1.3 矩形的性质与判定 预习自测2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，通过基础巩固、中档综合、拔高探究三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|矩形性质（对角线、角度）、判定条件|如选择1-4直接考查矩形与菱形共性质，填空11判断矩形条件，夯实概念理解| |中档|性质与计算综合（折叠、坐标系、函数图像）|如选择5矩形折叠求线段长，填空13动点面积函数图像，提升运算与空间观念| |拔高|跨知识探究应用（解直角三角形、综合证明）|如解答17坡度问题，20梯形中点面积探究，发展推理能力与模型意识|

1.3 矩形的性质与判定 预习自测2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列性质中，矩形和菱形都具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．每一条对角线平分一组对角 2．如图，在矩形中，点的坐标是，则、两点间的距离是（     ） A． B． C．8 D．6 3．如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，在这个变化过程中，关于木框的面积，下列说法正确的是（     ） A．不变 B．变大 C．变小 D．不能确定 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C的对应点C'恰好落在AE上，则CE的长是（　　） A． B．1 C．2 D． 6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=1，CE是斜边AB上的中线，CD是斜边上的高，则DE的长为（ ） A． B． C． D． 7．如图，中，D为边上一点，作，，若四边形为矩形，则应添加条件（     ） A． B． C． D． 8．如图，是三艘军舰，舰在舰正东方向海里处，舰在舰北偏西方向 海里处．某日，三艘军舰同时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船相距（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 9．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．为检测如图所示的平行四边形门框是否为矩形，下列测量方法可行的是（     ） A．测量与的长度是否相等 B．测量与的长度是否相等 C．测量与的长度是否相等 D．测量与的长度是否相等 二、填空题 11．四边形中，交于O，给出条件①；②；③；④．其中能推得四边形是矩形的是（填序号）___________． 12．如图，在平面直角坐标系中把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点处．与x轴相交于点D，，，点F是y轴负半轴上一个动点，点P在坐标平面内，使以点A，D，P，F为顶点的四边形是菱形的点P的坐标为________．    13．如图1，在矩形中，动点E从点B出发，沿方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长为____．　 14．如图：，将沿着射线方向平移，得到．已知，，则阴影部分的面积为______． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点是线段上一点，过点作轴于点，轴于点．若矩形的周长为8，则点的坐标为_________．    三、解答题 16．已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点．求证：四边形为矩形； 17．如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 18．如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)若，求的度数； (2)若，，则问题：①求长；②求长． 请从以上问题中任选其一求解，并说明理由（两个都写以第一个为准）． 19．如图，某课外小组为一幅面积为的画作（图中阴影部分）装裱了衬纸，装裱后整幅图画为矩形，其中，，求边衬（图中空白部分）的面积． 20．【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在梯形中，，为的中点，若用，，分别表示，，的面积，求证：．”经过小组合作交流，找到了解决方法：“遇平行线＋中点，延长构造全等”． （1）请按照如下的思维框图，完成问题情境中的证明． 【探究应用】（2）如图2，，，且，，是的中点，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在平行四边形中，于点，，求与的数量关系． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C B A D C A B 1．【答案】B 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】矩形和菱形都是特殊的平行四边形，只需对比各选项，找出两者共有的性质即可得到答案． 【详解】解：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，逐一分析各选项： A对角线互相垂直是菱形特有的性质，矩形对角线不互相垂直，故A不符合题意； B平行四边形对角线互相平分，矩形和菱形都属于平行四边形，因此都具有对角线互相平分的性质，故B符合题意； C对角线相等是矩形特有的性质，菱形对角线不相等，故C不符合题意； D每条对角线平分一组对角是菱形特有的性质，矩形不具备该性质，故D不符合题意． 2．【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据矩形的性质可得，根据点B坐标求出即可求出答案． 【详解】解：连接， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴． 3．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】根据矩形的性质，等腰三角形性质求解即可． 【详解】解：∵矩形，对角线，相交于点， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 4．【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质求面积 【详解】解：∵矩形木框挤压变成平行四边形后，底边没变，但高变小了， ∴木框的面积变小了． 5．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得C'D=CD=3，C'E=CE，由勾股定理得出AC'，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3， 由折叠的性质得：C'D=CD=3，C'E=CE，∠DC'E=∠C=90°， ∴∠AC'D=90°， ∴AC'==4， 设CE=C'E=x， 在Rt△ABE中，BE=5-x，AE=x+4， 由勾股定理得：（5-x）2+32=（x+4）2， 解得：x=1， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 6．【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据勾股定理即可求得AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CE的长，由三角形面积相等即可求得CD的长，进而由勾股定理可以求得DE的长． 【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2， ∵AC=，BC=1， ∴AB=， ∵CD是斜边上的高， ∴三角形ABC面积 ∴CD= ∵CE是斜边AB上的中线， ∴CE=， Rt△CDE中，∠CDE=90°， ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质，正确求出AD和CE的值是解题的关键． 