河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三上学期8月开学考试数学试题

新蔡县第一高级中学高三2024年8月份开学考试数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知复数满足，则复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知是圆锥底面的直径，为底面圆心，为半圆弧的中点，，分别为线段，的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 8．已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．在数列中，已知．当时，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等比数列 D． 10．如图，函数的导函数的图象经过点，和，对于函数，下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在处取得极小值 D．在处取得极小值 11．函数是物理中常见的锯齿波函数，其中表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复．下列说法正确的有（   ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的值域为 D．函数为周期函数 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为 . 13．过抛物线上一点作切线与轴交于点，直线被圆截得的弦长为，则点的坐标为 . 14．在中，，，，为边上一点，，，，则的最小值为 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在平面四边形中，. (1)求的值； (2)求的正弦值； (3)若，求中边上高的长度. 16．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，点D在上，，平面． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 17．已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. (1)直线与圆相切于点Q，求的值； (2)求曲线C的方程； (3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 18．已知函数． (1)当时，证明：恒成立； (2)若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 19．已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，特别规定：若时，． (1)若，写出，及的值； (2)若数列是等差数列，求数列的通项公式； (3)设集合，，求证：且． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A2．B3．A4．C5．B6．D7．B8．D 9．AC10．BD11．AB 12．1250 13． 14． 15．（1）解：在中，由余弦定理得 即，即， 所以或（舍去），所以的值为. （2）解：在中，由正弦定理得， 即，解得， 因为，所以为锐角，所以， 又因为，所以. （3）解：由， 在中，由余弦定理得 ，解得， 又因为的面积为， 设中边上高的长度为，可得， 可得，所以的边上高的大小为. 16．（1） ∵平面，又平面，∴， 取的中点E，连接，， 因为是等边三角形， 所以，又，故，， 又，平面， ∴平面，又平面，∴， 又，、平面， ∴平面． （2） 设，取中点M和中点N， 连接，则，, ∵平面，∴，即，故为二面角的平面角， ∵平面，平面，∴， 又，， 所以，， ∴，∴，同理可得， ∴， ∵平面，又平面，∴， ∴，则， ，故，， ，则，故， 在中，， 故二面角的余弦值为． 17.（1）由直线与圆的位置关系可知，， 所以点； （2）由题意可知，设动圆半径为，，，， 即， 所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则， 所以曲线的方程为，； （3）当直线的斜率不存在时，，， 直线，当，得，即，直线， 此时直线过点， 当直线的斜率存在时，设直线，，， 直线，当时，，， 联立，得， ，，， 下面证明直线经过点，即证，， 把，代入整理得， 即， 所以直线经过点，综上可知，直线经过定点，定点坐标为. 18．（1）当时，． 令，则． 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ，， ， 即当时，在上恒成立． （2）令， 若对于任意的恒成立，则． 令， 令， 令． ①当时，由（1）可知，在上恒成立且不恒为零，则在上为增函数． ，当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增，，符合题意． ②当时，． 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以， 函数在上单调递增． ，， 存在，使得， 当时，，则函数在上单调递减， ，则函数在上单调递减， ，则函数在上单调递减， 故当时，，不符合题意． ③当时，，若，由②知在上单调递增，则存在，使得，且当时，； 若，由②知在上单调递增，当时，． 当时，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， ，函数在上单调递增， 故当时，，不符合题意． 综上所述，存在，使得对于任意的，都有恒成立， 实数的取值范围为． 19．（1）因为，所以，， 由得，，所以， 由得，，所以； （2）由题可知，所以，即， 若，则，， 所以，，与是等差数列矛盾，所以， 设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以， 假设存在使得，设，由得， 由得，，与是等差数列矛盾， 所以对任意都有， 所以数列是等差数列，； （3）因为对于，，所以，所以，即数列是递增数列， 先证明， 假设，设正整数， 由于，故存在正整数使得，所以， 因为是各项均为正整数的递增数列，所以， 所以，， 所以，， 又因为数列是递增数列，所以，与假设矛盾， 所以； 再证明， 由题可知，所以要证，只需证，设且， 因为数列是各项均为正整数的递增数列，所以存在正整数，使得， 令， 若则，即，所以，所以，所以， 若，则，所以所以， 因为，所以，所以， 所以； 综上所述，且. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$