广东省湛江市第二十一中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷

湛江市第二十一中学2026-2027学年第一学期高三开学考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.数据12,8,10,15,11的第60百分位数为() A.11 B.11.5 C.12 D.10 2.曲线y=2+e在x=0处的切线斜率为() A.3 B.1 C.2 D.0 3.若复数z=2-i,则=() A.√2 B.3 C.5 D.5 4设袋合M=reR3>分N=(2-0L2以，则MnN=《) A.{-2,-1}B.{-1,0,1,2}C.{1,2} D.{0,1,2 5.已知圆0：x2+y2=4,直线1：y=c+2与圆0相交于A,B两点.若AB=2V3, 则实数k=() A.±V3 B.±1 C.t② D.±√2 2 6.已知函数g(,)-2产-2ah-2x在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为()。 A.（-o,0）B.[0,+o） e[2m( 7.数列{an}的前n项和为Sn,a=1,a2n=an+3，a2m1=2n-an,则S226=() A.1013×1017B.1013×1016C.1012×1017D.1012×1016 8.一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件A=“第i次命中目标”(i=1,2,3).已知 P4)-石4a4)=2P4.P41国==L2.则P4)的值为《) A. B.2 9 c.4 D.5 9 9 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知向量ā=(2，-1)，b=（-3,-1),下列选项正确的是() A.(a-B)La B.向量b在向量ā上的投影向量是-a C.2a+=v10 3√10V10 D.与向量b方向相同的单位向量是 10-10 10.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB L AC,AP=AC=4,AB=2,则() A.异面直线AB与PC所成的角为二 B.点A到平面PBC的距离为√6 C.二面角A-PC-B的正弦值为 3 D.三棱锥P-ABC各顶点均在半径为3的球的球面上 11.已知抛物线C:y=4x,过抛物线C的焦点F的直线1与抛物线C交于A(x,乃)， B(x2,y2)两点，则() A.抛物线C的准线方程为x=-2 B.若AF=4,则x=3 C.AF:BF的最大值为16 D.∠AOB为钝角 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.由样本数据(x,y)(i=1,2,3,…,10),求得回归直线方程为=2x+b,且x=3,y=3, 则相应于样本点(2,2)的残差值为一· 13.(一-x)”的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为。 14.已知三个互不相同的实数α，b,c经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可 成等比数列，则该等比数列的公比为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b2+c2-a2=bc (1)求角A: (2)若△ABC的面积为√3，且b=2C,求△ABC的周长 16.(15分)在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文 化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程为探 究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名 进行调查统计.记事件4=“成绩优良”，公“有固定阅读习惯”，据统计P(BA) Pa-号 (1)补全2×2列联表，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业 成绩水平有关？ 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 (②)为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽 样，组建6人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中 成绩优良的人数为X,求X的分布列与期望 参考公式与数据：X n(ad-be)2 其中n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(15分)如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，CC⊥平面ABC,D、E、F、G分别为 AA、AC、AC、BB的中点，AB=BC=V3,AC=AA=2. (I)求证：AC⊥平面BEF; B (2)求平面BCD与直线CC,所成角的正弦值： (3)证明：直线FG与平面BCD相交 区分EC号+若-a>0系对》在点大 左、右顶点分别为A,A2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点P为椭圆C上任意一点（不与左、右顶点A,A,重合），求证：直线PA,PA, 的斜率之积为定值，并求出该定值： (3)若过点B(-3,0)的直线1与椭圆C交于P,Q两点，求△A,PQ的面积的最大值. 19.(17分)已知等差数列{an}的前n项和记为Sn(n∈N),满足3a2+2a=S,+6. (1)求等差数列{an}的公差： (2)若数列{Sn}为单调递减数列，求a,的取值范围： (3)若a,=1,在数列{an}的第n项与第n+1项之间插入首项为1，公比为2的等比数列 的前n项，形成新数列{bn},记数列{bn}的前n项和为Tn,求To《湛江市第二十一中学2026-2027学年第一学期高三开学考数学》参考答案 1.B【详解】因为此组数据即为8,10,11,12,15，一共有5个数据，且5×0.6=3， 所以此组数据的第60百分位数为第3、4这两个数的平均数，即为1+12 =11.5 2 2.B【详解】曲线y=2+e,则y=e,所以在x=0处的切线斜率为k=ylko=e°=1. 3.C【详解】由题意得：z=2+i,所以z=V22+1=V5 4.DI详解)因为3>的解集为：x>-1,所以集合M={x∈Rx>-,则MnN={01,2}. 5.A【详解】圆O:x2+y2=4的圆心坐标为O(0,0)，半径r=2,将直线整理为一般 式：x-y+2=0:设d为圆心到直线1的距离，则|AB=2√r2-d2, 所以25=2√4-d2，解得d2=1,即d=1, 由点到直线的距离公式：d=k×0-1×0+21=2 ==1,解得k2=3,即k=±V5 Vk2+1 Vk2+1 6.D【详解】由题意得：g()=x-20-2≥0在(0，+w)上恒成立，即2a≤-2x,其中 f(x)=x2-2x=(x-1)2-1在x=1处取得最小值，f(x)m=f(1)=-1,所以2a≤-1， 解得：a≤-】，故选：D 7.A【详解】由题意得：an+a2m1=2n+3,所以 S2026=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2025+a226) =2x1+3+2×2+3+…+2x1013+3-1013x5+2x1013+3）=1013×1017. 8.C【详解】由全概率公式，第二次命中的概率由“第一次命中”和“第一次未命中”两种 情况决定：P(4)=P(A)P(A1A)+PAP(4IA 40=名叫同列=1-名名 由P44)=2P4),当i=1时，P414)=2P4)=2x2- 63 面41团)==l2).当i=1时，P41不写 41P④P41国列-6 第三次命中的概率由“第二次命中”和“第二次未命中”两种情况决定： P(4)=P(4)P(A,1A)+PA)P41A): P6)写P马)-1含号 由P4A)=2P(4),当i=2时，P4|4)=2P4)=2×33 12 血P4团==2.当i=2时，P41④ P)=P4)P41)+P国P41国列-号+号对号 9.BCD【详解】对于选项A:a-b=(2-(（-3),-1-(-1)=(5,0), a-b)a=5×2+0×(-1)=10≠0，向量a,b不垂直，A错误； 对于选项B:b在ā上的投影向量公式为 a,又a-6=2x(-3)+(-1x(←1)=-5， a.b =2+(--5,因此投影向量为 2a=-a,B正确： 对于选项C:2a+6=2(2,-1)+(-3,-1)=(1,-3),2ā+=VP+(-3)}-10,c正确： 对于选顾D:与五方向相同的单位向显为因，又5=(-3+(-=V1而， 因此与向6为间月的年有层为而(3-)-（3。细） 310_10 D正确。 10.ACD【详解】对于A选项，因为PA⊥平面ABC,ABC平面ABC,所以PA⊥AB, 又AB⊥AC,PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC,由PCC平面PAC知PC⊥AB,故 异面直线MB与PC所成的角为受，放A正确： 对于B途项，显然三棱锥的体积V=×AP×)×AB×AC=16,而PB=BC=2V5, 3 3 PC=4V2,记M为PC中点，连接BM,由等腰三角形得BM⊥PC,由勾股定理得 BM-BP-PC) =25,△P8C的面积S=BMxC=46, 可知点A到平面PBC的距离d=3业_26 故B错误： S 3 对于C选项，连接AM,AM⊥PC,由BM∩AM=M,M∈PC,Bb BMC平面PBC,AMC平面PAC,知∠AMB为二面角A-PC-B的平面角， 而B+M2=BM2,可每sn∠AMB=机=5，故C正确： BM 3 对于D选项，由PA,AB,AC两两垂直，可将三棱锥P-ABC补成长方体，其长宽高分别为 AC=4,AB=2,PA=4,三棱锥外接球与长方体外接球相同，外接球直径等于长方体体对角 线：2R=V(AC}+(AB)}+(AP2=6,R=3,故D正确。 11.BD【详解】对于A,抛物线C:y2=4x焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,故A错误： 对于B,因为AF=x+1=4,所以x=3,故B正确： 对于C,易知直线1的斜率不为0，设直线1的方程为x=少+1， 更少十消去x得y-4=4=0,则%+为=4,4=4， 由 所以+6=0+为)+2=4+2,5==1 16 所以AFBF=(x+1)(x2+1)=xx2+(x+x2)+1=41+4, 又teR,则AFBF≥4，所以AF:BF没有最大值，故C错误， 对于D,由选项C知，OAOB=xx2+yy2=-3<0,则∠AOB为钝角，故D正确. 12.1【详解】将点(3,3)代入回归直线方程为=2x+6,得3=2×3+6， 得6=-3，即)=2x-3,则样本点(2,2)的残差值为：2-(2×2-3)=1. 13.210【详解】由（三-x2)”的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，得C:=C, 解得n=10,二项式(-)°的展开式通项公式 T1=C6(一)0r(-x2y=(-1)yC5x-0,由5r-30=0,得r=6,所以该展开式中的常 数项为T=(-1)C。=C。 10x9x8×7=210 4×3×2×1 14.-2或-】【详解】由于a,bc经过适当排序后可成等差数列，不妨设这三个数为 x-d,x,x+d,其中公差d≠0， 这三个数x一d,x,x+d经过适当排序后也可成等比数列，则有： ①当x是等比中项时，则有x2=(x-d)(x+d),解得d=0,这与d≠0矛盾，所以x不是 等比中项： ②当x-d是等比中项时，则有(x-d)2=x(x+d),化简得d(d-3x)=0,由于d≠0，所 以解得d=3x, 此时，这三个数分别为-2x,x,4x,由于这三个数是互不相同的实数，所以x≠0， 而这三个数-2x,x,4x要构成等比数列，只有两种排序方式，即(x,-2x,4x)或(4x,-2x,x), 因此公比g= -2x=-2或q= -2x1 x 4x 2 ③当x+d是等比中项时，则有(x+d)2=x(x-d),化简得d(d+3x)=0,由于d≠0，所 以解得d=-3x,此时，这三个数分别为4x,x,-2x,情况与②相同： 综上所述，该等比数列的公比为-2或一2 15.【详解】(1)因为b2+c2-a2=2 becos A,又b2+c2-a2=bc,所以2 bccos A=bc, 1 得C0SA=二，…4分 2 又0<A<元，所以A=元…6分 31 3 S.nc= (2)由(1)得A=元， besin A=bcx5_5,得c=4,8分 bcx 2 2 又b=2C,解得b=2√2，c=√2，…10分 所以a2=b+c2-bC=8+2-2√2x√2=6，故a=V6,…12分 所以△ABC的周长为a+b+C=√6+32.…l3分 5【详解D出题可知，nA=0,PBA=所以A=-4,海 n(A)100 a(40)=80,又P(4)-子所以 n(AB)80_2 得n(B)=120, n(B) n(B3' 结合已知可得2×2列联表： 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 80 20 100 成绩一般 40 60 100 合计 120 80 200 …2分 零假设H。:阅读习惯与学业成绩水平没有关系…3分 因为x= 200(80×60-20×40)2100 >10.828,…6分 120×80×100×100 3 所以，依据小概率值α=0.001的独立性检验，没有充足的证据证明假设成立， 即阅读习惯与学业成绩水平有关系，且该结论犯错误的概率不超过0.001.…7分 (2)有固定阅读习惯中成绩优良的有80人，成绩一般的有40人，所以组建的6人宣传小组 80 40 中，成绩优良的有6× =4人，成绩一般的有6× =2人，…8分 80+40 80+40 则X的可能取值为：1,2,3，…9分 P(X=) x-等指---架. CC-4-1 Cg205 所以X的分布列为： X 1 2 3 1 3 1 P 5 5 5 …12分 3 1 期塑E(X）=1×亏十2×亏+3×5=2.…13分 5 5 17.【详解】(1)：E,F分别是AC,AC的中点，.EF/CC, .CC⊥平面ABC,∴.EF⊥平面ABC,…1分 又ACC平面ABC,∴.EF⊥AC,…2分 ,AB=BC,E是AC的中点，∴.BE⊥AC,…3分 又BEEF=E,BEC平面BEF,EFC平面 BEF,…4分 ∴.AC⊥平面BEF;…5分 (2)由(1)可知，EF⊥AC,BE⊥AC,EF⊥平面ABC,又BEC平面ABC,'.EF⊥BE, 以E为原点，EB,EC,EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图 所示 …6分 则E(0,0,0),BN2,0,0,C(01,0),D(0,-1,1),C(01,2), BC=（-21,0,CD=(0,-2,1),CC=(0,0,2),…7分 设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),则 n.BC= ,即一2x+y=0, n.CD=0'-2y+z=0 令x=1,可得n=(1,V2,2W2), …8分 设平面BCD与直线CC所成角为0，则sin0=cos元，CC= 4v2222 11×211 故直线CC与平面BCD所成角正弦值为2V22 …10分 11 (3)因为F(0,0,2),G(2,0,1, FG=(V2,0,-l,FGn=V2+0-22=-V2≠0，…l1分 .FG与n不垂直，…12分 ∴.FG与平面BCD不平行，…I3分 又FG正平面BCD,…14分 ∴.FG与平面BCD相交.…15分 c=/3 3.1 18.【详解】(1)由题意得： +4h-l,解得a=2,b=1,c=V5,3分 a2=b2+c2 所以椭圆C的标准方程为父+y=1.…4分 (2)设点P(x).则手+6=1，即=44-)， …5分 由题意可知：A(-2,0),A,(2,0),则 飞4k%=h-0h-0乃 44-)1 x0+2x0-2x7-4x6-4 所以直线PA,PA,的斜率之积为定值，该定值为- …9分 4 (3)由题意可知：直线PQ不垂直于坐标轴，且过点B(-3,0), 设P2:x=my-3,m≠0，P(x,y),(x2,y2), …10分 x2 联立方程 +y2=1 4 x=my-3 B 消去x可得(4+m2)y2-6my+5=0,…11分 则△=36m2-20(4+m2)>0,解得m2>5, 6m 5 可得+为=4+m44+ …12分 则以-=V(y+)2-4yy 36m2 204Wm2-5 V(4+m2)2 4+m2 4+m2,…13分 因为A,(2,0),则A,B=5, 可行△4PD的面积S8=24B-为-2×5x 164Nm2-5_10Nm2-5.…14分 4+m24+m2 设t=Vm2-5>0,则m2=2+5, -10t-10<10-5 所以8o7+97+ 9 ,93,当且仅当1=9，即1=3，m=士4时，等号 成立…16分 所以△4，P的面积的最大值为 …17分 19.【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d,由于3a2+2a=S,+6, 所以3(a+d)+2(a+2d)=5a+10d+6,解得d=-2.…3分 (2》电D可行3.=m+?a=+a+n 2 ，…4分 若数列{Sn}为单调递减数列，则Sn+-Sn<0对于neN恒成立， 所以Sn1-S。=-(n+l2+(a+l(n+)]-[-+(a+1)m=a-2n<0在neN上恒 成立，…6分 则a<2n,所以a<(2n）)mn' 又数列{2n}为递增数列，所以(2n)=2×1=2,即4<2， 故a的取值范围为(-o,2)；…8分 (3)若a=1,则an=1+(n-1)×(-2)=-2n+3,…9分 根据题意数列{b}为： 第一组为：1,2°： 第二组为：-1,2°，2； 第三组为：-3,2°，21,22： … 第k组为：-2k+3,2°，2,22，…，2-1； …11分 则前太组一共有2+3+4+…+k+=伥+3)项当k=6时，项数为27…13分 故T0相当于是前6组的和再加上-11,2°，2这三项，即： T0=[1+(-)++(-9)]+[2°+(2°+2）++(2°+2+…+2)】]+(11+2°+2） 设cn=2-1,则2°+(2°+2)+…+(2°+2++2）可看成是数列{c}的前6项和 所以=0=9x6,229）-6-11+1+2=2-24-2-6-1+3=8 1-2 …17分