精品解析：河南新乡市第一中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试卷

新乡市一中2026-2027学年上期开学考试 高二数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟； 2．请将各题答案填写在答题卡（卷）上； 3．本试卷主要考试内容：必修一、二、选择性必修一部分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的． 1. 若集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，即，解得， 则，故. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 即，即， 即，且， 解得. 3. 某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率分布条形图可读出，，且A部门数据更为集中，即可得出结论. 【详解】根据频率分布条形图可知，，即； 显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即； 故选：C 4. 用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知，用这三个数字组成无重复数字的三位数， 则样本空间，共有个样本点， 则，所以， 则． 5. 若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 6. 已知，是空间中的两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的判定判断选项A；根据面面垂直的判定判断选项B；根据线面平行的判定判断选项C；根据线面垂直的判定判断选项D 【详解】选项A,若，，，则与不一定平行；当，若，则，故A错误； 选项B，若，，，则，正确； 选项C，若，，，则或，错误； 选项D，若，，，则不一定成立，与位置关系可能为平行，相交或、垂直，故D错误； 7. 已知定义域为的函数在上是增函数，且函数是偶函数，当，，时，有（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义分析可知的图象关于直线对称，结合对称性将函数值转化到区间内，再根据单调性比较． 【详解】令． 因为是偶函数，所以对任意实数，，即的图象关于直线对称． 因为，，所以，． 由，得 因为在上是增函数，所以． 又由对称性得，因此 8. 已知一种摇杆机械装置，如图，为定点，是动点，，， ，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，先由余弦定理可得，再根据是动点，，，得，从而可得所求值的范围. 【详解】设，在中，已知， ​， 由余弦定理得：， 整理得. 又因为是动点，是定点，且，， 所以，，即. 所以，则，则， 所以， 即，因此. 故的取值范围为. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，m的值为 D. 已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线方向向量的定义，求得直线的斜率，可判定A正确；根据两直线垂直，列出方程，求得的值，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；求得直线过定点，结合与直线垂直时距离最大，求得的值，可判定C正确，结合斜率公式，求得的值，结合图象，可判定D正确. 【详解】对于A，因为直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于，所以A正确； 对于B，由直线与直线互相垂直， 可得，即，解得或， 所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C，因为直线，可化为， 由，解得，即直线恒过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大， 所以，解得，所以C正确； 对于D，因为，可得， 如图所示，要使得过定点的直线与以线段有交点， 则满足或，所以直线l的斜率k的取值范围是，所以D正确. 10. （多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出两条已知直线的交点，再分别考虑第三条直线过该交点或与其中一条直线平行这三种不能构成三角形的情况，从而排除对应的值. 【详解】由得所以两条直线交于点． 当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且． 故选：ACD． 11. 如图，四棱锥的底面为正方形，且侧棱均相等，为棱PA的中点，线段BC上的点满足，记直线PF与AB所成的角为，直线PF与平面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则下列结论正确的有（ ） A. 若平面PCD，则 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由点为中点和线面平行推出点的位置；B选项得到两角余弦的关系，反推角的大小； C选项，表示两角正弦值，得到角的大小； D选项，将用表示，通过向量数量积运算判断. 【详解】A选项，若平面PCD，则点E，F到平面PCD的距离相等， 注意到平面PCD，故为BC的中点，即，正确． B选项不正确，记PF的射影与AB的夹角为， 则，故． C选项正确，记点在平面ABCD内的射影为，点在棱BC上的射影为， 则，，由可得． D选项正确，即， 因为，则在方向上的投影长度是， 所以，． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请将正确答案填在相应的横线上． 12. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方向向量计算斜率，利用斜率与倾斜角的关系计算． 【详解】由直线的方向向量， 可得斜率，则倾斜角满足； 因为，可得． 13. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 【答案】0 【解析】 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，即. 代入，，得， 整理得，解得. 14. 已知函数关于直线对称，且，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】解法1：求函数导数，由对称轴得导数为0，求得，即可求得函数.由题意列出关于的方程，由正弦函数的有界性得到方程的解，求得，即可求得结果. 解法2：由辅助角公式化简函数，由对称轴求得，即可求得函数.由题意列出关于的方程，由正弦函数的有界性得到方程的解，求得，即可求得结果. 【详解】解法1：，， 由题意知的一条对称轴为，所以，解得， 所以原式. 因为，即， 因为， ①若，，则，， 所以，. ②若，，则，，所以，. 综上所述，. 解法2：， 由题意知的一条对称轴为，， 所以 ，所以， 所以，所以原式. 因为，即， 因为， ①若，，则，， 所以，. ②若，，则，，所以，. 综上所述，. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）求点关于的对称点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【小问1详解】 因，，， 设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； 【小问2详解】 依题意，当截距为0时，直线过原点和点， 则其方程为，即； 当截距不为0时，依题意，可设直线， 代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； 【小问3详解】 设关于的对称点，则中点在上且， 则， 解得，，故． 16. 台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这批蜜桔的平均质量； （3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 【答案】（1） （2） （3）95克 【解析】 【分析】(1)根据频率之和为求得. (2)根据平均数的求法求得这批蜜桔的平均质量. (3)根据百分位数的求法求得合格品的质量的最小值. 【小问1详解】 频率分布直方图中所有矩形的面积之和等于1，各组的组距均为10. 因此. 整理得，解得. 【小问2详解】 各组组中值依次为， 对应频率依次为. 因此. 据此估计这批蜜桔的平均质量为91.5克. 【小问3详解】 由题意，次品为质量较轻的前55%的数据，合格品的最低质量对应样本数据的第55百分位数. 各组累计频率：区间累计频率为，区间累计频率为， 区间累计频率为，区间累计频率为. 因此第55百分位数位于区间内， 设该百分位数为，则. 解得，即合格品的质量应不低于95克. 17. 已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求A的坐标； （2）求点A到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由求出直线的斜率与方程，再联立直线与中线的方程，求出点的坐标； （2）先设出中线上点的坐标，利用中点坐标公式表示出点的坐标，再结合点在直线上求出参数，确定坐标与直线方程，最后用点到直线的距离公式计算结果. 【小问1详解】 ，， 由得直线： 又在中线：上， 联立，解得 【小问2详解】 在直线：上，设 是中点，， 在直线：上， ，解得 由、，得直线： 点到直线的距离：. 18. 在中，角的对边分别为. （1）若，求角的大小； （2）若边上的高等于，求的最大值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合特殊角的三角函数值即可得解； （2）利用三角形面积公式与余弦定理得到，从而将转化为关于角的表达式，进而得解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 又，则，所以， 因为，所以或. 【小问2详解】 由三角形面积公式得，即， 又由余弦定理，得， 从而有， 所以. 当，即时，有最大值， 即的最大值为. 19. 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点，． （1）求的长； （2）若为线段的中点，求二面角的正弦值； （3）请问线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程，求可得的长. （2）过点作交的延长线于点，证明为二面角的平面角，解三角形求其余弦值，结合二面角与二面角互补可得结论. （3）过点作，证明平面，过点作交于点，在上取点，使得，证明，结合条件可求. 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以， 因为平面，底面，所以. 又平面，所以， 因为，所以为直线与所成的角， 设，则. 在中，. 又，所以，解得或（舍去），所以. 【小问2详解】 在平面内，过点作交的延长线于点，连接. 因为底面，底面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为为的中点，，四边形为矩形， 所以，所以，所以。 所以，设二面角的平面角为，则， 所以，所以. 所以二面角的平面角的正弦值为. 【小问3详解】 存在符合条件的点，依题意得，， 又，所以. 又，所以，又平面，所以平面. 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，得， 又平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得. 连接，所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，易知，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乡市一中2026-2027学年上期开学考试 高二数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟； 2．请将各题答案填写在答题卡（卷）上； 3．本试卷主要考试内容：必修一、二、选择性必修一部分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的． 1. 若集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是空间中的两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 已知定义域为的函数在上是增函数，且函数是偶函数，当，，时，有（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不能确定 8. 已知一种摇杆机械装置，如图，为定点，是动点，，， ，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，m的值为 D. 已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 10. （多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（ ） A. B. 1 C. D. 11. 如图，四棱锥的底面为正方形，且侧棱均相等，为棱PA的中点，线段BC上的点满足，记直线PF与AB所成的角为，直线PF与平面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则下列结论正确的有（ ） A. 若平面PCD，则 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请将正确答案填在相应的横线上． 12. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________． 13. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 14. 已知函数关于直线对称，且，则____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）求点关于的对称点的坐标． 16. 台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这批蜜桔的平均质量； （3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 17. 已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求A的坐标； （2）求点A到直线的距离． 18. 在中，角的对边分别为. （1）若，求角的大小； （2）若边上的高等于，求的最大值. 19. 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点，． （1）求的长； （2）若为线段的中点，求二面角的正弦值； （3）请问线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $