25.2.1 配方法 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦用直接开平方法解一元二次方程，通过正方形面积、圆形面积等生活情境导入，关联已学平方根知识，从x²=p到(mx+n)²=p逐步递进，搭建“降次”思想的学习支架。 资料以问题驱动结合分层教学，通过分类讨论p的不同取值培养逻辑推理，例题覆盖基础与拓展类型提升数学运算能力，情境导入体现应用意识。助力学生理解原理与思想，为教师提供清晰步骤和分层练习，提升教学效率。

教案：25.2.1 配方法 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 课题 25.2.1 配方法 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版九年级上册 第二十五章 教学方法 问题驱动、启发引导、讲练结合 教学用具 多媒体课件 教材分析 本节课选自人教版九年级上册第二十五章"一元二次方程"中25.2节配方法的第一课时。学生在之前已经学习了一元二次方程的概念及其解的估算方法，本节课首次引入"降次"的思想，利用平方根的意义直接开平方来解形如x²=p及(mx+n)²=p(p≥0)的一元二次方程。直接开平方法是配方法的基础和入门，它让学生初步体会将"二次"降为"一次"的化归思想，为后续学习配方法和公式法奠定重要基础。本节课的核心是理解直接开平方法的原理，掌握其适用条件和解题步骤。 学情分析 学生在七年级已经学习了平方根的概念，知道如果x²=a(a≥0)，则x=±√a。这是本节课的直接知识基础。学生也具备了解一元一次方程的能力，但还没有将两者联系起来，缺乏"降次"的意识。本节课需要引导学生从平方根的已有知识出发，发现可以用开平方的方法来解一元二次方程，实现从"知平方根"到"用平方根解方程"的跨越。学生对含根号的运算可能不够熟练，需要在练习中加强。 一、核心素养目标 1. 数学运算 能根据平方根的意义，正确运用直接开平方法解形如x²=p及(mx+n)²=p(p≥0)的一元二次方程，提高代数运算的准确性和规范性。 2. 逻辑推理 通过对方程x²=p中p的不同取值的分类讨论，发展分类讨论的逻辑思维能力；体会"降次"将一元二次方程转化为两个一元一次方程的推理过程。 3. 数学抽象 从利用平方根求解的具体过程中，抽象出直接开平方法的概念和一般步骤，理解"降次"的数学思想，发展抽象概括能力。 二、教学重难点 教学重点 1. 掌握直接开平方法解一元二次方程的原理，理解利用平方根的意义求解。 2. 能熟练运用直接开平方法解形如x²=p及(mx+n)²=p(p≥0)的一元二次方程。 教学难点 1. 理解"降次"的数学思想，体会将一元二次方程转化为两个一元一次方程的过程。 2. 理解方程x²=p中，当p>0、p=0、p<0时方程解的不同情况。 三、教学过程 环节一：情境导入（5分钟） 【教师活动】同学们，在我们的生活中，经常会遇到需要求解未知量的问题。比如，一个正方形花坛的面积是25平方米，那么这个花坛的边长是多少？ 【学生活动】因为正方形的面积等于边长的平方，设边长为x，那么x²=25，所以x=5。 【教师活动】很好！再比如，一个圆形广场的面积是81π平方米，那么它的半径是多少？ 【学生活动】设半径为x，那么πx²=81π，所以x²=81，x=9。 【教师活动】同学们刚才不知不觉中就解了一元二次方程！你们是利用什么知识来解这些方程的呢？ 【学生活动】是利用平方根的知识。如果x²=a(a≥0)，那么x=±√a。 【教师活动】非常好！今天我们就来系统地学习这种方法——利用平方根的意义来解一元二次方程，这就是我们要学的"直接开平方法"。 【过渡语】从实际生活中的问题出发，让学生感受方程求解的需求，引出本节课的学习主题。 【设计意图】通过学生熟悉的生活情境（正方形面积、圆形面积），自然地引出一元二次方程的求解问题，让学生感受到数学与生活的联系，激发学习兴趣，同时为后续的探究做好铺垫。 环节二：复习回顾（5分钟） 【教师活动】在正式学习之前，我们先来复习一下平方根的知识。请同学们回忆：什么是平方根？ 【学生活动】如果x²=a，则x叫作a的平方根。 【教师活动】很好。那平方根有什么性质呢？ 【学生活动】如果x²=a(a≥0)，则x=±。也就是说，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 【教师活动】说得非常完整！那么如果x²=16，x等于多少呢？ 【学生活动】x=±4，因为4²=16，(-4)²也等于16。 【教师活动】请同学们再思考一个问题：我们知道平方根可以帮我们求解x²=a这样的等式，那么如果遇到一元二次方程，比如x²-9=0，我们能用平方根的知识来解吗？应该怎么做？ 【学生活动】可以先移项，把x²-9=0变成x²=9，然后用平方根的知识，得到x=±3。 【教师活动】非常好！你已经想到了今天我们要学习的方法的核心。接下来我们一起来系统地探究利用平方根的意义解一元二次方程的方法。 【知识点】平方根的概念：如果x²=a(a≥0)，则x=±√a。即一个非负数a的平方根有两个，它们互为相反数。0的平方根是0，负数没有平方根。 【设计意图】复习平方根的概念，为学习直接开平方法做好知识准备。通过层层追问，引导学生自主发现可以用平方根的知识来解一元二次方程，为后续新知探究搭建认知桥梁。 环节三：新知探究（15分钟） 一、探索 x²=p 的解法 【教师活动】我们刚才复习了平方根的知识。现在请大家思考：对于一般形式的方程x²=p，p取不同的值时，方程的解会怎样变化？我们来分类讨论一下。 一般地，对于方程x²=p： 【教师活动】第一种情况：当p>0时，方程的解是什么？ 【学生活动】当p>0时，因为p是一个正数，根据平方根的意义，x=±，所以方程有两个不相等的实数根。 当p > 0时，方程有两个不相等的实数根 【教师活动】第二种情况：当p=0时呢？ 【学生活动】当p=0时，方程就是x²=0，所以x=0。此时方程有两个相等的实数根，都是0。 当p = 0时，方程有两个相等的实数根 【教师活动】第三种情况：当p<0时呢？方程有解吗？ 【学生活动】当p<0时，因为对任意实数x，都有x²≥0，而p<0，所以x²=p不可能成立，方程无实数根。 当p < 0时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根。 【知识点】方程x²=p的解的情况：当p>0时，方程有两个不相等的实数根x₁=√p，x₂=-√p；当p=0时，方程有两个相等的实数根x₁=x₂=0；当p<0时，方程无实数根。这种利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法。 知识要点：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法。直接开平方法适用于形如x²=p或(mx+n)²=p(p≥0)的一元二次方程。 【过渡语】我们已经理解了方程x²=p的解的情况，接下来通过练习来巩固一下。 二、牛刀小试 【教师活动】请同学们用直接开平方法解下面两个方程。 (1) x²=81 【学生活动】直接开平方，得x=±9。 (2) x²-900=0 【学生活动】移项得x²=900，直接开平方得x=±30。 【教师活动】非常好！同学们已经初步掌握了直接开平方法解形如x²=p的方程。那如果方程不是简单的x²=p，而是更复杂一些的形式呢？我们来看下面的例子。 【过渡语】从简单的x²=p到更复杂的(mx+n)²=p，逐步提高难度。 三、探索 (x+3)²=5 的解法 【教师活动】请同学们思考：方程(x+3)²=5应该怎么解？我们可以对照解方程x²=4的过程来思考。 【学生活动】解x²=4时，我们直接开平方得x=±2。对于(x+3)²=5，也可以直接开平方，把x+3看作一个整体。 【教师活动】思路很正确！我们来写出完整的解题过程。 解：对照解方程x²=4的过程， 解方程(x+3)²=5： 直接开平方，得 所以 【教师活动】同学们看，这个方程的解虽然含有根号，但解法的本质和x²=p是一样的，都是利用平方根的意义直接开平方。不同的是，这里的被开方数是一个整体(x+3)，开平方后还要再解一次一元一次方程。 【知识点】解形如(mx+n)²=p(p≥0)的方程：把mx+n看作一个整体，直接开平方得mx+n=±，然后分别解两个一元一次方程。这就是"降次"的思想——把一个一元二次方程"降次"转化为两个一元一次方程。 知识要点：直接开平方法解一元二次方程，实质上是利用平方根的意义把一个一元二次方程"降次"转化为两个一元一次方程。 【设计意图】通过从x²=p到(mx+n)²=p的递进探究，让学生逐步理解直接开平方法的原理和"降次"的思想。先让学生自主思考，再展示完整解题过程，确保学生真正理解方法的本质。 环节四：例题精讲（10分钟） 例1 解下列方程： (1) 4x²-3=0 【教师活动】这个方程应该怎么解？首先观察，方程能直接开平方吗？ 【学生活动】不能直接开平方。需要先移项，把4x²单独放在等号一边。 【教师活动】对。移项后呢？ 【学生活动】移项得4x²=3。此时还不能直接开平方，因为左边是4x²而不是x²，需要先化简。 【教师活动】很好，两边同除以4。 解：移项，得 两边同除以4，得 直接开平方，得 所以 (2) (x+2)²-9=0 【教师活动】这个方程应该怎么解？观察方程的特点。 【学生活动】这个方程可以看成(x+2)²=9的形式。先移项，把-9移到右边，变成(x+2)²=9。 【教师活动】很好！移项之后就可以直接开平方了。 解：移项，得 直接开平方，得 所以 解得 方法归纳：利用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：①移项，将方程转化为x²=n或(mx+n)²=p(p≥0)的形式；②直接开平方，利用平方根的意义求解。 【设计意图】通过两道典型例题的完整讲解，让学生掌握直接开平方法解方程的规范步骤。第(1)题是ax²+c=0型，需要先化简再开平方；第(2)题是(mx+n)²+c=0型，直接移项后开平方。两道例题覆盖了两种常见类型。 环节五：课堂练习（8分钟） 随堂练习 1. 一元二次方程(x+6)²=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ） A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4 答案：D 【教师活动】请同学们说出这道题的解题思路。 【学生活动】(x+6)²=16，直接开平方得x+6=±4，即x+6=4或x+6=-4。已知其中一个是x+6=4，另一个就是x+6=-4，选D。 2. 方程3x²+9=0的根为（ ） A. 3 B. -3 C. ±3 D. 无实数根 答案：D 【教师活动】为什么选D？ 【学生活动】移项得3x²=-9，即x²=-3。因为任何实数的平方都不可能等于负数，所以方程无实数根，选D。 3. 若8x²-16=0，则x的值是______ 【学生活动】移项得8x²=16，即x²=2，所以x=±。 答案：± 4. 解下列方程（选自教材第6页练习）： (1) x²-9=0 【学生活动】移项得x²=9，直接开平方得x=±3。 (2) 2x²-8=0 【学生活动】移项得2x²=8，即x²=4，直接开平方得x=±2。 (3) 9x²-5=3 移项得9x²=8，即，直接开平方得 (4) (x+6)²-9=0 【学生活动】移项得(x+6)²=9，直接开平方得x+6=±3， 即x+6=3或x+6=-3， (5) 3(x-1)²-6=0 【学生活动】移项得3(x-1)²=6，两边除以3得(x-1)²=2， 直接开平方得x-1=±√2， (6) x²-4x+4=5 【学生活动】观察左边可以写成完全平方式，配方得 直接开平方得x-2=±， 拓展提高 1. 已知方程ax²+c=0(a≠0)有实数根，则a与c的关系是（ ） A. c=0或a,c异号 B. c是a的整数倍 C. c=0或a,c同号 D. c=0 答案：A 【教师活动】请同学们分析这道题。ax²+c=0(a≠0)要有实数根，需要满足什么条件？ 【学生活动】移项得ax²=-c，即x²=-c/a。要有实数根，需要-c/a≥0，即c/a≤0，说明c与a异号或c=0，选A。 2. 已知方程(x²+y²-5)²=64，则x²+y²=___ 【学生活动】把x²+y²-5看作一个整体，直接开平方得x²+y²-5=±8。 即x²+y²-5=8或x²+y²-5=-8， 所以x²+y²=13或x²+y²=-3。 因为x²+y²≥0，所以x²+y²=-3舍去。 答案：13 解题策略：对于形如(整体)²=p的方程，关键是把"整体"看作一个未知数，直接开平方后再进一步求解。拓展提高第2题中，开平方后得到两个值，还需要根据实际情况进行取舍。 【设计意图】课堂练习分三个层次：选择题侧重对直接开平方法概念的理解；解方程练习选自教材，全面巩固各种类型方程的解法；拓展提高题训练学生灵活运用直接开平方法解决更复杂问题的能力。 环节六：课堂小结（2分钟） 【教师活动】今天这节课，我们学习了用直接开平方法解一元二次方程。请同学们一起来回顾一下。 【学生活动】直接开平方法的原理是：利用平方根的意义，把形如x²=p或(mx+n)²=p(p≥0)的方程直接开平方求解。 【学生活动】核心思想是：通过"降次"，将一元二次方程转化为两个一元一次方程。 【教师活动】说得很好！我们来看一个完整的总结。 【知识点】一、原理：利用平方根的意义。二、思想：通过"降次"将一元二次方程转化为一元一次方程。三、适用范围：形如x²=p或(mx+n)²=p(p≥0)的一元二次方程。四、解的情况：p>0时两个不等实根，p=0时两个相等实根，p<0时无实数根。 【教师活动】同学们，今天我们初步学习了直接开平方法，下节课我们将继续学习配方法，进一步拓展解一元二次方程的方法。 【教师活动】课后请同学们完成""系列丛书对应课时的作业。 【设计意图】通过师生共同总结，梳理本节课的核心知识和思想方法，帮助学生形成完整的知识体系，明确直接开平方法的原理、思想和适用范围。 四、板书设计 一、复习回顾 二、探究新知 平方根的概念： 若x²=a(a≥0)，则x=± 例：x²=16，则x=±4 方程x²=p的解： p>0：x₁=，x₂=- p=0：x₁=x₂=0 p<0：无实数根 三、直接开平方法 四、例题 利用平方根的意义直接 开平方求一元二次方程 的根的方法 例1(1) 4x²-3=0 →x²=3÷4→x=±(√3)÷2 例1(2) (x+2)²-9=0 →(x+2)²=9→x₁=1，x₂=-5 五、核心思想 "降次"：一元二次方程 → 两个一元一次方程 五、教学反思 1. 学生是否真正理解了直接开平方法"利用平方根的意义"这一核心原理？能否准确表述原理和操作步骤？ 2. 学生对方程x²=p中p的三种取值情况（p>0、p=0、p<0）的理解是否到位？是否还存在混淆？ 3. "降次"的数学思想是否被学生真正领会？学生能否用自己的话解释"降次"的含义和作用？ 4. 对于形如(mx+n)²=p的方程，学生能否正确把mx+n看作整体进行开平方？运算（特别是含根号的运算）是否准确？ 5. 课堂练习的时间分配是否合理？题量和难度是否适合学生的实际水平？ 6. 如何在下节课的配方法教学中，更好地衔接直接开平方法，让学生体会到方法的递进关系？ 学科网（北京）股份有限公司 $