专题02 一元一次方程的实际问题15大题型（专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 以15类常考题型为框架，通过“设元-表量-列方程”三步法系统构建一元一次方程实际应用解题体系，覆盖生活场景与数学模型，培养模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|约60题（15题型）|三步解题法（设未知数→表相关量→列方程）+题型专属等量关系（如配套比例、行程公式）|从方程概念到实际问题模型，形成“概念-模型-应用”链条，各类题型对应特定数量关系模型|

专题02 一元一次方程的实际问题 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程的实际问题 题型1 配套问题 题型2 工程问题 题型3 销售盈亏 题型4 比赛积分 题型5 方案选择 题型6 数字问题 题型7 几何问题 题型8 动点问题 题型9 和差倍分问题 题型10 电费和水费问题 题型11 行程问题 题型12 比例分配 题型13 日历问题 题型14 古代问题 题型15 其他问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程的实际问题 ◆题型1 配套问题 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个，若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天，那么x天共生产甲种零件 个，天共生产乙种零件 个；（用含x的代数式表示） (2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，李明计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户，该窗户一边长为3米，另一边长为米，玻璃上方安装了两张半径为1米的相同的扇形遮光帘． (1)某厂家现有工人40人，平均每人每天可加工长方形玻璃10块或遮光帘5张，为使每天生产的玻璃数量：遮光帘数量，应安排生产长方形玻璃和遮光帘的工人各多少名？ (2)在同等质量的前提下，甲、乙两个厂家制作玻璃与遮光帘的收费方式如下： 遮光帘（元） 玻璃（元） 甲厂家 80 不超过，200元；超过的部分，160元． 乙厂家 100 190元，且每购买的玻璃赠送遮光帘 若李明在甲、乙两厂安装此窗户所需的费用相同，求的值（取3）． ◆题型2 工程问题 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）根据题意列出方程（不必求解）： (1)某班到离校的国家森林公园春游．先坐车，速度为，下车后以的速度步行到达目的地，共花了．问：他们步行了多少时间？ (2)某车间接到一批小家电组装任务，原计划每天组装36台，预计若干天完成．在组装了任务的三分之一后，调整工序，改进操作技术，工效提高了1倍，结果提前2天完成任务．求这次组装小家电的总台数． 5．（2026·江苏扬州·一模）2026年是红军长征胜利90周年，某车间接到制作一批纪念章的任务，原计划每天制作400枚可以完成．实际制作时，每天比原计划多做100枚，结果提前5天完成任务，求这批纪念章一共有多少枚？设这批纪念章一共有x枚，请列方程解决问题． 6．（25-26七年级上·河南信阳·期末）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有45个工人，每个工人一天能做40个茶杯或8个茶壶，如果10个茶杯和1个茶壶为一套． (1)如何安排生产可使每天生产的产品配套？ (2)该厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起合作，恰好完成这项工作的，假设这些人的工作效率相同，应怎样安排参与制作茶具的具体人数？ ◆题型3 销售盈亏 7．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 8．（2026·江苏常州·一模）某商场在世博会上购置A、B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与3个A玩具共花费300元．求A，B玩具的单价． 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球打八折． (1)每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元． (2)若联合购买120套队服和个篮球，请用含的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ ◆题型4 比赛积分 10．（25-26七年级下·重庆南川·期中）某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 11．（24-25七年级上·广东广州·期末）某联赛部分队伍积分如下（每队已经完成18场比赛）； 队名 比赛场次 胜场数 负场数 总积分 18 18 0 54 18 9 9 36 18 7 11 32 18 12 6 42 备注：积分胜场积分负场积分 根据表格提供的信息解答下列问题： (1)求胜一场积 分，负一场积 分； (2)某队已完成18场比赛，该队的胜场总积分可能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 12．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）阅读素材，解决问题． 生活中的数学：走进“苏超” 素材1 下表为2025赛季苏超联赛淮安队6次主场的观众人数统计记录（以场均2.7万人为基准，超过记为正，不足记为负）． 主场对战球队 镇江 南京 常州 苏州 泰州 徐州 与场均人数差值（万人） 素材2 截止2025年9月20日，“苏超”联赛积分前四强如图所示（积分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分）． 问题解决 问题1 淮安队在6次主场中，现场观众人数最多的是对战___________队；其中，淮安队对战苏州队现场观众有___________万人． 问题2 淮安队在11场比赛中，胜的场次和负的场次一样多，总积分为15分，请列一元一次方程求出淮安队胜的场次． ◆题型5 方案选择 13．