第一章《特殊平行四边形》分层作业 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 该同步练习以“基础巩固-思维进阶-中考衔接”分层设计，覆盖菱形、矩形、正方形的性质判定及关系，通过选择、填空、解答题梯度提升，培养几何直观与推理能力，适配新授课知识内化与中考备考。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|单一图形性质判定（如菱形对角线垂直、矩形直角三角形中线定理）|以选择填空为主，直接对应知识点辨析（如第1-8题性质判定对比）| |进阶思维题|跨图形综合应用（如矩形折叠、菱形动态问题）|含动态几何与证明题，需结合性质推理（如第12题矩形判定证明）| |中考链接题|中考真题及模拟题（如正方形旋转、菱形作图）|情境复杂，融合多知识点（如第15题正方形外角平分线综合应用）|

北师大版九年级上册 第1章 特殊平行四边形 复习与小结 本章思结构图与知识点总结 【本章知识结构图】 【本章知识点总结】 一、菱形 1. 定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2. 性质： ① 菱形的四条边都相等； ② 菱形的对角线互相垂直平分； ③ 菱形的每条对角线平分一组对角； ④ 菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在直线）。 3. 判定： ① 定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③ 四条边都相等的四边形是菱形。 4. 面积：S = 底×高 = × 对角线₁ × 对角线₂ 二、矩形 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2. 性质： ① 矩形的四个角都是直角； ② 矩形的对角线相等且互相平分； ③ 矩形是轴对称图形，有两条对称轴。 3. 判定： ① 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ② 对角线相等的平行四边形是矩形； ③ 有三个角是直角的四边形是矩形。 4. 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 三、正方形 1. 定义：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 性质： ① 正方形的四条边都相等； ② 正方形的四个角都是直角； ③ 正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； ④ 正方形是轴对称图形，有四条对称轴。 3. 判定： ① 一组邻边相等的矩形是正方形； ② 有一个角是直角的菱形是正方形； ③ 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。 四、三种特殊平行四边形的关系 1. 从属关系： 2. 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质。 3. 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 特殊平行四边形的性质综合判断 1．（2024秋·北京朝阳·单元测）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角 2．（2024-2025九年级上·上海闵行·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 3．（2024秋·广东广州·月考）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 4．（2024-2025九年级上·江苏苏州·单元测）下列说法中，正确的是（　　） A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线相等 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 题型02 特殊平行四边形的判定综合判断 5．（2024秋·浙江杭州·期中）下列条件中，不能判定一个平行四边形是矩形的是（　　） A．有一个角是直角 B．对角线相等 C．有三个角是直角 D．对角线互相垂直 6．（2024-2025九年级上·山东济南·月考）下列条件中，能判定一个四边形是菱形的是（　　） A．对角线相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线互相平分的四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形 7．（2024秋·湖北武汉·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．一组邻边相等的四边形是正方形 B．有一个角是直角的四边形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 8．（2024-2025九年级上·湖南长沙·期中）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．OA = OB = OC = OD，AC ⊥ BD B．AB ∥ CD，AC = BD C．AD ∥ BC，∠A = ∠C D．OA = OC，OB = OD，AB = BC 题型03 菱形性质与判定综合计算 9．（2024秋·河南郑州·月考）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为（　　） A．5 B．10 C．14 D．20 10．（2024-2025九年级上·河北石家庄·期末）菱形的周长为40cm，一条对角线长为12cm，则另一条对角线长为________cm，菱形的面积为________cm²。 11．（2024秋·陕西西安·单元测）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC = 60°，AB = 4，则AC的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，求证：四边形ABCD是菱形。 题型04 矩形性质与判定综合计算 13．（2024秋·重庆渝中·月考）矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为6cm，则对角线的长为（　　） A．6cm B．12cm C．6cm D．12cm 14．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC = 10，AB = 6，则BC的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 15．（2024秋·四川成都·期中）直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边上的中线长为（　　） A．10 B．5 C．4 D．3 16.（2024-2025九年级上·安徽合肥·月考）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC = BD。求证：四边形ABCD是矩形。 题型05 正方形性质与判定综合计算 17．（2024秋·福建福州·期末）正方形的边长为4，则它的对角线长为（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 18．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）正方形的对角线长为6，则它的边长为________，面积为________。 19．（2024秋·山东青岛·月考）在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则∠OAB的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 20.（2024-2025九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，在BC上取点F使BF=AB。求证：四边形ABFE是正方形。 题型06 三种特殊平行四边形的关系辨析 21．（2024秋·广东深圳·期中）下列说法中，错误的是（　　） A．正方形是特殊的矩形 B．矩形是特殊的平行四边形 C．菱形是特殊的正方形 D．正方形是特殊的菱形 22．（2024-2025九年级上·浙江宁波·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形 23．（2024秋·湖北武汉·月考）将相应的字母填入图中：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形。则图中从大到小的包含关系正确的是（　　） A．①包含②③，②和③都包含④ B．①包含②，②包含③，③包含④ C．①包含③，③包含②，②包含④ D．④包含②③，②和③都包含① 二、进阶思维题 （一）选择题 1.（2025·辽宁期末）如图，在菱形中，点在边上，，若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 2.（24-25·山东期中）如图，矩形中，，，且有一点从点沿着往点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为多少（       ） A. B. C. D. 3.（2025·河南期末）如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（       ） A.7 B.7.5 C.8 D.9 4.（2025·黑龙江期末）如图，在中，，，为上一点，且，，分别是，的中点，连接，若，则的长为（       ） A. B. C. D. 5.（24-25·福建期中）如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且点不与点、重合．过点作于点，于点，连结，则的最小值为（       ） A. B. C. D. （二）填空题 6.（25-26上册期末）如图，矩形的对角线，相交于点，，．若，则四边形的周长是      ． 7.（25-26·全国同步）如图，在中，，，将沿向下翻折得到，点为上一点，若，，，则的面积为        ． 8.（2025·天津期末）如图，在正方形中，点是边上一点，点是边延长线上一点，点是的中点，连接并延长交边于点．若，． （1）的长度为________； （2）线段的长为________． 9.（2026·四川模拟）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径作弧，交线段于点；②分别以C，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③连接并延长交延长线于点，交线段BC于点．若，则线段的长为________． 10.（25-26·全国开学）如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确结论的序号为     ． （三）解答题 11.（2025·山东期末）如图，在菱形中，、分别是和的中点，连接、．求证：． 12.（2025·湖南期末）如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 13.（24-25·全国开学）如图，点为平行四边形的对称中心，经过点的直线交边于点，交的延长线于点，交边于点，交的延长线于点． （1）若，，，求的长； （2）连接，，判断四边形的形状，并证明； （3）求证：． 14.（2025·上册期末）在正方形中，对角线，相交于点，为直线上一点，连接，过点作，交边所在的直线于点． （1）如图①，当点在上时，求证：； （2）如图②，当点在上时；如图③，当点在的延长线上时，请分别写出线段，，之间的数量关系，不需要证明． 三、中考链接题 1.（2026·贵州中考）如图，在菱形中，对角线，交于点，．以点为圆心，以的长为半径作弧，交边于点，连接，若，则菱形的边长为（        ） A. B. C. D. 2.（24-25·上册中考）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（     ） A. B.2 C. D. 3.（24-25·贵州中考）如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（       ） A. B. C. D. 4.（24-25·甘肃中考）如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点，分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（       ） A. B. C. D. 5.（23-24·浙江中考）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（       ） A.的最大值是 B.的最小值是 C.的最小值是 D.的最大值是 6.（2026·广东中考）如图，在菱形中，点为边的中点，连接，．若，且，则菱形的边长为________． 7.（2026·四川中考）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 8.（25-26·内蒙古中考）如图，在矩形中，，，是它的一条对角线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点（异于点），分别以点和点为圆心，大于长为半径，在直线的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点，连接，与交于点，则的长为_______． 9.（2026·江苏中考）如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形和正方形按如图所示的方式摆放，在边上取点M，使，沿，剪开，可拼成正方形．若，，则的面积是________． 10.（24-25·江西期末）如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当      时，是以为腰的等腰三角形． 11.（2026·山东模拟）如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 12.（24-25·福建中考）如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点，，，． （1）是直角三角形吗？请说明理由； （2）求证：四边形是菱形． 13.（23-24·湖北中考）如图，在矩形中，点，在边上，连接，． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 14.（2026·云南中考）如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 15.（25-26·四川中考）如图，四边形是正方形，点是边（不与点，点重合）上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，分别为，的中点，连接和相交于点，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由； （3）若点是边（不与点，点重合）上的一点，直接写出，，三边满足什么数量关系时，四边形是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第1章 特殊平行四边形 复习与小结 本章思结构图与知识点总结 【本章知识结构图】 【本章知识点总结】 一、菱形 1. 定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2. 性质： ① 菱形的四条边都相等； ② 菱形的对角线互相垂直平分； ③ 菱形的每条对角线平分一组对角； ④ 菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在直线）。 3. 判定： ① 定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③ 四条边都相等的四边形是菱形。 4. 面积：S = 底×高 = × 对角线₁ × 对角线₂ 二、矩形 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2. 性质： ① 矩形的四个角都是直角； ② 矩形的对角线相等且互相平分； ③ 矩形是轴对称图形，有两条对称轴。 3. 判定： ① 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ② 对角线相等的平行四边形是矩形； ③ 有三个角是直角的四边形是矩形。 4. 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 三、正方形 1. 定义：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 性质： ① 正方形的四条边都相等； ② 正方形的四个角都是直角； ③ 正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； ④ 正方形是轴对称图形，有四条对称轴。 3. 判定： ① 一组邻边相等的矩形是正方形； ② 有一个角是直角的菱形是正方形； ③ 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。 四、三种特殊平行四边形的关系 1. 从属关系： 2. 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质。 3. 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 特殊平行四边形的性质综合判断 1．（2024秋·北京朝阳·单元测）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，都具有平行四边形的性质。 【详解】解：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形， 平行四边形的对角线互相平分， ∴它们都具有对角线互相平分的性质。 A. 菱形对角线不一定相等； B. 矩形对角线不一定垂直； D. 矩形对角线不平分对角。 故选：C。 2．（2024-2025九年级上·上海闵行·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】正方形是特殊的矩形，除了具有矩形的所有性质外，还具有菱形的性质。 【详解】解：正方形是特殊的矩形，具有矩形的所有性质： 四个角都是直角、对角线相等且互相平分。 正方形还具有菱形的性质：对角线互相垂直、四条边相等。 矩形的对角线不一定互相垂直。 故选：C。 3．（2024秋·广东广州·月考）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】菱形是特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有自己特有的性质。 【详解】解：平行四边形的性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分。 菱形除了具有以上性质外，还具有： 四条边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角。 ∴对角线互相垂直是菱形特有的性质。 故选：D。 4．（2024-2025九年级上·江苏苏州·单元测）下列说法中，正确的是（　　） A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线相等 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 【答案】C 【分析】逐一判断各选项的正确性。 【详解】解： A. 矩形的对角线相等但不一定垂直，错误； B. 菱形的对角线互相垂直但不一定相等，错误； C. 正方形的对角线相等且互相垂直平分，正确； D. 平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，错误。 故选：C。 题型02 特殊平行四边形的判定综合判断 5．（2024秋·浙江杭州·期中）下列条件中，不能判定一个平行四边形是矩形的是（　　） A．有一个角是直角 B．对角线相等 C．有三个角是直角 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】矩形的判定方法：定义法、对角线相等法、三个直角法。 【详解】解：矩形的判定方法： ① 有一个角是直角的平行四边形是矩形； ② 对角线相等的平行四边形是矩形； ③ 有三个角是直角的四边形是矩形。 对角线互相垂直是菱形的判定条件，不是矩形的。 故选：D。 6．（2024-2025九年级上·山东济南·月考）下列条件中，能判定一个四边形是菱形的是（　　） A．对角线相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线互相平分的四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形 【答案】D 【分析】菱形的判定需要同时满足平行四边形和邻边相等（或对角线垂直）的条件。 【详解】解： A. 对角线相等不能判定是菱形； B. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（还要是平行四边形）； C. 对角线互相平分只能判定是平行四边形； D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形（先由互相平分判定是平行四边形，再由垂直判定是菱形）。 故选：D。 7．（2024秋·湖北武汉·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．一组邻边相等的四边形是正方形 B．有一个角是直角的四边形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【分析】正方形的判定需要同时满足矩形和菱形的条件。 【详解】解： A. 一组邻边相等的平行四边形才是菱形，不是正方形，错误； B. 有一个角是直角的平行四边形才是矩形，不是正方形，错误； C. 对角线相等的菱形是正方形（菱形+对角线相等=正方形），正确； D. 对角线互相垂直的矩形是正方形（矩形+对角线垂直=正方形），正确。 C和D都正确，本题选D（注：C也正确，两个答案都对）。 故选：D。 8．（2024-2025九年级上·湖南长沙·期中）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．OA = OB = OC = OD，AC ⊥ BD B．AB ∥ CD，AC = BD C．AD ∥ BC，∠A = ∠C D．OA = OC，OB = OD，AB = BC 【答案】A 【分析】正方形需要同时满足矩形和菱形的条件。 【详解】解： A. OA = OB = OC = OD说明对角线相等且互相平分，是矩形； AC ⊥ BD说明对角线互相垂直，是菱形； 既是矩形又是菱形，是正方形，正确； B. 只能判定是等腰梯形或矩形，不能判定是正方形； C. 只能判定是平行四边形； D. 只能判定是菱形。 故选：A。 题型03 菱形性质与判定综合计算 9．（2024秋·河南郑州·月考）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为（　　） A．5 B．10 C．14 D．20 【答案】A 【分析】菱形对角线互相垂直平分，利用勾股定理求边长。 【详解】解：菱形的两条对角线长分别为6和8， 则对角线的一半分别为3和4。 ∵菱形对角线互相垂直， ∴由勾股定理得： 边长 = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。 故选：A。 10．（2024-2025九年级上·河北石家庄·期末）菱形的周长为40cm，一条对角线长为12cm，则另一条对角线长为___16_____cm，菱形的面积为___96_____cm²。 【答案】16；96 【分析】先求边长，再利用勾股定理求另一条对角线的一半，最后求面积。 【详解】解：菱形周长为40cm， ∴边长 = 40 ÷ 4 = 10 cm。 一条对角线长为12cm，则其一半为6cm。 设另一条对角线的一半为x cm， 由勾股定理得：6² + x² = 10²， 36 + x² = 100， x² = 64，x = 8。 ∴另一条对角线长 = 2 × 8 = 16 cm。 菱形面积 = × 12 × 16 = 96 cm²。 故答案为：16；96。 11．（2024秋·陕西西安·单元测）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC = 60°，AB = 4，则AC的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 【答案】B 【分析】菱形中∠ABC = 60°，则△ABC是等边三角形。 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = BC。 又∵∠ABC = 60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC = AB = 4。 故选：B。 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，求证：四边形ABCD是菱形。 【答案】见详解 【分析】利用角平分线和平行线性质证明邻边相等。 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB ∥ CD， ∴∠BAC = ∠DCA（两直线平行，内错角相等）。 ∵AC平分∠DAB， ∴∠BAC = ∠DAC。 ∴∠DCA = ∠DAC（等量代换）， ∴AD = CD（等角对等边）。 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 题型04 矩形性质与判定综合计算 13．（2024秋·重庆渝中·月考）矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为6cm，则对角线的长为（　　） A．6cm B．12cm C．6cm D．12cm 【答案】B 【分析】矩形对角线相等且互相平分，夹角60°时形成等边三角形。 【详解】解：在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。 ∵矩形对角线相等且互相平分， ∴OA = OB = OC = OD。 ∵∠AOB = 60°，OA = OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA = AB = 6cm， ∴AC = 2OA = 12cm。 即对角线长为12cm。 故选：B。 14．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC = 10，AB = 6，则BC的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】矩形的对角线相等，利用勾股定理求另一边。 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC = 90°。 在Rt△ABC中，AC = 10，AB = 6， 由勾股定理得： BC = = = = = 8。 故选：C。 15．（2024秋·四川成都·期中）直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边上的中线长为（　　） A．10 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】先求斜边，再利用直角三角形斜边中线定理。 【详解】解：直角三角形的两条直角边长分别为6和8， 由勾股定理得： 斜边 = = = = 10。 ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边上的中线长 = 10 ÷ 2 = 5。 故选：B。 16.（2024-2025九年级上·安徽合肥·月考）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC = BD。求证：四边形ABCD是矩形。 【答案】见详解 【分析】利用对角线相等的平行四边形是矩形来证明。 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，AB ∥ CD。 在△ABC和△DCB中： AB = DC（已证）， BC = CB（公共边）， AC = DB（已知）。 ∴△ABC ≌ △DCB（SSS）。 ∴∠ABC = ∠DCB。 又∵AB ∥ CD， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∴2∠ABC = 180°，∠ABC = 90°。 ∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 题型05 正方形性质与判定综合计算 17．（2024秋·福建福州·期末）正方形的边长为4，则它的对角线长为（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 【答案】B 【分析】正方形对角线 = 边长 × √2。 【详解】解：正方形的边长为4， 由勾股定理得： 对角线长 = √(4² + 4²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2。 故选：B。 18．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）正方形的对角线长为6，则它的边长为___3_____，面积为___18_____。 【答案】3；18 【分析】正方形边长 = 对角线 ÷ √2，面积 = ½ × 对角线²。 【详解】解：设正方形边长为a，对角线长为6。 由勾股定理得：a² + a² = 6²， 2a² = 36， a² = 18， a = = 3。 面积 = a² = 18。 （或直接用公式：正方形面积 = × 对角线² = × 36 = 18） 故答案为：3；18。 19．（2024秋·山东青岛·月考）在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则∠OAB的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】正方形对角线平分一组对角，∠DAB = 90°，所以∠OAB = 45°。 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB = 90°， 对角线AC平分∠DAB（正方形每条对角线平分一组对角）， ∴∠OAB = ∠DAB = × 90° = 45°。 故选：B。 20.（2024-2025九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，在BC上取点F使BF=AB。求证：四边形ABFE是正方形。 【答案】见详解 【分析】先证明是矩形，再证明一组邻边相等。 【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A = ∠ABC = 90°。 ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE = ∠ABC = 45°。 在△ABE中，∠A = 90°，∠ABE = 45°， ∴∠AEB = 45°， ∴AB = AE（等角对等边）。 ∵AB = BF，∠A = ∠ABF = 90°，AE ∥ BF，且AE = AB = BF， ∴四边形ABFE是平行四边形（一组对边平行且相等）。 又∵∠A = 90°， ∴四边形ABFE是矩形。 又∵AB = AE， ∴矩形ABFE是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）。 题型06 三种特殊平行四边形的关系辨析 21．（2024秋·广东深圳·期中）下列说法中，错误的是（　　） A．正方形是特殊的矩形 B．矩形是特殊的平行四边形 C．菱形是特殊的正方形 D．正方形是特殊的菱形 【答案】C 【分析】正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。菱形不一定是正方形。 【详解】解： A. 正方形是有一组邻边相等的矩形，是特殊的矩形，正确； B. 矩形是有一个角是直角的平行四边形，是特殊的平行四边形，正确； C. 菱形不一定是正方形（正方形需要有一个角是直角），错误； D. 正方形是有一个角是直角的菱形，是特殊的菱形，正确。 故选：C。 22．（2024-2025九年级上·浙江宁波·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形 【答案】C 【分析】判定特殊平行四边形需要先判定是平行四边形，再加上特殊条件。 【详解】解： A. 两条对角线相等的四边形不一定是矩形（还要是平行四边形），假命题； B. 两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（还要是平行四边形），假命题； C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形，真命题； D. 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形（还要对角线相等），假命题。 故选：C。 23．（2024秋·湖北武汉·月考）将相应的字母填入图中：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形。则图中从大到小的包含关系正确的是（　　） A．①包含②③，②和③都包含④ B．①包含②，②包含③，③包含④ C．①包含③，③包含②，②包含④ D．④包含②③，②和③都包含① 【答案】A 【分析】平行四边形包含矩形和菱形；矩形和菱形的交集是正方形。 【详解】解：特殊平行四边形的从属关系： 平行四边形包含矩形和菱形； 矩形包含正方形（正方形是特殊的矩形）； 菱形包含正方形（正方形是特殊的菱形）。 即：①包含②③，②和③都包含④。 故选：A。 二、进阶思维题 （一）选择题 1.（2025·辽宁期末）如图，在菱形中，点在边上，，若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据菱形的性质得到 ，根据等腰三角形的判定和性质得到 ，继而得到 . 【解答】 解：在菱形ABCD中， ， 是等腰三角形， , 根据三角形内角和： , 也是等腰三角形， , 根据三角形内角和： , 由图可知， . 2.（24-25·山东期中）如图，矩形中，，，且有一点从点沿着往点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为多少（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解． 【解答】 解：如图，连接、， ，， ． 四边形是矩形， ． 四边形为矩形． ． 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ． 的长度最小为：． 故此题答案为：． 3.（2025·河南期末）如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（       ） A.7 B.7.5 C.8 D.9 【答案】 A 【解析】 先根据勾股定理求得BE=15，然后根据图形旋转的性质证明四边形CEFH是正方形，即可求得答案. 【解答】 解：在Rt CBE中，CE=8，CB=17， ， Rt CBE绕点C按顺时针方向旋转 ，得到 CDF， ，，DF=BE=15， 四边形CEFH是矩形， ， 四边形CEFH是正方形， ， . 4.（2025·黑龙江期末）如图，在中，，，为上一点，且，，分别是，的中点，连接，若，则的长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 连接AE，先根据含 角的直角三角形性质求出 和BC的长，再由勾股定理可得AB的长，再证明 是等边三角形，利用三线合一得到 ，最后在Rt 中利用斜边中线定理求出EF的长. 【解答】 如图，连接 在Rt 中， 由勾股定理得： 是等边三角形， 是CD的中点， 即 在Rt 中，F是AB的中点， 5.（24-25·福建期中）如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且点不与点、重合．过点作于点，于点，连结，则的最小值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可证四边形是矩形，可得，时，有最小值，由面积法可求解． 【解答】 连接， 四边形是菱形，，， ，，， ， ，，， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值， 此时， ， 的最小值为， 故选：． （二）填空题 6.（25-26上册期末）如图，矩形的对角线，相交于点，，．若，则四边形的周长是  20     ． 【答案】 【解析】 首先由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，由，，可证得四边形是平行四边形，又可判定四边形是菱形，继而求得答案． 【解答】 解：四边形是矩形，，，， ， ，．， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为：． 故此题答案为． 7.（25-26·全国同步）如图，在中，，，将沿向下翻折得到，点为上一点，若，，，则的面积为        ． 【答案】 【解析】 由等腰三角形性质得，由三角形内角和定理得，由折叠得到，，由菱形性质得，求得，过作于，求出长，过作于，得，根据三角形面积公式可得出结论． 【解答】 解：，，， ， 将沿向下翻折得到， ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 过作于， ， ， 过作于， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 8.（2025·天津期末）如图，在正方形中，点是边上一点，点是边延长线上一点，点是的中点，连接并延长交边于点．若，． （1）的长度为________； （2）线段的长为________． 【答案】 , 【解析】 由正方形的性质以及勾股定理即可求得 的长； (2) 如图：连接AE，EH，先证明 （SAS）可得AE=AF，利用等腰三角形三线合一的性质可得AH垂直平分EF，即 FH=EH，设FH=EH=x，则CH=25-x；根据勾股定理列方程可得x=17，即FH=17，DH=FH-DF=12，最后利用勾股定理求线段AH的长. 【解答】 解： 在正方形ABCD中， (2) 如图：连接 (SAS) , 点G是EF的中点， 垂直平分EF， 设 ，则 ，解得： 9.（2026·四川模拟）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径作弧，交线段于点；②分别以C，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③连接并延长交延长线于点，交线段BC于点．若，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 根据矩形性质得出 由作图步骤 ①可知DE=DC，由步骤 ②可知直线DG是线段EC的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一性质得出DG平分 从而求出 在Rt 中，利用等角对等边得出AD=AG，结合 AG=AB+BG求出AG的长，最后利用勾股定理计算DG的长. 【解答】 解：如图，连接CE， 四边形ABCD是矩形， 由作图步骤 ①可知：DE=DC，由作图步骤 ②可知：直线DG是线段EC的垂直平分线， 点D在线段EC的垂直平分线上， 直线DG平分 点G在AB的延长线上， 在Rt 中， 在Rt 中，由勾股定理得： 10.（25-26·全国开学）如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确结论的序号为  ①②③   ． 【答案】 ①②③ 【解析】 ①连接，可得四边形为矩形，可得；由可得，所以；②由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；③由②中的结论可得；④由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由①知，所以的最小值为． 【解答】 解：①连接，交于点，如图， ，， ． ， 四边形为矩形． ，． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ． ． ． ①正确； ②延长，交于，交于点， ， ． 由①知：， ． ． ， ． ． 即：， ． ②正确； ③由②知：． 即：． ③正确； ④点为上一动点， 根据垂线段最短，当时，最小． ，， ． ． 由①知：， 的最小值为， ④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故答案为：①②③． （三）解答题 11.（2025·山东期末）如图，在菱形中，、分别是和的中点，连接、．求证：． 【答案】 见解答 【解析】 用“”证明，即可得出． 【解答】 四边形是菱形，， 、分别是和的中点， ，， ， 在和中， ， ， ．   12.（2025·湖南期末）如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】 见解析 4.8 【解析】 （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理求得，再结合，即可求解. 【解答】 （1）证明：四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， （2）四边形是矩形，   13.（24-25·全国开学）如图，点为平行四边形的对称中心，经过点的直线交边于点，交的延长线于点，交边于点，交的延长线于点． （1）若，，，求的长； （2）连接，，判断四边形的形状，并证明； （3）求证：． 【答案】 ； 见解答； 见解答 【解析】 （1）根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据中心对称的性质得出； （2）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出垂直平分，即可证明四边形为菱形； （3）证明，得出，根据，得出，即可证明结论． 【解答】 （1）解：，，，， ， 点为平行四边形的对称中心， ； （2）解：四边形为菱形，理由如下： 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为菱形； （3）证明：四边形为平行四边形，， ，， ， ， ， 根据解析可知，， ， ， 即．  14.（2025·上册期末）在正方形中，对角线，相交于点，为直线上一点，连接，过点作，交边所在的直线于点． （1）如图①，当点在上时，求证：； （2）如图②，当点在上时；如图③，当点在的延长线上时，请分别写出线段，，之间的数量关系，不需要证明． 【答案】 见解答 图 ②： ；图 ③： 【解析】 （1）过点E作EG AC交AB的延长线于点G，可得 是等腰直角三角形，得出 ，证明 得出 AF=BG，进而根据线段和差的关系即可得出结论； （2）如图 ② ，过点E作EH AC交AB于点H，如图 ③ ：过点E作EK AF交AF于点K，同（1）的方法证明即可求解. 【解答】 （1）证明：如图，过点E作 的延长线于点G， 图 ① 四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线， 是等腰直角三角形， 又 ，AE=EG， (ASA) （2）解：如图 ②，过点E作 EH AC交AB于点H， 图 ② 四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线， 是等腰直角三角形， 又 (ASA) 点E作EK AE交AF于点K， 是等腰直角三角形， 又 四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线， 三、中考链接题 1.（2026·贵州中考）如图，在菱形中，对角线，交于点，．以点为圆心，以的长为半径作弧，交边于点，连接，若，则菱形的边长为（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据题意，易得 为等边三角形，得到 ，根据作图得到 ，证明 为等边三角形，得到 ，即可得出结果. 【解答】 解：菱形 ，， ，，， 为等边三角形， ， 由作图可知，， 为等边三角形， ， ， ，即菱形 的边长为2. 2.（24-25·上册中考）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（     ） A. B.2 C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知 ，证明Rt Rt ，设CG=x，则DG=6-x，由勾股定理得到，求出DG，最后利用勾股定理即可求解. 【解答】 解：∵ 四边形ABCD为正方形， ，， 由折叠的性质易知 ， ，， ，， 又， ， . 为BC边的中点， . 设CG=x，则DG=6-x， ，， 在Rt 中， ， ， 解得x=4， ， ， . 故选：C. 3.（24-25·贵州中考）如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形ABCD是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案. 【解答】 解： 点O是 边AC的中点， 又 四边形ABCD是平行四边形， A. 若 ，则四边形ABCD是菱形，无法得出四边形ABCD为矩形，故该选项符合题意； B. 若 ，则四边形ABCD为矩形，故该选项不符合题意； C. 四边形ABCD是平行四边形， ，又 则四边形ABCD为矩形，故该选项不符合题意； D. 若 则四边形ABCD为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A. 4.（24-25·甘肃中考）如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点，分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，利用斜边中线的性质求得，求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【解答】 解：四边形是矩形， ，， ， ， ，为的中点， ， ， ， ， 故选：． 5.（23-24·浙江中考）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（       ） A.的最大值是 B.的最小值是 C.的最小值是 D.的最大值是 【答案】 A 【解析】 本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【解答】 解：将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，． 又，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ． ， ， ，即点在上运动， 四边形和四边形是矩形， ，，， ， ，，， ， 最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时， ，故错误，符合题意； 故正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时 当、、三点共线时，最小， 四边形是矩形， ，， 的最小值 故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ，， ， ， ， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 6.（2026·广东中考）如图，在菱形中，点为边的中点，连接，．若，且，则菱形的边长为________． 【答案】 【解析】 设菱形的边长为a，根据中点定义和已知条件表示出BE和 ；过点A作AH BC交CB的延长线于点H，过点D作DF BC于点F，证明 ，设BH=CF=x，利用勾股定理分别表示出 和 ，建立关于a和x的方程组，求解即可. 【解答】 解：设菱形ABCD的边长为 解：设菱形ABCD的边长为a， 四边形ABCD是菱形， AB||CD， 点E为边BC的中点， 过点A作AH BC交CB的延长线于点H，过点D作DF BC于点F，如图， 在 和 中， (AAS) 设 在Rt 中， 在Rt 中， ① , 在Rt 中， ② , 将 ②代入 ①得 即 解得 （负值舍去） 7.（2026·四川中考）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为___10_____． 【答案】 10 【解析】 根据线段垂直平分线的性质得到 ，则 . 【解答】 解： AE垂直且平分线段BO， 四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O， . 8.（25-26·内蒙古中考）如图，在矩形中，，，是它的一条对角线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点（异于点），分别以点和点为圆心，大于长为半径，在直线的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点，连接，与交于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 根据题干构造图形，连接BE，AM，EM，由作图可知BM垂直平分AE，根据矩形的性质得到 ，根据勾股定理求出 根据等面积法计算即可. 【解答】 解：如图，连接BE，AM，EM 由作图可知 AB=BE，AM=EM，即BM垂直平分AE， 矩形ABCD， 解得： 9.（2026·江苏中考）如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形和正方形按如图所示的方式摆放，在边上取点M，使，沿，剪开，可拼成正方形．若，，则的面积是________． 【答案】 【解析】 设，，则，利用正方形的性质可得，，进而可得，利用完全平方公式求得，然后利用三角形的面积公式求解即可. 【解答】 解：在正方形ABCD和正方形BEFG中，，，， 设，，则， ， ，即； 四边形MFND是正方形， ，，又， ，即， ，则， ，即， 解得， . 10.（24-25·江西期末）如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当  或    时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】 或 【解析】 对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过作垂直于于点，然后根据折叠可得到，在结合，利用互余性质可得到，然后证得，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后在根据数量关系得到． 【解答】 解：当时，设，则，沿翻折得， ， 在中由勾股定理可得：即， 解得：； 当时，如图所示，过作垂直于于点， ，， ， ， ， 沿翻折得， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 综上所述，， 故答案为： 11.（2026·山东模拟）如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 【答案】 证明见解析 【解析】 本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到，再由线段的和差关系证明，则可利用证明，据此由全等三角形对应边相等可证明． 【解答】 证明：四边形是菱形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ．  12.（24-25·福建中考）如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点，，，． （1）是直角三角形吗？请说明理由； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】 解：是直角三角形，理由如下： 四边形是平行四边形，， ， ，，， ， 是直角三角形，且； 证明：由（1）可知，， ， 平行四边形是菱形． 【解析】 （1）由平行四边形的性质得，再证，然后由勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）由得，再由菱形的判定定理即可得出结论． 【解答】 （1）解：是直角三角形，理由如下： 四边形是平行四边形，， ， ，，， ， 是直角三角形，且； （2）证明：由（1）可知，， ， 平行四边形是菱形． 13.（23-24·湖北中考）如图，在矩形中，点，在边上，连接，． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 【答案】 见解析 【解析】 （1）根据矩形得到，再结合已知条件由即可证明全等； （2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解． 【解答】 （1）解：证明：四边形是矩形， ， ， ； （2）解：， ， ，， ． 14.（2026·云南中考）如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【答案】 见解答； 【解析】 （1）根据，得到，进而得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，即可得证； （2）根据角的数量关系，和差关系求出的度数，再根据菱形的性质，即可得出结果. 【解答】 （1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ，平分， ，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：，， ， ， ， 四边形是菱形， ， .  15.（25-26·四川中考）如图，四边形是正方形，点是边（不与点，点重合）上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，分别为，的中点，连接和相交于点，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由； （3）若点是边（不与点，点重合）上的一点，直接写出，，三边满足什么数量关系时，四边形是平行四边形． 【答案】 见解答 四边形DMEF是平行四边形. 当BM+BE=CD时，四边形DMEF是平行四边形. 【解析】 （3）在AB上截取AH=EC，结合正方形的性质得到HB=EB，则 ，再结合正方形ABCD的外角平分线，得到 ，即可证明  (ASA)，得到  (2)由M，E分别为AB，BC的中点，得到AM=BE，即可证明  (SAS)，得到 ，接着得到 ，则MD ，最后根据一组对边平行且相等即可得到四边形DMEF是平行四边形. (3)根据BM+BE=CD，得到AM=BE，即可证明  (SAS)，得到 ，接着到 ，则MD ，最后根据一组对边平行且相等即可得到四边形DMEF是平行四边形. 【解答】 （1）证明：在AB上截取  图1 四边形ABCD是正方形， 即HB=EB， 是等腰直角三角形， 是正方形ABCD的外角平分线， 在 和 中，  (ASA) （2）理由如下： 四边形ABCD是正方形， 因为 M, E分别为AB, BC的中点, 在 和 中，  (SAS), 由(1)得  四边形DMEF是平行四边形. （3）解：当BM+BE=CD时，四边形DMEF是平行四边形. 理由如下： 四边形ABCD是正方形， 在 和 中，  (SAS), 由(1)得  学科网（北京）股份有限公司 $