1.1 认识特殊的平行四边形 同步练习-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形性质与判定，分层设计从基础概念到综合应用，梯度合理，适配新授课知识巩固与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|特殊平行四边形性质、判定|选择题1-6直接考查菱形对角线垂直等基础考点，夯实概念理解| |提升层|性质综合应用|选择题7-10结合矩形折叠、阴影面积计算，填空题1-3融入动态问题，发展空间观念| |综合层|跨知识点探究|填空题4-5与解答题综合平行四边形、等边三角形等，通过全等证明、面积推导培养逻辑推理能力|

1.1 认识特殊的平行四边形 一、选择题 1．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为（　　） A．2 B．5 C．8 D．10 2．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点B，C位于第一象限，菱形OABC的顶点A的坐标为（4，0），∠AOC＝60°，则点B的坐标为（　　） A． B． C．（4，4） D．（6，2） 3．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 4．（5分）在矩形、菱形与正方形的复习课上，小明绘制了如图的知识结构框架图，图中箭头处所填判定条件错误的一项是（　　） A．①：一个角是直角 B．②：对角线相等 C．③：对角线互相垂直 D．④：一个角是直角 5．（5分）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（　　） A．66° B．104° C．114° D．124° 6．（5分）下列关于菱形性质的说法，正确的是（　　） A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．不是轴对称图形 7．（5分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．12 C．16 D．18 8．（5分）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB，下列结论： ①△APD≌△AEB； ②点B到直线AE的距离为； ③EB⊥ED； ④S△APD+S△APB． 其中正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 9．（5分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，菱形ABCD的面积为8，BD＝6，AE⊥BC于点E，则OE的长为（　　） A． B． C． D． 10．（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 1．（5分）如图，在菱形ABCD中，若∠ABC＝100°，BA＝BE，则∠BEA的度数为　 　 ． 2．（5分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　 　 ． 3．（5分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　 　 ． 4．（5分）如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 　 　 ． 5．（5分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　 ． 三、解答题 1．（5分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 2．（5分）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF＝EC，且EF⊥EC． （1）求证：AE＝DC； （2）已知DC，求BE的长． 答案 一、选择题 1．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB，DC∥AB， ∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO， ∵点O为BD的中点， ∴OD＝OB， ∴△ODF≌△OBE（AAS）， ∴DF＝BE， ∴DC﹣DF＝AB﹣BE， ∴CF＝AE＝10， 故选：D． 2．【解答】解：如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（4，0），∠AOC＝60°，过点B作BD垂直x轴，垂足为点D， ∴OC∥BA，OA＝AB＝4， ∴∠BAD＝∠AOC＝60°， 在Rt△ABD中，∠BAD＝60°， ∴∠ABD＝30°， ∴AD＝2， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：BD， ∴OD＝OA+AD＝6， ∴点B的坐标为， 故选：B． 3．【解答】解：∵△AD′C≌△CBA， ∴△AD′F≌△CBF， ∴△AD′F与△CBF面积相等， 设BF＝x，则（8﹣x）2＝x2+42， 64﹣16x+x2＝x2+16， 16x＝48， 解得x＝3， ∴△AFC的面积4×83×4＝10． 故选：B． 4．【解答】解：∵有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴①应填：一个角是直角， 故选项A正确，不符合题意； ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴②应填：对角线互相垂直， 故选项B不正确，符合题意； ∵对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴③应填：对角线互相垂直， 故选项C正确，不符合题意； ∵有一个角是直角的菱形是正方形， ∴④应填：一个角是直角， 故选项D正确，不符合题意， 故选：B． 5．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， 由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC∠1＝22°， ∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°； 故选：C． 6．【解答】解：A、对角线不一定相等，原说法错误，故不符合题意； B、四个角不一定都是直角，原说法错误，故不符合题意； C、对角线互相垂直，原说法正确，故符合题意； D、菱形是轴对称图形，原说法错误，故不符合题意； 故选：C． 7．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∴S△DFP＝S△PBE2×8＝8， ∴S阴＝8+8＝16， （本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题） 故选：C． 8．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD， ∵AP⊥AE， ∴∠BAE+∠BAP＝90°， 又∵∠DAP+∠BAP＝∠BAD＝90°， ∴∠BAE＝∠DAP， 在△APD和△AEB中， ， ∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确； ∵AE＝AP，AP⊥AE， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴∠AEP＝∠APE＝45°， ∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°， ∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°， ∴EB⊥ED，故③正确； ∵AE＝AP＝1， ∴PEAE， 在Rt△PBE中，BE2， ∴S△APD+S△APB＝S△APE+S△BPE， 1×12， ＝0.5，故④正确； 过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F， ∵∠BEF＝180°﹣135°＝45°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴BF2， 即点B到直线AE的距离为，故②错误， 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：A． 9．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，菱形ABCD的面积8， ∴AC， ∵AE⊥BC，OA＝OC， ∴OE， 故选：C． 10．【解答】解：∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，AC10， ∴AO＝DOAC＝5， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12AO×EODO×EF， ∴125×EO5×EF， ∴5（EO+EF）＝24， ∴EO+EF， 故选：C． 二、填空题 1．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝100°， ∴∠ABE∠ABC＝50°， ∵BA＝BE， ∴∠BEA＝∠BAE（180°﹣∠ABE）（180°﹣50°）＝65°， 故答案为：65°． 2．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1＝∠2， 在△ADG和△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°， ∴∠1+∠BAH＝90°， ∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°， 取AB的中点O，连接OH、OD， 则OH＝AOAB＝1， 在Rt△AOD中，OD， 根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD， ∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小， 最小值＝OD﹣OH1． （解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小） 故答案为：1． 3．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°． ∵等边三角形ADE， ∴AD＝AE，∠DAE＝∠AED＝60°． ∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°， AB＝AE， ∠AEB＝∠ABE＝（180°﹣∠BAE）÷2＝15°， ∠BED＝∠DEA﹣∠AEB＝60°﹣15°＝45°． 故答案为：45°． 4．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB， ∵AD＝3，AB＝CF＝2， ∴CD＝2，BC＝3， ∴BF＝BC+CF＝5， ∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点， ∴BF＝BE＝5，DG＝EG， 延长CG交BE于点H， ∵DC∥AB， ∴∠CDG＝∠HEG， 在△DCG和△EHG中， ， ∴△DCG≌△EHG（ASA）， ∴DC＝EH，CG＝HG， ∵CD＝2，BE＝5， ∴HE＝2，BH＝3， ∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3， ∴△CBH是等边三角形， ∴CH＝BC＝3， ∴CGCH， 故答案为：． 5．【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为9＝6， ∴空白部分的面积为9﹣6＝3， 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为3， ∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF+∠BCG＝90°， ∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°， 设BG＝a，CG＝b，则ab， 又∵a2+b2＝32， ∴a2+2ab+b2＝9+6＝15， 即（a+b）2＝15， ∴a+b，即BG+CG， ∴△BCG的周长3， 故答案为：3． 三、解答题 1．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴BE＝CD； （2）解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝4， ∵BF⊥AE， ∴AF＝EF＝2， ∴BF2， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E， 在△ADF和△ECF中， ， ∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴△ADF的面积＝△ECF的面积， ∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积AE•BF4×24． 2．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵EF⊥EC， ∴∠FEC＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， 在△AEF和△DCE中， ， ∴△AEF≌△DCE（AAS）， ∴AE＝DC； （2）解：由（1）得AE＝DC， ∴AE＝DC， 在矩形ABCD中，AB＝CD， 在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，即（）2+（）2＝BE2， ∴BE＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $