第五章 二次函数 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册二次函数单元测试卷，分A、B卷（150分），覆盖定义、图像性质、实际应用等核心知识，通过基础巩固与综合探究，培养抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|二次函数定义、图像性质（顶点、对称轴）|结合图像辨析，考查抽象能力| |填空题|10/40|解析式、最值、平移、交点问题|基础与中档结合，强化符号意识| |解答题|8/78|实际应用（投篮、销售）、综合探究（动点、面积最值）|分层设计（如17题双探究），体现模型意识与推理能力|

第五章 二次函数 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝x（x﹣1） B．y＝（x+4）2﹣x2 C．y D．y＝ax2+6 2．抛物线y＝2（x﹣1）2+4的对称轴和顶点坐标分别是（　　） A．直线x＝1，（1，﹣4） B．直线x＝1，（1，4） C．直线x＝﹣1，（﹣1，4） D．直线x＝﹣1，（﹣1，﹣4） 3．已知抛物线y＝（x﹣3）2+c经过点A（2，0），则该抛物线与x轴的另一个交点是（　　） A．（3，0） B．（4，0） C．（﹣8，0） D．（﹣4，0） 4．对于二次函数y＝2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小 C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x＝﹣1 5．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象，并求得一个近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（　　）（精确到0.1） A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3 6．把函数yx2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y（x﹣1）2+1的图象（　　） A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 7．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　） A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．b﹣a＞c C．3a＞﹣c D．a+b＜m（am+b）（m≠1） 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为　　 ． 10．二次函数y＝3（x﹣2）2﹣6的最小值是　　 ． 11．若抛物线y＝x2+（m﹣2）x+（m+5）的顶点在y轴上，则m＝　　 ． 12．若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是______． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，﹣4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）已知抛物线y＝x2﹣6x﹣3． （1）求该抛物线的对称轴； （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？ 15．（8分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交点为C． （1）求A，B两点的坐标； （2）若将该抛物线向上平移t个单位后，它与x轴恰好只有一个交点，求t的值． 16．（10分）已知二次函数的图象经过点A（1，2）和B（0，﹣1）且对称轴为直线x＝2． （1）求这个二次函数的解析式； （2）抛物线上点P（2，m）在图象上，求△PAB的面积． 17．（10分）如图，在小明的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮筐中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米．篮球运行的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面3米，通过计算说明此球能否投至篮筐中心．（不考虑篮球大小和篮球的反弹） 探究一：若出手的角度、力度和高度都不变，则小明朝着篮球架再向前移动多少米后投篮能将篮球投至篮筐中心？ 探究二：若出手的角度、力度和高度都发生改变，但是抛物线的顶点位置及球出手时与篮筐中心的水平距离不变，则小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投至篮筐中心？ 18．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标； （3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），顶点坐标为（﹣1，﹣4），那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是　　 ． 20．有一长方形条幅，长为am，宽为bm，四周镶上宽度相等的花边，则剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围为_____________． 21．已知二次函数y＝2x2﹣4mx+m2的图象与x轴有两个交点A和B，顶点为C，若△ABC的面积为4，则m＝　　 ． 22．如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA，MC，AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是 　　 ． 23．二次函数y＝2x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y＝2x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积是　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表： 售价（元/件） 100 110 120 130 … 月销量（件） 200 180 160 140 … 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元． （1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是（x﹣60　 ）元；②月销量是（　400﹣2x ）件；（直接写出结果） （2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 25．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴分别交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求此二次函数解析式； （2）点D为直线BC下方的抛物线上一动点，连接DC，DB，求△BCD面积的最大值． 26．（12分）已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点为B，且OC＝2OB． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在AO上，点Q在OC的延长线上，且AP＝CQ，连接PQ交AC于点G，点D为第一象限内的一点，当△PDQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，连接OD，设AP的长度为t，△POD的面积为S，请用含t的式子表示S，并写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接OG、DG，将△PGD沿PD翻折到PDK的位置（G与K对应），若OG，请直接写出点K的坐标． 参考答案 第五章 二次函数 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝x（x﹣1） B．y＝（x+4）2﹣x2 C．y D．y＝ax2+6 【解答】解：A．y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，此函数为二次函数，所以A选项符合题意； B．y＝（x+4）2﹣x2＝8x+16，此函数为一次函数，所以B选项不符合题意； C．y，函数用分式表示，它不是二次函数，所以C选项不符合题意； D．y＝ax2+6，当a≠0时，此函数为二次函数，所以D选项不符合题意． 故选：A． 2．抛物线y＝2（x﹣1）2+4的对称轴和顶点坐标分别是（　　） A．直线x＝1，（1，﹣4） B．直线x＝1，（1，4） C．直线x＝﹣1，（﹣1，4） D．直线x＝﹣1，（﹣1，﹣4） 【解答】解：∵抛物线为y＝2（x﹣1）2+4， ∴对称轴是直线x＝1， 顶点坐标（1，4）． 故选：B． 3．已知抛物线y＝（x﹣3）2+c经过点A（2，0），则该抛物线与x轴的另一个交点是（　　） A．（3，0） B．（4，0） C．（﹣8，0） D．（﹣4，0） 【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣3）2+c经过点A（2，0）， ∴（2﹣3）2+c＝0． 解得：c＝﹣1． ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣1． 令y＝0，则（x﹣3）2﹣1＝0． 解得：x＝2或x＝4． ∴该抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）． 故选：B． 4．对于二次函数y＝2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小 C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x＝﹣1 【解答】解：二次函数y＝2（x+1）（x﹣3）可化为y＝2（x﹣1）2﹣8的形式， A、∵此二次函数中a＝2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误； B、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故本选项错误； C、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确； D、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x＝1，故本选项错误． 故选：C． 5．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象，并求得一个近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（　　）（精确到0.1） A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1， ∴另一个交点坐标为：（2.3，0）， 则方程的另一个近似根为x＝2.3， 故选：C． 6．把函数yx2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y（x﹣1）2+1的图象（　　） A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 【解答】解：抛物线yx2的顶点坐标是（0，0），抛物线y（ x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1）， 所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1）， 即将函数yx2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y（x﹣1）2+1的图象． 故选：C． 7．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　） A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m 【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0）， 得：a＝﹣0.5， 所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2， 把x＝﹣3代入抛物线解析式得出： y＝﹣0.5×（﹣3）2+2＝﹣2.5， ∴水面下降2.5米， 故选：C． 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．b﹣a＞c C．3a＞﹣c D．a+b＜m（am+b）（m≠1） 【解答】解：由图象可知， a＜0，b＞0，c＞0， 所以abc＜0． 故A错误． 当x＝﹣1时，函数值小于0， 即a﹣b+c＜0， 所以b﹣a＞c． 故B正确． 又抛物线的对称轴是直线x＝1， 则，即b＝﹣2a． 又a﹣b+c＜0， 所以3a＜﹣c． 故C错误． 由图象可知， 当x＝1时，函数有最大值为a+b+c． 则当x＝m（m≠1）时，函数值为am2+bm+c． 所以有a+b+c＞am2+bm+c． 即a+b＞m（am+b）． 故D错误． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为　﹣2　 ． 【解答】解：∵y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数， ∴|m|＝2，且m﹣2≠0， 解得：m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 10．二次函数y＝3（x﹣2）2﹣6的最小值是　﹣6　 ． 【解答】解：∵二次函数y＝3（x﹣2）2﹣6， ∴最小值是﹣6； 故答案为﹣6． 11．若抛物线y＝x2+（m﹣2）x+（m+5）的顶点在y轴上，则m＝　2　 ． 【解答】解：根据题意知，对称轴为直线x＝0，即0 解得m＝2． 12．若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 c　 ． 【解答】解：由题意，∵抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点， ∴Δ＝1﹣4c＜0． ∴c． 故答案为：c． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，﹣4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为　　 ． 【解答】解：根题意知，当CD⊥y轴时，线段CD最短． ∵点C的坐标为（2，﹣4）， ∴点D的坐标为（0，﹣4）． 将其代入y＝ax2﹣4ax+3a，得3a＝﹣4， 解得a． ∴该抛物线解析式是：yx2x﹣4． ∵yx2x﹣4（x﹣2）2． ∴该抛物线的顶点坐标是（2，）． ∴抛物线顶点纵坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）已知抛物线y＝x2﹣6x﹣3． （1）求该抛物线的对称轴； （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝3； （2）由（1）可得抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3， ∴x＜3（或x≤3）时，y随x的增大而减小． 15．（8分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交点为C． （1）求A，B两点的坐标； （2）若将该抛物线向上平移t个单位后，它与x轴恰好只有一个交点，求t的值． 【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1， 所以A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（3，0）； （2）抛物线y＝x2﹣2x﹣3向上平移t个单位后所得抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3+t， 则Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣3+t）＝0， 解得t＝4． 16．（10分）已知二次函数的图象经过点A（1，2）和B（0，﹣1）且对称轴为直线x＝2． （1）求这个二次函数的解析式； （2）抛物线上点P（2，m）在图象上，求△PAB的面积． 【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c， 根据题意得， 解得：， ∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣1； （2）∵点P（2，m）在图象上， ∴m＝﹣22+4×2﹣1＝3， ∴P（2，3）， ∴S△PAB1×3（3+4）×11． 17．（10分）如图，在小明的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮筐中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米．篮球运行的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面3米，通过计算说明此球能否投至篮筐中心．（不考虑篮球大小和篮球的反弹） 探究一：若出手的角度、力度和高度都不变，则小明朝着篮球架再向前移动多少米后投篮能将篮球投至篮筐中心？ 探究二：若出手的角度、力度和高度都发生改变，但是抛物线的顶点位置及球出手时与篮筐中心的水平距离不变，则小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投至篮筐中心？ 【解答】解：根据题意得抛物线的顶点坐标为（4，4）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4， ∵抛物线过点（0，2）， ∴16a+4＝2， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当x＝7时，， ∴此球不能投至篮筐中心； 探究一：设向前移动h米，由题意得，， 代入点（7，3）得，， 解得，（不合题意，舍去）， 即小明朝着篮球架再向前移动米后投篮能将篮球投至篮筐中心； 探究二：设y＝m（x﹣4）2+4， 代入点（7，3）得，3＝m（7﹣4）2+4， 解得， ∴， 当x＝0时，， ∴，即小明出手的高度需要增加米才能将篮球投至篮筐中心． 18．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标； （3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把B（3，m）代入y＝x+2得：m＝3+2＝5， ∴B（3，5）， 把A（﹣2，0），B（3，5）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8； （2）设P（t，﹣t2+2t+8），则E（t，t+2），D（t，0）， ∵PE＝2DE， ∴﹣t2+2t+8﹣（t+2）＝2（t+2）， 解得t＝1或t＝﹣2（此时P不在直线AB上方，舍去）； ∴P的坐标为（1，9）； （3）抛物线上存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半，理由如下： 过M作MK∥y轴交直线AB于K，如图： 在y＝﹣x2+2x+8中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+8， 解得x＝﹣2或x＝4， ∴A（﹣2，0），C（4，0）， ∴AC＝6， ∵B（3，5）， ∴S△ABC6×5＝15， 设M（m，﹣m2+2m+8），则K（m，m+2）， ∴MK＝|﹣m2+2m+8﹣（m+2）|＝|﹣m2+m+6|， ∴S△ABMMK•|xB﹣xA||﹣m2+m+6|×5|﹣m2+m+6|， ∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半， ∴|﹣m2+m+6|15， ∴|﹣m2+m+6|＝3， ∴﹣m2+m+6＝3或﹣m2+m+6＝﹣3， 解得m或m， ∴M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），顶点坐标为（﹣1，﹣4），那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是　（1，0）　 ． 【解答】解：由顶点坐标为（﹣1，﹣4）知，抛物线的对称轴为x＝﹣1， ∵图象与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0）， 则另一个交点坐标是（1，0）， 故答案为（1，0）． 20．有一长方形条幅，长为am，宽为bm，四周镶上宽度相等的花边，则剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为s＝（a﹣2x）（b﹣2x）　 ，自变量x的取值范围为　0＜x　 ． 【解答】解：剩余长方形的长为（a﹣2x），宽为（b﹣2x）， 则剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为：s＝（a﹣2x）（b﹣2x）． ∵x＞0，2x＜b ∴自变量x的取值范围为0＜x． 故答案为：s＝（a﹣2x）（b﹣2x）；0＜x． 21．已知二次函数y＝2x2﹣4mx+m2的图象与x轴有两个交点A和B，顶点为C，若△ABC的面积为4，则m＝　±2　 ． 【解答】解：∵x1+x2＝﹣＝2m，x1x2， ∴AB＝|x1﹣x2||m|， 又∵二次函数y＝2x2﹣4mx+m2的顶点纵坐标为﹣m2， 则△ABC的高是m2， 又∵△ABC的面积为4， ∴|m|m2＝4， ∴|m|3＝8， ∴|m|＝2， ∴m＝±2． 故答案为：±2． 22．如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA，MC，AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是 　（2，2）　 ． 【解答】解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 理由：连接AC，由点的对称性知，MA＝MB， △MAC的周长＝AC+MA+MC＝AC+MB+MC＝CA+BC为最小， 令y＝2x2﹣8x+6＝0， 解得x＝1或3， 令x＝0，则y＝6， 故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，6）， 则函数的对称轴为x（1+3）＝2， 设直线BC的表达式为y＝kx+b，则， 解得， 故直线BC的表达式为y＝﹣2x+6， 当x＝2时，y＝﹣2x+6＝2， 故点M的坐标为（2，2）． 故答案为：（2，2）． 23．二次函数y＝2x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y＝2x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积是　　 ． 【解答】解：连接BC交OA于D，如图， ∵四边形OBAC为菱形， ∴BC⊥OA， ∵∠OBA＝120°， ∴∠OBD＝60°， ∴ODBD， 设BD＝t，则ODt， ∴B（t，t）， 把B（t，t）代入y＝2x2得2t2t， 解得t1＝0（舍去），t2， ∴BD，OD， ∴BC＝2BD＝1，OA＝2OD， ∴菱形OBAC的面积1． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表： 售价（元/件） 100 110 120 130 … 月销量（件） 200 180 160 140 … 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元． （1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是（x﹣60　 ）元；②月销量是（　400﹣2x ）件；（直接写出结果） （2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 【解答】解：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元； ②由表中信息可知，售价每增加10元，销售量减少20件， 设月销量W与x的关系式为w＝kx+b， 由题意得，， 解得，， ∴W＝﹣2x+400； （2）由题意得，y＝（x﹣60）（﹣2x+400） ＝﹣2x2+520x﹣24000 ＝﹣2（x﹣130）2+9800， ∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元． 25．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴分别交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求此二次函数解析式； （2）点D为直线BC下方的抛物线上一动点，连接DC，DB，求△BCD面积的最大值． 【解答】解：（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得： ， 解得：， 此二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）当x＝0时，y＝3，即点C（0，3）， 设BC的表达式为y＝kx+b， 将点B（3，0）点（0，3）代入函数解析式，得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式是y＝﹣x+3， 过点D作DE∥y轴，交直线BC与E， 设点D横坐标为t， 则点D（t，t2﹣4t+3），点E（t，﹣t+3）， ∴DE＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t， ∴S△BCD＝S△BDE+S△CDE（﹣t2+3t）×3（t）2， ∵0， ∴当t时，△BCD面积最大，最大值为． ∴△BCD面积的最大值为． 26．（12分）已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点为B，且OC＝2OB． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在AO上，点Q在OC的延长线上，且AP＝CQ，连接PQ交AC于点G，点D为第一象限内的一点，当△PDQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，连接OD，设AP的长度为t，△POD的面积为S，请用含t的式子表示S，并写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接OG、DG，将△PGD沿PD翻折到PDK的位置（G与K对应），若OG，请直接写出点K的坐标． 【解答】解：（1）解：当x＝0时，y＝4，∴C（0，4）当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0）， ∵OC＝2OB，∴OB＝2，B（2，0）， 将点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得， 解得：，∴抛物线的解析式为； （2）过点D作DE⊥x轴于E，作QF⊥DE于F， ∴四边形QOEF为矩形， ∴QF＝OE，QO＝FE，设QF＝m， ∵△QDF≌△DPE， ∴QF＝DE＝m，FD＝EP， ∵FD＝4+t﹣m，EP＝4﹣t+m， ∴4﹣t+m＝4+t﹣m，∴m＝t， ∵OP＝4﹣t， ∴（0＜t＜4）； （3）作PL∥OQ交AC于点L，作GM⊥AB于M，KN⊥AB于N， ∵OC＝OA，∴PL＝PA∵PA＝CQ∴PL＝CQ， ∴△PGL≌△QGC，∴GP＝GQ， ∵OG，∴PQ， 在△OPQ中，由勾股定理得：（4﹣t）2+（4+t）2， ∴t＝2； ∵△PDG为等腰直角三角形，∴四边形PGDK为正方形， ∵OQ＝6∴GM＝3 ∵GP＝GO∴PM＝MO＝1， ∵△GMP≌△PNK（AAS）， ∴GM＝PN＝3，PM＝KN＝1， ∴AN＝5，ON＝1， ∴K（1，﹣1）． 学科网（北京）股份有限公司 $