7．【答案】D 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， 若添加，，，均无法证明四边形为矩形； 若添加，可证四边形为矩形． 8．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了方位角解直角三角形，矩形的性质，勾股定理的运用，掌握方位角解直角三角形的计算，图形结合分析思想是解题的关键．根据题意，可确定点在线段垂直平分线的交点处，如图所示，可得，作，与交于点，可得四边形是矩形，根据，运用特殊角的三角函数可得的值，在直角中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，点到三艘军舰的距离相等，即点在线段垂直平分线的交点处，作图如下，    ∴，，垂足分别为点，作，过点作于点，与交于点，连接， 由题意得海里，海里，四边形是矩形， ∴海里，海里，海里， ∵，， ∴， ∴海里，且， ∴在中，， ∴海里， ∴海里， 在中，海里， 故选：C ． 9．【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 10．【答案】B 【知识点】矩形的判定定理理解 【详解】解：A、测量与的长度是否相等，无法确定是矩形，故本选项的测量方法不可行； B、测量与的长度是否相等，对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项的测量方法可行； C、测量与的长度是否相等，不能判定是矩形，故本选项的测量方法不可行； D、测量与的长度是否相等，不能判定是矩形，故本选项的测量方法不可行． 11．【答案】③ 【知识点】证明四边形是矩形、平行四边形性质和判定的应用 【分析】由矩形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】①∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； ②， 不能判定四边形ABCD是矩形，不符合题意； ③∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，符合题意； ④， 不能推出四边形ABCD是矩形，不符合题意； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 12．【答案】或 【知识点】利用菱形的性质求线段长、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查矩形与折叠，菱形的判定与性质；先根据题意得，设，根据勾股定理得到，即，再分不同情况进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵为直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当运动到，作边，为对角线时， ∵A，D，P，F为顶点的四边形是菱形， ∵， ∴， 当运动到，作边时，    ∴ 当运动到时    ∵点F是y轴负半轴上一个动点 ∴不符合题意； 故答案为：或． 13．【答案】14 【知识点】从函数的图象获取信息、判断一次函数的增减性、动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长 【分析】分类讨论：①当点E在段运动时，②当点E在上运动时，分别求解即可． 【详解】解：①当点E在段运动时，，，为一次函数，y随着x的增大而增大，由图2知，当点E运动到点A时，， ②当点E在上运动时，，为常数，由图2知，当时，点E与点A重合，当时，点E与点D重合，则， ∴矩形的周长为． 14．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平移的性质求解、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】此题主要考查了平移的性质，勾股定理，首先根据勾股定理求出，再计算三角形的面积和矩形的面积即可得阴影部分的面积，关键是掌握矩形和三角形的面积公式． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵是沿着射线方向平移得到， ∴四边形为矩形，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、解一元一次方程（二）——去括号、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】根据题意设，由四边形是矩形，点是线段上一点，进而得，然后，由矩形的周长为8，得关于的方程，解方程可得的值，进而可求得点的坐标． 【详解】解：根据题意设， ∵四边形是矩形，点是线段上一点， ∴， ∵矩形的周长为8， ∴，即，解得， ∴， ∴点的坐标为． 16．【答案】 证明：，是的平分线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， ， ， 四边形为矩形． 【知识点】角平分线的性质定理、证明四边形是矩形、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据给出的条件，利用等腰三角形的性质，角平分线的性质定理等可得出三个角是直角，即可证明． 【详解】略 17．【答案】(1)山顶点C到水平面的距离为 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把数值代入，进行计算得山顶点C到水平面的距离； （2）先证明四边形是矩形．得，结合，得，运用勾股定理得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． （2）解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 18．【答案】(1) (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、两直线平行内错角相等、矩形与折叠问题 【分析】此题考查图形的翻折变换，勾股定理，注意折叠前后的对应关系是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到的度数，根据翻折变换的性质得到的度数，根据平角得到答案； （2）根据翻折变换的性质和勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解： 由翻折的性质可知： （2）①设由题意可知： ， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 ②设由题意可知： ， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 19．【答案】 【知识点】根据矩形的性质求面积、二次根式的乘法 【分析】先求解矩形的面积，进一步可得边衬的面积． 【详解】解：在矩形中，，， 矩形的面积， 边衬的面积． 答：边衬的面积为． 20．【答案】 （1）证明：如图，延长交的延长线于， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）如图，延长交的延长线于，证明，，，可得，可得； （2）如图，延长交于，证明，可得，，求解，可得； （3）如图，延长交于，连接，证明，可得，设，证明，，可得，设，可得，，再进一步求解可得结论． 【详解】解：（1）略 （2）如图，延长交于， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，延长交于，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∵，， ∴，， ∴，设， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $