重难点专题 一元二次方程的5种解法和配方法的3种应用（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

重难点专题 一元二次方程的5种解法和配方法的3种应用 目录 题型1 直接开平方法 1 题型2 因式分解法（含十字相乘）） 3 题型3 配方法 7 题型4 公式法 10 题型5 换元法 13 题型6 配方法的应用（比大小问题） 16 题型7 配方法的应用（求最值问题） 18 题型8 配方法的应用（新定义问题） 23 题型一、直接开平方法 例1方程的根是： ． 【变式1-1】若，则 ． 【变式1-2】（2025·北京·期中）解方程：． 【变式1-3】解方程： 【变式1-4】【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为：     ，，  即或 (1)【引申】已知，则_____________． (2)【拓展】已知，求的值． 题型二、因式分解法（含十字相乘）） 例2（2025·上海·阶段练习）解方程：． 【变式2-1】（2024·上海闵行·阶段练习）最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a 的值是（     ） A．或 9 B．或 1 C． 或 D．9 或 【变式2-2】（2025·上海·阶段练习）一元二次方程的解是 ． 【变式2-3】（2025·上海·阶段练习）已知等腰三角形的底和腰是方程 的两个根，则该三角形的周长是 ． 【变式2-4】（2025·上海·阶段练习）关于 的一元二次方程 的常数项是 0，那么 的值是 【变式2-5】已知，则的值为 ． 【变式2-6】（2025·上海·阶段练习）解方程： 【变式2-7】（2025·上海·阶段练习）解方程： 【变式2-8】（2025·上海·阶段练习）解方程： 题型三、配方法 例3（2025·上海·阶段练习）用配方法解方程： 【变式3-1】解方程：． 【变式3-2】（2024·上海·阶段练习）解关于x的方程 ． 【变式3-3】（2024·上海·期末）用配方法解方程：． 【变式3-4】（2025·上海奉贤·期末）解方程：． 总结 用配方法解一元二次方程的方法 用配方法解一元二次方程，当二次项系数是1时，将常数项移到方程右边后，方程的两边都加上一次项系数一半的平方;当二次项系数不是1时，先根据等式的性质，把二次项系数化为1,再配方求解. 题型四、公式法 例4（2025·上海松江·期末）解方程：． 【变式4-1】（2025·上海·阶段练习）解方程： 【变式4-2】（2025·上海闵行·期末）解方程：． 【变式4-3】（2024·上海·期中）解方程： 【变式4-4】（2025·四川宜宾·期末）对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 【变式4-5】（2025·上海·阶段练习）解方程：． 题型五、换元法 例5若实数满足 ，则的值为 ． 【变式5-1】已知实数满足，则的值为 ． 【变式5-2】（2025·安徽·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-3】（2024·江苏南京·竞赛）解方程： 【变式5-4】阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数a，b满足，试求的值． 题型六、配方法的应用（比大小问题） 技法点拨 在比较大小时，常使用作差法,再将所作的差配方以比较出其与0的大小关系，以得出结论. 例6若，则 ．（填“>”、“<”或“=”）． 【变式6-1】已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【变式6-2】若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型七、配方法的应用（求最值问题） 例7二次三项式的最小值是 ． 【变式7-1】（2024·湖南长沙·阶段练习）已知x为全体实数，则的最大值为 ． 【变式7-2】已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（1）已知为实数，且，求的值． （2）用配方法求： ①的最小值； ② 的最大值． 【变式7-4】（2024·山东济南·期中）求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法． 例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若代数式，求M的最小值； (2)已知正数x，y满足，求的最小值． 【变式7-5】先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 反思总结 配方法求代数式最值，“两点注意”别忘掉 (1)先把代数式配方成的形式. ①当时，该代数式有最大值； ②当时，该代数式有最小值. (2)因为要求代数式的配方过程是恒等变形，所以在加上一次项系数一半的平方后，应再减去一个同样的数，使代数式的值保持不变. 题型八、配方法的应用（新定义问题） 例8（2025·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【变式8-1】小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当时，即或时，的值均为6；当时，即或时，的值均为11． 于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶． 请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对偶； (2)当或时，关于x的多项式的值相等，求b的值； (3)若整式关于对偶，求n的值． 【变式8-2】对于有理数a，b，定义的含义为：当时，；当时，．若，则的值等于 ． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 一元二次方程的5种解法和配方法的3种应用 目录 题型1 直接开平方法 1 题型2 因式分解法（含十字相乘）） 3 题型3 配方法 7 题型4 公式法 10 题型5 换元法 13 题型6 配方法的应用（比大小问题） 16 题型7 配方法的应用（求最值问题） 18 题型8 配方法的应用（新定义问题） 23 题型一、直接开平方法 例1方程的根是： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．先移项，然后直接开平方即可． 【详解】解：， 移项得：， 开平方得：． 【变式1-1】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方及零次幂，熟练掌握有理数的乘方运算及零次幂是解题的关键．根据 进行求解即可． 【详解】解：， ，解得． 故答案为： ． 【变式1-2】（2025·北京·期中）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用直接开平方法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 或， ∴，． 【变式1-3】解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般步骤是解题的关键； 先移项再直接开平方，将方程降次为一元一次方程，最后解一元一次方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 直接开平方，得 所以， 【变式1-4】【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为：     ，，  即或 (1)【引申】已知，则_____________． (2)【拓展】已知，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了换元法在解复杂方程中的应用及非负代数式的取值判断，解题的关键是通过设新元将含平方、多项式乘积的复杂方程转化为一元二次方程，同时结合代数式（如平方数、二次三项式）的实际取值范围舍去不合理的解． （1）设（），将方程转化为，解一元二次方程后根据的非负性舍去负解； （2）设，将方程转化为，解一元二次方程后，通过配方判断的取值范围，舍去不符合的解． 【详解】（1）解：设， ∵，， ∴． 原方程变形为， 开方得或， 解得，． ∵， ∴舍去，即． 故答案为：． （2）解：设，原方程变形为， 整理得， 因式分解：， 解得，． 又∵， ∴不符合 条件， 故的值为． 题型二、因式分解法（含十字相乘）） 例2（2025·上海·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，． 【变式2-1】（2024·上海闵行·阶段练习）最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a 的值是（     ） A．或 9 B．或 1 C． 或 D．9 或 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的定义及最简二次根式的条件．将化为最简二次根式，确定其被开方数为5，根据题意，最简二次根式与是同类二次根式，因此的被开方数也为5，即，解此关于的方程即可得答案． 【详解】解：， 最简二次根式 与 是同类二次根式， ，即， 解得或． 故选：B． 【变式2-2】（2025·上海·阶段练习）一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过移项，因式分解的方法来求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：，． 故答案为：，． 【变式2-3】（2025·上海·阶段练习）已知等腰三角形的底和腰是方程 的两个根，则该三角形的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义，三角形的三边关系和求三角形的周长，掌握一元二次方程的解法、利用三角形的三边关系进行判断是否构成三角形是解题的关键．先解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定等腰三角形的腰长，最后求出三角形的周长即可． 【详解】解：解方程， ∴， 得，， 当底边为3，腰为时，此时能组成三角形， ∴该三角形的周长是； 当底边为，腰为时，此时能组成三角形， ∴该三角形的周长是； 综上，该三角形的周长是或． 故答案为：或． 【变式2-4】（2025·上海·阶段练习）关于 的一元二次方程 的常数项是 0，那么 的值是 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，解一元二次方程－因式分解法．关于x的一元二次方程的常数项是为0，则，解出关于m的一元二次方程，并且注意二次项系数，两者结合求得m的值． 【详解】解：∵关于x一元二次方程常数项为0， ∴， 解得，； 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-5】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，先把方程化为，然后通过因式分解法解方程并检验即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解：， ， 或， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-6】（2025·上海·阶段练习）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先化简方程再因式分解求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 或， ∴或． 【变式2-7】（2025·上海·阶段练习）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用因式分解法来解这个方程即可． 【详解】解： ，即 解得，． 【变式2-8】（2025·上海·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法进行解一元二次方程，先把整理得，再得出，令每个因式为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， ∴或， 解得 题型三、配方法 例3（2025·上海·阶段练习）用配方法解方程： 【答案】 【分析】利用配方法求解即可． 本题考查了配方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得． 系数化为1，得 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得． 【变式3-1】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，首先要将原方程整理为一般形式，再根据方程特点选择合适方法求解．将方程整理一般形式，再利用配方法解方程即可． 【详解】解：， 整理，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】（2024·上海·阶段练习）解关于x的方程 ． 【答案】 【分析】该题考查了解一元二次方程，变形后根据配方法求解即可． 【详解】解：， 变形为：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】（2024·上海·期末）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式3-4】（2025·上海奉贤·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 首先将方程整理成一般式，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，． 总结 用配方法解一元二次方程的方法 用配方法解一元二次方程，当二次项系数是1时，将常数项移到方程右边后，方程的两边都加上一次项系数一半的平方;当二次项系数不是1时，先根据等式的性质，把二次项系数化为1,再配方求解. 题型四、公式法 例4（2025·上海松江·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式4-1】（2025·上海·阶段练习）解方程： 【答案】无解 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法． 先找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项，再用根的判别式即可求解． 【详解】解：， 移项得：， 去分母得：， ， ， 该方程没有实数根， 即该方程无解． 【变式4-2】（2025·上海闵行·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．本题可以利用配方法或公式法求解即可． 【详解】解：， 方程变形得：， ∵，，，， ∴， ∴，， 即，． 【变式4-3】（2024·上海·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 先将原方程整理成一般式，再根据公式法解一元二次方程的步骤进行解答即可． 【详解】解：， 整理成一般式得 ， ，，，， ∴， 即． 【变式4-4】（2025·四川宜宾·期末）对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解的定义，正确建立方程是解题关键．分两种情况：①当，即时，②当，即时，根据定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：①当，即时，则， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当，即时，， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为3或， 故选：D． 【变式4-5】（2025·上海·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解高次方程，先把原方程两边同时除以，则可把原方程变形为，设，则，则进一步可把原方程化为，解方程求出m的值，进而得到关于x的分式方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴当，原方程左边原方程右边， ∴， 把原方程两边同时除以得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴或， ∴或， 由判别式可知方程①无解，解方程②得， 经检验，都是原方程的解，且符合题意， ∴原方程的解为． 题型五、换元法 例5若实数满足 ，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键．设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，然后确定的值． 【详解】解：设，则， ，即， 解得：， ， ． 故答案为：1． 【变式5-1】已知实数满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的解法是解题关键．设，则，利用因式分解法解方程可得的值，再根据即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：2． 【变式5-2】（2025·安徽·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 【变式5-3】（2024·江苏南京·竞赛）解方程： 【答案】，，， 【分析】本题考查了解高次方程，换元法解一元二次方程，解题的关键是正确利用换元的思想． 令，原方程可化为，利用因式分解法解得，，再分别解以及即可． 【详解】解：令， 原方程可化为， ， 解得，， 当时，， ， ， ， ； 当时，， ， ， ， ， ∴原方程的根为，，，． 【变式5-4】阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数a，b满足，试求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 整理得：， 解得：， 当，即时， 解得； 当，即时， 解得． 综上，原方程的解为，． （2）设，则， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴． 题型六、配方法的应用（比大小问题） 技法点拨 在比较大小时，常使用作差法,再将所作的差配方以比较出其与0的大小关系，以得出结论. 例6若，则 ．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】先作差计算，再利用配方法判断结果的范围，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ； ∵，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是代数式的值的大小比较，配方法的应用，熟练的利用配方法判断代数式的值的范围是解本题的关键． 【变式6-1】已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【答案】B 【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大． 【详解】解：， ，， ， ， 故选：B 【变式6-2】若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，关键是作差法和配方法的应用．利用作差法和配方法计算即可． 【详解】解：：， ， ， ， 故选：C 题型七、配方法的应用（求最值问题） 例7二次三项式的最小值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了配方法求最值，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法，把二次三项式配方成，再根据平方的非负性即可得出最小值． 【详解】解：， 根据平方的非负性，得， 所以的最小值为0， 二次三项式的最小值是0． 故答案为：0． 【变式7-1】（2024·湖南长沙·阶段练习）已知x为全体实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法，将多项式进行转化，再根据完全平方的非负性进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴的最大值为． 【变式7-2】已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，配方法的应用，由倒数的定义可得，进而得到，把代入，配方可得，再根据非负数的即可求出的最小值，由倒数的定义得到是解题的关键． 【详解】解：∵与互为倒数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 【变式7-3】（1）已知为实数，且，求的值． （2）用配方法求： ①的最小值； ② 的最大值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，配方法的应用： （1）把看做一个整体，利用因式分解法得到，据此求解即可； （2）①利用配方法得到，据此可得答案；②利用配方法得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）① ， ∵， ∴， ∴的最小值为； ② ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【变式7-4】（2024·山东济南·期中）求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法． 例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若代数式，求M的最小值； (2)已知正数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． （1）运用配方法解题即可； （2）运用材料提示，构造图形，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， 当，时，M有最小值为3； （2）如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度 当的值最小时，D、C、E三点共线， 所以最小值． 【变式7-5】先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)多项式的最小值为 (3)的周长为12 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， ∴，，， 故的周长为． 反思总结 配方法求代数式最值，“两点注意”别忘掉 (1)先把代数式配方成的形式. ①当时，该代数式有最大值； ②当时，该代数式有最小值. (2)因为要求代数式的配方过程是恒等变形，所以在加上一次项系数一半的平方后，应再减去一个同样的数，使代数式的值保持不变. 题型八、配方法的应用（新定义问题） 例8（2025·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 【变式8-1】小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当时，即或时，的值均为6；当时，即或时，的值均为11． 于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶． 请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对偶； (2)当或时，关于x的多项式的值相等，求b的值； (3)若整式关于对偶，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方公式，整式乘法，正确理解新定理，判断出对称轴是解题关键． （1）将多项式配方得，再根据新定义判定即可； （2）将多项式配方得，再根据新定义，得到，求解即可得到b的值； （3）结合完全平方公式对多项式进行配方，再根据新定义判定即可． 【详解】（1）解：， 当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等， 多项式关于对偶， 故答案为： （2）解：， 当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等， 当或时，关于x的多项的值相等， ， 解得：； （3）解： 整式关于对偶， ． 【变式8-2】对于有理数a，b，定义的含义为：当时，；当时，．若，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 根据，得出与40的大小关系，从而确定m，n的值即可得出的值． 【详解】解：∵， ∴； ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $