河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三上学期8月开学考试数学试题

新蔡县第一高级中学高三2024年8月份开学考试数学试题

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1．已知复数满足，则复数的共轭复数（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

4．已知，则（   ）

A． B． C． D．

5．已知是圆锥底面的直径，为底面圆心，为半圆弧的中点，，分别为线段，的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ）

A．或 B．或 C． D．

8．已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（     ）

A．4 B．3 C．2 D．1

二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9．在数列中，已知．当时，满足，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C．是等比数列 D．

10．如图，函数的导函数的图象经过点，和，对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在上单调递增 B．在上单调递增

C．在处取得极小值 D．在处取得极小值

11．函数是物理中常见的锯齿波函数，其中表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复．下列说法正确的有（   ）

A． B．函数的最小正周期为

C．函数的值域为 D．函数为周期函数

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.

12．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为      .

13．过抛物线上一点作切线与轴交于点，直线被圆截得的弦长为，则点的坐标为          .

14．在中，，，，为边上一点，，，，则的最小值为     

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．如图，在平面四边形中，.

(1)求的值；

(2)求的正弦值；

(3)若，求中边上高的长度.

16．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，点D在上，，平面．

(1)求证：平面；  (2)求二面角的余弦值．

17．已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.

(1)直线与圆相切于点Q，求的值；

(2)求曲线C的方程；

(3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.

18．已知函数．

(1)当时，证明：恒成立；

(2)若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围．

19．已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，特别规定：若时，．

(1)若，写出，及的值；

(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；

(3)设集合，，求证：且．