21.2 一元二次方程的解法（因式分解法）（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

21.2 一元二次方程的解法（特殊的一元二次方程的解法（因式分解法）） 题型一、提取公因式解一元二次方程 1．方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，方程左边利用提公因式法进行因式分解，再进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴，； 故答案为：，． 2．方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解方程是解此题的关键； 移项，然后运用因式分解方法解方程即可． 【详解】解： ， ， 或， 解得：，， 故答案为：或 3．方程的根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程变形后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：方程移项得：， 分解因式得：， 可得或， 解得：， 故答案为：． 4．方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，把方程变形为，提公因式x，得出，进一步即可求解． 【详解】解： ． ， ， 或， ∴，， 故答案为：，. 5．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 6．方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】解： 或 ∴，， 故答案为：，． 7．解方程： 【答案】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可得到答案．熟练掌握因式分解法求解是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 则， 即， ， 解得． 8．解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程，变形为，得到或，即可求出答案即可． 【详解】解： 则 ∴ 则或 解得， 9．解方程： 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用因式分解法求解． 【详解】解：， 因式分解得， ∴或， ∴，． 10．解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查利用因式分解法求一元二次方程的解．方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：分解因式得：，即， 可得：或， 解得：，． 题型二、十字相乘解一元二次方程 11．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理；解方程得 ，，当时，当时，由三角形的三边关系定理进行判断，即可求解；能正确解一元二次方程，会利用三角形三边关系定理进行求解是解题关键． 【详解】解：， ， ，， ，， 当时， ， 不符合三角形的三边关系定理， 舍去， 当时， 符合三角形的三边关系定理， 三角形的周长是， 故答案为：13． 12．写出一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一个根为3，这个方程的一般式是： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，先得出一元二次方程的一个根为2，另一个根为3得出关于的方程，再化为一般式即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根为2，另一个根为3， 该方程可以为，即． 故答案为：（答案不唯一）． 13．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，去分母将方程化为一般形式，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：去分母，得：． 即． ∴ ∴或． ∴，． 14．解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 15．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：． 16．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 解得：． 17．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先去括号，移项合并同类项得，再运用因式分解法进行方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 解得 题型一、已知方程的解求参数的值 18．已知是一元二次方程的一个解，则的值是（   ） A．或1 B．0 C．0或1 D．0或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意可得：把代入方程中得：，从而整理得：，然后解方程即可． 【详解】解：把代入方程中得： ， 整理得：， ， 解得：或， 故选：A． 19．关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解、解一元二次方程．首先根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有一个根为，可得关于的一元二次方程，用十字相乘法分解因式解方程可得：或(舍去)，把不符合要求的解舍去即可． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有一个根为， ， ， 分解因式得：， 或， 解得：或(舍去)， 故答案为： ． 20．关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的解．首先根据一元二次方程有一个根为，可得关于的一元二次方程，解方程可得：或，根据一元二次方程的二次项系数不能为可得：，从而确定的值． 【详解】解：一元二次方程有一个根为， ， 由可得：， 或， 解得：或， 由可得：， ． 故答案为： ． 题型二、实数运算与一元二次方程综合 21．方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程， 掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 22．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， 故答案为：． 23．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再利用完全平方公式分解因式，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 24．解方程： 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解本题的关键．用十字相乘法因式分解求出方程的根． 【详解】解：分解因式得：， 或， 解得：，． 题型三、新定义问题 25．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ． 【答案】或2/2或 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及新定义，解题的关键是由和，可得关于x的方程两个实数根为，，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或． 【详解】解：∵同时满足和， ∴关于x的方程两个实数根为，， ∵， ∴或， ∴的根为或， ∵与互为“同伴方程”， ∴或， 故答案为：或2． 26．对于实数，，定义运算“*”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查新运算下的实数运算，解一元二次方程，分情况讨论是关键．首先解出一元二次方程的两个解，然后根据定义新运算分情况讨论即可． 【详解】解： ，是一元二次方程的两个根， ，或者， 当，时， 当，时， 故答案为：或． 27．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把看做一个整体，把方程左边因式分解得到，则可推出，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 28．如果最简根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义得，即可求解；理解定义“几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：，， 当时， ， 舍去， ， 故答案为：． 29．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练使用提公因式法是解题的关键． 将原方程右边化为，再运用提公因式法即可求解． 【详解】解： ∴或 解得：， 30．已知实数满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的解法是解题关键．设，则，利用因式分解法解方程可得的值，再根据即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：2． 31．已知x是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程，先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 则原方程可变形为： ， ， 或 解得，， 则，， 当时，，故该方程无实数根， 当时，，故该方程有两根实数根， 所以， 故答案为：3． 试卷第1页，共3页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2 一元二次方程的解法（特殊的一元二次方程的解法（因式分解法）） 题型一、提取公因式解一元二次方程 1．方程的根是 ． 2．方程的解是 ． 3．方程的根是 ． 4．方程的根是 ． 5．解方程：． 6．方程的解为 ． 7．解方程： 8．解方程：． 9．解方程： 10．解方程：． 题型二、十字相乘解一元二次方程 11．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是 ． 12．写出一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一个根为3，这个方程的一般式是： ． 13．解方程：． 14．解方程：． 15．解方程：． 16．解方程：． 17． 解方程： 题型一、已知方程的解求参数的值 18．已知是一元二次方程的一个解，则的值是（   ） A．或1 B．0 C．0或1 D．0或 19．关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 20．关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 题型二、实数运算与一元二次方程综合 21．方程的解是 ． 22．方程的解为 ． 23．解方程： 24．解方程： 题型三、新定义问题 25．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ． 26．对于实数，，定义运算“*”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 1．方程的解是 ． 2．如果最简根式与是同类二次根式，则 ． 3．解方程： 4．已知实数满足，则的值为 ． 5．[整体思想]已知x是实数，且满足，则的值为 ． 试卷第1页，共3页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$