第一章 直角三角形的边角关系练习题2026-2027学年鲁教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦直角三角形边角关系，分层设计基础巩固、综合应用、拓展创新三阶练习，通过实际情境与项目化任务，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|锐角三角函数定义、特殊角值计算|选择1-5直接应用概念，填空11-13强化基础运算，培养符号意识| |中档|解直角三角形及简单应用|选择6-8结合菱形、网格等几何图形，解答18-19关联生活情境，发展推理能力| |提升|动态几何与项目化探究|选择9-10涉及折叠、旋转，解答21以太阳能路灯测量为项目，体现模型意识与应用能力|

2026-2027学年初四上册第一章 直角三角形的边角关系练习题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，，，则的长是(      ) A. B. C. D. 2.在中，若，满足，且，均为锐角，则的度数为(     ) A. B. C. D. 3.如图是由个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为(      ) A. B. C. D. 4.如图，个全等的小正方形放置在中，则的值是(     ) A. B. C. D. 5.如图，在菱形中，对角线，相交于点，点在线段上，连接若，，，则的值为     ． A. B. C. D. 6.如图，在中，，，则的长是(     ) A. B. C. D. 7.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在上，，连接，过点作交的延长线于若，则的值是(      ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，，是边上的中线，则的值是(      ) A. B. C. D. 9.如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为(     ) A. B. C. D. 10.如图，是等边三角形，，在上且，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段当点运动时，则线段的最小值是(     ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.如图，点、、均在的方格纸的格点上，那么的值为      ． 12.计算：            ． 13.如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿南偏东       度方向航行． 14.如图，在中，，分别为，的中点，于点，，交的延长线于点若，，，则的长为       ． 15. 如图，在菱形中，，，将沿折叠，使得点落在边上的点处．当的长度取得最大值时，折痕的长度为________结果保留根号 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 16.计算：． 四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在中，，，，解这个直角三角形． 18.本小题分 小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助工具测量三条线段手臂、上半身、腿近似看成线段的长度以及两个角手臂与上半身、上半身与腿的夹角的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 计算甲同学的成绩线段的长度 ，，，，， 计算乙同学的成绩线段的长度 ，，，，，， 结果精确到，参考数据：，，；， 计算甲同学的成绩. 计算乙同学的成绩. 19.本小题分 已知是锐角，且求的值． 20.本小题分 九年级班学生计划利用无人机测量宿舍楼的高度．如图，此时无人机在离地面的距离为，操控者从处观测无人机的仰角为，无人机测得宿舍楼顶端点处的俯角为，又经过人工测量测得操控者和宿舍楼之间的距离为，点，，，，都在同一平面上．求宿舍楼的高度结果取整数参考数据：，，， 21.本小题分 项目化学习 【项目主题】太阳能路灯电池板离地面高度的思考． 【项目背景】为了深化课堂教学变革，进一步推进初中数学单元项目化学习，推进深度教学研究，某校学生在学习直角三角形的边角关系之后，在数学课上进行了项目化学习研究： 【提出驱动性问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量 【设计实践任务】 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 素材 光伏能源被认为是二十一世纪最重要的新能源之一，太阳能路灯可以利用太阳能发电，其清洁无污染并可再生绿色环保受到广泛欢迎．某学校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端点离地面的高度． 素材 如图所示，已知测角仪的高度为米，在测点处安置测角仪，测得点的仰角为，在与点相距米的测点处安置等高的测角仪，测得点的仰角为，点与在同一条直线上． 问题解决 任务 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 求电池板离地面的高度的长．结果精确到米；参考数据：， 答案和解析 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】解：由图得，，，  ，  是等边三角形，  ，，  设菱形的边长为，  则，  过点作于点，    ，  ，  ，  ，  ，  ，  由勾股定理得，  ，，  ，  ，，  ，  ，  故选：． 根据菱形的性质得出，进而利用等边三角形的判定与性质得出，过点作于点，先求出的度数，即可求出的长，勾股定理可求出的长，于是得出的长，再证，即可求出的值． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：如图， 个全等的小正方形放置在中， ，，， ． 故选：． 根据题意得到，，，进而利用正切定义求解即可． 本题考查的是解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 5.【答案】  【解析】【点拨】本题考查菱形的性质，勾股定理及解直角三角形． 四边形是菱形，，，． ，，． ，，，， 故选A． 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】如图，过点作轴于点，则．，．，，，，． 8.【答案】  【解析】解：过点作，垂足为，   ，，，  ， 是边上的中线，  ，  的面积的面积， ， ，  ， 解得：，  ， 在中，， 故选：． 9.【答案】  【解析】将沿折叠后，点落在延长线上的点处，，，，．四边形是菱形，，． 10.【答案】  【解析】过点作于点，过点作于点，证明，则，求出，即点到直线的距离为，证明，得到，则，即点到直线的距离为，当三点共线时，取得最小值，即可求出答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，过点作于点， 由旋转可得，，， 则， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ， 即点到直线的距离为， ， 是的中点， ， 即点到直线的距离为， 线段绕点逆时针旋转，得到线段． 点在直线的右侧， 当三点共线时，取得最小值，最小值为 11.【答案】  【解析】解：设方格纸中小正方形的边长为，连接 ． 由勾股定理得：．．． ，， ． ． 在 中，． 故答案为：． 连接 ，利用网格结构及勾股定理分别求出 、、 的长度，再利用勾股定理逆定理判定 为直角三角形，最后根据正切函数的定义求解． 本题考查解直角三角形，正确进行计算是解题关键． 12.【答案】  【解析】解：原式 ． 13.【答案】  【解析】解：由题意得：甲船的路程：海里， 乙船的路程：海里， 海里， ， 是直角三角形，， 是北偏东方向， 是南偏东， 即乙船沿南偏东度方向航行， 故答案为：． 首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可解答． 本题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：，分别为，的中点， 是的中位线， ，， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得到：， 是的中点， ． 故答案为：． 判定四边形是矩形，推出，，由，求出，得到，求出，由勾股定理求出，即可得到的长． 本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，关键是由三角形中位线定理推出，，判定四边形是矩形，由锐角的正切定义求出的长． 15.【答案】  【解析】解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： ， 是直角三角形， 四边形是菱形，且， ，，， ， 由折叠性质得：， ， 当为最小时，为最大， 根据“垂线段最短”得：， 当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长， ， ， ， 在中，， ， ， 根据“平行线间的距离处处相等”得：， 为最小，此时的最大值为：， 当时，，， ， 过点作于点，如图所示： 和都是直角三角形， 在中，， 设，， 由勾股定理得：， 由折叠性质得：， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 当的长度取得最大值时，折痕的长度为． 故答案为：． 16.【答案】解： ．  【解析】计算三角函数，负整数幂，零指数幂，二次根式，绝对值，最后合并计算即可． 17.【答案】解：在中，，，，．．，综上，，，．  【解析】略 18.【答案】【小题】 解：如图，过点作，垂足为点，则， 在中，，， ． ，， ， ， ． 又，即， 四边形是矩形， ， ． 答：甲同学的成绩是． 【小题】 解：如图，过点作，垂足为点，交的延长线于点， 在中，， ，， ． 又，则， 四边形是矩形，则，． 在中，，则． 又， ． 在中，， ，， ， ． 答：乙同学的成绩是．  【解析】  过点作，在中，根据三角函数的定义求出，再证，则可得，再证四边形是矩形，则可得，进而可得，即可得解．   过点作，垂足为点，交的延长线于点在中，根据三角函数的定义求得再证明四边形是矩形，则，在中，根据三角函数的定义求得，由即可得解． 19.【答案】解：且是锐角， ， ．  【解析】先根据且是锐角求出的度数，再将特殊角的三角函数值代入求解． 本题考查特殊角三角函数值的混合运算，根据的正弦值求出的度数是解题的关键． 20.【答案】解：由题意知，，，，， ， ， 如图，过点作于，则四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 宿舍楼的高度约为．  【解析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 由题意知，，，，，则，，过点作于，则四边形是矩形，，，，，可得，，计算求解，进而可求． 21.【答案】解：延长交于点， 由题意得：米，米， 设米，则米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， 解得：， 米， 电池板离地面的高度约为米．  【解析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 延长交于点，根据题意可得：米，米，设米，则米，从而分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $