1.2 菱形的性质与判定课前预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到推理应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|菱形边、角、对角线性质及判定|单选题（1-6题）直接考查定义与性质，填空题（9-11题）强化基础计算，培养抽象能力| |中档|性质与判定综合应用|填空题（12-13题）结合勾股定理与面积计算，解答题（14-15题）尺规作图与简单证明，发展运算能力| |提升|跨知识综合与探究|解答题（16-17题）融合等边三角形、全等推理，设置开放探究问题，提升模型意识与创新思维|

1.2 菱形的性质与判定 课前预习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，菱形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在菱形中，，则菱形的面积是（     ）． A． B． C． D． 3．具有四条边都相等的性质的四边形是（    ） A．任意四边形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 4．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，小红在作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点、为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点、，则直线即为所求．连接、、、，根据她的作图方法可知．四边形一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 6．菱形中，对角线，，菱形边长为（     ） A． B．5 C．8 D．12 7．如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，是边长为2的等边三角形，取边中点，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作．则（   ） A．4 B．2 C． D．1 二、填空题 9．如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________． 10．四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 11．某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量两条木条的长为和，则这个风筝的面积是________ 12．如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 _____． 13．中国结象征着中华民族的历史文化与精神．乐乐家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，若，，直线交两对边于点E，F，则的长为________． 三、解答题 14．如图，在四边形中，，请用尺规作图的方法，在上找一点，在上找一点，使四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 15．如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 16．综合与实践：在菱形中，，作，，分别交，于点，． (1)【动手操作】如图①，若是边的中点，根据题意在图①中画出，则________度； (2)【问题探究】如图②，当为边上任意一点时，求证：； (3)【拓展延伸】如图③，在菱形中，，点，分别在边，上，在菱形内部作，连接，若，求线段的长． 17．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在上，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D D B A A B 1．【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】由菱形得到AB=AD，进而得到∠ADB=∠ABD，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB， ∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键． 2．【答案】D 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】根据菱形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：． 3．【答案】D 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，根据“菱形的四边相等”即可求解． 【详解】解：具有四条边都相等的性质的四边形是菱形， 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合． 故选：D． 5．【答案】B 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】此题主要考查了利用尺规作线段的垂直平分线以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键． 对于一个四边形是否是菱形的判定方法有：①四条边相等的四边形是菱形；②对角线相互垂直平分的四边形是菱形；③对角线相互垂直的平行四边形是菱形；④一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）． 根据“四条边都相等的四边形是菱形”即可判断． 【详解】解：∵分别以点A、B为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点C、D， ∴， ∴四边形一定是菱形． 故选：B． 6．【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质得到直角三角形，再用勾股定理计算边长即可． 【详解】解：如图，设对角线与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴菱形的边长为． 7．【答案】A 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】根据作图可得四边形为菱形，即可解答． 【详解】解：根据题意可得， 四边形为菱形， ， ． 8．【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形以及菱形的判定与性质是解题的关键． 先得到四边形为平行四边形，通过证明得到，继而可知四边形为菱形，而可得为等边三角形，则，那么，同理可证明为菱形，且，那么． 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴， ， ∵取边中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 同理可证明为菱形，且， ∴， 故选：B． 9．【答案】 菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了勾股逆定理和平行四边形的性质以及菱形的判定，掌握上述知识点是解题的关键． 根据中三边的长度，利用勾股逆定理证明，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ， 又∵， ∴, ，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 10．【答案】 （答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且，只需证明四边形是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形． 【详解】解：添加条件即可， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的对角线互相垂直， 平行四边形是菱形 故可添加为（答案不唯一）． 11．【答案】24 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵该风筝为菱形，两条对角线长分别为和， ∴这个风筝的面积为：． 12．【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】连接，过点D作于G，可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，即当E与G重合时，此时最小，即最小，最小值为，此时，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接．过点D作于G， ∵在菱形中，， ∴，， ∴和都为等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小． 由垂线段最短可知当时，最小， ∴当E与G重合时，此时最小，即最小，最小值为， ∵， ∴， ∴ ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，理解，且当时，最小，即最小是解题关键． 13．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，再由菱形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．【答案】 【知识点】证明四边形是菱形、作垂线(尺规作图) 【分析】作线段的垂直平分线，交于点，交于点，交于点，先证出，则可得，进而可得四边形是平行四边形，再得出，然后根据菱形的判定即可得． 【详解】略． 15．【答案】(1) 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，利用菱形的边、角特征结合全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）由菱形得，，由垂直得，即可用证全等； （2）勾股定理求，由全等得，结合菱形边长得． 【详解】（1）略 （2）解：在中， ， ∵， ∴， ∵菱形的边长为，即， ∴． 16．【答案】(1) 作如解图， (2) 证明：如解图，连接， 四边形是菱形，且， ，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． (3)1或3 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】（1）根据题意作图，由菱形的性质可得是等边三角形，根据等腰三角形的性质可得，由直角三角形的性质即可求解； （2）如解图，连接，由四边形是菱形，可得和都是等边三角形，再证即可求解； （3）根据题意作图如解图，过点作于点，连接，可得是等边三角形，由勾股定理可得，在中，，，由勾股定理可得，同理可得，分类讨论：当点在点的左侧（的位置）时，；当点在点的右侧（的位置）时，；再由（2）知，可得线段的长为1或3，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，连接，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点是中点， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：根据题意作图如解图，过点作于点，连接， 四边形是菱形，且，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ，同理可得， 当点在点的左侧（的位置）时，； 当点在点的右侧（的位置）时，； 或3； 由（2）知， ， ， 线段的长为1或3． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，分类讨论思想是解题的关键． 17．【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形，是平行四边形的对角线， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． (2)（答案不唯一） 【知识点】利用平行四边形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明、添一个条件使四边形是菱形 【分析】（1）利用平行四边形的性质“对角线互相平分”以及等量代换证明； （2）根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等”证得四边形是平行四边形，根据菱形的判定得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：当时，四边形为菱形，理由如下： 如图所示， ， 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $