幕a协-低：6：表西数：)=Ag脸眉大值为 18.o26. A.1 B2 Co n 世年有置C写+若1(>2的左，右嘉点分别是，R,0是全标原点A是C上月于 左，右离点的点若1AF,l一6，∠FAF,购角平分线上一点P清足PA·F可-0，且IOP =2,群C的离心率为 c 【高二数学第1共4】 &.在体积为4区的正酸第P-ABCD中，ABB:E,F为庭面CD为的任意两点，则直线 PA与直线F所度角的余这慎的最大值为 A细 c德 晋 二、意渠题：本题共3小题，每小题心分，共18分，在稀小圆哈出的选项中，有意项杆有题日集 象，垒能法对的5分，框分选对的得都分分，有选情的得0分 3,已面数fx)一2（一）>0的部分旧象如图所示，我△C的面积为受，期 A=2 玉函整儿红十)为奇函意 Cf)在货管上单调通浦 D直线x一为f红)图象的一来对称相 0为了解某新品种玉米的商产量（单收：千克）情况，从种敏区挂重样本，得到该新品种王米的 官产量的样本均檀士一50，已妇该新品种五米的离产集X服以正透分布N红，)，则下到 说发正渊的品 (若随肌变量Y眼从正多分布N(g+),则P(m一d<Yu+。}=0的21，P(g一2<YG n+2r)0545,P(m-gY+1=0,9073n A°的慎第大，面产量不低手510平克的样木鹅多 且'的值感火，亩产量不低于510千克的样本感少 C若，'=180.期P(X>450)m0,9725 D若子-100，脚P(X>499}=0.84135 L者f:)凝[a,6]上的速接两数，且F"(x-fe则f:油-F(x北-F6)- F(ak从U几何上看，若定义在[a:b]上的函数f(x)速候且征有f《2)≥0.则定积分 ∫广fx女表系由直线x一@ab3-0和住线，-2)所国玻的正形的国积已 知花着输战Cx'y”+1ry”一4红一4y”■0，那下列说独正第的是 A,由规C上整好存在8个点到夏点的把肉为2区 B侧0x2+y2=9与南城C共者8个公共点 ca竖 ·古线C压成的封闭区城的面积为号 【高三酸学第2共4百小 三，糯空颜：浓据共3小前，每小题3分，共15分， 12已0(2z一1'=8m十12十8x十m…十04x1,用0u“▲ 1江衡角线弯益程度的重要容标是角率，能线时佳率定义如下：者（红）是f(x的导函数。 广x是了u的单通数，照线y-x在意xe】处装由率K广 1+f'x驴) 勤战y=了士在成1，处的率为▲一 14.来白外的博生A,赵C三人决定未中国族带，划暂卡北取致客.程安兵马情等3个著名 景点.能们的定据人至少选择1个景点打卡，福个景点影有且议有一人打卡，其中A在北京 故宫，西安兵马情中至少连择1个，则不同的打卡方案种数为、▲ 因，解若量：本则其5小愿，共行分.解香应写出文字说制，证用过理发演算步绿 16.1月分) 2园5年4月13日，225中帽号粒松有十罪市奥体中心喝枪起花马枚经比赛是一项高鱼 荷，高领度、长距离的党传运动，利参赛运脚员县身件状况有校高的要求，参裹坛动员应身体第 章，有长别参加成步领斯攻谓体的某统为了解市民对马拉松的喜爱程度，从或年男胜和攻 性中各硬机抽章10人，两在否在是马粒般，侧到丁如下2X?列球表： 单位：人 性钢 马校能 是 计 不喜爱 男 动 真 的 套计 (1)完克2×2列联表，并低摆小程率值日一A601的独立性检验，是否可以排新喜曼马拉松 与性期有关？ (2)依解烧计表，同分层相样的方法从喜爱马拉松的人中线象5人，再从这5人中随机袖 取》人，其中文性人数为X,求X的分南列及果亚 xlad-by 附：-a+b2十a+Fd-+++》. 6.160 00的 重6 Q00 68c1 a31 五4 收5写 【夜二数学第3发1共4买)们 16.15分) 已年M(一1,0)，N(2,0),平面内一动点P演尼PN|-EPM,设动点P的我迷为口 (求0的方程， 2沙若解率为一1的直线！与1交于A,B两点，R1AB一8，家直线I的方程 17.(15分) 知用，在四棱推P-ABCD中，制旋长均为2√A7,四边形仪CD是复形，BC=8,CD=12 1证明：平面CDI平面PAB 2)来二图角B-P℃-D的正弦值 18.17分) 已知函数f(r)=-n上Ta. (1看4=1，求燕线y一fx在点（山，J1)》处的切线左聚 (》证明：fx)在0，+0©》上单满速增. 8》着a>0,证期，x)>2+a+h, 19.(17分) 已知以结线C:-芳-1小>)的东质点为M,右高成为FA,B是C上的两点，线服A烟 的中点为H,当BF⊥MF时，an∠F-2 (们来C的标座方配： 《春川孕》求直线A心龄制银太方程： 〔3若MA,B三点不其线，进IAB一M山，证期直线AB过定点 [高三数学笔4直共4们1高二期末教学质量检测 数学参考答案 1.A由2.x|≤6，得-3≤x≤3，则M={0,1,2,3},所以M∩V={0,2}. 41+D=4+4=2+2i,所以：=2-21 2.D因为x=1-)1+D1-￥ 3.B甲做对这道题的概率为8× 令大3+21-5 8大 48 4C因为Se-12a,+a)_12a,+am=996,所以a4十an=16. 2 2 五B由题意得1a=2.则a在b上的投影向量为a1cms号·合-子b, 6.A设g(x)=x-2,易得g(x)在R上单调递增.因为g(1)=1一2-1=0，所以当x≤1 时，g(x)<0,则x≤2，f(x)=x:当x>1时，g(x)>0,x>2,f(x)=2-,所以f(x) =/x≤1， 故当x=1时，f(x)取得最大值，最大值为1. 2-t,x>1. 7.B根据题意可得PA⊥PF1,延长FP与AF2交于点H(图略).易得|AH=AF,|=6, 由椭圆的定义可得|AF1|+AF:|=2a,所以|AF,|=2a一-6，所以|HF2|=6-(2a一6)= 12-2a.由OP是△F1F2H的中位线，可得|F2H=2OP=4,所以12-2a=4,解得a= 所以C的离心*为号 8.D设正四棱锥P-ABCD的高为h,则3×2·h-42,解得h=32,所以PA=V2+hP- 2√5.设直线PA与直线EF所成的角为0，当直线EF与直线AC平行或重合时，0最小，此 时0s0取得最大值，最大值为，三 10 2510 9.ABD 由题意得2·2引AB1=交，所以AB=乏，即 -无-号解得仙=2Λ正确。 函数/（红+若）=2sm(2x+号-）=2sin2x为奇函数，B正确由x∈（受，），得2x- ∈（智），因为（红，誓）c(受，经），所以f(x)在（受，）上单调递减，C错误 f(-)=2sim(-石-）=2sim(-)=-2,D正确. 10.ACDs2的值越大，亩产量不少于490千克且低于510千克的样本越少，不低于510千克的 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 样本越多，A正确，B错误 11 P(X>480)=2+2P(480<X<520)=0.97725, P0X>490)=号+2P490<X<510)=0.84135,CD正统 11.BCD由x'y4+16.x2y2-4.x-4y5=0,得(y-4x2)(x-4y2) =0,所以y=4x2或x=4y2,即y2=2.x或y2=-2x或x2=2y 或x2=一2y,画出曲线C,如图所示. x=0, x=2 由 2=2x·解得 或 则M(2,2),|OM|= x2=2y, y=0 1y=2. √(0一2)+(0-2)2=22，所以曲线C上恰好存在4个点到原 点的距离为22.A错误由3>22，得B正确.因为号+C)==反(C为常数)，所 以d=号×2-0=，C正确，曲线C在第一象限图皮的封闭区较的面积为 2反dk一心2山=2)：言r-号根据曲线C的对称性可得曲线C围成 的封闭区域的面积为4×号-15. 3=3,D正确。 12.-160因为通项T,+1=C%(2.x)-(-1)',所以a3=C23(-1)3=-160. 8号 令fx)=3,则f'(x)=,(x)=2x.因为f)=1f"1)=2,所以曲线y= 3r在点(1，)处的曲率为。上①D 2 {1+[f'(1)](1+1) 2 14.88当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且只去1个景点时，有C=2种选择，再 将其他4个景点分给B.C有(CG+S)A=14种选择，其有2X14=28种选择。 当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且去2个景点时，有CC=6种选择，再将其 他3个景点分给B,C,有CCA号=6种选择，共有6×6=36种选择： 当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且去3个景点时，有CC号=6种选择，再将其 他2个景点分给B,C,有A=2种选择，共有6×2=12种选择： 当A选择北京故宫、西安兵马俑这2个且只去2个景点时，只需将其他3个景点分给B,C, 有CCA=6种选择： 当A选择北京故宫、西安兵马俑且去3个景点时，有C=3种选择，只需将其他2个景点分 给B,C,有A=2种选择，共有3×2=6种选择.故共有88种不同的打卡方案. 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 15.解：(1)2×2列联表如下. 单位：人 马拉松 性别 合计 喜爱 不喜爱 男 60 40 100 女 40 60 100 合计 100 100 200 零假设为H,:喜爱马拉松与性别无关.因为X:_200X(60×60-40×40) 100×100×100×100 =8<10.828, …3分 所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，可以推断H。不成立，即认为喜爱马拉松与性 别有关。… …6分 (2)按照分层抽样，从男性中抽取3人，从女性中抽取2人，所以X的取值可能是0,1,2 …8分 C-10P(X=1)-CC_3 因为P(X=0)=S-1 CC 3 C ,P(X=2)= C101 …11分 所以X的分布列为 X a 1 2 P 1 3 3 10 5 10 BX0)-0x0+1x号+2×品-号 36 …13分 16.解：(1)设动点P(x,y). 因为PN|=21PM|,所以√(x-2)+y=2·√(x十1)+y,…3分 即(.x十4)2十y2=18,所以2的方程为(x十4)2+y2=18.…6分 (2)由(1)可得2是圆心为H(一4,0)，半径r为3v2的圆.…7分 设直线l的方程为x十y十m=0, 则圆心H到直线1的距离d=√，2-（号AB) =18一16=√2，…9分 即4十m2,…1门分 2 解得m=6或2，… 13分 所以直线l的方程为x十y十6=0或x十y十2=0. …15分 17.(1)证明：连接AC,BD,记AC∩BD=O,AB,CD的中点分别为G,F,连接PG,GF,PF, PO.…】分 在△PAC,△PBD中，PA=PC,PB=PD,O是AC,BD的中点， 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 所以PO⊥AC,PO⊥BD. 因为AC∩BD=O,AC,BDC平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.…2分 因为ABC平面ABCD,所以PO⊥AB. 在矩形ABCD中，GF⊥AB.因为PO∩GF=O,PO,GFC平面PGF,所以AB⊥平面 PGF,…3分 因为PFC平面PGF,所以AB⊥PF,…4分 PF=√PC-CF2=42,同理得PG=4√2.又GF=BC=8,所以GF2=PF2+PG,即 P℉⊥PG.…5分 因为AB∩PG=G,AB,PGC平面PAB,所以PF⊥平面PAB.…6分 因为PFC平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAB.…7分 (2)解：作OE⊥BC,垂足为E.以O为坐标原点，OE的方向为 x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(6,一4， 0),C(6,4.0),D(-6,4,0),P(0,0,4).…9分 PC=(6,4,-4),BC=(0,8,0),DC-=(12,0,0).…10分 设n=(x1y1,z)是平面PCB的法向量， n·PC=0,nj6x1+4y1-4x1=0 则 即 n·BC=0,l8y1=0, 可取n=(2,0,3).… …11分 设m=(x2y2,2)是平面PCD的法向量， m·PC=0,n16x2+4y2-4x2=0, 则 即 m.DC=0,12.x2=0, 可取m=(0,1,1).…12分 n。n 3 33√26 cos(n,m）= nm√2+3×√1+百√26 26 …14分 sin(n,m〉= √442 26· 故二面角BPCD的正弦值为型 26,………………15分 18.(1)解：当a=1时，f(x)=e-lnx十1，f(1)=e十1.…1分 f(x）=ef'(1)=e1,…2分 曲线y=f(.x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=(e一1)(x一1)十e十1， 即小y=(e-1)江十2.…4分 (2)证明：f(x)的定义域为(0，十oo).f(x)=ae一(x>0). …5分 令函数g(x)=∫'(x),g'(x)=a'e“+ >0, …7分 所以g(x)在(0，十o∞)上单调递增，即'(.x)在(0，十o∞)上单调递增.…8分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 (3)证明：（证法一）由(2)得，f'(x)在(0，+∞)上单调递增 因为a>0,所以f(品）=ue-2a<0,f(）=ae-a>0,…10分 所以存在唯一实数x,∈（公，），使得f(x)=ae。一=0， …11分 即e"=1 ,lnx0=a.x0十lna.…12分 当x∈(0，x。)时，f'(.x)<0,f(x)单调递减，当x∈(x0,十oo)时，'(x)>0,f(x)单调 递增，…13分 所以f(x)的极小值为f(xo)=e“o-lnx。十a= -十a.x0十lna十a…15分 ≥2 ·a。十lna十a=2十a十na,当且仅当x,=时，等号成立.…16分 a 因为x,∈（分启），所以f)>2+a+lna,所以fx)>2+a+na,…17分 (证法二)当a>0时，f(.x)>2十a+lna等价于er-ln.x>2+lna, 等价于e一1>ln(a.x)十1.…10分 令a.x=t>0,即e一1>lnt十l.… 11分 先证当t>0时，e-1>t.令函数F(t)=e一t-1,F'(t)=e一1.…12分 当t>0时，F'(t)>0,F(t)在(0，十∞)上单调递增， 所以当t>0时，F(t)>F(0)=0,即当>0时，C一1>1得证.…14分 再证t≥ln1+1.令函数G()=ln1-1+1,G)=1- …15分 当t∈(0,1)时，G'(t)>0,当t∈(1，+o∞)时，G'(t)<0,所以G(t)在(0,1)上单调递增，在 (1,十o∞)上单调递减，G(t)≤G(1)=0,即t≥n1十1得证.…16分 综上，e-1>t≥lnt十1，即当a>0时，f(x)>2十a+lna得证.…17分 19.(1)解：设双曲线的半焦距为c,则c2=b2十1.…1分 因为当BFLMF时，an∠BMF=2,所以二2(a+c,即=2(1+c),…2分 解得C=3,b2=8,…3分 故C的标准方程为x2- 及三1”4分 (2)解：设A(x1y1),B(x2,y2),根据题意易得x1≠x2 8 因为A,B是C上的两点，所以 …5分 y 8 =1, 两式相减得x一x =0,即1一2 8(x1十x2) …6分 'x1-x2 y1+y2 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 16 因为x1十x=7y1十y=7, …7分 所以kB= y1-y2_8(x1+x:) 8分 x1一x2 y1+y2 所以直线AB的方程为y=(红一号）十=x十1，… 8 9分 经检验，此时直线AB与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线AB的斜截式方程为y=x 十1.…10分 (3)证明：因为M,A,B三点不共线，所以可设直线AB的方程为x=ty十n. r2-y 由 =1·得(8r2-1Dy2+16y+8m2-8=0, =ty+n, 16nt 8n2-8 则y1十y2= 821y2827小>0……1分 因为AB=2MH|,且H是线段AB的中点，所以MA⊥MB,则MA·M店=0.… …12分 由(2)知MA=(x1+1,y1)=(ty1+n+1,y1),Mi=(x+1,y2)=(ty2+n+1,y2), 所以(1y1十十1)(1y2十n十1)十y1y2=0,…13分 即(t2+1)y1y2十t(n+1)(y1十y2)+(n+1)2=0, 即(2+1)· +a+n(-）+a+w=o. 即42+1D(8n-8》-16tna+1)+(82-1Dm+1)=0,得7m-2n-9=0,解得n=号 或一1.… 4+44 14分 当n=一1时，直线AB:x=ty一1，过点M,不符合题意，舍去；…15分 当n=号时，直线AB:x=y+号，满足△>0，则直线AB过定点（号，0）： 9 …16分 故直线AB过定点（号，0）. …17分 ▣ ▣ 尚品 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】