1.3 矩形的性质与判定 课前预习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，分层设计覆盖基础概念到综合探究，通过问题链构建"概念理解-性质应用-迁移创新"的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|矩形核心概念与性质|单选题1对比矩形菱形共性，直接考查对角线性质，夯实概念理解| |中档|性质应用与简单计算|填空题12结合折叠情境，通过比例关系深化性质应用，培养数学思维| |提升|综合探究与实际应用|解答题20以梯形中点为背景，通过构造全等实现知识迁移，发展创新意识|

1.3 矩形的性质与判定 课前预习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列性质中，矩形和菱形都具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．每一条对角线平分一组对角 2．如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠矩形，使点B落在边上的点F处，若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 3．如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．矩形相邻两边的长分别为，，设其面积为，则的值（   ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 6．如图，在中，是斜边上的中线，若，，则的长为（   ）． A．10 B．8 C．5 D．4 7．小明同学按如下步骤作图：①在矩形中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点；②画直线，分别与，交于点，，连接，．则四边形一定是（     ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法判断 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．为检测如图所示的平行四边形门框是否为矩形，下列测量方法可行的是（     ） A．测量与的长度是否相等 B．测量与的长度是否相等 C．测量与的长度是否相等 D．测量与的长度是否相等 10．如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在下列条件中，①，；②，；③；能够判定四边形为矩形的是________（填序号）． 12．如图，把一张矩形纸片沿着它的长边对折（为折痕），得到两个全等的小矩形．若小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比，则小矩形的长与宽的比是_______ 13．如图所示，矩形的边，，它的两条对角线交于点，以、为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以、为邻边作平行四边形……，依次类推，平行四边形的面积为_____ 14．如图，矩形中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点，点从点出发以每秒的速度向点运动，连接，，若是以为腰长的等腰三角形，则点的运动时间为______秒． 15．如图，在中，，，，P是边上的一点，作垂直，垂直，垂足分别为E、F，则的最小值是_________． 三、解答题 16．已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点．求证：四边形为矩形； 17．爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．王老师周末到公园爬山，爬山路线示意图如图所示，王老师从山脚A出发，沿走到点B，再沿到山顶C．已知山高为，过点B分别作于点D，于点E，，．（图中所有点均在同一平面内） (1)求的长； (2)王老师从山脚A到山顶C共走了多少米？（结果取整数；参考数据：，，） 18．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点的位置上．若，． （1）求、的度数； （2）求长方形纸片ABCD的面积S． 19．如图，某课外小组为一幅面积为的画作（图中阴影部分）装裱了衬纸，装裱后整幅图画为矩形，其中，，求边衬（图中空白部分）的面积． 20．【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在梯形中，，为的中点，若用，，分别表示，，的面积，求证：．”经过小组合作交流，找到了解决方法：“遇平行线＋中点，延长构造全等”． （1）请按照如下的思维框图，完成问题情境中的证明． 【探究应用】（2）如图2，，，且，，是的中点，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在平行四边形中，于点，，求与的数量关系． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D C C A B B C 1．【答案】B 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】矩形和菱形都是特殊的平行四边形，只需对比各选项，找出两者共有的性质即可得到答案． 【详解】解：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，逐一分析各选项： A对角线互相垂直是菱形特有的性质，矩形对角线不互相垂直，故A不符合题意； B平行四边形对角线互相平分，矩形和菱形都属于平行四边形，因此都具有对角线互相平分的性质，故B符合题意； C对角线相等是矩形特有的性质，菱形对角线不相等，故C不符合题意； D每条对角线平分一组对角是菱形特有的性质，矩形不具备该性质，故D不符合题意． 2．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】先由矩形的性质得到，再由折叠的性质得到，求出，则；设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，正确利用勾股定理建立方程是解题的关键． 3．【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用矩形的性质求角度 【分析】本题主要考查了矩形的性质及平行线的性质，根据矩形的性质得出，再结合平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：延长与直线b交于点M， ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ，， 又， ． 5．【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形，二次根式的乘法，无理数的估算等知识，先根据矩形面积公式和二次根式的乘法法则求出，然后根据“夹逼法”求解即可． 【详解】解∶∵矩形相邻两边的长分别为，， ∴其面积为， ∵， ∴，即， ∴的值在3和4之间， 故选∶C． 6．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半这一性质，计算中线的长． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： ， 是斜边上的中线， ． 7．【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】由作法得垂直平分，设垂足为，则，，证明，则，得到四边形是平行四边形，又由即可证明四边形是菱形． 【详解】解：由作法得垂直平分，设垂足为，如图， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 8．【答案】B 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标、中点坐标 【分析】连接 交 于点 ，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点 的坐标，再计算出点 的坐标． 【详解】解：如图，连接 交 于点 ， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点 的坐标为， ∵， ∴点 的坐标为，即． 9．【答案】B 【知识点】矩形的判定定理理解 【详解】解：A、测量与的长度是否相等，无法确定是矩形，故本选项的测量方法不可行； B、测量与的长度是否相等，对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项的测量方法可行； C、测量与的长度是否相等，不能判定是矩形，故本选项的测量方法不可行； D、测量与的长度是否相等，不能判定是矩形，故本选项的测量方法不可行． 10．【答案】C 【知识点】添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形 【详解】解：A、，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意； B、，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得到平行四边形为菱形，不符合题意； C、，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不符合题意； 综上，故选C． 11．【答案】③ 【知识点】证明四边形是平行四边形、同旁内角互补两直线平行、证明四边形是矩形 【详解】解：①，，只能判定四边形为平行四边形，不能判定为矩形，不符合要求； ②∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴只能判定四边形为平行四边形，不能判定为矩形，不符合要求； ③∵， ∴可判定四边形为矩形，符合要求． 因此符合要求的条件为③． 12．【答案】 【知识点】矩形与折叠问题 【分析】本题考查了多边形的全等和性质，算术平方根的计算，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键．根据题意，小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比，得到，于是得到，开方计算即可． 【详解】解：根据题意，小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比，得到， 故， 故． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】先根据平行四边形的面积公式分别计算，得到规律，再根据所得的规律求解即可. 【详解】由题意得平行四边形的面积为 平行四边形的面积为 …… 所以平行四边形的面积为 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了规律题——图形的变化，解答此类问题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把这个规律应用于解题. 14．【答案】或或 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理；分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出点P运动的时间即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点是边的中点， ∴ 如图1，当时， 在中， 所以． 如图2，当时，过点E作于点F， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 如图3，当时， 在中，同理可得 ∴， 所以． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为或或秒． 故答案为：或或． 15．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂线段最短、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】如图，连接，先证明四边形是矩形，由矩形性质得到，当时，线段最小，即最小，在中，由勾股定理求出，再由等面积法列式求线段长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ， ∴四边形是矩形， ， 是定点、是线段上的一个动点， 当时，线段最小，即最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值是． 16．【答案】 证明：，是的平分线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， ， ， 四边形为矩形． 【知识点】角平分线的性质定理、证明四边形是矩形、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据给出的条件，利用等腰三角形的性质，角平分线的性质定理等可得出三个角是直角，即可证明． 【详解】略 17．【答案】(1) (2)王老师从山脚A到山顶C共走了约 【知识点】含30度角的直角三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由含30度角的直角三角形的性质可得答案； （2）证明四边形是矩形，得到，则可得到的长，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， ∴． （2）解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴王老师从山脚A到山顶C共走了约． 18．【答案】（1）∠2=60，∠3=60；（2） 【知识点】勾股定理与折叠问题、两直线平行内错角相等、矩形与折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质可得，由平行线的性质可得，即可求解； （2）由（1）可得，根据直角三角形的性质可得，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：在长方形ABCD中， AD=BC，∠A=90，AD//BC ∴∠1=∠2=60， 由折叠可知，BE=DE ∵ =60 （2）在△ABE中，∠A=90， ∴∠ABE=30 ∴BE=2AE=4， ∴AD=AE+DE=AE+BE=6， ∵ ∴ ∴ ∴长方形ABCD的面积 【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 19．【答案】 【知识点】根据矩形的性质求面积、二次根式的乘法 【分析】先求解矩形的面积，进一步可得边衬的面积． 【详解】解：在矩形中，，， 矩形的面积， 边衬的面积． 答：边衬的面积为． 20．【答案】 （1）证明：如图，延长交的延长线于， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）如图，延长交的延长线于，证明，，，可得，可得； （2）如图，延长交于，证明，可得，，求解，可得； （3）如图，延长交于，连接，证明，可得，设，证明，，可得，设，可得，，再进一步求解可得结论． 【详解】解：（1）略 （2）如图，延长交于， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，延长交于，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∵，， ∴，， ∴，设， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $