2026年九年级数学秋季开学学情自测卷（江苏无锡专用，新教材苏科版）

**基本信息** 立足七上至八上三角形内容，以AI模型调查、长征研学等真实情境为载体，通过基础（分式意义）、提升（矩形折叠分类讨论）、创新（双曲线旋转）三级设问，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|四边形性质、分式、统计|第3题以神舟飞船零件质量考查全面调查，体现科学情境真实性| |填空题|8/24|因式分解、动态几何|第16题矩形折叠分类讨论，培养空间观念| |解答题|10/96|函数应用、几何探究|25题正方形动态问题融合基础证明与拓展计算，26题长征研学函数模型考查应用意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共10分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上.) 1 2 3 4 5 6 8 9 10 B B A A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相 应的位置上.) 11.x≠1 12. 3-V5 2 13.4x+1x-1 14.1013 15.4 16.3或6 17.-4 18.2 8 三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤等.) 19.(8分) (1)解：-2-π-20261°+ =2-1+9 =10.(4分) 2)解：24-明-沿x6+亚 =V8-V3+2V3 =2V2-V3+2V3 =22+3.(8分) 1 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2xx+2-xx-2,x-2x+2 20.(1)解：原式= x-2x+2 X =2X+4x-x2+2x.x-2x+2 x-2x+2 X =2x+4x-x2+2x X =X2+6x =X+6;(4分) (2)解：等式两边同乘(x-1(x+2),得x(x+2)-（x-1)(x+2)=3, 去括号，得x2+2X-x2-X+2=3, 移项、合并同类项，得x=1, 检验：x=1时分母为0， ∴原方程无解.(8分) 21.(10分)（1)解：由条形统计图可知，选择A的有70人，由扇形统计图可知，选择A的占抽查总数 的35%， .问卷的总数为70÷35%=200份： 由条形统计图可知，选择D的有20份， ∴.m%=20÷200×100%=10%:(4分) (2)解：选择B的份数有200-70-60-20=50份： 补全条形统计图如下图所示： 份数 70 70 0 0 50 50 40 30 20 10 0 A B CD选项(8分) (3)解：由条形统计图可知200份调查问卷中选择C的有60份， 根据样本估计总体可得：1800×0-540（人）， 200 答：学生收集了1800份调查问卷中选择“BUG报告”的总人数大约有540人.(10分) 2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(10分)(1)解：由表格数据可得，随着抽奖次数不断增加，中二等奖的频率稳定在0.12附近，因 此抽中二等奖的概率约为012.(3分) (2)解：已知总参与人数为10000，一等奖共50个，抽中二等奖的概率约为0.12.估计中二等奖的人数 为10000×0.12=1200 因此估计获得“谢谢参与”的人数为10000-1200-50=8750.(7分) (3)小明的想法不合理.（10分) 23.(10分)(1)解：·点A(-a,4a,B(-4,a在反比例函数y=X的图象上， ∴.(-a)×4a=(-4)×a, ∴.a=1或0（舍去） .A(-1,4),B(-4,1, ∴.k=(-1)×4=-4, 一反比例函数的表达式为y=- X 设一次函数的表达式为y=k1X+b, 把A(-1,4),B(-4,1)代入，得 4=-k1+b 1=-4k1+b 解得k1=1,b=5, ∴.一次函数的表达式为y=x+5.(4分) (2)解：作直线BC, .直线AO经过原点0和点A(-1,4), .直线AO的表达式为y=-4x. 联立y=-4x与y=- 4 ,得 -4x=-4 解得x=-1或x=1, ∴.点C的坐标为1，-4). .直线AB的表达式为y=X+5, 3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令y=0,得x=-5, ∴.点D的坐标为-5,0)， .0D=5 ,点B到x轴的距离为1， S05x1 2 (6分) 设点P的坐标为p,0). .'PO=Ipl. ,点A,C到x轴的距离分别为4,4， .S△APc=S△APO+SACPO =P0×4+1P0×4 =4|pl. 8SarC号SABOD ∴.4|pl= 4×5 52' p 解得p 2或p 2, P的坐标为0成20.（a0分) 24.(1) 如图，点P即为所求： D B ；(53分) (2) 4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，Q即所求： D B C: (10分) 25.(10分)(1)(1)证明：如图所示，过E作EM⊥BC于点M,过E作EN⊥CD于点N, G D M B ∴.∠ENC=∠EMC=∠DNE=90, ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠BCD=90°，∠ECN=45°， .四边形EMCN为矩形， .∠CEN=90°-∠ECN=45°=∠ECN, ..NE=NC. ∴.四边形EMCN为正方形， ∴.EM=EN,∠MEN=90°， ,四边形DEFG是矩形， ∴.∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=9O°， .∠DEN=∠MEF, 又，∠DNE=∠FME=90°， ∴△DEN≌△FEM ASA, ..ED=EF, ∴.四边形DEFG是正方形.(4分) (2)解：如图，作GH⊥CD于点H, 5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 B .四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形， .AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠EDG=90°，∠DAC=45°， .∠ADE=∠CDG=90°-∠EDC, ∴.△ADE≌△CDGSAS, ∴.∠DCG=∠DAE=45°，∠CDG=∠ADE=30° ∴.△CHG是等腰直角三角形， 设GH=x, ..CH=x, .'.DG=2GH=2x, ..DH=DG2-GH2=V3x, .3x+x=3+1, 解得x=1, .'.CH=GH=1, ∴.CG=CH+GH2=V2.(10分) 26.(10分)(1)解：由愿意知，v是t的反比例函数，设v=k 当t=4时，V=2 ∴k=8 .v- 2》）花=-25代入v8得v=3.2kmh ∴.学生步行的平均速度v至少为3.2km/h(6分) (3)解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为1.25-0.75=0.5h,故①不正确； ②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确： 6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③学生从学校到补给点所走路程为8-4=4km,故③正确.(10分) 27.(10分)(1)解：m>0,且m×9=9, m 二当m时，即m=3或m=-3(负值不符合愿意，含去) 9 此时m+m取得最小位，最小值为：2×0=2x3=6, 9 ∴.当m=3时，m+二有最小值6， m 故答案为：3：6；(3分) (2)连接PQ, :点Q-2,-3到是双曲线y=上 .k=-2×-3=6 6 ∴.双曲线的解析式为y= x:(6分) 设Px,5x>0, ’X :点Q-2,-3,QA⊥x轴，作QB⊥y轴， S四边形AQBP=S△A0P+S△BOP ×6+3 =×3×x+21+2x2 1 =3x+6+6 226 =2×3+6 =12, 7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.四边形AQBP的面积的最小值为12.(10分) 28.(10分)(1)解：.CP=CD=PD, ∴△PCD是等边三角形， ∴.∠PCD=60°=∠DPC, .四边形ABCD是正方形， ∴.BC=CD=CP,∠BCD=90°， ∴.∠BCP=150°， ∠CPB=21800-150=15, .∠BPD=∠DPC-∠CPB=45°；(3分) (2)解：①设∠DCP=X, ∴.∠BCP=90°+x, BC=CD=CP, ∠BPC=180-∠BCP =1180°-90°-x .CE平分∠DCP, ∠PCE= 2 DCP=1 ∴.∠CEB=∠BPC+∠PCE 1 459-x+三x 2 =45°： 故答案为：45；(6分) @E2DP=2CE,理由如下： 如图，连接DE,过点C作CF⊥CE交BP于点F, 8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D ∴.∠FCE=∠BCD=90 ② .∠BCF+∠DCF=∠DCE+∠DCF, ∠CEF=∠CFE=45°， ∴.∠BCF=∠DCE,CE=CF, ∴.EF=V2CE, 在△BCF和△DCE中 BC=DC BCF=∠DCE, CF=CE .△BCF≌△DCE(SAS), ∴.BF=DE,∠BFC=∠DEC, ,∠BFC=180°-∠CFE=135°， .∴.∠DEC=135°， ∴.∠=∠DEC-∠CEF=90°， EF=BE -BF=2CE, ∴.BE-DE=V2CE,∠DEP=90°， .CD=CP,CE平分∠DCP, ∴.CE垂直平分DP, .DE=EP, .'DP=2DE, .DE=- p那， 2 BE-2DP=2CE.(a0分) 2 9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10 ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年秋九年级开学·学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 3 0 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题：本题共 8 小题，每 题 3 分，共 24 分． 1 ． ___________ 1 2 ． ___________ 1 3 ． ___________ 1 4 ． ___________ 15 ． ___________ 16 ． ___________ 17 ． ___________ 18 ． ________ 三 、解答题（共 96 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 9 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ．（8分） 2 1 ．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ． （1 0 分） 2 3 ． （1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( ) ( 2 4 ． （ 10分 ） 25 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26 ． （ 10 分） 27 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 28 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七年级全部内容+八年级上册第1章三角形 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是中心对称又是轴对称，且对角线相等的是（     ） A．平行四边形与矩形 B．矩形与正方形 C．菱形与正方形 D．矩形与菱形 2．如果把分式中的、都扩大为原来的倍，那么分式的值（     ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．不变 3．下列调查中适合采取全面调查的是（     ） A．检测“神舟二十三号”载人飞船的零件的质量是否合格 B．检测一批灯的使用寿命 C．检测一批家用轿车的抗撞击能力 D．了解某市居民的月平均收入 4．某服装厂要加工套校服，实际每天加工的套数比原计划增加了，结果提前天完成任务．设原计划每天加工套校服，可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，对角线，且，，点、分别是边、的中点，则的长度是（     ） A． B． C． D．不确定 6．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A．B．C． D． 7．已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 8．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 9．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，交于点，连接，，．下列结论：①；②；③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。 11．要使分式有意义，则的取值范围是________． 12．计算________． 13．因式分解______. 14．若，则_______． 15．袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． 16．如图，在矩形中，，点是边上一点，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为______． 17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 18．如图，把双曲线绕着原点逆时针旋转与轴交于点， （1）若点B（0，2），则______；（2）若点A（3，5）在旋转后的曲线上，则______． 三、解答题：本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等。 19．（8分）计算： (1)； (2) 20．（8分）计算： (1)分式化简：； (2)解方程：． 21．（10分）（深度求索）是一款人工智能模型，某校七年级班学生为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效，七年级班学生从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项为“功能建议”，选项为“界面优化”，选项为“报告”，选项为“其他反馈”． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)抽取的调查问卷共 份， ； (2)补全条形统计图； (3)学生收集了份调查问卷，请估计选择“报告”的总人数． 22．（10分）万达广场为庆祝开业十周年，推出“扫码抽奖”活动．顾客扫码后会随机出现“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种结果，商场对前次抽奖结果进行了统计，数据如下表： 抽奖次数 中二等奖的次数 中二等奖的频率 (1)若顾客参与一次抽奖，抽中二等奖的概率约为________；（精确到0.01） (2)已知本次活动设置一等奖个，若共有人参与抽奖，估计获得“谢谢参与”的人数为________； (3)活动第二天，小明发现自己的朋友抽了次都是“谢谢参与”，他认为抽奖中奖概率统计有问题．结合数据，请你判断小明的想法是否合理，并说明理由． 23．（10分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，并延长交反比例函数图象于点C，直线交x轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P是x轴上一点，当时求点P的坐标． 24．（10分）用无刻度的直尺和圆规完成下列作图： (1)如图，中，，在边上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图，正方形，请在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，并简要写出作法） 25．（10分） 【问题情境】 如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． 【基础探究】 (1)如图1，求证：四边形是正方形； 【拓展迁移】 (2)如图2，已知正方形的边长为，当时，求的长． 26．（10分）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 27．（10分）【阅读理解】对于任意正实数、．∵，∴，∴，（只有当时，）． 【获得结论】在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当________时，有最小值_______； (2)已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值． 28．（10分）如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连接，． (1)（1）如图①，若，求的度数； (2)如图②，作平分交于E． ①的度数是___； ②探究，，之间的数量关系，并证明．    试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2026年秋九年级开学·学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选 准考证号 识 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 5 破。 5. 正确填涂 789 6789 6789 6789 123456789 123456789 0123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C]D] 9[A][B][C]D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C]D] 10[A][B][C][D] 效翰 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分 1 12. 13. 14 15. 16. 17. 18 三、解答题（共96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(8分) 警 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 20.(8分) 21.(10分) 份数 70 70 60 A 35% m% 40 020 20 B 25% C 0 0 B C D 选项 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) A O D B B 图1 图2 25.(10分) G D B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) v(km/h) y/km 4 3 2 01234亦可0250.751251752i 图1 图2 27.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） (道9并)道9熊点豫 :华￥茎品明海☒马削到鲜每盖用群‘品4海☒瑶品阳目踞号安巢 ⑧ ① 0 a 0 9 d d ☑ (50I)8 :必著易阳海☒马的到狂鲜毋盖用群‘品4海习踞品阳目暗号平单 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七年级全部内容+八年级上册第1章三角形 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是中心对称又是轴对称，且对角线相等的是（     ） A．平行四边形与矩形 B．矩形与正方形 C．菱形与正方形 D．矩形与菱形 2．如果把分式中的、都扩大为原来的倍，那么分式的值（     ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．不变 3．下列调查中适合采取全面调查的是（     ） A．检测“神舟二十三号”载人飞船的零件的质量是否合格 B．检测一批灯的使用寿命 C．检测一批家用轿车的抗撞击能力 D．了解某市居民的月平均收入 4．某服装厂要加工套校服，实际每天加工的套数比原计划增加了，结果提前天完成任务．设原计划每天加工套校服，可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，对角线，且，，点、分别是边、的中点，则的长度是（     ） A． B． C． D．不确定 6．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A．B．C． D． 7．已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 8．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 9．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，交于点，连接，，．下列结论：①；②；③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。 11．要使分式有意义，则的取值范围是________． 12．计算________． 13．因式分解______. 14．若，则_______． 15．袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． 16．如图，在矩形中，，点是边上一点，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为______． 17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 18．如图，把双曲线绕着原点逆时针旋转与轴交于点， （1）若点B（0，2），则______；（2）若点A（3，5）在旋转后的曲线上，则______． 三、解答题：本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等。 19．（8分）计算： (1)； (2) 20．（8分）计算： (1)分式化简：； (2)解方程：． 21．（10分）（深度求索）是一款人工智能模型，某校七年级班学生为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效，七年级班学生从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项为“功能建议”，选项为“界面优化”，选项为“报告”，选项为“其他反馈”． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)抽取的调查问卷共 份， ； (2)补全条形统计图； (3)学生收集了份调查问卷，请估计选择“报告”的总人数． 22．（10分）万达广场为庆祝开业十周年，推出“扫码抽奖”活动．顾客扫码后会随机出现“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种结果，商场对前次抽奖结果进行了统计，数据如下表： 抽奖次数 中二等奖的次数 中二等奖的频率 (1)若顾客参与一次抽奖，抽中二等奖的概率约为________；（精确到0.01） (2)已知本次活动设置一等奖个，若共有人参与抽奖，估计获得“谢谢参与”的人数为________； (3)活动第二天，小明发现自己的朋友抽了次都是“谢谢参与”，他认为抽奖中奖概率统计有问题．结合数据，请你判断小明的想法是否合理，并说明理由． 23．（10分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，并延长交反比例函数图象于点C，直线交x轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P是x轴上一点，当时求点P的坐标． 24．（10分）用无刻度的直尺和圆规完成下列作图： (1)如图，中，，在边上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图，正方形，请在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，并简要写出作法） 25．（10分） 【问题情境】 如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． 【基础探究】 (1)如图1，求证：四边形是正方形； 【拓展迁移】 (2)如图2，已知正方形的边长为，当时，求的长． 26．（10分）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 27．（10分）【阅读理解】对于任意正实数、．∵，∴，∴，（只有当时，）． 【获得结论】在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当________时，有最小值_______； (2)已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值． 28．（10分）如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连接，． (1)（1）如图①，若，求的度数； (2)如图②，作平分交于E． ①的度数是___； ②探究，，之间的数量关系，并证明．    1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是中心对称又是轴对称，且对角线相等的是（     ） A．平行四边形与矩形 B．矩形与正方形 C．菱形与正方形 D．矩形与菱形 【答案】B 【分析】根据中心对称图形、轴对称图形的定义，以及特殊四边形对角线的性质，逐一判断图形是否满足三个条件，即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且对角线不相等，不符合要求；矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且对角线相等，符合要求；菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，但对角线不相等，不符合要求；正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且对角线相等，符合要求； ∴满足所有条件的是矩形与正方形． 2．如果把分式中的、都扩大为原来的倍，那么分式的值（     ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．不变 【答案】B 【分析】先根据题意得到，扩大倍后的新分式，再利用分式的基本性质化简，将化简结果与原分式对比即可解答． 【详解】解：∵将、都扩大为原来的倍后，得到的新分式为：， 对新分式化简得：， ∴新分式的值是原分式的倍，即分式的值扩大为原来的倍． 3．下列调查中适合采取全面调查的是（     ） A．检测“神舟二十三号”载人飞船的零件的质量是否合格 B．检测一批灯的使用寿命 C．检测一批家用轿车的抗撞击能力 D．了解某市居民的月平均收入 【答案】A 【分析】从调查的破坏性、范围、结果精度要求三方面判断是否适合全面调查． 【详解】解：检测“神舟二十三号”载人飞船零件的质量对结果精度要求极高，适合全面调查; 检测灯使用寿命具有破坏性,适合抽样调查； 家用轿车抗撞击能力的调查具有破坏性,，适合抽样调查; 了解某市居民月平均收入的调查范围广，适合抽样调查． 4．某服装厂要加工套校服，实际每天加工的套数比原计划增加了，结果提前天完成任务．设原计划每天加工套校服，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“原计划完成天数实际完成天数提前的天数”，分别表示出原计划和实际的工作天数即可列出方程. 【详解】解：设原计划每天加工套校服，总工作量为套， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天加工的套数比原计划增加， ∴实际每天加工套，实际完成任务的天数为， ∵结果提前天完成任务，即原计划天数比实际天数多天， ∴列方程得. 5．如图，在四边形中，对角线，且，，点、分别是边、的中点，则的长度是（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】取的中点H，连接，证明四边形是矩形，结合三角形中位线定理以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点H，连接，分别交于点，设交于点， ∵点、分别是边、的中点，， ∴分别是三角形，三角形的中位线， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ． 6．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 7．已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解，需考虑和、差两种完全平方形式． 【详解】解：∵可以用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴． 8．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由点的坐标为可得，由点，在格点上可得，解得，． 9．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过正方形性质证明两组三角形全等，推导出确定动点的运动轨迹，再取中点构造定长线段，结合勾股定理与三角形三边关系，进而求出线段长度的最小值． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即是直角三角形，， 取的中点，连接、， 在中，是斜边的中点， ， 正方形边长为，即， ， 是中点， ， 又，， ， 在中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，即， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时取得最小值， ． 10．如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，交于点，连接，，．下列结论：①；②；③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定得到，可判断①；根据全等三角形的性质得出，进而得到，设正方形的边长为，利用勾股定理表示出的长，可判断②；根据中点四边形的性质，结合，利用正方形的判定可判断③；延长和交于点H，通过证明，得到，利用斜边中线定理得到，则有，再利用角的和差和等量代换可判断④，即可得出答案． 【详解】解：正方形， ， ，分别是，的中点， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，即， 设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ，故②正确； 如图， 根据题意可知：， ， ， 四边形是菱形， ， ， 菱形是正方形，故③正确； 延长和交于点H， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的有． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。 11．要使分式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】分式有意义的条件为分母不为零，据此列不等式求解即可. 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母不能为，即， 解得． 12．计算________． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 13．因式分解______. 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提取，再由平方差公式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 14．若，则_______． 【答案】1013 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数非负求出x的值，进而求出y的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵式子要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． 【答案】 4 【分析】根据摸到球的可能性大小与球的数量的关系，得到的取值范围，结合三种球数量互不相等，为正整数即可求解． 【详解】解：根据可能性的意义，球的数量越多，摸到该种球的可能性越大， 摸到红球的可能性最大，红球有5个，黑球有3个，白球有个， ，，即， 摸到黑球的可能性最小， ， 即， 又三种球的数量互不相等，为正整数， ∴． 16．如图，在矩形中，，点是边上一点，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】3或6 【分析】当时，证明三点共线，设，则，根据勾股定理，得，求解得到一个解；当时，证明四边形是正方形，得到；当时，不可能；分类求解即可； 【详解】解：当时， 在矩形中，， ， 根据折叠的性质，得， ， ， 三点共线， ， 设，则， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 此时； 当时， 在矩形中，， ，， ， 四边形是矩形， ， 根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得重合， 根据折叠的在，得， 四边形是正方形， ， 此时； 当时，不可能； 17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 【答案】 【分析】作，连接，根据等腰直角三角形的性质得，再设点，则点，即可求出，，同理，最后根据求出答案． 【详解】解：过点D作，交x轴于点E， ∵等腰直角，， ∴，则点D是的中点． ， ， ∵， ∴． 设点， , ， ∴， ∴，，同理， ∴， 即， 解得． 18．如图，把双曲线绕着原点逆时针旋转与轴交于点， （1）若点B（0，2），则______； （2）若点A（3，5）在旋转后的曲线上，则______． 【答案】 2 8 【分析】（1）根据旋转的性质，求出点的对应点坐标，求出值即可； （2）根据旋转的性质，求出点的对应点坐标，求出值即可； 【详解】解：（1）设点绕着原点逆时针旋转后的对应点为点（0，2）， 则：，， 过点作轴，交轴于点， 则：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）设点绕着原点逆时针旋转后的对应点为点A（3，5）， 则：，， 过点作， 则：， ∴， ∴， ∴， 整理，得：， 解得：或（不合题意，舍掉）， 把代入，得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8． 【点睛】本题考查反比例函数，以及旋转的性质．熟练掌握旋转的性质，确定点的坐标，是解题的关键． 三、解答题：本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等。 19．（8分）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据绝对值性质、零指数幂、负整数指数幂的法则进行计算即可． （2）先根据二次根式乘除运算，然后化简二次根式后合并即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．（8分）计算： (1)分式化简：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：等式两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：时分母为0， ∴原方程无解． 21．（10分）（深度求索）是一款人工智能模型，某校七年级班学生为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效，七年级班学生从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项为“功能建议”，选项为“界面优化”，选项为“报告”，选项为“其他反馈”． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)抽取的调查问卷共 份， ； (2)补全条形统计图； (3)学生收集了份调查问卷，请估计选择“报告”的总人数． 【答案】(1)， (2) (3)份 【分析】（1）由条形统计图可知，选择的有份，由扇形统计图可知，选择的占抽查总数的，用选择的份数除以它所占的百分比即可求出调查的总数； （2）根据总数量为份求出选择的份数，补全条形统计图即可； （3）用样本百分数代表总体百分数求出结果． 【详解】（1）解：由条形统计图可知，选择的有人，由扇形统计图可知，选择的占抽查总数的， 问卷的总数为份； 由条形统计图可知，选择的有份， ； （2）解：选择的份数有份； 补全条形统计图如下图所示： （3）解：由条形统计图可知份调查问卷中选择的有份， 根据样本估计总体可得：（人）， 答：学生收集了份调查问卷中选择“报告”的总人数大约有人． 22．（10分）万达广场为庆祝开业十周年，推出“扫码抽奖”活动．顾客扫码后会随机出现“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种结果，商场对前次抽奖结果进行了统计，数据如下表： 抽奖次数 中二等奖的次数 中二等奖的频率 (1)若顾客参与一次抽奖，抽中二等奖的概率约为________；（精确到0.01） (2)已知本次活动设置一等奖个，若共有人参与抽奖，估计获得“谢谢参与”的人数为________； (3)活动第二天，小明发现自己的朋友抽了次都是“谢谢参与”，他认为抽奖中奖概率统计有问题．结合数据，请你判断小明的想法是否合理，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小明的想法不合理． 理由：概率描述的是大量重复试验下随机事件发生的规律，每次抽奖都是相互独立的随机事件，少量试验的结果具有随机性，三次都抽到“谢谢参与”是可能发生的，不能由此说明中奖概率统计有问题． 【分析】（1）根据大量重复试验中频率稳定在概率附近，估计抽中二等奖的概率． （2）利用估计出的二等奖概率计算二等奖人数，再结合一等奖数量计算获得“谢谢参与”的人数． （3）根据概率的意义判断小明的想法，概率反映大量重复试验的规律，少量试验结果具有随机性． 【详解】（1）解：由表格数据可得，随着抽奖次数不断增加，中二等奖的频率稳定在附近，因此抽中二等奖的概率约为． （2）解：已知总参与人数为，一等奖共个，抽中二等奖的概率约为．估计中二等奖的人数为． 因此估计获得“谢谢参与”的人数为． （3）略 23．（10分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，并延长交反比例函数图象于点C，直线交x轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P是x轴上一点，当时求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）由点，在反比例函数图象上，得横纵坐标乘积相等，求出，再用待定系数法求一次函数表达式． （2）先求出点，坐标，再设，利用直线与轴的交点把的面积转化为含的式子，由面积关系列方程求解． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 或0（舍去） ，， ， 反比例函数的表达式为． 设一次函数的表达式为， 把，代入，得 ， 解得，， 一次函数的表达式为． （2）解：作直线， 直线经过原点和点， 直线的表达式为． 联立与，得 ， 解得或， 点的坐标为． 直线的表达式为， 令，得， 点的坐标为， ． 点到轴的距离为， ． 设点的坐标为． ． 点，到轴的距离分别为，， ． ， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 24．（10分）用无刻度的直尺和圆规完成下列作图： (1)如图，中，，在边上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图，正方形，请在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，并简要写出作法） 【答案】(1) 如图，点即为所求； ； (2) 如图，即所求； ； 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，作等边三角形，垂直平分线的性质等； （1）连接，作的垂直平分线交于，由垂直平分线的性质可得，可得； （2）如图，以为边在正方形内部作等边三角形，再延长交于即可； 【详解】（1）解：略； （2）解：略． 25．（10分）【问题情境】 如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． 【基础探究】 (1)如图1，求证：四边形是正方形； 【拓展迁移】 (2)如图2，已知正方形的边长为，当时，求的长． 【答案】(1)证明：如图所示，过E作于点M，过E作于点N， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． (2) 【分析】（1）过E作于点M，过E作于点N，得到，推导出，四边形为正方形，得到，，进而推导出，得到，则四边形是正方形，即可解答； （2）作于点H，推导出，得到，，进而推导出是等腰直角三角形，设，得到，，根据勾股定理，求出，得到，求出，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 26．（10分）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 【答案】(1) (2)学生步行的平均速度至少为 (3)②③ 【分析】（1）由题意知，是的反比例函数，设，代入，即可求解； （2）将代入，求得，结合题意，即可求解； （3）根据函数图象分析即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，是的反比例函数，设 当时， ∴ ∴ （2）把代入，得 ∴学生步行的平均速度至少为 （3）解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为，故①不正确； ②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确； ③学生从学校到补给点所走路程为，故③正确． 27．（10分）【阅读理解】对于任意正实数、．∵，∴，∴，（只有当时，）． 【获得结论】在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当________时，有最小值_______； (2)已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查反比例函数的性质，不等式的性质，二次根式的性质， （1）根据阅读材料可得，当时，取得最小值，据此即可求解； （2）连接，设，根据四边形的面积的面积的面积，从而利用表示出四边形的面积，利用阅读材料中介绍的不等式的性质即可求解； 正确读懂已知中的不等式的性质，表示出四边形AQBP的面积是关键． 【详解】（1）解：∵，且， ∴当时，即或（负值不符合题意，舍去）， 此时取得最小值，最小值为：， ∴当时，有最小值， 故答案为：；； （2）连接， ∵点是双曲线上 ∴， ∴双曲线的解析式为， 设， ∵点，轴，作轴， ∴ ， ∴四边形的面积的最小值为． 28．（10分）如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连接，． (1)（1）如图①，若，求的度数； (2)如图②，作平分交于E． ①的度数是___； ②探究，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①； ②，理由如下： 如图，连接，过点C作交于点F， ， ， ， ，， ， 在和中 ， （）， ，， ， ， ， ， ，， ，平分， 垂直平分， ， ， ， ． 【分析】（1）可证，可求，即可求解； （2）①设，，由即可求解；②连接，过点C作交于点F，可求，可证，从而可得，，可证，，即可求证． 【详解】（1）解：， 是等边三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）解：①设， ， ， ， 平分， ， ； 故答案为：； ②略 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 : 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：七年级全部内容+八年级上册第1章三角形 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共10分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是中心对称又是轴对称，且对角线相等的是() : A.平行四边形与矩形 B.矩形与正方形 : C.菱形与正方形 D.矩形与菱形 : 2.如果把分式兽中的a、b都扩大为原来的3倍，那么分式的值() A.缩小为原来的B.扩大为原来的3倍C.扩大为原来的6倍 D.不变 3.下列调查中适合采取全面调查的是() A.检测“神舟二十三号”载人飞船的零件的质量是否合格B.检测一批LED灯的使用寿命 C.检测一批家用轿车的抗撞击能力 D.了解某市居民的月平均收入 : 4.某服装厂要加工800套校服，实际每天加工的套数比原计划增加了25%，结果提前4天完成任务.设 原计划每天加工x套校服，可列方程为() : 拟 : A.800 800 800 (1+25%)x=4 B. 800二4 (1+25%)xx C.800 800 800 x 1-25%x=4 800二4 D.1-25%)x- 5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD,且AC=4,BD=6,点E、F分别是边AB、CD的中点，则EF 的长度是() : : : A.V5 B.V13 C.3 D.不确定 试题第1页（共8页） : : 可学科网·上好课 6.已知k≠0，则反比例函数y=和一次函数y=-2kx+3的图象可能是() 小：天 7.己知x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为() A.-6或-3 B.3 C.6或3 D.±6 8.如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数y=(k≠ O,x>0)的图象被撕掉了一部分，已知点M,N在格点上，设点N的坐标为(m,-2),则k=() A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 9.如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点 H.若正方形的边长为2，则侧线段DH长度的最小值是() A.51 C.V5-1 2 . D.1-V5 10.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，连接DE,AF交于点G,连接CG,EF,DF.下 列结论：①△ADE≌△BAF;②DG:DE=4:5;③依次连接AE,EF,DF,AD的中点P,Q,M,N, 则四边形MNPQ为正方形；④2LADE+∠BCG=90°.其中结论正确的序号有() B D A.①②③ B.①③④ c.②③④ D.①②③④ 试题第2页（共8页） 6学科网·上好课 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相 应的位置上。 11.要使分式有意义，则x的取值范围是 12.计算2×(-1= 13.因式分解4x2-4= 14.若y=V2x-1+V3-6x+2026,则xy= 15.袋子里有5个红球，m个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红 球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则m的值为 16.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B处， 当△CEB为直角三角形时，BE的长为， 17.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x<0)的图象分别与等腰直角△A0B的直角边AB和斜 边OB交于点C,D,点A在x轴负半轴上，连接AD,CD,若AD⊥OB,且△BCD的面积为3，则k= 18.如图，把双曲线y=(k>0,x>0)绕着原点逆时针旋转45与y轴交于点B, (1)若点B(0,2),则k=；(2)若点A(3,5)在旋转后的曲线上，则k= 三、解答题：本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤等。 19.(8分)计算： (4-21--2026°+()2： (2N24÷V3- xv6+v应 试题第3页（共8页） 20.(8分)计算： 1)分式化简： (） (2)解方程：÷-1=-+ ☑ 21.(10分)DeepSeek(深度求索)是一款人工智能模型，某校七年级3班学生为了解用户对此模型的体 验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效，七年级3班学生从 所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图.设定选项A为“功能建议”，选项 张 B为“界面优化”，选项C为“BUG报告”，选项D为“其他反馈”. 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： 河 0: (1)抽取的调查问卷共_份，m=_: 游 游 (2)补全条形统计图： 样 (3)学生收集了1800份调查问卷，请估计选择“BUG报告”的总人数， 份数 70 70 60 A D 35% 1m% 40 0200 20 B 25% C 0 B D 选项 22.(10分)万达广场为庆祝开业十周年，推出“扫码抽奖”活动.顾客扫码后会随机出现“一等奖"“二等奖”“谢 谢参与”三种结果，商场对前5000次抽奖结果进行了统计，数据如下表： 性 抽奖次数 .· 100 500 1000 2000 3000 4000 5000 中二等奖的次数 12 58 115 236 365 484 602 中二等奖的频率 0.12 0.116 0.115 0.118 0.122 0.121 0.120 (1)若顾客参与一次抽奖，抽中二等奖的概率约为 (精确到0.01) (2)已知本次活动设置一等奖50个，若共有10000人参与抽奖，估计获得“谢谢参与”的人数为 (3)活动第二天，小明发现自己的朋友抽了3次都是“谢谢参与”，他认为抽奖中奖概率统计有问题.结合数 据，请你判断小明的想法是否合理，并说明理由 试题第4页（共8页） 23.(10分)如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象相交于A(-a,4a),B(-4,a)两点，连 接AO,B0,并延长AO交反比例函数图象于点C,直线AB交x轴于点D. : : (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)若点P是x轴上一点，当S△P4c=S△BoD时求点P的坐标. 24.（10分)用无刻度的直尺和圆规完成下列作图： 0 (1)如图，□ABCD中，AD>AB,在边AD上求作一点P,使得PC+PD=AD:(保留作图痕迹，不写作法) : ·: (2)如图，正方形ABCD,请在边AD上求作一点Q,使得LCBQ=60°.（保留作图痕迹，并简要写出作法） : : .: 感 0 B 图1 图2 25.(10分) 【问题情境】 斟 如图，已知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一动点（不与点A,C重合），连接DE,过点E作EF⊥DE, 交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. 【基础探究】 (1)如图1，求证：四边形DEFG是正方形： 【拓展迁移】 (2)如图2，已知正方形ABCD的边长为V3+1,当LADE=30时，求CG的长. : : .: 图 图2 : 试题第5页（共8页） .: 6学科网·上好课 26.（10分)今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午8：00从学校 出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度v(km/h)与步行全程所用时间t(h)的函 数关系如图1所示 (1)求v关于t的函数表达式， (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过2.5h,那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发0.25h后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、 发放补给物品后，再去长征纪念广场.李老师、学生已走路程y(km)与学生步行时间t(h)的函数关系 如图2所示.下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为1h: ②李老师比学生先到达长征纪念广场： ③学生从学校到补给点所走路程为4m. 其中正确说法的序号是一 v(km/h) y/km 4 O1234th00250.751.251.752th 图1 图2 试题第6页（共8页） 6学科网·上好课 27.(10分)【阅读理解】对于任意正实数a、b.(Va-万≥0，.a-2ab+b≥0，∴a+b≥2Wab, (只有当a=b时，a+b=2Vab). 【获得结论】在a+b≥2Wab(a、b均为正实数)中，若ab为定值p,则a+b≥2v厄，只有当a=b时，a+b 有最小值2√厄. 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若m>0,只有当m=—时，m+品有最小值一 (2)已知点Q(-2,-3)是双曲线y=上点，过Q作QA1x轴于点A,作QB1y轴于点B.点P为双曲线y= (x>O)上任意一点，连接PA,PB,求四边形AQBP的面积的最小值. 试题第7页（共8页） 28.(10分)如图，P是正方形ABCD的边CD右侧一点，CP=CD,∠PCD为锐角，连接PB,PD. (1)(1)如图①，若PD=PC,求LBPD的度数： (2)如图②，作CE平分LPCD交PB于E. ①LBEC的度数是_； ②探究PD,BE,CE之间的数量关系，并证明， D D 兵 E P 张 ① ② 河 拼 脚 世 试题第8页（共8页）