1.3 矩形的性质与判定 同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 围绕矩形性质与判定，构建基础概念辨析、性质应用计算到综合证明与实际问题解决的三层递进式巩固路径，适配新授课教学，培养抽象能力、推理意识和应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|矩形性质与判定的基本概念|单选题1-5、10考查性质辨析与判定定理，如第1题对比平行四边形与矩形性质| |中档|性质的综合应用与计算|单选题6-9、填空题11-13涉及折叠、坐标系、全等三角形，如第2题矩形折叠与勾股定理结合| |提高|复杂推理与实际应用|解答题16-20含中心对称证明、坡度问题、动态几何，如第20题折叠与一次函数综合，培养空间观念与模型意识|

1.3 矩形的性质与判定 同步练习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2．如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠矩形，使点B落在边上的点F处，若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，点的坐标是，则、两点间的距离是（     ） A． B． C．8 D．6 4．如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 6．如图，在矩形中，点O为对角线、的交点，点E为上一点，连接，并延长交于点F，则图中全等三角形共有（    ）（不包含直角三角形全等） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 7．如图，在中，，，，则斜边上的中线的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．10 8．如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（     ） A．测量对角线是否相等 B．测量对角线是否互相平分 C．测量是否有三个角相等 D．测量是否有三个角是直角 二、填空题 11．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA=OB=OC=OD，则它是______形．若∠AOB=60°，则AB：AC=_______． 12．课外活动课上，小明用矩形玩折纸游戏，如图，第一步，把矩形沿对折，折出折痕，并展开；第二步，将纸片折叠，使点落在上点，若，则折痕的长等于______． 13．中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则________． 14．如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的的值为___________． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点是线段上一点，过点作轴于点，轴于点．若矩形的周长为8，则点的坐标为_________．    三、解答题 16．如图，与关于点成中心对称，延长至点，使得，连接、、，，求证：四边形是矩形． 17．如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 18．课本再现 我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则． 定理证明 （1）请完成这个定理的证明． 拓展应用 （2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长． 19．如图，某学校有一块形状为矩形的空地，米，米，现要在矩形空地中修建两个长为米，宽为米的矩形花坛（阴影部分）． (1)矩形空地的周长为______米；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，学校计划在其他地方铺上地砖，若铺地砖的造价为元/平方米，则铺完地砖需要花费多少元？ 20．平面直角坐标系中，矩形纸片按如图的方式放置．已知，，将这张纸片沿过点B的直线折叠，使点O落在边上，记作点A，折痕与边交于点E． (1)求的长； (2)求点E的坐标及直线的函数关系式； (3)若点P是x轴上的一点，直线上是否存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D A B B A B D 1．【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、矩形性质理解 【分析】利用平行四边形的性质和矩形的性质可求解． 【详解】解：A、∵矩形的两组对边平行，平行四边形的两组对边平行， ∴矩形和平行四边形都具有两组对边分别平行，故此选项不符合题意； B、∵矩形的四个角相等，都要等于90度，平行四边形的两组对角分别相等， ∴矩形和平行四边形都具有两组对角分别相等，故此选项不符合题意； C、∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形具有对角线相等，平行四边形不具有对角线相等，故此选项符合题意； D、∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形和平行四边形都具有对角线互相平分，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 2．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】先由矩形的性质得到，再由折叠的性质得到，求出，则；设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，正确利用勾股定理建立方程是解题的关键． 3．【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据矩形的性质可得，根据点B坐标求出即可求出答案． 【详解】解：连接， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴． 4．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】根据矩形的性质，等腰三角形性质求解即可． 【详解】解：∵矩形，对角线，相交于点， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 5．【答案】A 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求面积 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．首先求出，因为矩形的对角线、互相平分，则为中点，所以，因为点为的中点，所以，进而求解即可． 【详解】解：由条件可知， ∵矩形的对角线、互相平分， ∴为中点， ∴， 点为的中点， ． 故选：A． 6．【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：四边形为矩形，其矩形的对角线相等且相互平分， ，，，，， 又，，， ∴，，， ∴故图中的全等三角形（不包含直角三角形全等）共有4对． 故选：B． 7．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】先根据勾股定理求，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求的长． 【详解】解：由勾股定理得， ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴． 8．【答案】A 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】明确基础图形是平行四边形，需回忆平行四边形判定为矩形的定理，包括对角线相关、内角相关的判定条件。逐一分析各选项对应的几何性质，结合判定定理匹配符合要求的选项． 【详解】解：选项A：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中对角线，满足条件，可以判定它是矩形，该选项正确． 选项B：邻边相等（）的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，该选项错误． 选项C：平行四边形本身就具有对边平行的性质，本来就是平行四边形的已有性质，无法判定它是矩形，该选项错误． 选项D：对角线互相垂直（）的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项错误． 9．【答案】B 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标、中点坐标 【分析】连接 交 于点 ，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点 的坐标，再计算出点 的坐标． 【详解】解：如图，连接 交 于点 ， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点 的坐标为， ∵， ∴点 的坐标为，即． 10．【答案】D 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：A．对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形对角线也相等，故A错误； B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B错误； C．三个角相等的四边形不一定是矩形，故C错误； D．有三个角是直角的四边形是矩形，故D正确． 故选：D． 11．【答案】 矩 1：2 【知识点】含30度角的直角三角形、证明四边形是矩形、等边三角形的判定和性质 【分析】先证（SAS），可得，∠BAO=∠DCO， 可证是平行四边形，再证AC=BD，可证是等边三角形，求出，利用30角所对直角边等腰斜边一半可得即可． 【详解】解：在△AOB和△COD中 ∵ ， ∴（SAS）， ∴，∠BAO=∠DCO ∴, ∴是平行四边形， ∵， ∴即AC=BD， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：矩；． 【点睛】本题考查矩形判定与性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质，掌握矩形判定与性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质是解题关键． 12．【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了矩形与折叠问题以及含有角的直角三角形的性质，根据折叠的性质，得到，，，即可作答． 【详解】四边形为矩形， 由折叠的性质可得：，，， 在中， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】过点作，交于点，得到四边形、是矩形，根据题意，即可求解． 本题考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵四边形是矩形，，， ∴四边形、是矩形， ∴， ∵点 M是矩形的对角线上一点，，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14．【答案】3或13 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据函数图象可得且，由此求出，再分当点在上，当点在上两种情况讨论求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，且， ，解得， 四边形是长方形， ，， ①当点在上，时，，即， 解得， ②当点在上，时，，即， 解得， 此时， 综上所述，当时，对应的的值是3或13． 15．【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、解一元一次方程（二）——去括号、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】根据题意设，由四边形是矩形，点是线段上一点，进而得，然后，由矩形的周长为8，得关于的方程，解方程可得的值，进而可求得点的坐标． 【详解】解：根据题意设， ∵四边形是矩形，点是线段上一点， ∴， ∵矩形的周长为8， ∴，即，解得， ∴， ∴点的坐标为． 16．【答案】 证明：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴四边形是平行四边形. ∵，且， ∴， 即， ∴四边形是矩形. 【知识点】三线合一、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性质， 先说明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得答案. 【详解】略 17．【答案】(1)山顶点C到水平面的距离为 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把数值代入，进行计算得山顶点C到水平面的距离； （2）先证明四边形是矩形．得，结合，得，运用勾股定理得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． （2）解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 18．【答案】 （1）证明：如图1，延长到E使得，连接，，          图1 D为中点， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ； （2） 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）延长到E使得，连接，，由矩形的判定方法得四边形为矩形，即可得证； （2）连接、，由直角三角形的特征得，，由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：如图2，连接、，          图2 ，点E是的中点，， ， 点F是中点， ，， ． 19．【答案】(1) (2)元 【知识点】二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、根据矩形的性质求面积、二次根式的应用 【分析】（1）根据矩形的周长公式即可求出矩形空地的周长； （2）首先根据矩形的面积公式求出需要铺地砖的面积，再根据费用铺地砖的面积地砖的造价求出需要的费用． 【详解】（1）解：矩形空地的周长为： ； （2）解：根据题意得： （平方米）， 铺完地砖需要花费（元）， 答：铺完地砖需要花费元． 20．【答案】(1) (2)； (3)或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合、求一次函数解析式、矩形与折叠问题 【分析】（1）根据矩形性质和折叠性质得到，然后利用勾股定理求解即可； （2）设， 在中，根据勾股定理列方程求得，则，然后利用待定系数法求解即可； （3）先求得，分为①当为平行四边形的对角线时；②当为边时，则与互相平分两种情况求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， 由折叠性质得， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 由折叠知，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴，解得， ∴， 设直线的函数关系式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为； （3）解：存在，由（2）知， ∴， 要能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， 有以下两种情况： ①当为平行四边形的对角线时，则， ∵点B，P在x轴， ∴Q的纵坐标等于点A的纵坐标6， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∴， ②当为边时，则与互相平分， 设， ∴， ∴， ∴， 综上，满足条件的点Q的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $