精品解析：广东江门市第一中学2026-2027学年第一学期开学考高三年级数学试卷

江门一中2026-2027学年度第一学期开学考试 高三级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列正确的选项是（ ） A. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1 C. 若与线性相关越强，则在线性回归直线上的点越多 D. 甲、乙两个模型的分别约为0.95和0.90，则模型甲的拟合效果更好 3. 现将某市一热门饮品店月份销售的“柠檬水”的利润额统计如下表所示，且根据表中数据，通过最小二乘法求得与的经验回归方程为，则当时，利润额的残差为（ ） 月份 1 2 3 4 5 利润额（万元） 1.9 2.3 2.6 2.9 3.3 A. B. C. D. 4. 小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时分钟，样本方差为；骑自行车平均用时分钟，样本方差为，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8. 1号箱子中有2个红球和1个黑球，2号箱子中有1个红球和4个黑球.甲先随机选1个箱子，再随机从选出的箱子中取出1个球，已知取出的球是红球，则选择1号箱子的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中4个黄球，6个白球，从中随机有放回的取4次，每次取1球，记取到黄球的个数为，则下述正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（）的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是图象的一条对称轴 B. 的单调递减区间为 C. 在内有2个零点 D. 的最大值为 11. 已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象关于点中心对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知多项式，则_______ 13. 直线与曲线相切，则_____． 14. 已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，内角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求的通项公式： （2）设，求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，点为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 19. 已知函数. （1）若有两个零点，求的取值范围； （2）设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门一中2026-2027学年度第一学期开学考试 高三级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，解得，所以. 又因为，所以. 2. 下列正确的选项是（ ） A. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1 C. 若与线性相关越强，则在线性回归直线上的点越多 D. 甲、乙两个模型的分别约为0.95和0.90，则模型甲的拟合效果更好 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】选项 A，残差图带状区域越宽，代表残差波动越大，模型预测误差越大，预报精确度越低， A 错误； 选项 B，线性相关性越强，相关系数|r|越接近1：正相关强：r→1，负相关强：r→−1，B 错误； 选项 C，线性相关强弱描述的是点整体贴近直线的程度，不是落在直线上点的数量，相关强只代表点离直线近，不代表直线上点更多，C 错误； 选项 D决定系数,越接近 1，模型拟合效果越好；0.95>0.90，故甲模型拟合更好，D 正确. 3. 现将某市一热门饮品店月份销售的“柠檬水”的利润额统计如下表所示，且根据表中数据，通过最小二乘法求得与的经验回归方程为，则当时，利润额的残差为（ ） 月份 1 2 3 4 5 利润额（万元） 1.9 2.3 2.6 2.9 3.3 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算预测值，再代入残差公式，即可求解. 【详解】当时，， 所以时，利润额的残差为. 4. 小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时分钟，样本方差为；骑自行车平均用时分钟，样本方差为，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性、正态分布的性质及原则判断即可. 【详解】由题意知，坐公交用时，其中，； 骑自行车用时，其中，； 对于A，，，则，A错误. 对于B，，根据正态曲线的对称性， 所以，B错误. 对于C，对于，， 根据正态分布性质，， 对于，， 根据正态分布性质，， 根据原则，， 所以，C正确. 对于D，对于，， ， 对于，， ， 根据原则，， 所以，D错误. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数在 上单调递减，判断；根据幂函数 在 上单调递增，得到 . 【详解】因为对数函数在 上单调递减，所以 ，所以；  ， ，  因为幂函数 在 上单调递增，且 ，所以 ， 即 ； 所以 . 6. 已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，是夹角为的两个单位向量，则， 又，，则. 7. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数需同时满足定义域相同、对应法则相同的判定准则，逐一分析各选项的两组函数即可得出结论. 【详解】选项A：与的定义域均为，但对应法则不同，故不是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 选项C：与的定义域均为，对应法则也完全一致，故是同一函数. 选项D：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 8. 1号箱子中有2个红球和1个黑球，2号箱子中有1个红球和4个黑球.甲先随机选1个箱子，再随机从选出的箱子中取出1个球，已知取出的球是红球，则选择1号箱子的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式进行求解. 【详解】设事件表示选中号箱子，事件表示从选出的箱子中取出1个球是红球， 则，，， 所以， 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中4个黄球，6个白球，从中随机有放回的取4次，每次取1球，记取到黄球的个数为，则下述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，有放回的取4次，每次取到黄球的概率为，每次取球相互独立，因此取到黄球的个数服从的二项分布，即，故A错误； 对于B，由二项分布概率公式得，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 10. 已知函数（）的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是图象的一条对称轴 B. 的单调递减区间为 C. 在内有2个零点 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先通过周期求出参数，再逐一验证各选项对应的三角函数性质. 【详解】由，，，则， 对A选项，由为最小值，是对称轴，所以A选项正确， 对B选项，令，所以B选项正确， 对C选项，令，，则， 在内共2个零点，所以C选项正确， 对D选项，由，则， 所以的最大值为1，所以D选项错误. 11. 已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象关于点中心对称 【答案】BC 【解析】 【分析】先由和为偶函数推导函数的对称性、周期性，再结合的解析式逐一判断选项. 【详解】是偶函数，故，图象关于对称； 是偶函数，故，图象关于对称； 所以， 故是周期为2的周期函数， 选项A：，错误； 选项B：对任意，，，故，图象关于直线对称，正确； 选项C：当时，，故，该二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递增，正确； 选项D：若关于中心对称，则，又，所以，令，得，但，矛盾，错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知多项式，则_______ 【答案】0 【解析】 【分析】通过赋值法，对二项式中进行赋值，使其展开式为． 【详解】令，即． 13. 直线与曲线相切，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】直线的斜率为， 因为，则， 令，解得， 当时，则，即切点坐标为， 把代入可得，解得. 14. 已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，根据函数在区间上存在单调递减区间得到关于的不等式，再通过对函数的最值来确定取值范围. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在区间上存在使得， 即在有解，即， 令，即， 因为对称轴为，所以， 所以，所以实数的范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，内角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）将等式左边用平方差公式展开，化简后与余弦定理的标准形式对照，可得  的值，从而求出  的大小； （2）由内角和求出角，利用正弦定理求出边，再代入面积公式即可求得三角形面积． 【小问1详解】 由已知， 整理得， 由余弦定理， 所以，因为，所以，又为锐角，所以. 【小问2详解】 因为，，由(1)知，则， 由正弦定理得， 所以． （） 16. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求的通项公式： （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） () （2） () 【解析】 【分析】（1）利用公式求的通项公式； （2）裂项相消法求数列的前项和. 【小问1详解】 由 ，当时，得； 当 时，整理得 ， 故 为首项是 、公比是的等比数列，通项 () . 【小问2详解】 ， 则() . 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，点为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：因为平面平面，交线为，平面且， 所以平面．又平面，所以. 因为为等边三角形，且为的中点，所以， 因为，且，平面，，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先由面面垂直可得平面，进而可得，再由等边三角形的性质得，再由线面垂直的判定定理可得； （2）根据条件建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值，再由同角三角函数关系式可得线面角的正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由等边三角形性质知， 因为平面平面，由面面垂直性质可得平面． 因为且， 所以四边形为平行四边形，得，即． 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则各点坐标为：，，，，． 因为为的中点，所以，，，． 设平面的法向量为， 由，得，，取，则. 所以平面的法向量. 设直线与平面所成角为，且， 则， 即，且，由同角三角函数关系式得. 因此直线与平面所成角的正切值为． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）若有两个零点，求的取值范围； （2）设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】把函数有两个零点，转化为与的图象有两个交点，，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象，即可求解； （2）根据题意转化为在上恒成立，令，求得，令，利用导数求得函数在上为增函数，得到，使得，进而得出函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时，；当时，， 要使得函数有两个零点，即与的图象有两个交点，如图所示， 可得，即，此时有两个零点， 所以有两个零点时，的范围是. （2）因为对任意的，不等式恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上为增函数， 又因为，， 所以，使得，即， 当时，，可得，所以在上单调递减； 当时，，可得，所以在上单调递增， 所以， 由，可得， 令，则， 又由，所以在上单调递增， 所以，可得，所以，即， 所以，所以， 综上所述，满足条件的的取值范围是. 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $