河南省驻马店市部分校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

@ 高三数学参考答案及评分意见 1.D【解析】由题意知，集合A是点集，元素是点，集合B是数集，元素是实数，故A∩B=⑦.故选D. 1+2a=0, 2.B【解析】因为z=(1+2i)(1-ai)=(1+2a)+(2-a)i,之为纯虚数，所以 2-a≠0. 解得a=- 之故选B 3.C【解析】因为a=(3,0),b=(x,2),所以a+b=(3+x,2).所以向量a十b在向量a上的投影向量为 (a+b)·a。_3x+9 4 a ?a= 9a=3a,解得x=1.故选C. 4.D【解析】因为am+1=3Sm十3，所以当n≥2时，am=3Sm-1十3. 两式相减，得am+1一an-3an,所以am+1-4am,即公比q-4. 当n=1时，a2=4a1=3a1十3，解得a1=3,所以am=3X4-1, 所以a4=3×43=192.故选D. 5.B【解析】由题意，得抛物线C的焦点F(1,0),准线方程为x=一1.设A(xA,yA),则由抛物线的定义，得 AP=+1=合解得=了将工=专代人越物线C的方程，得及=学因为点A在第一象限，所以) 23-0 2,所以A售，2所以直线AF的斜率为氵。-后，所以宜线F的缸斜角为放盗 33 1 31 6.C【解析】由题意，得△T(n)=T(n)-T(n+1)=40e0.1m+10-40e.1(m+1)十10]=40eo.1n(1-eo.1)≈ 4e1".由4e.1n<0.4,得eo.1m<0.1.两边取自然对数，得-0.1n<1n0.1,所以0.1n>1n10≈2.30，解得n> 23,所以满足停止迭代条件的迭代次数n至少为24.故选C. 7.A【解析】设AB=1,则AD=1,AA1=2.以{AB,AD,AA1}为基底，则由题意，得AB·AD=0,AB·AA1= Ai·AA-1.因为BAi=AA-AB,Di=D,C+C,它=Ai-2AD, 所以BA1=√/(AA1-AB)2=√AA2-2AB·AA1+AB2=√/4-2+1=3， D在-√-西--苏+a亦--0+-， BA·D应=(AA-A)·(A店-号A可)=A店，AA-A-号A市.AA+2A店.A市=1-1-名+ 0=一2 1 所以cos(BA1,D1E)= BA·D1E 15 aMD支s×号 15,所以异面直线BA:与D1E所成角的余弦值为 凭放适A &c【解折1因为2+0对于x∈（受0小Uo,)恒皮立，所以当z∈(0，时，fx)os十 sin x cos x f(x)sinx<0.因为函数f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x) ①高三数学答案第1页（共8页） 当（吾小U,)时，会ga)-则g一）=到-g.所以同数gt是衍质 cos(-x)cos x 数又因为g()-f)中)血<0在0，上恒成立，所以ga)在(0，）上单满通减，所以 cos x ()-()>()-s()>()-( 4-✉二2但化》相 cos c0s Eaggom ) 卦)em)目)俱 ,化简得（>f(3故 D不一定正确.故选C 9.ACD【解析】由题意，得a=2×4+3=11,b=22×3=12,c=2×8=16,d=2×5+3=13.故选ACD. l0.BCD【解析】因为an十am+1=6n一l,所以am+1十am+2=6n十5.两式相减，得am+2一am=6.因为a1=2,所以 a3=a1+6=8,故A错误.因为a1=2,a1十a2=5,所以a2=3.因为am+2一an=6,所以数列{a2m-1}是以2为首 项，6为公差的等差数列，数列{a2m}是以3为首项，6为公差的等差数列，故B正确.由以上分析，得a2m-1=6n一 4,a2m=6n-3,所以a2m-a2-1=(6n-3)-(6n-4)=1,故C正确.S15=a1十(a2十a3)+(a4+a5)+…十 (a14+a15)=2+11+23+…+(6×14-1)=2+6×(2+4+6+…+14)-7=331,故D正确.故选BCD. 1.AD【解折】因为x（o,)>0,所以w+∈（任+）因为函数f)在区问0，上单调递蜡，所 +音解得0<a<1,放A正确因为f(任）-sn+)-号，所以竖+牙-2kx+∈Z或 +至=2论x+,k∈Z,解得。=，k∈Z或a=4十1，k∈乙又因为0<u≤1，所以w=1,放B错误因为 0w≤1，所以至<wx+晋≤因为f()=in+)0,所以x<wx+<,解得<w≤1.当x∈ (6,）时+（任3器+》g+吾(]，当x<2+≤时1在区间 (6,内有1个学点，当经<g+普≤x时，f)在区同6)内设有零点，放C民设蓝数y f(x)2 的图象与x轴的两个交点分别为(x,0),(x,0),x>x,则a十)（@r十)的最小值为 -分所以u(1一z:=2因为红一x:)=,所以u=1,故D正确故选AD, 3π元r 12.3【解析】设正四棱台的高为，则其体积V=}×(3+5+√3X5)×h=49,解得=3. 3 ①高三数学答案第2页（共8页） 13.(-∞，写)U3,十o)【解析】因为fx)=e1+e-x2+2a,x∈k,所以fx)-f2-x)=e1+e x2+2x-e1-x-e-1+(2-x)2一2(2-x)=0,所以f(x)的图象关于直线x=1对称. 因为f'(x)=e-1-el-x-2x+2,设g(x)=f'(x),则g'(x)=e-1+e-x-2=e-1 1 e*--2≥ 2e1·石-2=0，当且仅当e=品，即=1时，等号成立，所以函数fx)在R上单涧递增。 又因为f'(1)=0,所以当x∈(-∞，1)时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0,函数 f(x)单调递增.由f(m+2)<f(2m-1),得|m十2-1|<|2m-1-1|,所以(m+1)2<(2m-2)2.整理得(m- 3)3m-1)>0,解得m<专或m>3,即不等式的解集是(-0，)U3,十. 14.3【解析】设线段AB的中点为M,连接FM,如图.因为F为圆心，M为弦AB的中 点，所以FM⊥AB,所以△OMF是直角三角形. 由题意，得F(0,c),c2=b2+25,双曲线C的渐近线方程为y=士方x. 不妨取渐近线5x十by=0,则圆心F到渐近线的距离FM1=|bc =b. √62+25 又因为OF|=c,所以|OM=√c2-b=a=5. 因为OB=4OA,所以A为线段OB的四等分点（靠近点O), 所以|OB|=|OM|+|AM|=4(OM-|AM|), 化简得1AM1=号OM1,所以AM=3. 在Rt△AMF中，|AF|=√10，|FM|2+|AM|2=|AF|2,即b2+9=10,解得b=1. 所以△FAB的面积为2AB1·FM1=2×6X1=3. 1 15.解：(1)完整的列联表如下. …3分 自主优化能力 仿真软件使用情况 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 零假设为H。:储能技术人员使用储能仿真软件的情况与自主优化能力无关. …4分 由列联表中的数据，计算得 Xe=100×(22×16-28×34)2450 50×50×56×44 77 ≈5.844>3.841=x0.05.…6分 根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断H。不成立， ①高三数学答案第3页（共8页） 即认为储能技术人员使用储能仿真软件的情况与自主优化能力有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. …7分 (2)由题意，X的可能取值为0,1,2,3. 111 因为新员工第1天、第2天、第3天使用储能仿真软件开展工作的概率分别为2,3,4， 所以P(x=o)-（1-2)×-)×-) Px-)-×-)×》+0-×3×-)+()×-)×贵 (x=2)-3xg×f-)+2×-)x+(-)×3×-日， 1.11 ×4-241 故X的分布列如下表.…………11分 0 11 1 24 所以X的数学翔塑E(X)=0×+1×+2X子+3X分-品 113 …13分 16.解：(1)，A十B+C=π，∴.cosB=cos(π-A-C)=-cos(A+C), ∴√3cos(A-C)+√3cosB=√3cos(A-C)-√3cos(A+C)=23 sin Asin C. ,√3cos(A-C)+√3cosB-2 csin Acos B=0, .'.23 sin Asin C=2csin Acos B, 整理得√3 sin Asin C=csin Acos B.… …4分 A∈(0，r),∴.sinA≠0，.3sinC=√3 ccos B. 又.b=3,.bsin C=√3 ccos B. 由正弦定理，得sin Bsin C=√3 sin Ccos B.…7分 C∈(0，π)，∴.sinC≠0，∴.tanB=√3. B∈(0，)B=g …9分 (2)在△ABC中，：b=3,G=B,B=, ∴由余弦定理，得9=a2+3-2W3a·cos3,化简得a2-3a-6=0. 解得a=2√3或a=-√3（舍）.… …12分 62+c2=a2,A=2 ·D是AC的中点，AD= 2 ①高三数学答案第4页（共8页） D-VaB-aD-S+-图. …15分 17.(1)证明：在△A1AC中，∠A1AC=60°，AC=1,AA1=2, ∴.由余弦定理，得A1C=√AC2+AA-2AC·AA1·cos∠A1AC=,/1+4-2×1×2X =3. AC2十A1C2=AA7,AC⊥AC.…3分 A1C⊥AB,AC∩AB=A,AC,ABC平面ABC, A1C⊥平面ABC.…5分 A1CC平面A1BC,.平面A1BC⊥平面ABC.…6分 (2)解：由(1)，得A1C⊥平面ABC.又AC,BCC平面ABC,∴.A1C⊥AC,A1C⊥BC. 又：AC⊥BC,.A1C,AC,BC两两相互垂直. 以点C为坐标原点，分别以CA,CB,CA1所在的直线为x,y,之轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设BC=(k>0),由(1)知A1C=3, 则C(0,0,0),A1(0,0W3),B(0,k,0),C1(-1,03) A1B=(0,k,-3),CB=(0,k,0),CC=(-1,0,W3). w....... …8分 设平面BCC1B1的法向量为m=(x,y,之)， m·CB=0,ky=0, 则 即 m·CC1=0,(-x+3z=0. 令x=√3，则y=0,之=1，m=(W3,0,1).… 10分 设直线A1B与平面BCC1B1所成的角为0， 则sin0=cos(A,店，m1=1A:店·m=5 A1B|m√k+3×2 由题意，得 号X2-合解得=6AB06,B.mcm2 在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1∥CC1,且BB1=CC1,BB1=CC1=(-1,0,N3). 设平面AA1B1B的法向量为n=(a,b,c), n·A1B=0,W6b-√3c=0, 则 即 n·BB,=0,-a+√3c=0. 令b=1,则a=√6，c=√2，n=(W6,1,√2).……14分 ①高三数学答案第5页（共8页） 设平面AA1B1B与平面BCC1B1的夹角为a, m·n_42_2√2 则csa=cosm,n)=mm=2×3-3 即平面AAB,B与平面BCC,B,夹角的余弦值为2y2 3 …15分 18.(1)解：f(x)=g-21nc,x>0,f(1)=e.… …1分 又f(红)g（x-1）2,f①=2……3分 x2 ∴.曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-e=-2(x-1), 即2x十y-2-e=0.…5分 (2)证明：x>0,f(x)>0等价于e一2xlnx>0.………6分 方法一：令g(x)=e-2xlnx,x>0,则g'(x)=e-2lnx-2. 令h(x)=e-2lnx-2,则h'(x)=e-2 ,函数h'(x)在(0，十∞)上单调递增，且h' （)-E-4<0,'1)=e-2>0, ÷函数')在侵1内存在唯一的零点，即e”名-0 ∴.当x∈(0，xo)时，h'(x)<0;当x∈(xo,十∞)时，h'(x)>0, .函数h(x)即g'(x)在(0，xo)上单调递减，在(xo,十∞)上单调递增.…9分 六函数g'(x)的最小值为g'(x)=e0-21n,-2=2 -2lnxo-2>0, 函数g(x)在(0，十∞)上单调递增.…。 …10分 当x∈(0，l)时，e>0,lnx<0,.g(x)=e-2xlnx>0; 当x∈[1，+∞)时，g(x)≥g(1)=e>0. 综上，g(x)>0在(0，十∞)上恒成立，即f(x)>0在(0，十∞)上恒成立.…12分 方法二：令g(x)=e-2xlnx,x>0. 当x∈(0，l)时，e>0,lnx<0,g(x)=e*-2xlnx>0.…8分 当x∈[1，+o∞)时，g'(x)=e-2lnx-2. 令m(z)=e一2nx-2,则m(x)=e2_在1，+∞)上单调递增 ,∴.m'(x)≥m'(1)=e-2>0, .函数m(x)即g'(x)在[1，十o∞)上单调递增，∴g'(x)≥g'(1)=e-2>0, .函数g(x)在[1，十o∞)上单调递增，g(x)≥g(1)=e>0.…11分 综上，g(x)>0在(0，十∞)上恒成立，即f(x)>0在(0，十∞)上恒成立.…12分 (3)解：不等式f(x)>(a-1)z+lna(a>0),即g+(1-a)x-2nx-lna>0, ①高三数学答案第6页（共8页） 等价于e2-lax十x-lnx>ear)十ln(a.x).… …13分 令p(x)=e十x,则原不等式可转化为p(x-lnx)>p(ln(ax). 函数p(x)在R上单调递增，x-lnx>ln(ax)在(0，十o)上恒成立， ）上恒成立，……………以 x>0,则k'(x)=e(x-2) 设b(x)=e 当x∈(0,2)时，k'(x)<0;当x∈(2，+∞)时，k'(x)>0, ∴.函数(x)在(0,2)上单调递减，在(2，十∞)上单调递增， 函数（✉）的最小值为(2)= 又：a>0,心实数a的取值范围为0，， …17分 19.(1)解：由题意，得-3 a =2,所以c2=3。 因为：=6十，所以6：-所以慌圆C的方程为云 y 62=1..… …2分 因为精圆C过点1，，所以十-1 3 解得2=1，所以2=4，所以椭圆C的标准方程为十y2=1.……………4分 (2)①证明：由(1)及题意，知A(0,-1). 设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为y=bx十m(m≠士1). 因为直线AM和直线AN的斜率分别为kAM=+1, kN=y:+1 所以长·点N=+1.y:+_红1十m十1.，十m十1_21x2十(m+1(z,+z)+(m+1 -,(￥) T1 T172 …6分 y=kx十m, 由 消去y,整理得(1+4k2)x2+8kmx十4(m2一1)=0. 4+y2=1, 所以△=64k2m2-16(1+4k2)(m2一1)=16(1+4k2-m2)>0, 8km 4(m2-1) x1十x2= 1+4k8x1x2= 1+42, m+1 代入（￥），化简得kAM·bAw=4m-) ……8分 由题意，得十)-号解得m=2, 所以直线MN的方程为y=kx+2, 所以直线MN恒过定点(0,2).……10分 ①高三数学答案第7页（共8页） ②解：由①得P(0,2),直线MN的方程为y=k.x+2. ?或>3 由△=16(1+4k:-4)>0,解得k<- ； 16k 12 则x1十x2=1十42x1x21十42“………11分 因为点R在射线AM上，且A京·AM=7,所以|AR|·|AM=7, 苏以--品成 记d1=|AM2=x+(y1+1)2,则R -1+7+ 同理，记d==计：+1，则s红-1+20 因为Q04,所以o-(经5D).o=(经5+2） …14分 由题意，得QR与QS共线， 所以[-”]-[-5++ 化简得x1(7y2+7-5d2)=x2(7y1+7-5d1). 又因为y1=kx1十2，y2=kx2十2，所以21(x1-x2)=5(x1d2-2d1). 又因为d1=x+(y1+1)2=x+(kx1十3)2=(1十k2)x号+6kx1+9, d2=(1十2)x+6kx2+9, 所以x1d2-x2d1=x1[(1十k2)x十6kx2+9]-x2[(1+k2)x+6kx1+9] =[9-(1+k2)x1x2](x1-x2), 所以21(x1-x2)=5[9-(1+k2)x1x2](x1-x2). 又因为x1≠x2,所以5[9-(1+b2)x1x2]=21,即5(1十k2)x1x2=24, 则601+)=24，解得：=1，即=士1. 1+4k2 所以直线MN的方程为y=x十2或y=一x十2.…17分 ①高三数学答案第8页（共8页）④ 高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.设集合A={(x,y)|x+y-2=0},B={y|x一y=0},则A∩B= A.1) B.{(1,1)} C.(1,1) D.0 2.已知复数之=(1+2i)(1一ai),a∈R.若之为纯虚数，则a= 1 A.-2 D.2 4 3.已知平面向量a=(3,0),b=(x,2).若向量a十b在向量a上的投影向量为3a,则x= A.-2 B.2 C.1 D.3 4.已知Sn为等比数列{am)的前n项和，若am+1=3Sm十3，则a4= A.18 B.24 C.48 D.192 5.已知抛物线C:y=红的焦点为F,点A在范物线C上且在第一象限若A=专，则直 线AF的倾斜角为 2π c D 6.某新能源实验室迭代优化固态电池快充工艺，电池单次充满所需时长T(单位：分钟)与工 艺迭代次数n(n∈N*)的关系式为T(n)=40e.1m+l0,定义边际时长缩减量△T(n)= T(n)一T(n十1).当△T(n)<0.4时，继续迭代带来的快充提升低于研发成本，应当停止 迭代.已知e-o.1≈0.90，ln10≈2.30，则满足停止迭代条件的迭代次数n至少为 A.20 B.22 C.24 D.26 ①高三数学第1页（共4页） 7.如图，在平行六面体ABCD-A1B,C,D,中，底面ABCD为正方形，∠A1AB=∠A,AD= 3, 棱AA1=2AB,E为B1C1的中点，则异面直线BA1与D1E所成角的余弦值为 D 零 B.V15 √3 3 8.已突函数fe)是偶西数，若f2+<0对于z∈（台0U0,)恒成立，则下 sin x'cos x 列各式一定正确的是 (大) ) cr} r)) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.科研人员测试多组碳化硅功率器件的耐压性能，得到一组实验数据x1,x2,x3,·,xm.已 知该组数据的平均数为4，方差为3，极差为8，中位数为5.对原始数据进行线性变换，得 到一组新数据2x1十3,2x2十3,2x3十3，…，2xm十3.若新数据的平均数为a,方差为b,极 差为c,中位数为d,则 A.a=11 B.b=6 C.c=16 D.d=13 10.已知数列{an)的前n项和为Sm,若an十am+1=6n一1，a1=2,则 A.a3=7 B.数列{a2m-1}是等差数列 C.a2m-a2m-1=1 D.S15=331 11.已知函数f(x)=sin x+}。>0)在区间0，上单调递增，则下列说法正确的有 A.w的最大值为1 B若f-则w日 32r C.若f(x)<0,则f(x)在区间0,33 内有1个零点 D若函数y了女)-号的图象与工轴的两个交点间的最小距离为，则山=】 ①高三数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和5，体积为49，则该正四棱台的高为 13.已知函数f(x)=e-1+e-x-x2+2x,则关于m的不等式f(m十2)<f(2m-1)的解 集为 已知F为双曲线C:药一发16>0》的上焦点，以F为圆心，0为半径的圆与双曲线 的一条渐近线交于A,B两点，若OB=4OA(O为坐标原点)，则△FAB的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)为研究储能行业技术人员使用储能仿真软件的情况与方案自主优化能力是否有 关联，随机调查了100名储能企业技术人员，得到如下2×2列联表（单位：人）. 自主优化能力 仿真软件使用情况 合计 强 一般 经常使用 22 不经常使用 16 合计 44 (1)将列联表补充完整并依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析储能技术人员使用 储能仿真软件的情况是否与自主优化能力有关， (2)一名新人职储能技术员此前未使用储能仿真软件，计划开始学习使用.他在第天使 用储能仿真软件开展工作的概率为一 十市，每天是否使用相互独立.设这名技术员前3天 中使用储能仿真软件的天数为X,求X的分布列与数学期望E(X). n(ad-bc)2 参考公式：X2-a+bc+)a十c6+dn=a+b+c+d. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 夕9 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=3且√5cos(A一C)+√5· cos B-2csin Acos B=0. (1)求角B; (2)若c=√3，求中线BD的长. ①高三数学第3页（共4页） 17.(15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AC=60°，AC⊥BC,A1C⊥AB,AC= 1,AA1=2. (1)求证：平面A1BC⊥平面ABC; (2)若直线A:B与平面BCC,B1所成角的正弦值为 6,求平面AA1BB与平面BCC1B1 夹角的余弦值. 18,(17分)已知函数fx)-号-2mx (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)证明：f(x)>0; (3)若f(x)>(a-一1)x十lna在(0，十∞)上恒成立，求实数a的取值范围. 19.17分已知椭圆C:言+茶-1a>6>0)的离心率为号，且菊圆C过点 (1)求椭圆C的标准方程. (2)点A为椭圆C的下顶点，M,N为椭圆C上两个不同的点，直线AM和直线AN的 斜率之积为，点R,S分别在射线AM、射线AN上，满足A京·A成-A店·A-7. ①已知直线MN的斜率存在，求证：直线MN恒过定点； ②设①中的定点为P,若直线RS过点Q(0,4),求直线MN的方程. ①高三数学第4页（共4页） A