精品解析：河南周口颍河高级中学2027届高三上学期入学考试数学试题

2027届高三入学考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得复数的实部为. 2. 已知向量,则实数（ ） A. -1 B. 0 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】向量, 所以,解得. 3. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式计算集合的元素，再根据交集的定义进行求解. 【详解】根据三角函数的诱导公式可得： ， ，  ， 因此集合，根据交集的定义可得： . 4. 已知数列满足，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，推出数列的周期为，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， ……， 所以数列为周期数列，周期为， 又因为，所以. 5. 已知两个线性相关变量x，y的统计数据如下表所示，其经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） x 1 2 4 5 8 y 11 15 25 m 45 A. B. 样本相关系数 C. 经验回归直线必过点 D. 当时，残差为1 【答案】C 【解析】 【分析】根据经验回归方程进行检验计算判断可得. 【详解】对于选项C：，经验回归直线必过样本中心点， 代入回归方程得，因此样本中心点为，C说法正确； 对于选项A，再由，解得，A说法错误； 对于选项B：经验回归方程斜率为，说明与正相关，因此样本相关系数，B说法错误； 对于选项D：当时，预测值， 所以残差，因此D说法错误. 6. 设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线的对称性确定双曲线渐近线斜率范围，进而求出离心率范围. 【详解】依题意，不妨设双曲线的方程为， 而双曲线的弦和都过双曲线的中心，且， 由双曲线的对称性，得直线和关于轴对称，不妨令点在第一象限， 又直线和的夹角为，则直线的倾斜角为或， 而符合要求的直线和有且只有一对，则只有倾斜角为的直线与双曲线有两交点， 因此双曲线的渐近线的倾斜角满足：， 则，， 所以该双曲线的离心率的取值范围是. 7. 若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. 4054 D. 4052 【答案】D 【解析】 【详解】对任意有， 则令， 令，，， 令，则，故为上的奇函数， 则有， 所以， 故，故选D. 8. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局.每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分.已知甲在每局比赛中获胜和失败的概率均为，且各局结果相互独立.在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分甲赢3局，乙赢3局、甲赢4局，乙赢2局、甲赢5局，乙赢1局、甲赢6局，乙赢0局，结合要求计算出每种情况的排列数，再根据独立事件的乘法和概率加法公式求解． 【详解】情况一：甲赢3局，乙赢3局，且甲的累计得分始终不小于乙的累计得分， 符合题意的获胜情况有：甲乙甲乙甲乙、甲乙甲甲乙乙、甲甲乙乙甲乙、甲甲乙甲乙乙、 甲甲甲乙乙乙共5种，此时概率； 情况二：甲赢4局，乙赢2局， 从6局中选4局甲赢，有种， 其中不符合题意的获胜情况有：乙乙甲甲甲甲、 乙甲乙甲甲甲、乙甲甲乙甲甲、 乙甲甲甲乙甲、乙甲甲甲甲乙、甲乙乙甲甲甲共6种， 则符合题意的获胜情况有9种，此时概率； 情况三：甲赢5局，乙赢1局， 符合题意的情况有种，此时概率； 情况四：甲赢6局，乙赢0局，此时概率； 综上，概率． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 D. 若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用三角函数的周期进行求解；B选项，利用图像的特殊值求出函数的解析式，再利用对称轴进行求解；C选项，利用函数的平移和三角转化进行求解；D选项，利用零点的存在性结合列举进行求解. 【详解】A选项，由图可知：，解得：，所以A选项正确； B选项，由图可知：，， 且，则，其中， 解得：，又因为，所以，则， 将代入得：，由三角函数图像性质得不是正弦函数的对称轴，所以B选项错误； C选项，函数的图象向左平移个单位长度为， 所以C选项正确； D选项，令，得：，求的零点， 当时，，当时，，当时，，当时，， 零点依次为：第3个零点必须在内， 第4个零点不能在区间内，所以，所以D选项错误. 10. 已知圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心在曲线上 B. 存在两个不同的实数，使圆过点 C. 存在四个不同的实数，使圆与直线相切 D. 存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合指对互化判断A选项，再结合圆与直线的位置关系、函数的单调性以及零点存在性定理等逐一判断选项. 【详解】因为圆，所以圆心为，满足， 所以即，选项A正确； 若圆过点，则， 设函数，其函数图象连续不断，且， ，， 根据零点存在性定理可知方程恰有两个实数根，选项B正确； 若圆与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即，化简得，即或者， 令，则，令得 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以方程有唯一解，方程有两个解， 所以存在三个不同的实数，使圆与直线相切，选项错误； 直线平分圆的面积，等价于直线过圆心，即， 令函数，则，令得， 所以在单调递减，在单调递增， 且，， 函数图象连续，由零点存在性定理，共有两个零点， 所以存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积，所以选项正确. 11. 如图， 正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在点， 使得平面 B. 异面直线与所成的角的大小为 C. 过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 D. 若平面，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，取的中点，通过平面平面，即可判断，B选项，作出辅助线，为直线与所成角，为等边三角形，故；C选项，作出辅助线，得到四边形为截面图形，并得到其为梯形；D选项，作出辅助线，证明出平面平面，故当在线段上时，平面，点的轨迹的长度为. 【详解】A选项，取的中点，连接， 因为，分别是，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，同理可得平面， 因为，平面，所以平面平面， 故当在线段上时，满足平面，A正确；    B选项，由A知，且，所以，故为直线与所成角或其补角， 连接，则， 所以为等边三角形，故， 异面直线与所成的角的大小为，B正确； C选项，连接，由A知，，又，所以， 所以四边形即为过，，三点的平面截正方体所得截面图形， 因为，所以四边形为梯形，C错误； D选项，连接， 因为，平面，平面， 所以平面， 又，同理可得平面， 又，平面， 所以平面平面， 故当在线段上时，平面， 所以平面， 所以若平面，则点的轨迹的长度为，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】先推导出，再利用该关系式分组配对求和即可. 【详解】，，， 则，所以，原式. 13. 已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱柱的性质及棱柱的体积求出侧棱长，结合勾股定理求出，得到点的轨迹是圆在正方形内的一段弧，求出圆心角，代入弧长公式求解即可. 【详解】设正四棱柱的高为， 则，解得，即侧棱. 易知为直角三角形，所以， 所以点在底面上的轨迹是以为圆心、半径的圆的一部分. 底面是边长为2的正方形，因为， 所以点的轨迹圆与底面的交点在，上，设为，， 则. 在中，，则， 同理可得， 所以点的轨迹是圆在正方形内的一段弧，圆心角为， 所以弧长为. 故点P的轨迹长度为. 14. 给定有穷数列，定义数列的绝对差分数列，，…，，其中．若数列是单调不减的，即，则称数列是数列．已知各项均为整数的数列，，…，满足，并且其差分数列是等差数列，若，，则的所有可能值为________． 【答案】12或39 【解析】 【分析】根据差分数列定义和数列的性质可得数列的公差为，且，结合累加法利用等差数列的性质计算可求得的所有可能值. 【详解】因为，所以其差分数列； 又因为数列的各项均为整数，所以数列的各项均为整数； 易知数列的公差为，且，易知, 累加可得； 当时，，即，所以；且； 因此当时，，此时, 因此； 当时，，此时, 因此； 综上可知，的所有可能值为12或39. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥． （1）证明：； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接， 由三棱锥是正三棱锥，可得， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为在平行四边形中， 所以． （2）或 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，易得，进而得到平面，则，然后可证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，分别求出平面、平面的一个法向量，然后构建方程求出，再根据勾股定理求边长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在线段上取点，使得，连接，则为三棱锥的高， 以为原点，直线为轴，过点与平行的直线为轴， 直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为是边长为的正三角形，所以， 设，则， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 取，得， 设平面的法向量， 则，即， 取，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得或， 所以或． 16. 记的内角、、的对边分别为、、，已知的面积为，且. （1）求角； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）周长为 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式与余弦定理，可得，根据的范围可求得； （2）利用正弦定理化简，结合的范围，可得.然后再利用正弦定理可求得、的长度，进而得到的周长. 【小问1详解】 由三角形面积公式可得；由余弦定理，， 代入，可得， 因为，所以，因为，所以. 【小问2详解】 由结合正弦定理， 因为，所以， 又因为，所以，，所以. 因为，由正弦定理， 所以， . 所以周长为. 17. 小王同学参加一个投篮测试，其规则是：有5次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至5次投篮机会用完；第5次投篮后，不论通过与否均结束测试.现假定小王同学每次投篮结果相互独立，命中率均为，记为小王同学测试结束时投篮的次数. （1）求的分布列及数学期望； （2）若在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮2次的概率大于，求的取值范围. 【答案】（1）分布列为： 2 3 4 5 数学期望 （2） 【解析】 【分析】（1）对离散型随机变量，先理清每个取值对应的实际投篮事件，排除提前终止的矛盾情形，再计算对应概率；代表前四次从未出现连续两中，可用对立事件快速求概率； （2）先算出可以通关的总概率,再利用条件概率，；分式不等式注意分母范围，正数分母取倒数要反转不等号，再因式分解求解参数范围. 【小问1详解】 的所有可能取值为：2，3，4，5. 有. . . . 可得的分布列为： 2 3 4 5 可得. 【小问2详解】 设事件：小王同学通过测试，事件：小王同学恰好投篮次. 因为投篮5次通过的概率为. 则. . 则在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮次的概率为. 又由，可化为，可化为，又由，解得. 故的取值范围为. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，的面积为． （i）求弦长的最小值； （ii）已知直线过点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由离心率得，再代入已知点坐标可求得椭圆方程； （2）（i）直线斜率存在时，设直线方程为，显然，设，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，然后代入弦长公式求得弦长，再求得原点到直线的距离，计算三角形面积得的关系，代入弦长（消元），再由不等式性质得弦长的范围，然后再求得直线斜率不存在时弦长，从而可得最小值； （ii）由题意得，代入（i）中韦达定理的结论得出的又一关系式，结合面积得出的关系可求得值. 【小问1详解】 由题意，所以，则椭圆方程为， 又椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）直线斜率存在时，设直线方程为，显然，设， 由得， ，， ，， ， 原点到直线的距离为 所以，化简得，满足()， 所以， ，则，， 所以， 直线斜率不存在时，设直线方程为，显然， 由得，， ，， 所以， 综上，所以的最小值是； （ii）以线段为直径的圆经过坐标原点，则， 由（i）知，， ，化简得， 又由（i）知，即， 所以，解得. 19. 已知函数. （1）判断的零点个数; （2）若，且，求证: ; （3）若，且，求的最大值. 【答案】（1）在上有且仅有个零点； （2）由基本不等式，两边取对数得. 由知， . 即，所以， 于是，. 另解: 由基本不等式，两边取对数得. 由知， . 再由知， . 于是，． （3）． 【解析】 【分析】（1）将定义域分成若干区间分别判断函数值的符号或单调性，利用零点存在定理确定零点个数，关键在于找到函数值变号的区间； （2）分别证明对数部分和三角函数部分满足琴生型不等式，再将两者相加即可；核心是将 的差转化为 与 的乘积形式； （3）利用已知条件化简得到，再通过角度关系推出，然后反复应用第二问的不等式进行放缩，得到关于的不等式，从而确定最大值． 【小问1详解】 当时，. 当时，由知， ，故. 当时，因为单调递增，单调递增， 所以由单调递增，以及知，存在唯一，使得. 当时，，而，所以，无零点， 综上所述，在上有且仅有个零点. 另解: 由的零点个数即函数与的图象的交点个数，结合下图 知在上有且仅有个零点. 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 因为，且， 所以， 所以，不妨设， 并令，由知， 所以， 由于 ， 均为正，所以： 正弦函数在 上严格单调递增，所以，所以. 又因为，可得：， 于是，且， 于是，，且. 再由(2)知， ， 解得，其中取等条件为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三入学考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量,则实数（ ） A. -1 B. 0 C. D. 3 3. 设，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，则等于（   ） A. B. C. D. 5. 已知两个线性相关变量x，y的统计数据如下表所示，其经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） x 1 2 4 5 8 y 11 15 25 m 45 A. B. 样本相关系数 C. 经验回归直线必过点 D. 当时，残差为1 6. 设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. 4054 D. 4052 8. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局.每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分.已知甲在每局比赛中获胜和失败的概率均为，且各局结果相互独立.在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 D. 若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是 10. 已知圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心在曲线上 B. 存在两个不同的实数，使圆过点 C. 存在四个不同的实数，使圆与直线相切 D. 存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积 11. 如图， 正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在点， 使得平面 B. 异面直线与所成的角的大小为 C. 过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 D. 若平面，则点的轨迹的长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则______． 13. 已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为______． 14. 给定有穷数列，定义数列的绝对差分数列，，…，，其中．若数列是单调不减的，即，则称数列是数列．已知各项均为整数的数列，，…，满足，并且其差分数列是等差数列，若，，则的所有可能值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥． （1）证明：； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 16. 记的内角、、的对边分别为、、，已知的面积为，且. （1）求角； （2）若，，求的周长． 17. 小王同学参加一个投篮测试，其规则是：有5次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至5次投篮机会用完；第5次投篮后，不论通过与否均结束测试.现假定小王同学每次投篮结果相互独立，命中率均为，记为小王同学测试结束时投篮的次数. （1）求的分布列及数学期望； （2）若在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮2次的概率大于，求的取值范围. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，的面积为． （i）求弦长的最小值； （ii）已知直线过点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求． 19. 已知函数. （1）判断的零点个数; （2）若，且，求证: ; （3）若，且，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $