1.3 矩形的性质与判定 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册数学矩形性质与判定同步练，通过基础辨析、中档综合、提高探究三层设计，实现从概念理解到动态应用的知识巩固，培养推理能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|矩形定义、性质与判定的概念辨析|单选题1-5题考查命题判断与简单计算，强化抽象能力| |中档|矩形性质与折叠、作图的综合应用|填空题11-14题结合动态点与折叠问题，提升空间观念| |提高|矩形与旋转、平移的探究性应用|解答题17-21题通过旋转拼接与动点问题，发展推理能力与创新意识|

1.3矩形的性质与判定同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题（本大题共10小题） 1．下列命题正确的是（       ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 C．有一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 2．如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（    ） A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB 4．如图所示，四边形ABCD为矩形，点O为对角线的交点，∠BOC＝120°，AE⊥BO交BO于点E，AB＝4，则BE等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 第 page number 页，共 number of pages 页 5．如图，矩形 的对角线交于点 ，若 ， ，则矩形的对角线长为（      ） A． B．　　　　 C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上，对角线 , 交于点 , , .将矩形 向左平移，当点 的对应点落在 轴上时，点 的对应点的坐标为（      ） A． B．　　　　 C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形 的斜边 经过原点 ，连接 ．已知 ，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（      ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；（3）作射线交于H，则线段的长为（     ） A． B．1 C． D． 9．如图，矩形和矩形，，，，，点P在边上，点Q在边上，且，连结和，点N是的中点，M是的中点，则的长为（　　） A．3 B．6 C． D． 10．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（  ） A．12 B．10 C．8 D．6 二、填空题（本大题共6小题） 11．如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在矩形的四条边上，且，，则四边形的周长的最小值为______． 12．如图，在矩形 中， ， ，分别以 ， 两点为圆心，以 的长为半径作弧，两弧在矩形 内部交于点 ，则点 到 所在直线的距离为      ． 13．若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”．在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，则的长为______． 14．在矩形中，，，点E在边上，且，将矩形沿过点E的直线折叠，点C、D的对应点分别为、，折痕与边交于点F，当点B、、恰好在同一直线上且时，的长为________． 15．如图,在菱形ABCD中,AC=4,BD=2,E为线段AC上的动点,四边形DAEF为平行四边形,则BE+BF的最小值为 　　　　.  16．如图，在矩形中，，，是边上一动点（不含端点），将沿直线翻折，得到.射线交线段于点，连接，则的面积为____,的最大值为______. 三、解答题（本大题共5小题） 17．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动， （1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC． （2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系． （3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由． 18．如图，四边形是矩形，，．点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．点与点同时出发，以每秒的速度沿折线方向运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 19．如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE  ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 20．如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 21．综合与实践 小明同学利用折纸的方法得到一个菱形，具体做法如下：先将一张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到如图所示的菱形． （1）请你说说小明这样做的道理； （2）如图，若，，为上一动点，沿折叠，点的对应点为，延长交射线于点． ①求证：； ②当时，求的长． 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D C C A A C C A 11． 12． 13．或 14．1.5 15．　 16．10； 17．（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE， ∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE. ∵MD=ME， ∴∠MAD=∠MAE， ∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE， 即∠BAM=∠CAM. 在△ABM和△ACM中， AB=AC， ∠BAM=∠CAM， AM=AM， ∴△ABM≌△ACM（SAS）， ∴MB=MC. （2）MB=MC． 理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG. ∵CE∥BD， ∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD. ∵M是ED的中点， ∴MD=ME. 在△MCE和△MFD中， ∠MCE=∠MFD， ∠MEC=∠MDF， MD=ME， ∴△MCE≌△MFD（AAS）. ∴MF=MC. ∴在△MFB和△MCG中， MF=MC， ∠FMB=∠CMG， BM=MG， ∴△MFB≌△MCG（SAS）. ∴FB=GC，∠MFB=∠MCG， ∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上. ∴∠GCB=90°. 在△FBC和△GCB中， FB=GC， ∠FBC=∠GCB， BC=CB， ∴△FBC≌△GCB（SAS）. ∴FC=GB. ∴MB=GB=FC=MC. （3）MB=MC还成立． 如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG. ∵CE∥BD， ∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE. 又∵M是DE的中点， ∴MD=ME. 在△MDB和△MEF中， ∠MDB=∠MEF， ∠MBD=∠MFE， MD=ME， ∴△MDB≌△MEF（AAS）， ∴MB=MF. ∵CE∥BD， ∴∠FCM=∠BGM. 在△FCM和△BGM中， CM=MG， ∠CMF=∠GMB， MF=MB， ∴△FCM≌△BGM（SAS）. ∴CF=BG，∠FCM=∠BGM. ∴CF//BG，即D、B、G在同一条直线上. 在△CFB和△BGC中， CF=BG， ∠FCB=∠GBC， CB=BC， ∴△CFB≌△BGC（SAS）. ∴BF=CG. ∴MC=CG=BF=MB． 18．（1）解：∵四边形是矩形，，． ∴（）， ∵点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．运动时间秒， ∴， ∴， ∴ ， ∴（）； ∵点沿运动， 速度为，， ∴当时，， 当时，， 综上，． （2）解：列表： x 0 1 2 3 4 5 6 8 8 4 2 1 6 5 4 2 0 2 4 6 10 以表中每对x、的值和x、的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依次连接各点，得到和的图象．由图象看出当时，或． 19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC， ∴∠ABE=∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BE=OB，DF=OD， ∴BE=DF， 在△ABE和△CDF中， （2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下： ∵AC=2OA，AC=2AB， ∴AB=OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG=90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， ∵EG=AE，OA=OC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG=90°， ∴四边形EGCF是矩形． 20．（1）四边形为正方形． 理由:矩形， ， 折叠， ，， 四边形是正方形； （2）①四边形为平行四边形． 理由：矩形， ， 点是的中点， ， 折叠， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； ②四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ，，， 是矩形， 当是的下方的三等分点时， ，点是的中点， ， 是矩形， ∴， 由折叠可得， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当是的上方的三等分点时， ，点是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 综上所述，的长为或． 21．（1）根据对折2次，剪下应有4条边，并且这4条边相等，则得到的四边形是菱形 （2）①证明：如图，连接，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∵，沿折叠，点的对应点为， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， ， ∴，是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； ② 学科网（北京）股份有限公司 $