2026年九年级数学秋季开学学情自测卷（苏州专用，范围：新教材苏科版八下+九上第1～2章）

**基本信息** 2026年九年级开学数学学情自测卷，聚焦苏科版八年级下册及九年级上册反比例函数、一元二次方程核心内容，以“世界海洋日调查”“高空抛物时间计算”等现实情境为载体，梯度设计基础题与综合题，考查抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|一元二次方程概念、样本容量、反比例函数性质|第2题结合“世界海洋日”调查，考查数据意识；第3题以公司产值增长率为背景，体现模型意识| |填空题|8/24|分解因式、概率、动态几何（平行四边形内点坐标）|第13题通过高空抛物时间计算，关联物理情境，强化应用意识| |解答题|11/82|方程求解、统计分析、商场盈利应用题、矩形折叠综合题|第22题商场盈利问题考查运算能力与方程建模；第26题矩形折叠综合题，融合几何直观与推理能力，呼应中考命题趋势|

■■■■ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 4. 5 5 破。 5. 正确填涂 7 6789 6789 5678q 123456789 123456789 0123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 89 一、 选择题（每小题3分，共24分） 1[A][B][CI][D] 5[A][B][C]D] 2[A][B][C]D] 6JA][B]IC][D] 效阙 3[A][B][C]D] 7A]B][C]D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][CJ[D] 二、填空题（每小题3分，共24分) 9 10 11 12 13 14 15 16 警 三、解答题：本题共11小题，共82分 妇 17.(5分) 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) 19.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（6分) 各组人数的扇形统计图 A 0 ◇ 40% C 21.(6分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 23.(8分) 总路程s(百公里) 5--- P(12.5) 12平均耗电量x(kWh/百公里) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4负（共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) 25.(10分) y B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) H G D A. B 27.(10分) G D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：新教材苏科版八年级下册全部+九年级上册反比例函数、一元二次方程 1、 选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．2026年6月8日是第18届“世界海洋日”．某校为了解八年级学生海洋知识的掌握情况，从该校八年级800名学生中随机抽取150名学生进行调查．下列说法正确的是（     ） A．150名学生是总体 B．每名八年级学生是个体 C．样本容量为800 D．样本容量为150 3．某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．3 5．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．如果关于的分式方程的解为正数，那么实数的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 7．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 8．如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，连接，，．若的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 9．分解因式：_____． 10．为了鉴定和评价新品种绿豆，对3000粒绿豆种子在相同条件下进行发芽实验，发芽2850粒，估计这种绿豆种子发芽的概率是______． 11．已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______． 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 13．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是_________． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，）与反比例函数（a为常数，）的图象交于A，B两点．若点A的纵坐标为4，点B的横坐标为，则a的值为________． 15．已知，是二次方程的两个根，则的值为________． 16．如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 三、计算题：共11小题，共82分． 17．（5分）解方程： (1)； (2)． 18．（5分）化简求值：已知：，求代数式的值． 19．（6分）已知反比例函数的图像位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若图像经过点，当时，求的取值范围． 20．（6分）某校八年级举行了知识挑战赛．为了解全年级名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将样本数据分为A、B、C、D四个组别，并绘制了下列不完整的统计图表． 各组成绩的频数分布表 组别 成绩分 频数 A B C D 根据以上信息，解决下列问题： (1)本次调查一共随机抽取了 名参赛学生的成绩，表中 ； (2)扇形统计图中，B组对应的圆心角的度数为 °； (3)请估计该校八年级竞赛成绩达到分及以上的学生有多少人？ 21．（6分）如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（8分）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 23．（8分）“苏超”是一项具有独特魅力和积极意义的业余足球赛事．小明一家准备去如皋奥体中心观看南通对阵盐城的比赛．已知小明家国产新能源汽车行驶总路程s（单位：百公里）与平均耗电量x（单位：百公里）成反比例关系，行驶过程中汽车行驶总路程s（单位：百公里）与平均耗电量x（单位：百公里）关系如图所示． (1)求s与x的函数关系式； (2)若小明家到比赛场馆的距离是2百公里，小明以百公里平均耗电量的速度到达场馆，返程时考虑到车流量比较大，小明降低速度，此时百公里平均耗电量是原来的1.25倍，如果返程始终以此速度行驶，不充电能否回家？如果不能，至少需要充电多少？ 24．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 25．（10分）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且点的横坐标为1，． (1)求的值； (2)已知点在反比例函数的图象上，连接，若，求点的坐标． 26．（10分）如图，在矩形纸片中，，，点，F分别在边，上，且．将该纸片沿折叠，点A，B分别落在点G，H处，与边相交于点M，连接． (1)_________（选填“”，“”，“”） (2)面积的最小值为_________； (3)求证：； (4)若是以为腰的等腰三角形，求的长． 27．（10分）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 填空题 （ 每小题 3 分，共 24 分 ） 9 _________ 10 _________ 11 _________ 12 _________ 13 _________ 14 _________ 15 _________ 16 _________ 三、 解答题 ：本题共 11 小题，共 82 分． 17 ．（ 5 分）           ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 5 分） 19 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 6 分） 21 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ．（ 8 分） 23 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24 ．（ 8 分） 25 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26 ．（ 10 分） 27 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：新教材苏科版八年级下册全部+九年级上册反比例函数、一元二次方程 1、 选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．2026年6月8日是第18届“世界海洋日”．某校为了解八年级学生海洋知识的掌握情况，从该校八年级800名学生中随机抽取150名学生进行调查．下列说法正确的是（     ） A．150名学生是总体 B．每名八年级学生是个体 C．样本容量为800 D．样本容量为150 3．某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．3 5．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．如果关于的分式方程的解为正数，那么实数的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 7．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 8．如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，连接，，．若的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 9．分解因式：_____． 10．为了鉴定和评价新品种绿豆，对3000粒绿豆种子在相同条件下进行发芽实验，发芽2850粒，估计这种绿豆种子发芽的概率是______． 11．已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______． 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 13．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是_________． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，）与反比例函数（a为常数，）的图象交于A，B两点．若点A的纵坐标为4，点B的横坐标为，则a的值为________． 15．已知，是二次方程的两个根，则的值为________． 16．如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 三、计算题：共11小题，共82分． 17．（5分）解方程： (1)； (2)． 18．（5分）化简求值：已知：，求代数式的值． 19．（6分）已知反比例函数的图像位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若图像经过点，当时，求的取值范围． 20．（6分）某校八年级举行了知识挑战赛．为了解全年级名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将样本数据分为A、B、C、D四个组别，并绘制了下列不完整的统计图表． 各组成绩的频数分布表 组别 成绩分 频数 A B C D 根据以上信息，解决下列问题： (1)本次调查一共随机抽取了 名参赛学生的成绩，表中 ； (2)扇形统计图中，B组对应的圆心角的度数为 °； (3)请估计该校八年级竞赛成绩达到分及以上的学生有多少人？ 21．（6分）如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（8分）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 23．（8分）“苏超”是一项具有独特魅力和积极意义的业余足球赛事．小明一家准备去如皋奥体中心观看南通对阵盐城的比赛．已知小明家国产新能源汽车行驶总路程s（单位：百公里）与平均耗电量x（单位：百公里）成反比例关系，行驶过程中汽车行驶总路程s（单位：百公里）与平均耗电量x（单位：百公里）关系如图所示． (1)求s与x的函数关系式； (2)若小明家到比赛场馆的距离是2百公里，小明以百公里平均耗电量的速度到达场馆，返程时考虑到车流量比较大，小明降低速度，此时百公里平均耗电量是原来的1.25倍，如果返程始终以此速度行驶，不充电能否回家？如果不能，至少需要充电多少？ 24．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 25．（10分）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且点的横坐标为1，． (1)求的值； (2)已知点在反比例函数的图象上，连接，若，求点的坐标． 26．（10分）如图，在矩形纸片中，，，点，F分别在边，上，且．将该纸片沿折叠，点A，B分别落在点G，H处，与边相交于点M，连接． (1)_________（选填“”，“”，“”） (2)面积的最小值为_________； (3)求证：； (4)若是以为腰的等腰三角形，求的长． 27．（10分）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学•全解全析 1、 选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程，依据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意． 2．2026年6月8日是第18届“世界海洋日”．某校为了解八年级学生海洋知识的掌握情况，从该校八年级800名学生中随机抽取150名学生进行调查．下列说法正确的是（     ） A．150名学生是总体 B．每名八年级学生是个体 C．样本容量为800 D．样本容量为150 【答案】D 【分析】明确总体、个体、样本容量的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵总体是该校八年级800名学生的海洋知识掌握情况，不是150名学生， ∴A选项错误； ∵个体是每名八年级学生的海洋知识掌握情况，不是每名八年级学生， ∴B选项错误； ∵样本容量是抽取的样本中个体的数量，本题抽取了150名学生进行调查，因此样本容量为150， ∴C选项错误，D选项正确． 3．某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，根据月均增长率依次推导7月和8月的产值，即可列出正确方程. 【详解】解：∵月均增长率为，6月份产值为万元， ∴7月份产值为 万元， ∴8月份产值为 万元， ∵预计8月份产值为万元， ∴列方程得 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】由题意可知为的中位线，然后根据矩形的对角线相等且相互平分，求得，进而根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵矩形中，， ， ， ，即点是的中点， 又点是的中点， 为的中位线， ． 5．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数中的正负确定图象的象限与增减性，分象限比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 其图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ∵ 点，在第三象限，且， ∴ . ∵ 点在第一象限， ∴ . ∴ . 6．如果关于的分式方程的解为正数，那么实数的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】先解分式方程得到关于的表达式，再结合解为正数、分式分母不为零两个条件，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：原方程，变形得， 方程两边同乘得：， 展开整理得：， ∵分式方程分母不能为0， ∴，即，解得， ∵方程的解是正数，∴，即，解得， 综上，实数的取值范围是且． 7．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】对一元二次方程变形，设得到，利用的一个根是可得，从而求出x即可． 【详解】解：对于一元二次方程即， 设，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为， 所以， 解得， 所以一元二次方程必有一根为． 8．如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，连接，，．若的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点B，，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心M， ∴延长恰好经过点B，， ∵点D在上，且， ∴， ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 9．分解因式：_____． 【答案】 【详解】解：． 10．为了鉴定和评价新品种绿豆，对3000粒绿豆种子在相同条件下进行发芽实验，发芽2850粒，估计这种绿豆种子发芽的概率是______． 【答案】 【分析】在大量重复试验中，可用事件发生的频率估计该事件发生的概率，计算出发芽的频率即可得到概率的估计值． 【详解】解：根据利用频率估计概率的方法，这种绿豆种子发芽概率的估计值等于发芽频率，即． 11．已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，得到反比例函数的增减性，再根据两点横坐标的大小关系比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：对于反比例函数，其比例系数， 任意实数的平方非负，即， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. 点，满足， 两点都在第三象限的函数图象上， ． 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，当一元二次方程有两个不相等的实数根时根的判别式大于0求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为， 即， 解得． 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 即， 解得， 综上，的取值范围是且． 13．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是_________． 【答案】 【分析】将已知的下落高度代入给定关系式，再化简二次根式即可得到所求时间． 【详解】解：把代入，得， ∴如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，）与反比例函数（a为常数，）的图象交于A，B两点．若点A的纵坐标为4，点B的横坐标为，则a的值为________． 【答案】 【分析】设出点和点的坐标，利用点在反比例函数图象上满足解析式表示出坐标，再代入一次函数解析式建立关于和的方程组，消去求解的值，最后根据图象所在象限确定的符号． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 点在反比例函数的图象上 ， ， ， 点在一次函数的图象上， ， 由得，即 ， 将代入得， 整理得 ， 解得 ， 反比例函数图象位于第一、三象限， ． 15．已知，是二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系得到和的值，并将原表达式中的和用方程关系代换，化简后代入求值． 【详解】，是方程的根， 根据根与系数的关系，有，， 由原方程得，， ， ， 原式． 故答案为． 16．如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 【答案】4 【分析】过A作于E，作轴于F，延长交x轴于G，根据三角形的面积可求出，根据三角形内角和定理、等角对等边等得出，根据平行四边形的性质、平行线的性质以及可证明，得出，则可设，则，从而得出，即可求解． 【详解】解：过A作交的延长线于E，作轴于F，延长交x轴于G， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵与x轴平行， ∴， ∴， ∵与y轴平行，x轴轴， ∴轴， 又与x轴平行， ∴， 又轴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为， 设，则， ∵反比例函数的图像经过A、D两点， ∴， 解得， ∴． 三、计算题：共11小题，共82分． 17．（5分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)原方程无解 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后对计算结果进行检验即可． 【详解】（1）解：原方程转化为， 配方，得， 即， 开方，得， ∴，；························2分 （2）解：去分母，得， 去括号，得， 解得， 经检验，是原方程的增根，即原方程无解．·······················5分 18．（5分）化简求值：已知：，求代数式的值． 【答案】， 【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再进行乘法运算，约分后可得化简结果，再将方程变形为，从而可得答案． 【详解】解： ，·······················3分 ∵， ∴， ∴原式．·······················5分 19．（6分）已知反比例函数的图像位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若图像经过点，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象和性质是解答此题的关键． （1）根据函数图象在第二、四象限，可得，求出k的取值范围即可； （2）根据图象经过点，求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， ；·······················2分 （2）解：图象经过点， ， ， ， 当时，， 而当时随的增大而增大， 的取值范围是：．·······················6分 20．（6分）某校八年级举行了知识挑战赛．为了解全年级名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将样本数据分为A、B、C、D四个组别，并绘制了下列不完整的统计图表． 各组成绩的频数分布表 组别 成绩分 频数 A B C D 根据以上信息，解决下列问题： (1)本次调查一共随机抽取了 名参赛学生的成绩，表中 ； (2)扇形统计图中，B组对应的圆心角的度数为 °； (3)请估计该校八年级竞赛成绩达到分及以上的学生有多少人？ 【答案】(1) (2) (3)估计该校八年级竞赛成绩达到分及以上的学生人数为人 【分析】（1）用D组的频数乘以D组所占的百分比可求出抽取的学生人数，用抽取的学生人数减去其它组的人数可求的值； （2）用乘以B组所占的百分比即可求解； （3）用总人数乘以八年级竞赛成绩达到分及以上的学生人数所占的百分比即可求解． 【详解】（1）解：本次调查一共随机抽取的学生数为：（人）， ；·······················2分 （2）解：B组对应的圆心角的度数为：；·······················4分 （3）解：估计该校八年级竞赛成绩达到分及以上的学生人数为： （人）．·······················6分 21．（6分）如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)解：， ， ， ， 在和中， ． (2)2 【分析】（1）根据已知条件可由角边角推出全等； （2）先根据勾股定理求出的长，再用求出． 【详解】（1）略·······················2分 （2），， ， 矩形 ，， 根据勾股定理，， ．·······················6分 22．（8分）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 【答案】(1)当每件盈利元时，每天可销售件 (2)每件商品降价元时，商场日盈利可达到元 (3)商场日盈利不能达到元 【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，计算出每件盈利元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，解之即可； （3）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案． 【详解】（1）解：当每件盈利元时，每件商品降价：（元）， 商场每天可多销售：（件）， 每天销售：（件）， 答：当每件盈利元时，每天可销售件，·······················2分 （2）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， 则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为减少库存，应舍去， 答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元；·······················5分 （3）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到元， 答：商场日盈利不能达到元．·······················8分 23．（8分）“苏超”是一项具有独特魅力和积极意义的业余足球赛事．小明一家准备去如皋奥体中心观看南通对阵盐城的比赛．已知小明家国产新能源汽车行驶总路程s（单位：百公里）与平均耗电量x（单位：百公里）成反比例关系，行驶过程中汽车行驶总路程s（单位：百公里）与平均耗电量x（单位：百公里）关系如图所示． (1)求s与x的函数关系式； (2)若小明家到比赛场馆的距离是2百公里，小明以百公里平均耗电量的速度到达场馆，返程时考虑到车流量比较大，小明降低速度，此时百公里平均耗电量是原来的1.25倍，如果返程始终以此速度行驶，不充电能否回家？如果不能，至少需要充电多少？ 【答案】(1) (2)不能，至少需要充电 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，反比例函数的图象与性质，以及反比例函数关系式的求解，解决本题的关键是正确求解出s与x的函数关系式． （1）设总路程s与平均耗电量x关系式为，将点代入求解即可； （2）分别求解出去场馆和返回家总耗电量，再由总电量求解即可． 【详解】（1）解：设总路程s与平均耗电量x关系式为， ∵将点代入函数关系式，可得， 解得， ∴s与x的函数关系式为；·······················3分 （2）解：不能，至少需要充电， 去场馆时的耗电量为：； ∵汽车总电量为， ∴剩余电量为， 返程时百公里平均耗电量是原来的1.25倍， ∴返程时百公里平均耗电量为：， 返程所需电量为：， ∵， ∴不充电不能回家，至少需要充电．·······················8分 24．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 【答案】(1)证明： ∵ = ∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根． (2)整数k的所有可能的值为，，，，，. 【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论； （2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值. 【详解】（1）略·······················3分 （2）∵， ∴， ∴或， ∴，或，， 当，时， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或或或， 当，时， ， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或． ∴整数k的所有可能的值为，，，，，.·······················8分 25．（10分）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且点的横坐标为1，． (1)求的值； (2)已知点在反比例函数的图象上，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求解，结合，可得，求解一次函数的表达式是；再求解，进一步可得答案； （2）求解，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象分别与轴，轴交于点， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 一次函数的表达式是； ∵反比例函数的图象交于点，且点的横坐标为1， ∴， ∴， 反比例函数表达式为．·······················4分 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．·······················10分 26．（10分）如图，在矩形纸片中，，，点，F分别在边，上，且．将该纸片沿折叠，点A，B分别落在点G，H处，与边相交于点M，连接． (1)_________（选填“”，“”，“”） (2)面积的最小值为_________； (3)求证：； (4)若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2)8 (3)证明：由（1）知：，， 由折叠的性质可知， ， ， 又 ， ， ； (4)或3 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，最后根据等腰三角形的判定得出结论即可； （2）过点 作 于点 ，证明四边形 为矩形，得出 ，求出，从而说明当最小时，的面积最小，根据垂线段最短，得出当时，的面积最小，即可得出答案； （3）由（1）知，，，由折叠的性质可知， ，结合线段的和差关系，即可解题； （4）根据是以 为腰的等腰三角形，分两种情况：当 时，当 时，结合等腰三角形性质，矩形性质和判定求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∴；·······················2分 （2）解：过点 作 于点 ， ， 矩形纸片 中， ， 四边形 为矩形， ， ∴， ∵， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∵垂线段最短， ∴当时，的面积最小， 即 ， 时，的面积最小值为；·······················4分 （3）略·······················6分 （4）解：①当 时， ， 由（1）知， ， 重合， 由折叠的性质可知， ， 则 ， ， ， 重合， 设 ，则 ， ， ， ， 解得： ； ②当 时， 由折叠的性质可知， ， ， 过点 作 于点 ， ， 四边形 为矩形， ， ， ； 综上所述， 的长为或3．·······················10分 27．（10分）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 【答案】(1)，相等， (2)解：成立，理由如下： 反比例函数（）过，点， ∴，即， 设，设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴. (3) 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为： 直线的解析式为：，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点， ∴， 设直线为，而点， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为， ∴， ∴，， ∴.·······················2分 （2）略·······················5分 （3）解：设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 同理：点，点， ∴，， 与的乘积．·······················10分 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A B C A A D 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 10. 11. 12.且 13. 14. 15. 16.4 三、解答题：共11小题，共82分． 17．（5分） 【答案】(1)， (2)原方程无解 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后对计算结果进行检验即可． 【详解】（1）解：原方程转化为， 配方，得， 即， 开方，得， ∴，；························2分 （2）解：去分母，得， 去括号，得， 解得， 经检验，是原方程的增根，即原方程无解．·······················5分 18．（5分） 【答案】， 【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再进行乘法运算，约分后可得化简结果，再将方程变形为，从而可得答案． 【详解】解： ，·······················3分 ∵， ∴， ∴原式．·······················5分 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象和性质是解答此题的关键． （1）根据函数图象在第二、四象限，可得，求出k的取值范围即可； （2）根据图象经过点，求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， ；·······················2分 （2）解：图象经过点， ， ， ， 当时，， 而当时随的增大而增大， 的取值范围是：．·······················6分 20．（6分） 【答案】(1) (2) (3)估计该校八年级竞赛成绩达到分及以上的学生人数为人 【分析】（1）用D组的频数乘以D组所占的百分比可求出抽取的学生人数，用抽取的学生人数减去其它组的人数可求的值； （2）用乘以B组所占的百分比即可求解； （3）用总人数乘以八年级竞赛成绩达到分及以上的学生人数所占的百分比即可求解． 【详解】（1）解：本次调查一共随机抽取的学生数为：（人）， ；·······················2分 （2）解：B组对应的圆心角的度数为：；·······················4分 （3）解：估计该校八年级竞赛成绩达到分及以上的学生人数为： （人）．·······················6分 21．（6分） 【答案】(1)解：， ， ， ， 在和中， ． (2)2 【分析】（1）根据已知条件可由角边角推出全等； （2）先根据勾股定理求出的长，再用求出． 【详解】（1）略·······················2分 （2），， ， 矩形 ，， 根据勾股定理，， ．·······················6分 22．（8分） 【答案】(1)当每件盈利元时，每天可销售件 (2)每件商品降价元时，商场日盈利可达到元 (3)商场日盈利不能达到元 【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，计算出每件盈利元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，解之即可； （3）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案． 【详解】（1）解：当每件盈利元时，每件商品降价：（元）， 商场每天可多销售：（件）， 每天销售：（件）， 答：当每件盈利元时，每天可销售件，·······················2分 （2）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， 则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为减少库存，应舍去， 答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元；·······················5分 （3）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到元， 答：商场日盈利不能达到元．·······················8分 23．（8分） 【答案】(1) (2)不能，至少需要充电 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，反比例函数的图象与性质，以及反比例函数关系式的求解，解决本题的关键是正确求解出s与x的函数关系式． （1）设总路程s与平均耗电量x关系式为，将点代入求解即可； （2）分别求解出去场馆和返回家总耗电量，再由总电量求解即可． 【详解】（1）解：设总路程s与平均耗电量x关系式为， ∵将点代入函数关系式，可得， 解得， ∴s与x的函数关系式为；·······················3分 （2）解：不能，至少需要充电， 去场馆时的耗电量为：； ∵汽车总电量为， ∴剩余电量为， 返程时百公里平均耗电量是原来的1.25倍， ∴返程时百公里平均耗电量为：， 返程所需电量为：， ∵， ∴不充电不能回家，至少需要充电．·······················8分 24．（8分） 【答案】(1)证明： ∵ = ∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根． (2)整数k的所有可能的值为，，，，，. 【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论； （2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值. 【详解】（1）略·······················3分 （2）∵， ∴， ∴或， ∴，或，， 当，时， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或或或， 当，时， ， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或． ∴整数k的所有可能的值为，，，，，.·······················8分 25．（10分） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求解，结合，可得，求解一次函数的表达式是；再求解，进一步可得答案； （2）求解，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象分别与轴，轴交于点， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 一次函数的表达式是； ∵反比例函数的图象交于点，且点的横坐标为1， ∴， ∴， 反比例函数表达式为．·······················4分 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．·······················10分 26．（10分） (4)若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2)8 (3)证明：由（1）知：，， 由折叠的性质可知， ， ， 又 ， ， ； (4)或3 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，最后根据等腰三角形的判定得出结论即可； （2）过点 作 于点 ，证明四边形 为矩形，得出 ，求出，从而说明当最小时，的面积最小，根据垂线段最短，得出当时，的面积最小，即可得出答案； （3）由（1）知，，，由折叠的性质可知， ，结合线段的和差关系，即可解题； （4）根据是以 为腰的等腰三角形，分两种情况：当 时，当 时，结合等腰三角形性质，矩形性质和判定求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∴；·······················2分 （2）解：过点 作 于点 ， ， 矩形纸片 中， ， 四边形 为矩形， ， ∴， ∵， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∵垂线段最短， ∴当时，的面积最小， 即 ， 时，的面积最小值为；·······················4分 （3）略·······················6分 （4）解：①当 时， ， 由（1）知， ， 重合， 由折叠的性质可知， ， 则 ， ， ， 重合， 设 ，则 ， ， ， ， 解得： ； ②当 时， 由折叠的性质可知， ， ， 过点 作 于点 ， ， 四边形 为矩形， ， ， ； 综上所述， 的长为或3．·······················10分 27．（10分） 【答案】(1)，相等， (2)解：成立，理由如下： 反比例函数（）过，点， ∴，即， 设，设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴. (3) 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为： 直线的解析式为：，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点， ∴， 设直线为，而点， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为， ∴， ∴，， ∴.·······················2分 （2）略·······················5分 （3）解：设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 同理：点，点， ∴，， 与的乘积．·······················10分 ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年秋季九年级开学学情自测卷 ·: 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：130分) : 注意事项： : 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：新教材苏科版八年级下册全部+九年级上册反比例函数、一元二次方程 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 : 题目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上， 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是() : : 1 A.+=1 B.3(x+1)2-2(x+1) C.ax+bx+c=0 D.x(x+2)=x2-1 2.2026年6月8日是第18届“世界海洋日”.某校为了解八年级学生海洋知识的掌握情况，从该校八年级 O 800名学生中随机抽取150名学生进行调查.下列说法正确的是() . A.150名学生是总体 B.每名八年级学生是个体 : C.样本容量为800 D.样本容量为150 3.某公司A1算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元.设该公司7， : 8两个月份产值的月均增长率为x,则所列方程正确的是() A.6000(1+x)=9000 B.60001-x)=9000 : : .: C.6000(1+2x)}=9000 D.6000(1-2x)=9000 : 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E是边AD的中点，点F在对角线AC上， : AF=A0,连接F,若AC=8,则BF的长为( : : A B.2 C.4 D.3 : : 试题第1页（共8页） : 可学科网·上好课 5.若点A(-5,),B(-3,巧)，C4,)在反比例函数y=二的图象上，则片，为，巧的大小关系是() A.y3<y<y2 B.y3<v2<y C.y2<1<3 D.y<为2<y3 。如果关于x的分式方程2-1上3的解为正数，那么实数m的取值范围是〈) x-3 A.l>5且m≠8 B.m>1且≠7 C.>5 D.m<5且m≠-4 7.若关于x的一元二次方程2+2bx-2=0的一个根是x=2022,则一元二次方程(x+22+bx+2b=1必 有一根为(). A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 8.如图，矩形OABC的顶点A,C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且4D=AB,反比例 函数y=(k>0)的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M,连接OD,OM,DM.若△ODM的面积 为3，则k的值为() M A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 9.分解因式：2-4+4a=一 10.为了鉴定和评价新品种绿豆，对3000粒绿豆种子在相同条件下进行发芽实验，发芽2850粒，估计这 种绿豆种子发芽的概率是一· 11.已知点A(-3,),B(-1,乃)在反比例函数y=m+1(m为常数)的图象上，则以与y,的大小关系是 12.若关于x的一元二次方程(k-2)x+2x-3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 13.高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时 很短，常常避让不及.据研究，物体自由下落的高度hm与所需的时间ts满足关系式1=V5 h 如果1个鸡 蛋从离地面60m的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是 S. 14.如图，在平面直角坐标系中，一次函数乃=x+1(k为常数，k≠0)与反比例函数片-。(a为常数， 试题第2页（共8页） 6学科网·上好课 a≠0)的图象交于A,B两点.若点A的纵坐标为4，点B的横坐标为-6，则a的值为 15.己知m,n是二次方程x2+2024x+7=0的两个根，则(m2+2023+6)0m2+2025n+8)的值为 16.如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=1,∠ADB=135°， k 二，.若反北例函数y=《>0)的图像经过A小、D两点，则k的值是 A 0 三、计算题：共11小题，共82分. 17.(5分)解方程： (1)x2-4x-1=0: 2)+14 -1271. 18.(5分)化简求值：己知：m2+3m-4=0,求代数式 2m+2+的 3-m 试题第3页（共8页） 19.(6分)己知反比例函数y=1的图像位于第二、四象限. (1)求k的取值范围： (2)若图像经过点(2，-1)，当x>3时，求y的取值范围. ::0 年 张 20.(6分)某校八年级举行了知识挑战赛.为了解全年级800名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部 河 分学生的竞赛成绩，将样本数据分为A、B、C、D四个组别，并绘制了下列不完整的统计图表 游 游 各组成绩的频数分布表 : 组别 成绩x/分 频数 A 60≤x<70 6 B 70≤x<80 12 C 80≤x<90 D 90≤x<100 24 的 各组人数的扇形统计图 A 性 D 40% 根据以上信息，解决下列问题： (1)本次调查一共随机抽取了_名参赛学生的成绩，表中a=_: (2)扇形统计图中，B组对应的圆心角的度数为_°： (3)请估计该校八年级竞赛成绩达到80分及以上的学生有多少人？ 试题第4页（共8页） : 21.(6分)如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，连接CE,BE,过点B作BF⊥CE于点F,CF=ED : : (1)求证：△ECD≌△BCF: (2)若BC=10,AB=6,求AE的长. : : 22.(8分)商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当 % 的降价措施，经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件. : ·: (1)当每件盈利50元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？ : : (3)商场日盈利能否达到3300元？ : : 杀 O 23.(8分)“苏超”是一项具有独特魅力和积极意义的业余足球赛事.小明一家准备去如皋奥体中心观看南 通对阵盐城的比赛.己知小明家国产新能源汽车行驶总路程s(单位：百公里)与平均耗电量x(单位：kWh/ 斟 百公里)成反比例关系，行驶过程中汽车行驶总路程s(单位：百公里)与平均耗电量x(单位：Wh/百 公里)关系如图所示 : : 个总路程s(百公里) O 5------ P(12,5) : .: : 12平均耗电量x(kWh/百公里) .: (1)求s与x的函数关系式： 射 (2)若小明家到比赛场馆的距离是2百公里，小明以百公里平均耗电量16kWh的速度到达场馆，返程时考虑 到车流量比较大，小明降低速度，此时百公里平均耗电量是原来的1.25倍，如果返程始终以此速度行驶， 不充电能否回家？如果不能，至少需要充电多少kWh? : : 试题第5页（共8页） : 学科网·上好课 24.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0. (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根. 2加果方程的两个实数根为，。，且k与2都为整效。求长所有可能的值。 25.(10分)如图，一次函数y=x+2(a>0)的图象分别与x轴，y轴交于点A,B,与反比例函数 y=(x>0,k≠0)的图象交于点C,且点C的横坐标为1，S4os=1. B (1)求ak的值： 2尼知点P在反比例函数yx>0k0)的图象上，连接oC,OPBP,若Sm=28,求点P的坐 标 试题第6页（共8页） 可学科网·上好课 26.(10分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=8,点E,F分别在边AD,BC上，且AE=CF.将 该纸片沿EF折叠，点A,B分别落在点G,H处，FH与边AD相交于点M,连接EH. D FC (1)ME MF（选填“<"，“>”，“=") (2)△EFM面积的最小值为 (3)求证：DM=HM; (4)若△EFH是以EH为腰的等腰三角形，求AE的长. 27.(10分)反比例函数片=(m>0)和正比例函数，=m(>0)相交于A、5两点，点C在头=” 上，点A、C均在第一象限，且点C在点A的左上方，直线AC、BC与y轴分别交于点F、G. 图1 图2 (1)如图1，已知点A(3,1),点C(1,3), 直接写出：①点B的坐标是_；②CG与CF的数量关系是_： (2)若(1)中的条件点A坐标不变，随着点C的变化，判断(1)中的“CG与CF的数量关系"是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由： (3)如图2，直线AC、BC与x轴分别交于点E、D,经过探索发现：随着点A、C的变化，DE与FG的 乘积只与m的取值有关，请用只含m的代数式表示DE与FG的乘积. 试题第7页（共8页） …○…………O……[1………O………………………○…………☑……○……… 拜 业 [1 柒 和 ……………………[1…○…………¥…………………○……