1.2 菱形的性质与判定 预习自测2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到动态综合问题的进阶，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|菱形性质（对角线、邻边）、判定（邻边相等的平行四边形）|单选题1-6、填空题9-10，直接考查概念，如第2题辨析对角线性质，强化几何直观| |能力提升|菱形与平行四边形、全等三角形结合，含动点与计算|单选题7-8、填空题11-13，如第12题动点与垂直平分线结合求最小值，提升推理能力| |综合应用|作图、旋转动态问题、跨知识综合实践|解答题14-17，如第15题旋转中菱形判定，体现模型意识与创新意识|

1.2 菱形的性质与判定 预习自测2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，在菱形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．关于菱形一定具有的性质，下列说法错误的是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．邻边相等 D．对角线相等 3．如图，在菱形中，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．图，边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形，该菱形其中一个内角为，则（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 5．如图，在四边形中，对角线相交于点O，．添加下列条件，能判定四边形ABCD是菱形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后，得到的四边形一定是（   ）    A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 7．如图在平行四边形中，，于点，为中点，连接、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②④ 8．如图，在中，，和关于直线对称，连接，与相交于点，过点作，垂足为，与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如果把两张等宽的纸条交叉叠放在一起，那么重叠部分的四边形是_______．（填特殊的四边形） 10．四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 11．如图，点D，F把线段分成三条线段，分别以这三条线段为一条对角线作菱形，菱形，菱形，连结组成四边形．若菱形的边长为，，则四边形的面积是______________． 12．如图，在菱形中，，，E是边上的一个动点，连接，的垂直平分线交于点G，交于点F，连接，则的最小值为______． 13．如图，校园中有一扇中式古典花窗，其内部有一个菱形图案．若该菱形的周长为40分米，一条对角线长12分米，则另一条对角线的长为_______________分米． 三、解答题 14．如图，已知锐角，请在的内部作出一个菱形，使∠A是菱形的一个内角．    15．已知，如图▱ABCD中，，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F （1）求证：； （2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数． 16．如图，中，，，，对角线、交于O点，将直线绕点O顺时针旋转，分别交、于点E、F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)猜想：当绕点O顺时针旋转多少度时，四边形是菱形． 17．综合与实践． 如图1，将两个全等的三角尺与三角尺如图摆放（与重合），其中，，． （1）如图2，固定三角尺不动，将三角尺沿方向平移至图2位置，分别连接，．则四边形的形状为______； （2）如图3，在图2的基础上，将三角尺沿方向继续平移，当四边形是菱形时，分别连接，． ①请判断此时四边形的形状，并说明理由； ②若，则四边形的周长为______． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A C A B C C 1．【答案】D 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质，利用菱形的四条边相等及对边平行，再结合等腰三角形的性质来求解角度即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．【答案】D 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】根据菱形性质进行判断即可． 【详解】解：A．菱形对角线互相平分，故选项正确，不符合题意； B．菱形对角线互相垂直，故选项正确，不符合题意； C．菱形邻边相等，故选项正确，不符合题意； D．菱形的对角线不一定相等，故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 3．【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据菱形的四条边都相等，即可解答． 【详解】解：在菱形中，， ∴． 故选A． 4．【答案】C 【知识点】多边形的概念与分类、网格中多边形面积比较、利用菱形的性质求面积 【分析】边长为a的正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，图中的菱形有一个∠为60°，则该菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形，所求即可解 【详解】下图所示， 由图可知，边长为a的正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，图中的菱形有一个角为60°，则该边长为a的菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形， 边长为a的等边三角形的底边上的高也是底边的中线， 则利用勾股定理可得高为：， 边长为a的等边三角形的面积为：， 则可知正六边形的面积为：，空白菱形的面积为：， 则阴影部分的面积为：， 则有， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的基本概念和正多边形的基本概念，通过特殊角以及菱形和正六边形的边长相等，得出正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形是解答本题的关键． 5．【答案】A 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形判定即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， 故选A． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，能够熟练运用判定定理是解题关键． 6．【答案】B 【知识点】证明四边形是菱形、折叠问题 【分析】本题考查剪纸问题，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会动手操作． 对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．用到的知识点为：四条边相等的四边形是菱形． 【详解】解：由第三个图可以看出：最后从两次折叠的交点处剪去一个直角三角形，由于是两次折叠得到的图形，那么所得到图形的 4 条边都是所剪直角三角形的斜边．故得到的四边形是菱形． 故选：B． 7．【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题． 【详解】解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH． ∵CD=2AD，DF=FC， ∴CF=CB， ∴∠CFB=∠CBF， ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠FBH， ∴∠CBF=∠FBH， ∴∠ABC=2∠ABF．故①正确， ∵DE∥CG， ∴∠D=∠FCG， 在△DFE和△CFG中， ， ∴△DFE≌△FCG（ASA）， ∴FE=FG， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB=90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBG=90°， ∴BF=EF=FG，故②正确， ∵S△DFE=S△CFG， ∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确， ∵AH=HB，DF=CF，AB=CD， ∴CF=BH，∵CF∥BH， ∴四边形BCFH是平行四边形， ∵CF=BC， ∴四边形BCFH是菱形， ∴∠BFC=∠BFH， ∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD， ∴FH⊥BE， ∴∠BFH=∠EFH=∠DEF， ∴∠EFC=3∠DEF，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 8．【答案】C 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查菱形的判定和性质，解直角三角形，根据对称得到，进而得到四边形为菱形，根据菱形的性质结合三角函数，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，和关于直线对称， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选C． 9．【答案】菱形 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形；熟练掌握平行四边形和菱形的判定是关键．首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形． 【详解】解：过点作于，于，   两条纸条宽度相同， ． ，， 四边形是平行四边形． ． 又． ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形． 10．【答案】 （答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且，只需证明四边形是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形． 【详解】解：添加条件即可， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的对角线互相垂直， 平行四边形是菱形 故可添加为（答案不唯一）． 11．【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，解题关键是运用菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键． 连接、、，分别交于点、、，设，，求出，，，运用勾股定理求得，，即可得解． 【详解】解：连接、、，分别交于点、、，如图所示， ， ， ， 设，， 即， 四边形、、都是菱形， ，，， ，， ，， 菱形的边长为，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求角度、解直角三角形的相关计算 【分析】过点F作于点M，连接，，过点A作于点H，求出，得到，然后得到的最小值为，然后解直角三角形求解即可． 【详解】如图，过点F作于点M，连接，，过点A作于点H． ∵， ∴， ∵ ． ∵垂直平分 ∴， ， 的最小值为． ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质，三线合一，垂直平分线的性质，含30度角直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 13．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【详解】解：菱形的周长为分米， 菱形的边长为分米， 四边形是菱形， 对角线互相垂直平分， 一条对角线长为分米， 该对角线的一半长为分米， 设另一条对角线长为分米， 由勾股定理得， 解得（负值舍去）. 14．【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、证明四边形是菱形、作垂线(尺规作图) 【分析】作的角平分线与交于点M，作的垂直平分线交于点P，N，连接，则四边形即为所求． 【详解】解：如图所示：四边形即为所求．   ． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，菱形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 15．【答案】（1）证明见解析；（2）绕点O顺时针旋转时四边形BEDF是菱形．理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明、旋转综合题(几何变换) 【分析】（1）证明≌即可； （2）根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ≌， ； （2）≌， ，又， 四边形BEDF是平行四边形， 当时，四边形BEDF是菱形， ， ，， 由勾股定理，， 则， 又，， ， 绕点O顺时针旋转时，四边形BEDF是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键． 16．【答案】(1)见解析 (2) (3)当旋转角时，四边形是菱形 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据定理得出，由此可得出结论； （2）在中由勾股定理求的长，再利用求出的长，即可得出结论； （2）连接，，与互相平分可知，当时四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】（1） 证明：∵平行四边形中，， ， 在和中， ，； （2）解：在中，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （3）当旋转角时，四边形是菱形，理由如下： 连接，，   四边形平行四边形， ， 由（1）知，， ， 四边形是平行四边形， 由（2）知，， 又， ， ， 四边形是菱形， 即在旋转过程中，四边形能是菱形，此时绕点O顺时针旋转的度数是． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 17．【答案】（1）平行四边形；（2）①菱形，理由见解析；② 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、平移综合题(几何变换)、全等三角形的性质、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）根据即可证得四边形是平行四边形； （2）①连接交BE于点O，根据可证得四边形是平行四边形，再根据四边形是菱形，得到，进一步得到，进而证得四边形是菱形；②根据四边形是菱形和∠ABC=30°，可求得BC，进而可求得 ，再根据四边形是菱形即可求得周长． 【详解】解：（1）四边形ABDE的形状为平行四边形，理由如下： ∵平移过程中， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）①四边形的形状是菱形． 理由如下： 如图，连接交BE于点O， ∵平移过程中， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴AF=AC=1, ∵∠ABC=30°， ∴BC=2， ∴， ∵四边形是菱形， ∴AB=BD=DE=AE=， ∴四边形ABDE的周长为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $