25.2.1 配方法（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦直接开平方法解一元二次方程，核心知识点为形如x²=p（p≥0）和(x+n)²=p的方程解法。课堂导入通过复习平方根概念，如16的平方根、√81的值及平方根存在条件，搭建旧知到新知的学习支架，实现知识自然衔接。 此资料亮点在于以分类讨论x²=p中p的不同情况培养抽象能力，借助整体思想将(x+3)²=5转化为一元一次方程体现推理意识，例题规范步骤强化模型意识。采用探究法与练习巩固结合，帮助学生掌握降次思想提升解题能力，也为教师提供清晰教学流程，助力高效课堂。

25.2.1 配方法（第1课时）直接用开平方教学设计 课题 25.2.1 配方法（第1课时） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 1.会利用直接开平方法解形如 x²=p（p≥0）的方程；初步了解形如 (x+n)²=p 方程的解法；能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。 2.通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法。 教学重点 应用直接开平方法解形如 x²=p 或 (x+n)²=p 的方程。 教学难点 会把一个方程化成 x²=p 或 (x+n)²=p 的形式。 教学方法 讲授法、探究法、合作交流、练习巩固 教学准备 多媒体课件 课后练习 完成课本第25.2.1节随堂练习及课后巩固练习 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、复习回顾 出示课件复习题，学生单独完成，教师巡视，随后集体回答： 1. 16的平方根是______；2. √81=______；3. 判断：任何数都有平方根吗？______；4. 一个正数有______个平方根。 答案：16的平方根是±4；√81=9；不是（负数没有平方根）；一个正数有2个平方根。 引出课题：平方根是开平方法的基础，今天学习用平方根的意义直接开平方解一元二次方程。 独立完成复习小题：16的平方根、√81、判断任何数是否有平方根、一个正数有几个平方根，集体校对答案（±4；9；负数无平方根；2个） 通过复习旧知识，引出对新知识的探究，达到衔接新旧知识的目的，为下面探究新知识打下基础。 二、探究新知 直接开平方法 探究：直接开平方法。 先看一个简单的一元二次方程，比如： 根据平方根的意义，得 即 x₁=√5，x₂=−√5。 归纳：一般地，对于方程 x²=p，分三种情况讨论： （1）当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根： （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根： （3）当 p<0 时，因为对任意实数 x 都有 x²≥0，所以方程无实数根。 概念：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法。 观察方程 x²=5，根据平方根意义写出解 x=±√5；小组讨论归纳一般结论：方程 x²=p 中，p>0 时 x₁=√p、x₂=−√p 两个不等实根，p=0 时 x₁=x₂=0 两个相等实根，p<0 时因 x²≥0 而无实数根；记录直接开平方法的概念 从已有的平方根知识体系中自然地构建出新知识；通过简单方程到一般形式 x²=p 的归纳，分类讨论根的情况，突破本节重点，同时通过开出平方求解初步体会降次思想。 三、探究(续) 由(x+n)²=p 到降次 教师提问：对照上面解方程的过程，你认为应该怎样解方程 (x+3)²=5 呢？ 学生通过比较它与 x²=5 的异同，获得解一元二次方程的思路。 答：我们知道，若 x²=5，则 x=±√5。由此想到：当 x+3 看成整体时，得 即 或 于是，方程 (x+3)²=5 的两个根为 x₁=−3+√5，x₂=−3−√5。 提问：由方程①到方程②，其实质是什么？ 引导：由 (x+3)²=5 到 x+3=±√5，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 x+3=√5 与 x+3=−√5，把方程①转化为我们会解的方程。 对比 x²=5 与 (x+3)²=5 的异同，把 x+3 看作整体，由 x+3=±√5 推出 x=−3+√5 或 x=−3−√5；思考并回答“由①得②”的实质是降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程 通过利用一元二次方程解决实际问题，引导学生将求解一元二次方程的问题转化为两个一元一次方程的问题，降“二次”为“一次”，调动学生思考问题的积极性，同时提高学生分析问题、解决问题的能力。 四、典型例题 例1 直接用开 平方解方程 例1（教材P6）：用直接开平方法解下列方程。学生独立完成解题过程，教师点评，规范格式。 教师用课件展示例题答案，重点点评： ①先把方程化为左边是含未知数的完全平方式、右边是非负数的形式，再开方； ②右边为0时，方程有两个相等的实数根；右边为负时无实数根； ③开方时注意取正负两个平方根。 总结：用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解。当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根。 独立完成例1的四道小题，用直接开平方法解方程并规范书写带±的根；对照课件答案，重点核对化成完全平方式、开平方取正负、右边为0得相等实根等步骤，修正格式 通过例题讲练，引导学生实践直接开平方法的具体步骤，规范学生对解题步骤的书写，让学生感受数学的严谨性。 五、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知。 检测围绕直接开平方解形如 x²=p 与 (x+n)²=p 的方程、讨论根的情况展开。 如：解方程 x²=0、x²=5、(x−1)²=2，写出各个方程的根。 独立完成直接开平方解方程的当堂练习（x²=0、x²=5、(x−1)²=2等），写清根，注意 p<0 时无实数根的情形，集体评议订正 当堂检验学生对形如 x²=p 与 (x+n)²=p 方程的解法及根的讨论的掌握情况，反馈矫正，巩固直接开平方法。 六、课堂小结 提问：今天我们学习了哪些知识？ 1. 直接开平方法概念：利用平方根的定义求方程的根的方法。 2. 步骤：关键要把方程化为 (x+n)²=p 的形式，再两边开平方。 3. 基本思路：降次（把一元二次方程转化为两个一元一次方程）。 回顾直接开平方法的定义、化为 (x+n)²=p 再开方的步骤与降次思路，畅谈平方根与解方程的联系 梳理直接开平方法的概念、步骤与降次思想，帮助学生建构用开平方法解一元二次方程的认知结构，强化转化意识。 板书设计 25.2.1 配方法（第1课时） 一、直接开平方法 利用平方根的意义直接开平方 关键：化为(x+n)²=p再开方 二、根的讨论 x²=p p>0：x=±√p（两个不等实根） p=0：x₁=x₂=0（两个相等实根） p<0：x²≥0，无实数根 三、基本思路：降次 (x+3)²=5 → x+3=±√5 → x=-3+√5 或 x=-3-√5 板演：例1 直接开平方解方程 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $