第五章 二次函数 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第五章二次函数单元测试卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖二次函数定义、性质、应用等核心知识，适配单元复习，强化数学建模与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、顶点坐标、平移、图像与x轴交点|结合兰州瓜果销售等生活情境，考查数学眼光中的抽象能力| |填空题|6/18|函数值比较、解析式确定、抛物线对称性|通过仁和桥拱梁等实际场景，体现数学思维的推理意识| |解答题|7/72|利润最值、运动轨迹、几何综合|以川超赛事、羽毛球训练为背景，强化数学语言的模型意识与应用意识|

第五章 二次函数 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝x（x﹣1） B．y＝（x+4）2﹣x2 C．y D．y＝ax2+6 2．二次函数y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣2，1） 3．将抛物线y＝x2向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2 4．兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利10元，每天可售出50斤．经市场调查发现，若每斤降价1元，每天可多售出10斤．设每斤降价x元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（10+x）（50﹣10x） B．y＝（10﹣x）（50+10x） C．y＝（10﹣x）（50﹣10x） D．y＝（10+x）（50+10x） 5．二次函数y＝x2﹣2x+3的图象与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 6．二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y的部分对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．顶点坐标为（1，﹣9） C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0） 7．在平面直角坐标系中，若点M在抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的对称轴上，则点M的坐标可能是（　　） A．（1，0） B．（3，5） C．（﹣3，﹣4） D．（0，﹣4） 8．在同一坐标系中画出直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b，有可能是（　　） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，直线y＝mx+1与抛物线交于A、B两点，设A（a1，b1），B（a2，b2），则下列结论正确的个数为（　　） ①a1a2＝﹣4；②；③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2； ④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程ax2+bx+c﹣a＝0一定有两个不相等的实数根；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且x1＜1＜x2，当x1+x2＞2时，y1＞y2；⑤函数y的最大值大于．其中正确结论的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．若点（0，a），（4，b）都在抛物线y＝（x﹣2）2上，则a　　 b（填“＞”，“＜”，“＝”）． 12．已知点A（1，y1），B（﹣2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+k（k为常数）上，则y1　　 y2．（用“＞”、“＜”或“＝”填空） 13．一个二次函数的图象与抛物线y＝﹣3x2的形状相同、开口方向相反，且顶点为（﹣1，2），那么这个函数的解析式是________． 14．如图，仁和桥有一段抛物线形状的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2+bx．小辉骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小辉骑自行车行驶7秒时和13秒时拱梁的高度相同，则小辉骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 　　 秒． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，﹣4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为　　 ． 16．定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]的函数的一些结论：①当m＝3时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣9）；②当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3；③当m＜0时，函数在x时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有　　 ．（填序号） 三．解答题（共7小题，共72分） 17．2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 18．如图，点P（a，5）在抛物线上C：y＝﹣（x﹣5）2+9，且在抛物线的对称轴右侧． （1）写出抛物线的对称轴和最大值，并求a的值； （2）在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P'，C'，平移该胶片，使C'所在抛物线对应的函数解析式恰为y＝﹣（x﹣4）2，直接写出点P'移动的最短路程为 　　 ． 19．张丽是学校羽毛球社团的成员，某次在训练时使用自助发球机进行训练，如图所示，将发球机放置在点O处．羽毛球发射的初始位置的高OA＝1.5m．若羽毛球从点A发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点O的水平距离为5m时达到最高点，在与点O的水平距离为11m时的高度为0.4m，落地点为B，以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求羽毛球飞行路线所在抛物线的函数表达式； （2）若张丽的身高为1.6m，在距离羽毛球发球机9m的C处使用球拍接球（球拍接触到羽毛球的飞行路线即为接到球）时，球拍高出头顶0.6m，她能否接到羽毛球，请通过计算说明理由． 20．数学课上老师给同学们出示了一条抛物线，甲、乙、丙三位同学分别用一句话描述了它： 甲：这条抛物线的对称轴是直线x＝2； 乙：将这条抛物线向下平移2个单位，会经过原点； 丙：这条抛物线在对称轴的右侧部分是下降的． （1）如果这三位同学关于这条抛物线的描述都是正确的，请你写出一个同时满足这些描述的抛物线的表达式，并求出此时它的顶点坐标； （2）请你根据老师给出的这条抛物线，再写出一个正确结论．（与三位同学的描述不一样） 21．如图，在▱ABCD中，点D的坐标是（0，8），以C为顶点的抛物线y＝a（x﹣2）（x﹣6）经过x轴上的点A，B（A在B的左侧）． （1）求顶点C的坐标和抛物线表达式； （2）若抛物线y＝a（x﹣2）（x﹣6）向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的表达式． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点D（﹣1，3），与y轴交于点E． （1）求此二次函数的表达式和顶点P的坐标； （2）点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且AM＝EN，求EM+ON的最小值． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点D，抛物线顶点为E，C、D两点关于抛物线的对称轴对称，直线y＝kx+b恰好经过A、C两点． （1）求抛物线和直线AC的函数解析式； （2）设点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P的横坐标为x． ①用含x的代数式表示线段PH的长； ②当△PAC的面积为时，求点P的坐标． 参考答案 第五章 二次函数 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝x（x﹣1） B．y＝（x+4）2﹣x2 C．y D．y＝ax2+6 【解答】解：A．y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，此函数为二次函数，所以A选项符合题意； B．y＝（x+4）2﹣x2＝8x+16，此函数为一次函数，所以B选项不符合题意； C．y，函数用分式表示，它不是二次函数，所以C选项不符合题意； D．y＝ax2+6，当a≠0时，此函数为二次函数，所以D选项不符合题意． 故选：A． 2．二次函数y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣2，1） 【解答】解：∵二次函数y＝（x+2）2﹣1是顶点式， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣1）， 故选：B． 3．将抛物线y＝x2向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2． 故选：D． 4．兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利10元，每天可售出50斤．经市场调查发现，若每斤降价1元，每天可多售出10斤．设每斤降价x元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（10+x）（50﹣10x） B．y＝（10﹣x）（50+10x） C．y＝（10﹣x）（50﹣10x） D．y＝（10+x）（50+10x） 【解答】解：根据题意得：y＝（10﹣x）（50+10x） 故选：B． 5．二次函数y＝x2﹣2x+3的图象与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3的图象与x轴的交点即为方程x2﹣2x+3＝0的根， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝4﹣12＝﹣8＜0， ∴x2﹣2x+3＝0无实数根， ∴二次函数y＝x2﹣2x+3的图象与x轴没有交点， 故选：A． 6．二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y的部分对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．顶点坐标为（1，﹣9） C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0） 【解答】解：∵抛物线过（﹣2，0）和（4，0）， ∴设抛物线表达式为y＝a（x﹣4）（x+2）， ∵抛物线过（0，﹣8）， ∴﹣8＝a（0﹣4）（0+2），解得a＝1， 即抛物线表达式为y＝（x﹣4）（x+2）＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9， ∴由a＝1＞0，可知抛物线开口向上，A错误； 由顶点式可知抛物线顶点坐标为（1，﹣9），B正确； 由抛物线开口向上、对称轴为x＝1，可知当0＜x＜1时，y随x的增大而减小、当x≥1时，y随x的增大而增大，C错误； 由表中数据可知，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0），D错误． 故选：B． 7．在平面直角坐标系中，若点M在抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的对称轴上，则点M的坐标可能是（　　） A．（1，0） B．（3，5） C．（﹣3，﹣4） D．（0，﹣4） 【解答】解：∵y＝（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线对称轴为x＝3， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴点M的横坐标为3， 故选：B． 8．在同一坐标系中画出直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b，有可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、∵直线y＝ax+b过第二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0， ∵二次函数图象开口向上，交y轴的负半轴， ∴a＞0，b＜0， 故A符合题意； B、∵直线y＝ax+b过第一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∵二次函数图象开口向上，交y轴的正半轴， ∴b＞0，a＞0， 故B不符合题意； C、∵直线y＝ax+b过第二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0， ∵二次函数图象开口向下，交y轴的正半轴， ∴b＞0，a＜0， 故C不符合题意； D、∵直线y＝ax+b过第一、二、三象限， ∴a＞0，b＞0， ∵二次函数图象开口向下，交y轴的正半轴， ∴b＜0，a＜0，故D不符合题意； 故选：A． 9．在平面直角坐标系中，直线y＝mx+1与抛物线交于A、B两点，设A（a1，b1），B（a2，b2），则下列结论正确的个数为（　　） ①a1a2＝﹣4；②；③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2； ④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：将y＝mx+1代入yx2，得：mx+1x2， 整理得：x2﹣4mx﹣4＝0， ∵直线y＝mx+1与抛物线yx2交于A、B两点，A（a1，b1），B（a2，b2）， ∴a1，a2为方程x2﹣4mx﹣4＝0的两个实数根， 由一元二次方程根与系数的关系得：a1+a2＝4m，a1a2＝﹣4， 因此结论①正确； 由y＝mx+1得：， 将代入yx2，得：y， 整理得：y2﹣（4m2+2）y+1＝0， 同理得：b1，b2是y2﹣（4m2+2）y+1＝0得两个实数根， 由一元二次方程根与系数的关系得：b1+b2＝4m2+2，b1b2＝1， 因此结论②正确； 由两点间距离公式得：AB， 即：AB， 将a1+a2＝4m，a1a2＝﹣4，b1+b2＝4m2+2，b1b2＝1代入上式， 得：AB4（m2+1）， ∵m2≥0， ∴4（m2+1）≥4， ∴当m＝0时，AB为最小，最小值为4， 此时直线y＝mx+1就是直线y＝1，则AB∥x轴， ∴S△AOB4×1＝2， 因此结论③正确； ∵点A（a1，b1），B（a2，b2），N（0，﹣1）， ∴kAN，kBN， ∴kAN•kBN， 将b1+b2＝4m2+2，b1b2＝1，a1a2＝﹣4代入上式， 得：kAN•kBNm2﹣1， ∴当m＝0时，AN与BN垂直，当m≠0时，AN于BN不垂直， ∴结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 10．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程ax2+bx+c﹣a＝0一定有两个不相等的实数根；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且x1＜1＜x2，当x1+x2＞2时，y1＞y2；⑤函数y的最大值大于．其中正确结论的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象开口向下， ∴a＜0， 对称轴直线为x1 ∴b＝﹣2a＞0， ∴2a+b＝0，故①正确； ∵图象与x轴的一个交点在2～3之间，且对称轴直线为x＝1， ∴另一个交点在﹣1～0之间，故②错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴c＝2， ∴ax2﹣2ax+2﹣a＝0， ∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a×（2﹣a）＝8a2﹣8a＝8a（a﹣1）， 令Δ＝0，得8a2﹣8a＝8a（a﹣1）＝0， ∴a＝0或a＝1， ∵a＜0， ∴Δ＞0， ∴方程ax2+bx+c﹣a＝0一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点距离对称轴越远y值越小，距离对称轴越近y值越大， ∵x1+x2＞2， ∴x1＞2﹣x2， ∴﹣x1＜﹣2+x2， ∴1﹣x1＜﹣2+x2+1， ∴1﹣x1＜x2﹣1， ∵A点到对称轴的距离是1﹣x1，B点到对称轴的距离是x2﹣1， ∴y1＞y2，故④正确； 如图，当x＝3时，y＜0， ∴9a﹣6a+2＜0， ∴， ∴， 当x＝1时，， ∴函数y的最大值大于，故⑤正确， 综上所述，正确的结论有：①③④⑤，共4个， 故选：B． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．若点（0，a），（4，b）都在抛物线y＝（x﹣2）2上，则a　＝　 b（填“＞”，“＜”，“＝”）． 【解答】解：∵y＝（x﹣2）2， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝2， ∴点（0，a），（4，b）离直线x＝2一样近， ∴a＝b， 故答案为：＝． 12．已知点A（1，y1），B（﹣2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+k（k为常数）上，则y1　＜　 y2．（用“＞”、“＜”或“＝”填空） 【解答】解：抛物线的顶点坐标为 （﹣1，k），开口向下，二次项系数为负， 点 B（﹣2，y2） 到顶点的水平距离为|﹣2﹣（﹣1）|＝1，点 A（1，y1） 到顶点的水平距离为|1﹣（﹣1）|＝2， 由于抛物线开口向下，距离顶点越近，函数值越大， 因此 y2＞y1，即 y1＜y2， 故答案为：＜． 13．一个二次函数的图象与抛物线y＝﹣3x2的形状相同、开口方向相反，且顶点为（﹣1，2），那么这个函数的解析式是 y＝3（x+1）2+2　 ． 【解答】解：∵二次函数的图象与抛物线y＝﹣3x2的形状相同、开口方向相反， ∴a＝3， 设二次函数的解析式为y＝3（x﹣h）2+k， ∵顶点为（﹣1，2）， ∴这个函数的解析式是y＝3（x+1）2+2， 故答案为：y＝3（x+1）2+2． 14．如图，仁和桥有一段抛物线形状的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2+bx．小辉骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小辉骑自行车行驶7秒时和13秒时拱梁的高度相同，则小辉骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 　20　 秒． 【解答】解：∵当小明骑自行车行驶8秒时和12秒时拱梁的高度相同， ∴抛物线的对称轴是直线x10， ∴10，得b＝﹣20a， 令y＝0，则0＝ax2+bx， 代入b＝﹣20a，得：0＝ax2﹣20ax 解得，x1＝0，x2＝20， ∴小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需：20﹣0＝20（秒）， 故答案为：20． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，﹣4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为　　 ． 【解答】解：根题意知，当CD⊥y轴时，线段CD最短． ∵点C的坐标为（2，﹣4）， ∴点D的坐标为（0，﹣4）． 将其代入y＝ax2﹣4ax+3a，得3a＝﹣4， 解得a． ∴该抛物线解析式是：yx2x﹣4． ∵yx2x﹣4（x﹣2）2． ∴该抛物线的顶点坐标是（2，）． ∴抛物线顶点纵坐标为． 故答案为：． 16．定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]的函数的一些结论：①当m＝3时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣9）；②当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3；③当m＜0时，函数在x时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有　②③④　 ．（填序号） 【解答】解：由题意，∵函数y＝ax2+bx+c的特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]； ①当m＝3时，y＝2x2+4x﹣6＝2（x+1）2﹣8， ∴顶点坐标是（﹣1，﹣8），故①错误； ②当m＞1时，令y＝0，有（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0， ∴x1＝1，，则， ∴当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3，此结论正确； ③当m＜0时，y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m是一个开口向下的抛物线，其对称轴是直线， 在对称轴的左边y随x的增大而增大， ∵当m＜0时，，即对称轴在右边，可能大于， ∴在时，y随x的增大而减小，此结论正确； ④∵y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0，即（x2+x﹣2）m﹣x2+x＝0， ∴当x2+x﹣2＝0时，x＝1或﹣2， ∴抛物线经过定点（1，0）或（﹣2，﹣6），此结论正确． 故答案为：②③④． 三．解答题（共7小题，共72分） 17．2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【解答】解：（1）由题意，设每月产量的增长率是x， ∴2000（1+x）2＝2880， ∴x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（负值不合题意，舍去）． 答：每月产量的增长率为20%； （2）设该食品厂获利为w元，应降价y元， ∴w＝（30﹣y）（60+5y） ＝﹣5y2+90y+1800 ＝﹣5（y﹣9）2+2205． ∵﹣5＜0， ∴当y＝9时，w取得最大值，最大值为2205． 答：应降价9元，且最大利润为2205元． 18．如图，点P（a，5）在抛物线上C：y＝﹣（x﹣5）2+9，且在抛物线的对称轴右侧． （1）写出抛物线的对称轴和最大值，并求a的值； （2）在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P'，C'，平移该胶片，使C'所在抛物线对应的函数解析式恰为y＝﹣（x﹣4）2，直接写出点P'移动的最短路程为 　　 ． 【解答】解：（1）y＝﹣（x﹣5）2+9， 当x＝5时，y取最大值，最大值为9， ∴抛物线的对称轴为直线x＝5，最大值为9； ∵点P（a，5）在抛物线上， ∴﹣（a﹣5）2+9＝5， 解得a＝7或a＝3， ∵点P（a，5）在抛物线的对称轴右侧， ∴a＝7； （2）∵抛物线y＝﹣（x﹣5）2+9向左移动1个单位长度，再向下移动9个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2， ∴点P'移动的最短路程为：， 故答案为：． 19．张丽是学校羽毛球社团的成员，某次在训练时使用自助发球机进行训练，如图所示，将发球机放置在点O处．羽毛球发射的初始位置的高OA＝1.5m．若羽毛球从点A发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点O的水平距离为5m时达到最高点，在与点O的水平距离为11m时的高度为0.4m，落地点为B，以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求羽毛球飞行路线所在抛物线的函数表达式； （2）若张丽的身高为1.6m，在距离羽毛球发球机9m的C处使用球拍接球（球拍接触到羽毛球的飞行路线即为接到球）时，球拍高出头顶0.6m，她能否接到羽毛球，请通过计算说明理由． 【解答】解：（1）设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c， 由题意得，抛物线经过（0，1.5）和（11，0.4），且对称轴为， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+1.5． （2）不能，理由： 当x＝9时，y＝﹣0.1×92+9+1.5＝2.4， 球拍的高度为1.6+0.6＝2.2m， ∵2.2＜2.4， ∴不能接到羽毛球． 20．数学课上老师给同学们出示了一条抛物线，甲、乙、丙三位同学分别用一句话描述了它： 甲：这条抛物线的对称轴是直线x＝2； 乙：将这条抛物线向下平移2个单位，会经过原点； 丙：这条抛物线在对称轴的右侧部分是下降的． （1）如果这三位同学关于这条抛物线的描述都是正确的，请你写出一个同时满足这些描述的抛物线的表达式，并求出此时它的顶点坐标； （2）请你根据老师给出的这条抛物线，再写出一个正确结论．（与三位同学的描述不一样） 【解答】解：（1）设抛物线表达式为 y＝ax2+bx+c， 乙描述：向下平移2个单位后表达式为 y＝ax2+bx+c﹣2，经过原点 （0，0）， 代入得0＝c﹣2，即c﹣2＝0， 解得c＝2， 甲描述：对称轴为直线x＝2，即 ， 整理得b＝﹣4a， 丙描述：对称轴右侧部分下降，即抛物线开口向下，所以a＜0， 取 a＝﹣1，则 b＝﹣4×（﹣1）＝4，c＝2， 抛物线表达式为y＝﹣x2+4x+2， ∵对称轴为x＝2， ∴代入得y＝﹣4+8+2＝6， ∴顶点为 （2，6）． （2）当x＝0时，y＝2， ∴二次函数与y轴的交点为（0，2）， ∵对称轴为直线x＝2， ∴点 （0，2）关于 x＝2 的对称点为 （4，2）， ∴抛物线经过点（4，2）． 21．如图，在▱ABCD中，点D的坐标是（0，8），以C为顶点的抛物线y＝a（x﹣2）（x﹣6）经过x轴上的点A，B（A在B的左侧）． （1）求顶点C的坐标和抛物线表达式； （2）若抛物线y＝a（x﹣2）（x﹣6）向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的表达式． 【解答】解：（1）在y＝a（x﹣2）（x﹣6）中，令y＝0，则a（x﹣2）（x﹣6）＝0， 解得x＝2或x＝6， ∴A（2，0），B（6，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∵点D的坐标是（0，8）， ∴顶点C的坐标为（4，8）， 把C（4，8）代入y＝a（x﹣2）（x﹣6）得，8＝﹣4a，解得a＝﹣2， ∴y＝﹣2（x﹣2）（x﹣6）＝﹣2x2+16x﹣24； （2）∵y＝﹣2x2+16x﹣24＝﹣2（x﹣4）2+8， ∴设平移后抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+8+k， 把（0，8）代入得8＝﹣32+8+k，解得k＝32， ∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+40， 即y＝﹣2x2+16x+8． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点D（﹣1，3），与y轴交于点E． （1）求此二次函数的表达式和顶点P的坐标； （2）点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且AM＝EN，求EM+ON的最小值． 【解答】解：（1）将A（﹣4，0），D（﹣1，3）代入y＝ax2+bx+2， 得， 解得， ∴此二次函数的表达式为． ∵， ∴顶点P的坐标为（）． （2）在第二象限取点H，使EH＝AE，且EH∥x轴， ∴∠HEA＝∠EAB． ∵AM＝EN， ∴△EHN≌△AEM（SAS）， ∴HN＝EM． ∴EM+ON＝HN+ON， 可知当点O，N，H在同一条直线上时，EM+ON＝HN+ON＝OH，为最小值． 设直线AD的解析式为y＝kx+b， 将A（﹣4，0），D（﹣1，3）代入， 得， 解得， ∴直线AD的解析式为y＝x+4， 令x＝0，得y＝4， ∴E（0，4）， ∴OE＝4． ∵A（﹣4，0）， ∴OA＝4， ∴AE， ∴EH， ∴OH， 即EM+ON的最小值为． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点D，抛物线顶点为E，C、D两点关于抛物线的对称轴对称，直线y＝kx+b恰好经过A、C两点． （1）求抛物线和直线AC的函数解析式； （2）设点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P的横坐标为x． ①用含x的代数式表示线段PH的长； ②当△PAC的面积为时，求点P的坐标． 【解答】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点分别代数入y＝ax2+bx+3得： a﹣b+3＝0，9a+3b+3＝0， 解得：a＝﹣1，b＝2， ∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3， ∴点D的坐标为（0，3）， 抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点E（1，4）， ∵C、D两点关于抛物线的对称轴对称， ∴点C（2，3）， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式得：， 解得， ∴直线AC的表达式为y＝x+1， （2）①∵点P的横坐标为x．则点P，H的坐标分别为 P（x，﹣x2+2x+3），H（x，x+1）， ∴PH＝﹣x2+2x+3﹣x﹣1＝﹣x2+x+2； ②∵△PAC的面积＝S△PHA+S△PHC（xC﹣xA） x2x+3， ∴x2x+3，整理得，6x2﹣6x﹣7＝0， 解得：x或x， 当x时，y＝﹣x2+2x+3， 当x时，y＝﹣x2+2x+3， ∴P点的坐标为（，）或（，）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $