专题训练 解一元二次方程(六种方法) 2026-2027学年沪教版(五四制)数学八年级上册

**基本信息** 聚焦解一元二次方程六种方法，以“原理-例题-变式”分层设计，覆盖基础运算到综合应用，适配日常教学与阶段测评，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一方法直接应用|如开方法变式1-1至1-4，聚焦标准形式求解，强化降次思想| |能力提升|方法灵活运用|如十字相乘法变式1-3含系数非1方程，配方法变式2-3结合配方变形，发展推理能力| |综合应用|跨方法与含参数问题|如换元法例1含整体代换，公式法变式1-5含复杂系数，培养模型意识与创新意识|

解一元二次方程(六种) 一、 开方法 2 二、 因式分解法(提取公因式) 8 三、 因式分解法(十字相乘法) 13 四、 配方法 18 五、 公式法 25 六、 换元法 30 1、 开方法 直接开平方法:如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，那么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如的形式求解．直接开平方法是解一元二次方程最基础、最直观的方法，其核心思想是“降次”，即将二次方程转化为一次方程来求解 一 核心原理与基本形式 二 解题步骤与技巧 三 常见易错点总结 【例1】（24-25八年级下·上海·专题练习）解关于的方程：． 【答案】，． 【分析】整理方程，即得 直接开平方法解方程，得： 即方程两根为，． 【总结】直接开平方法解形如方程两根即为． 【变式1-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】（1）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （2）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （3）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （4）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； 【详解】（1）， 方程两边同时除以9得，， 开平方得，， ∴，； （2），移项得，， 开平方得，， ∴，； （3）， 移项得，， 开平方得，， ∴，； （4）， ，， ∴，． 【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；运用等式性质将方程变形为形式是解题的关键． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海徐汇区·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1) ；    (2)； (3)；    (4). 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），. 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】(1)直接开方,再移项、合并同类项即可 (2) 先把-9移项到方程右边,再直接开方 (3) 直接开方,再移项、合并同类项即可 (4)先把9移项到方程右边，再直接开方,再按解一元一次方程的方法求解 【详解】(1)∵， ∴ ∴. (2)∵， ∴， ∴， ∴ (3)∵， ∴， ∴. (4)∵， ∴或， 解得，. 【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，掌握运算法则是解题关键 【变式1-3】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解： 移项，得 ， 分解因式，得 ， 整理，得 ， 或， 解得，． 【变式1-4】用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)； (3)， (4)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． （1）直接开方，再移项、合并同类项即可； （2）先方程两边都除以2，再直接开方； （3）先把-49移项到方程右边，再直接开方； （4）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解． 【详解】（1）， ∴， ； （2）， ， ∴； （3）， ∴， ∴ ， ∴，； （4）∵， ∴，． 【变式1-5】解关于的方程：． 【答案】，． 【解析】整理方程，即为，直接开平方法解方程，即得， 得：或，解得方程两根分为，． 【总结】直接开平方法解形如的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得． 2、 因式分解法(提取公因式)  一 核心原理与基本形式 二 解题步骤与高阶技巧  三 常见易错点总结 【例1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程： (1) (2) ． (1)【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解： 或 ∴， (2)【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解：移项得， 即， 提取公因式得， 或， 解得． 【变式1-1】（24-25九年级上·吉林·期中）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解：， ， ， ， 或， ，． 【变式1-2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程：． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解：， ， 则， ， 即， ∴或， ． 【变式1-3】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解：， ， ， ， ， 或， ，． 【变式1-4】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）解方程：． 【答案】. 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】试题分析：将作为一整体应用因式分解法解方程即可. 试题解析：原方程可化为， 左边因式分解，得，即，即或， ∴原方程的解为. 考点：1.解一元二次方程；2.整体思想的应用． 【变式1-5】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】将提取公因式得到，再利用因式分解法解这个一元二次方程即可． 【详解】解： ， ， 或， ，． 3、 因式分解法(十字相乘法) 十字相乘法是因式分解法解一元二次方程中最核心、最实用的技巧。它的本质是乘法公式的逆向运用 一、 核心原理与基本形式 二、 解题步骤与高阶技巧 三、 常见易错点总结 【例1】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】， ， 或， 解得：，． 【变式1-1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）用适当的方法解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解：， ∴ ， ∴或， 解得，． 【变式1-2】（23-24八年级上·上海·期中）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解： 化简得：， ， 或， ，． 【变式1-3】（25-26八年级下·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得． 【变式1-4】（26-27八年级·上海·暑假作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解： 或 解得或 所以，原方程的根是，． （2）解： 整理得 或 解得或 所以，原方程的根是，． （3）解： 移项，得 或 解得或 所以，原方程的根是，． 【变式1-5】解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】（1）由，得，即，解得：或者 ，所以原方程的解为：，； （2）由，得，即，解得：或者， 所以原方程的解为：，． 4、 配方法 配方法是解一元二次方程最核心、最通用的方法，它不仅能解所有的一元二次方程，更是推导求根公式的基础。其核心思想是“构造完全平方式”，将一般形式转化为，从而结合直接开平方法求解。  一、 核心原理与基本步骤 二、 高阶技巧与难点突破  三、 常见易错点总结 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解关于的方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先移项后，再配方得，再直接开方即可求解． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， ， 解得：，． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【变式1-1】（23-24八年级上·上海浦东新·期中）用配方法解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】根据配方法即可求解． 【详解】解：， 整理，得， 配方，得， 即 ∴，． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 【变式1-2】用配方法解方程：． 【答案】，． 【解析】由，得，即， 所以， 所以原方程的解为：，． 【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根． 【变式1-3】（20-21八年级上·全国·单元测试）用配方法解方程：． 【答案】，， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】将原方程二次项系数化1，用配方法求解. 【详解】解：          ∴ ， 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，配方法是常用方法，掌握配方法解方程的步骤是解答此题的关键. 【变式1-4】（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得． 【详解】解：移项得， 配方得，即， 所以原方程的解为：，． 【变式1-5】（22-23九年级上·山西太原·阶段检测）用配方法解一元二次方程，请结合题意填空，完成本题的解答． 解：方程变形为     第一步 配方，得                   第二步 移项，得                      第三步 两边开平方，得                第四步 或               第五步 所以，              第六步 (1)上述解法错在第___________步． (2)请你用配方法求出该方程的解． 【答案】(1)一 (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】（1）根据配方法的步骤即可判断； （2）移项后将二次项系数化为1，再配上一次项系数一半的平方即可得． 【详解】（1）解：上述解法错在第一步，应该先二次项系数化为1：， 故答案为：一； （2）解：， ， 则， 即， ， ， 即，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·期末）用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】根据配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，对左边配方后即可求出的值． 【详解】解：原方程为，一次项系数为，其一半的平方为， 方程两边同时加，可得， 由完全平方公式整理左边，得， 要求方程化为的形式， ． 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·暑假作业）（1）____________； （2）____________． 【答案】 25 5 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解：（1）， （2）． 【变式2-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）填空： （1）；横线内应依次填入：_________ 、___________； （2）；横线内应依次填入：_________、___________； （3）；横线内应依次填入：__________、___________． 【答案】 4 2 10（或） 5（或） 3（或） （或） 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】根据完全平方公式的结构特征，对比等式两边系数即可求解． 【详解】略 【变式2-3】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 【变式2-4】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】将的两边分别平方整理后得到，然后比较求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 【变式2-5】（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）____________________； （2）____________________； （3）____________________； （4）____________________． 【答案】 9 3 16 4 / / 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方，根据完全平方公式配方即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：9，3； （2）， 故答案为：16，4； （3）， 故答案为：，； （4）， 故答案为：，． 5、 公式法 公式法解一元二次方程是代数中最具普适性的方法，它由配方法推导而来。其核心优势在于“万能”，只要方程有实数根，无论系数多复杂，都可以套用公式直接求解 一、 核心公式与前提条件 二、 标准解题步骤  三、 高阶技巧与避坑指南 【例1】（2026·陕西西安·二模）解下列方程：（用公式法）； 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【详解】解：， ，，， ， ∴方程有两个不等的实数根， ， 即，． 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）用公式法解方程：． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ∴，， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 【变式1-2】（24-25九年级上·广东东莞·阶段检测）用公式法解方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法的运用．先求出值，判断符号，再利用求解即可． 【详解】解： ， ∴，． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查的是用公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解答本题的关键． 【小问1分析】 对一元二次方程进行移项、合并同类项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解． 【小问2分析】 对一元二次方程进行去括号、移项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解． 【详解】【小问1详解】 解： 移项、合并同类项得 观察可得 ；； 故答案为：. 【小问2详解】 解： 去括号得 移项得； 合并同类项得 ； ， 【变式1-4】（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练运用求根公式是解答本题的关键． （1）将方程化为，再运用求根公式解答即可； （2）将方程化为，再运用求根公式解答即可． 【详解】（1）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根， ， ． （2）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根， ， ． 【变式1-5】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 6、 换元法 换元法解一元二次方程，其核心思想是“整体代换”与“降次”。当方程中出现相同的代数式，或者方程结构具有某种对称性、规律性时，通过引入一个新的变量（如 tt ）来代替这个复杂的代数式，可以将高次方程、分式方程或无理方程转化为标准的一元二次方程，从而化繁为简。 一、 核心原理与基本步骤 二、 常见题型与高阶技巧 三、 常见易错点总结 【例1】（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程，即可求解； （2）设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可化为， 解得．             ， 即或， 解得，． 【变式1-1】（23-24八年级下·上海闵行·期中）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是把次数较高的方程，通过换元法降次，降为一元二次方程去求解；设，再通过因式分解法解一元二次方程，可得，再把y分别代入，得到关于x的一元二次方程，求解即可； 【详解】解：设，则原方程可化为，   ， 解得， 当时，，方程无解，    当时，，解得． ∴原方程的解为． 【变式1-2】解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．先将看作一个整体，设，则原方程转化为求解， 进而得到方程和，对和进行求解，即可解题． 【详解】解：设，则原方程转化为， 解得，． 当时，， ， ； 当时，，即， ， 此时该方程无解． 原方程的解为，． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）换元法解方程：． 【答案】，， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查利用整体思想及换元法、因式分解法求一元二次方程的根，能够熟练运用式子相乘以及整体思想是解题关键设，则，解方程得到或，带回后再解一元二次方程求解未知数的值即可． 【详解】解：设．则． 解得或． 当时，，即． 解得． 当时，，即． 解得，． 综上所述，原方程的解为，，． 【变式1-4】（16-17八年级下·全国·课后作业）解方程：． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，解高次方程的应用，能选择适当的方法展开是解此题的关键． 先和分别相乘，把当作一个整体展开，最后解方程，即可得出方程的解． 【详解】解：原方程可化为， 即， 设， 则原方程变为， 解得， 当时，， 解得， 当时， ， ， 方程无实数根， ∴原方程的根为． 【变式1-5】（22-23九年级下·广东东莞·自主招生）解关于的方程：． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程（化为一元一次） 【分析】利用完全平方公式对原方程变形，再采用换元法将原方程转化为整式方程求解，最后对分式方程的根进行检验． 【详解】解：原方程变形，得， 移项，得 ， 设，则原方程化为： 因式分解，得 解得，， 当时，，方程两边同乘（），整理得，此时方程无实数根， 当时，，方程两边同乘（），整理得 因式分解得， 解得， 检验：将代入原方程分母，得 ， 因此是原方程的解． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $解一元二次方程（六种） 一、 开方法 …2 二、 因式分解法（提取公因式） .8 三、 因式分解法（十字相乘法）… .13 四、配方法 .18 五、公式法 25 六、 换元法30 试卷第1页（共3页） 一、开方法 直接开平方法：如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数， 那么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如(x+)》=k(k≥0)的形式求解.直接开平方法是解 一元二次方程最基础、最直观的方法，其核心思想是“降次”，即将二次方程转化为一次方程来求解 一 核心原理与基本形式 直接开平方法适用于形如x2=p或(mx+n)2=p的方程。 根据平方根的性质，当p≥0时，方程有两个根；当p<0时，方程在实数范围内无解。 方程形式 求解步骤与结果 注意事项 标准型x2=p 直接开平方： 极易漏掉负根，必须牢记写”士”。 若p>0,则x=士√ 若p=0,则x1=x2=0 若p<0,则无实数根 变形型(mx+n)2=p 将(mx+n)视为一个整体： 适用于配方后或本身具备此结构的方程。 若p>0,则mx+n=土√p 再解两个一元一次方程求x 二解题步骤与技巧 1.标准型直接开平方 ·方法：将方程化为x=p的形式后，直接写出x=士v√p。 。技巧 ·化简根式：开方后一定要将根式化为最简。例如x2=12,结果应写为x=士2√3，而不是士√12。 ·分数开方：遇到x=,直接上下分别开方得x=土号。 2.整体代换法（针对变形型） ·方法：当方程为(x一3)2=16时，不要急于展开括号，直接将(x-3)看作一个整体。 。技巧 ·保留整体：得到x-3=士4后，分别解x-3=4和x-3=-4。 ·防错提示：千万不要写成x-3=4然后只解出一个根，或者错误地写成x=士4+3（虽然结果碰巧一样，但逻辑过程容 易在复杂题中出错)，规范的写法是移项求解。 试卷第2页（共3页） 3.系数化为1技巧 ·方法：如果方程为2x2-8=0,先移项，再系数化为1，最后开平方。 ·技巧： ·错误做法：直接开平方得到V2x=士V⑧，导致后续处理极其繁琐。 ·正确做法：2x2=8→x2=4→x=士2。“先化简，后开方"是铁律。 4.结合配方法使用 ·方法：对于一般形式ax2+bz+c=0,先通过配方将其转化为(c+h)2=k的形式，再使用直接开平方法。 ·技巧 ·首项系数为1：配方时，确保x2的系数已经是1。如果不是，先除以a。 ·常数项移项：配方前先将常数项移到等号右边，左边只留含x的项。 。检验右边符号：配方完成后，先观察等号右边的常数。如果是负数，直接判定无实数根，无需继续开方。 三常见易错点总结 1.漏写“士"号：这是最致命的错误。正数的平方根永远有两个（一正一负），除非题目明确限制x>0。 2.符号处理错误：例如(x-2)2=9,开方后应为x-2=±3，移项得x=2士3。切忌写成x=-2±3。 3.忽视无解情况：遇到(2x+1)2+3=0这种形式，移项后得(2x+1)2=-3,因为左边≥0，右边<0，应果断回答“无实 数根“，不要强行开方。 4.根号未化简：考试阅卷时，√50未化简为5v√2可能会被扣分。 【例1】(2425八年级下·上海专题练习)解关于x的方程：5x2-125=0 【变式1-1】(23-24九年级上全国课后作业)用直接开平方法解下列方程： 试卷第3页（共3页） 09r2=25 (②r-8=0 6)2-V225=0 ④3r2-27=0 【变式1-2】(24-25九年级上·上海徐汇区·课后作业)用直接开平方法解下列方程： 0)+2)2=27 (②x-3)29=0 62r82=6 ④93x-2}2-64 试卷第4页（共3页） 【变式13】(25-26八年级下安徽滁州期中)解方程：2x-=(2+ 【变式1-4】用直接开平方法解下列方程： )x-2y=3 22(-3}=72 6)9(y+4)-49=0 ④4(2y-5°=9(3y-1 试卷第5页（共3页） 【变式1-5】解关于x的方程：(x-a=a2+2ab+b2 试卷第6页（共3页） 二、因式分解法（提取公因式） 一核心原理与基本形式 此方法基于代数基本定理中的零乘积性质：如果A·B=0,那么A=0或B=0。 方程形式 求解步骤与结果 注意事项 标准型ax2+bx=0 提取公因式x: 极易漏掉x=0这个根。 x(ax+b)=0 解得：1=0,2=-8 变形型(x-a)2=b(x-a) 移项并提取整体公因式(x-a): 切忌两边同时除以(x一a),否则会漏根。 (x-a)(x-a-b)=0 解得：x1=a,x2=a+b 解题步骤与高阶技巧 1.标准型：首项与常数项均含x ●方法：观察方程ax2+bz=0,直接提取公共的x。 。技巧： ·警惕“隐形"的0根：提取x后，剩下的括号内为0，解出的另一个根一定要和x=0一起写全。 ·符号对齐：提取时注意符号。例如3x2一6x=0,提取3x得到3x(x-2)=0,括号内是-2而不是2。 2.变形型：多项式中含有相同“整体” ·方法：当方程两边或同一侧出现完全相同的多项式（如x一2,2x+1)时，将其视为一个整体进行提取。 ·技巧： ·移项优先：必须先将方程右边化为0，再把含有相同整体的项移到同一侧。 ·整体代换防漏根：例如解(x-3)2=5(x-3)。 ·错误做法：两边同除以(x一3)，得到x-3=5→x=8。(漏掉了x=3这个根) ·正确做法：移项得(c-3)2-5(-3)=0,提取（亿-3）得(c-3)(x-3-5)=0,解得1=3,2=8。 试卷第7页（共3页） 3.符号相反型：互为相反数的“整体” ·方法：当方程中出现(x-a)和(a一x)时，利用(a-x)=-(z-a)进行符号转化，再提取公因式。 ·技巧： ·统一方向：通常将(a-x)转化为-(x-a),然后提取(x-a)。 ·示例：解x(x-2)=4(2-x)。 ·移项：x(x-2)-4(2-x)=0 ·变号：x(x-2)+4(x-2)=0 ·提取：(x-2)(x+4)=0 ·求解：1=2,2=-4 4.隐藏公因式型：系数或指数的隐藏 ·方法：有时公因式不是明显的x,而是x2或带有系数的项。 ·技巧 ·提取最大公因式：例如43-8x2=0,应提取4c2,得到4x2(x-2)=0,解得x1=2=0,x3=2。 ·先化简再提取：如果方程各项系数有公约数，先约分再提取，计算更简便。例如6x2-12x=0→x2-2x=0→x(x 2)=0。 三常见易错点总结 1.除以含未知数的式子：这是最严重的错误。在解方程时，绝对不能在等式两边同时除以含有x的代数式，因为这等同于默认 该代数式不为0，从而丢失了该代数式为0时的根。 2.漏写=0的根：提取x后，忘记写第一个根x=0。 3.变号错误：在处理(a一x)转化为-(x-a)时，忘记将前面的负号乘进去，导致括号内符号出错。 4.未化为0就提取：方程右边不是0时直接提取，逻辑完全错误。必须牢记：先移项，后提取。 【例1】(2026黑龙江齐齐哈尔·三模)解方程： 12(-2}=3(2-x) 3x(x-1)=2-2x (2) 试卷第8页（共3页） 3x(x-2)=4-2x 【变式1-1】(24-25九年级上吉林期中)解方程： 【变式1-2】(2026黑龙江齐齐哈尔三模)解方程：×+6x+9=(2-3x 【变式1-3】(25-26八年级下辽宁大连期末)解方程：x2-1=x+1. 试卷第9页（共3页） 【变式14】(2425九年级上江苏苏州阶段检测)解方程：6（收-+1-x)-12=0 【变式1-5】(2026黑龙江齐齐哈尔三模)解方程：(2r+3)4红-6=0 试卷第10页（共3页） 三、因式分解法（十字相乘法） 十字相乘法是因式分解法解一元二次方程中最核心、最实用的技巧。它的本质是乘法公式 (c+p(e+g）=2+p+gx+9的逆向运用 一、核心原理与基本形式 十字相乘法的关键在于寻找四个数，使得“交叉相乘再相加，等于中间项”。 方程形式 十字相乘图解与求解步骤 核心口诀 首项系数为1 竖分常数，横写因式 竖分常数交叉乘， z2+bx+c=0 寻找两个数p,q,满足： 横写因式求方程。 p×q=c(常数项) p+q=b(一次项系数) 方程化为：(x+p)(红+q)=0 首项系数不为1 双竖分，交叉验 头尾分解交叉乘 ax2+bx+c=0 将a拆分为a1×a2 相加等于中间项。 将c拆分为G×c2 验证：a1c2+a2c1=b 方程化为：(a1x+c1)(a2x+c2)=0 二、 解题步骤与高阶技巧 试卷第11页（共3页） 2.首项系数不为1的“试凑法" 当a≠1时，因数组合较多，建议采用“先定大头，再配小数"的策略： ·示例：解6x2-7x-5=0 ·技巧 1.先拆分首项6：通常是2×3或1×6（优先尝试差距较小的组合）。 2.再拆分常数项-5：只有1×-5或-1×5。 3.进行交叉相乘验证：尝试2x和3x搭配1和-5。 ·2x×(-5)=-10x ·3x×1=3x ·相加：-10x+3x=-7c(完美匹配中间项！) 4.横写因式：(2x-5)(3x+1)=0。 3.提公因式优先原则 ·技巧：在十字相乘之前，必须先观察各项是否有公因式。如果有，先提取公因式，使方程变简单后再十字相乘。 。·示例：4x2-8x-12=0。先提取4得到4(x2-2x-3)=0,再对括号内十字相乘，比直接对4x2拆分为2x×2x要快得多 且不易出错。 1.符号判定技巧（最关键的一步） 在动笔拆分数字前，先通过常数项c和一次项系数b的符号，预判两个因数的符号，能大幅减少试错时间： ·当c>0时：拆出的两个数同号。 ·若b>0,则两数同为正。 ·若b<0,则两数同为负。 ·当c<0时：拆出的两个数异号（一正一负）。 ·绝对值较大的那个数，其符号与b的符号相同。 ·示例：x2-2x-15=0。c=-15<0,b=-2<0。所以拆出的两个数异号，且负数的绝对值更大。直接锁定组 合：-5和+3。 三、 常见易错点总结 1.未化为一般形式就十字相乘：方程右边必须为0。如果方程是x2+3x=4,必须先移项变为x2+3x-4=0。 2.交叉相乘方向搞反：必须是左上×右下+左下×右上。如果写成了左上×左下，那就变成了提取公因式，而不是十字相乘。 3.横写因式时漏掉x：十字相乘的结果是两个一次多项式相乘，千万不要写成(2-5)(3+1)=0，必须带上未知数x，即 (2x-5)(3x+1)=0。 4.忘记令各因式等于0：分解完成后，必须分别令(a1x+c1)=0和(a2x+c2)=0来求出x的值。 试卷第12页（共3页） 【例1】(25-26八年级下湖南长沙期末)解方程：x2-4x-5=0. 【变式1-1】(25-26八年级下·安徽合肥期末)用适当的方法解方程：x2-4x-12=0. 【变式1-2】(23-24八年级上·上海期中)解方程： (x+5)(x-2)=8 【变式1-3】(25-26八年级下浙江台州期末)解方程： 0r2-23 (26r-3y=2x-3) 试卷第13页（共3页) 【变式14】(26-27八年级上海暑假作业)解下列方程： 0)-7x+12=0 220-2)=少2+5 6)30x-2)=50x-2y 【变式1-5】解下列方程： (1)-x2+3x+18=0: (2)0.1x2-1.2=0.4x. 试卷第14页（共3页) 四、配方法 配方法是解一元二次方程最核心、最通用的方法，它不仅能解所有的一元二次方程，更是推导求根 公式的基础。其核心思想是“构造完全平方式”，将一般形式转化为+m)=n,从而结合直接开平方 法求解。 一、核心原理与基本步骤 配方法的本质是利用完全平方公式(a士b)2=a2±2ab+b2,将方程左边凑成含有未知数的完全平方式。 步骤 具体操作 目的与注意事项 1.移项 将常数项移到方程右边 方程左边只保留含x的项，右边为常数。 2.二次项系数化为1 方程两边同除以二次项系数a 关键前提：如果a≠1，必须先化1，否则无法直接配方。 3.配方 两边同时加上一次项系数一半的平方 左边凑成(x+品)2，右边为常数。 4.开平方 利用直接开平方法求解 若右边≥0，则有两个实数根；若右边<0，则无实数根。 高阶技巧与难点突破 试卷第15页（共3页） 1.寻找“配方常数"的捷径 ·技巧：配方时，需要加上的常数永远是”一次项系数除以2，再平方”，即(》。 ·示例：对于x2-6x,一次项系数是-6，一半是-3，平方是9。所以加上9即可得到(x-3)2。 ·注意：加上这个数后，等式右边也必须加上相同的数，保持等式平衡。 2.二次项系数不为1的处理 ·技巧：遇到2x2-8x+3=0这种形式，先整体除以2，化为x2-4如+号=0，然后再进行配方。 ·避坑：千万不要在二次项系数不为1时直接配方，否则构造出的完全平方式在展开时会多出系数，导致错误。 3.分数配方技巧 ·技巧：当一次项系数为奇数或分数时，配方会产生分数。计算时要细心。 ·示例：x2+3=0,一次项系数为3，一半是号，平方是号。 ·结果：(x+)2=号，开方得x+号=±号，解得1=0,2=-3。 4.结合“整体思想"配方 ·技巧：当方程不是标准的一元二次方程，但结构类似时，可以将某个代数式看作整体。 ·示例：(x+1)2+4(x+1)+4=0。 ·操作：将(x+1)看作整体，发现刚好是完全平方式，直接化为[(x+1)+2=0,即(x+3)2=0,解得x=-3。 三、常见易错点总结 1.忘记化二次项系数为1：这是最常见的错误。例如3x2+6x=9,直接加32=9导致全盘皆输。必须先化为x2+2x=3。 2.配方常数算错：一次项系数没有除以2就直接平方，或者除以2后忘记平方。牢记口诀：“一半的平方”。 3.等式不平衡：左边加了配方常数，右边忘记加。 4.开平方漏掉“士"：配方后得到(x+m)2=n(n>0),开方时必须写x+m=±√元。 5.忽视无解情况：配方后得到(x+m)2=-n(n>0),左边非负，右边为负，应直接得出“无实数根”。 【例1】(25-26九年级上·全国课后作业)用配方法解关于x的方程：x2+12x+25=0. 试卷第16页（共3页） 【变式1-1】(23-24八年级上上海浦东新·期中)用配方法解方程：3x2-5x-2=0. 【变式1-2】用配方法解方程：y-4V3y-2013=0 【变式1-3】(20-21八年级上全国单元测试)用配方法解方程： √2x2+3x-2W2=0 试卷第17页（共3页） 【变式1-4】(25-26九年级上全国课后作业)用配方法解方程：x2+2mx-m2=0. 【变式1-5】(22-23九年级上山西太原阶段检测)用配方法解一元二次方程2x2-5x+2=0,请结合题 意填空，完成本题的解答。 解：方程变形为 -x+--0 第一步 第二步 第三步 ,2、5 两边开平方，得21) -2 第四步 2r-517 2r-5-7 22或22 第五步 试卷第18页（共3页） 所丝专5+v 4， 4 第六步 (1)上述解法错在第 步 (2)请你用配方法求出该方程的解， 【例2】(25.26八年级下陕西西安期末)用配方法将方程2+6x=5化成x+3=m的形式，则”的值 为 【变式21】(25-26八年级下全国暑假作业)（1)+10x+=(x+》, (2)x23 +x —=(x-)2. 试卷第19页（共3页） 【变式2-2】(26-27九年级上全国课后作业)填空： (1)r2-4r+ =(x- )2 横线内应依次填入： 2)x2x+25=(x ；横线内应依次填入： 9 (3)m2m+=(m 4 ;横线内应依次填入： 【变式2-3】(25-26八年级下·浙江杭州期中)已知关于x的方程x2-mx+n=0通过配方可变形为 【变式24】(26-27九年级上全国课后作业)用配方法解一元二次方程4r+r+a=0得2x-3=士6 则b的值为 试卷第20页（共3页) 【变式2-5】(24-25八年级下·全国课后作业)填空： (1)x+6x+ =(x+ )2 (2)r2-8x+ =(x- (3)x23 )2: b (4)x2+2x+ a —=(x+ )2 试卷第21页（共3页） 五、公式法 公式法解一元二次方程是代数中最具普适性的方法，它由配方法推导而来。其核心优势在于“万能”， 只要方程有实数根，无论系数多复杂，都可以套用公式直接求解 一、 核心公式与前提条件 1.标准形式 使用公式法前，必须将方程化为一般形式： ax2+ba+c=0(a≠0) 2.求根公式 r=-b±VB-4ac 2a 3.判别式（△) 公式中的根号部分被称为根的判别式，记作△=2-4c。它是决定方程是否有实数根的关键： ·当△>0时，方程有两个不相等的实数根。 ·当△=0时，方程有两个相等的实数根（即x1=2=一岳）。 ·当△<0时，方程在实数范围内无实数根。 二、标准解题步骤 1.化一般式：将方程移项、合并同类项，化为ax2+bx+c=0的形式。 2.定系数：准确找出a,bc的值（特别注意各项前面的符号）。 3.算判别式：计算△=b2-4ac,判断根的情况。若△<0，直接作答无实数根。 4.代公式：将a,b,c和△代入求根公式。 5.求结果：化简根式，分别写出x1和x2。 三、高阶技巧与避坑指南 试卷第22页（共3页） 1.符号提取技巧（极其重要） ·技巧：找a,b,c时，一定要把前面的符号一起带上。 ·示例：对于方程2x2-5z-3=0,则a=2,b=-5,c=-3。 ·易错点：极易将b错认为5，将c错认为3，导致判别式计算全盘皆输。 2.优先化简系数技巧 ·技巧：如果a,b,c都是偶数或有公约数，先约分再用公式，可以大幅降低计算量。 ·示例：解4x2-8x-12=0。 ·笨办法：直接代入a=4,b=-8,c=-12,计算量极大。 ·聪明办法：方程两边同除以4，化为x2-2x-3=0。此时a=1,b=-2,c=-3,△=(-2)2-41)(-3)=16，极易 开方。 3.判别式的快速计算技巧 ·技巧：计算b2一4ac时，利用乘法口诀和平方数表，减少笔误。 ·避坑：b2是负数的平方，结果永远为正。例如b=-7,则62=49，千万不要写成-49。 4.结果化简技巧 ·技巧：代入公式后，如果分子分母有公因数，先约分，再拆分。 ·示例：x=⑧ 6 ·先化简根号：√④8=4V3。 ·式子变为44。 6 ·分子分母同除以2，最终结果写为2号。 5.公式法的“战略选择” ·技巧：虽然公式法万能，但并非最快。拿到题目先观察： ·缺常数项（c=0)→优先用提取公因式法。 ·能轻松凑出完全平方式→优先用配方法。 。十字相乘极易看出→优先用因式分解法。 ·以上都不行，或者题目要求“用公式法解”→果断使用公式法。 【例1】(2026陕西西安二模)解下列方程：3x2-5x+2=0(用公式法)； 试卷第23页（共3页） 【变式1-1】(24-25九年级上江苏苏州期中)用公式法解方程：2x2-7x+2=0. 【变式1-3】(25-26九年级上·全国课后作业)用公式法解下列方程： 0)-2x=4r-5 (22(x+3)=12+8x 【变式1-4】(2025九年级上全国专题练习)用公式法解下列方程： (0)2(x+3)=-1 (2x+1x-)=22x 试卷第24页（共3页) 【变式1-5】(25-26九年级上：安微芜湖阶段检测)用公式法解一元二次方程：3x-4W5x+2=0 试卷第25页（共3页） 六、换元法 换元法解一元二次方程，其核心思想是“整体代换”与“降次”。当方程中出现相同的代数式，或者 方程结构具有某种对称性、规律性时，通过引入一个新的变量（如t)来代替这个复杂的代数式，可以 将高次方程、分式方程或无理方程转化为标准的一元二次方程，从而化繁为简。 一、核心原理与基本步骤 1.观察结构：寻找方程中重复出现的代数式，或具有倍数关系的代数式。 2.设元代换：令该代数式等于新变量t(注意：通常需要注明t的取值范围)。 3.转化求解：将原方程转化为关于t的一元二次方程，解出t的值。 4.回代求根：将t的值代回原来的代数式中，解出未知数x的值。 5.检验：检验求得的x是否满足原方程及t的取值范围（特别是分式和无理方程）。 二、常见题型与高阶技巧 1.相同代数式型（整体代换） 。适用场景：方程中多次出现完全相同的代数式。 ·示例：(x2-x)2-4(x2-x)-12=0 ·技巧：直接令t=x2-x,原方程化为2-4t-12=0。解得1=6，t2=-2。再分别解x2-x=6和x2-x=-2即可。 2.互为倒数型（对称代换） ”适用场景：方程中同时出现x2+和x+是。 ·技巧 ·令t=x+是。 ·两边平方得：2=x2+2+是，即x2+是=2-2。 ·注意隐含条件：在实数范围内，z+引≥2，所以t≥2或t≤-2。若解出的t不在此范围内，直接舍去。 试卷第26页（共3页） 3.倍数关系型（构造代换） ·适用场景：方程中出现x2+3x和2x2+6x等成比例的代数式。 ·技巧：通过提取系数，构造出相同的部分。 ·示例2(x2+3x）-本=1 ·操作：令t=x2+3x,方程化为2t-}=1。去分母得22-t-1=0,解出t后再回代。 4.无理方程型（根式代换) ·适用场景：含有√ac+b的方程。 ·技巧：令t=√ax+b,则t≥0（必须强调非负性），且ax+b=t2。这样可以将无理方程直接转化为有理方程。 5.高次方程型（降次代换） 。适用场景：形如ax4+bx2+c=0的双二次方程。 ·技巧：令t=x2(注意t≥0)，则x4=,原方程化为关于t的一元二次方程。解出t后，再对t开平方求x。 三、常见易错点总结 1.忘记回代：解出t后直接写答案，忘记将t换回x继续求解。 2.忽视取值范围： ·令t=Vc+1,忘记t≥0，导致多出增根。 ·令t=x+},忘记≥2，解出t=1还继续往下算。 3.代换不完整：方程中还有未代换的x,导致新方程依然复杂。必须确保原方程能完全转化为关于t的方程。 4.忘记检验：对于分式方程和无理方程，换元法虽然简化了过程，但最后仍需将x的值代入原方程检验是否为增根。 【例1】(2526八年级下安微准北阶段检测阅读材料：我们在解方程c-旷-5(x-)+4=0时，可 以将”-一看成一个整体，设-1=》，则原方程可化为广-5y+4=0 ,解得=1与= ·当 时， x-1=1 解狗=2：当”=4时，-1=4，解得=5。原方程的解为5之.名=5 根据上述材料，解下列方程： 0)x+5-4(x+5)=0 22y-3)-18(2y-3y+81=0 试卷第27页（共3页） (道并)87熊暴料 0=(e-7-+xZ-)量4持49（不唱鼠-国支.T游49s)【-T】 0=1-(z+-《忆+)4揭【-T￥】 “0=0I-x+x(搏（中雎图灯4源由忆乙）【I-I平金】 【变式1-4】解方程：(x-1)x-2)(x-3)(x-4)=48 【变式1-5】(2324九年级下广东东莞自主招生)解关于x的方程：++2=2x+是 试卷第29页（共3页）