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 14．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 15．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）遵辣1号系贵州遵义虾子镇的特产辣椒品种，因其香辣浓郁、皮薄肉厚、色泽鲜亮、辣味纯正而著称．小温家种植了一片遵辣1号辣椒，每日需对辣椒进行采收并完成分拣装筐工作．据了解，每人每日能够采摘120千克辣椒或分拣装筐280千克辣椒．新鲜辣椒的售价为每千克8元，干辣椒的售价为每千克30元． (1)小温家雇佣了20名工人进行采摘和分拣装筐，每名工人一天只能做一项工作，不计其他因素，要使每天采摘的辣椒全部分拣装筐，应如何分配工人？ (2)一位商贩计划购买100千克的干辣椒和a千克（）新鲜辣椒．小温提供了两种优惠方案： 方案一：每买5千克的干辣椒，赠送3千克的新鲜辣椒； 方案二：每千克干辣椒和新鲜辣椒都按定价打九折付款． ①按购买方案一需支付费用______元；按购买方案二需支付费用______元；（请用含a的代数式表示） ②当a为何值时，两种购买方案的费用一样． ◆题型6 数字问题 16．（25-26七年级下·福建泉州·期末）阅读与理解 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字大于十位数字，那么称这个两位数为“灵动数”．若将一个“灵动数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将新两位数与原两位数的差（大数减小数）与9的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数51，则新两位数与原两位数的差为，此差与9的商为，所以．根据上述定义，按要求回答下列问题： (1)①填空：三个数11，21，36中，“灵动数”为________； ②计算：________； (2)若一个“灵动数”的十位数字是，个位数字是，且，求“灵动数”． 17．（25-26七年级下·全国·期末）小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 18．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）密码，是数学施展的“魔法”．它应用精妙的数学变换，将空中传输的通信内容转化为唯有掌握特定“密钥”才能解读的密文，从而守护信息的安全．一般来说，一个密码系统由明文、加密规则和密文三个基本要素构成，如图1所示． 小明将明文藏在如下信息中： 妈， 每当想您的时候， 一股暖意就涌上心头． 我明白， 唯有努力求学， 才能不负这养育深恩． 他以密文的形式发给妈妈．设定加密规则为：信息的每一行从左向右数，取第行的第个字，用“”表示所取汉字的密文，例如密文表示“妈”． 【爱的密码】 （1）小明想将明文“想，您”加密，则密文是______； （2）小明将用图所示的加密规则转换成了新密文． 请将“努，力”转换成新密文； 若妈妈收到新密文“，，”，请帮她翻译； 【规则评价】 （3）图是小明设计的另一种对加密的规则，请评价该加密规则． ◆题型7 几何问题 19．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）在综合实践课上，小华用一张长方形纸片进行操作探究． (1)如图，小华先将该长方形纸片对折两次，再沿虚线剪去一个三角形； 将剪下的三角形展开，可得到的图形是：______；（填选项） A．        B．            C．        D．当剪下的三角形展开后得到的图形是正方形，猜想的度数是______； (2)若长方形纸片的两条邻边分别为和．选取该长方形的较短边作为正方形的边长，并剪去该正方形（第一次操作，如下图所示），剩余部分为一个新长方形．继续对新长方形进行同样的操作（第二次操作）；按此方式，进行次操作． 第二次操作后，剩余纸片的两条邻边分别为______、______；（用化简后的代数式表示） 第三次操作后，若剩余纸片为正方形，求的值． 20．（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 21．（25-26七年级上·江苏南通·期末）“苏超”赛事热度飙升，足球迷小明萌生了动手制作足球场模型的想法，他准备用一根木棒搭建长方形的足球门框（靠地面的一边无需制作，只需搭建另外三边），他给出了下面两种方法： 方法：门框的长比宽的倍少； 方法：门框的长比宽的倍多． (1)若这两种方法设计的门框宽度相同，且所需木棒长度一致，求这根木棒的长度； (2)若木棒长度为，已知标准足球门框的长宽比为，你觉得这两种方法中，哪种方法设计的门框更贴近这一标准？请说明理由． ◆题型8 动点问题 22．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，数轴上有，两点，，之间距离为12，原点在，之间，到的距离是到距离的两倍，则 (1)点表示的数为_____________，表示的数为_____________； (2)若点是，之间的一点，且满足到原点的距离与到的距离之和等于到的距离，则点所表示的数为_____________； (3)若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒，当点与点重合时，，两点停止运动． ①设到的距离为，到的距离为，当为何值时，； ②当点到达点时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点追上点后立即返回，以同样的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以同样的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动，求在此过程中，点行驶的总路程和点最后位置在数轴上对应的数． 23．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-8，点表示6，点表示12，我们称点和点在“折线数轴”上相距20个单位长度．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到达终点时停止运动；点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．当点停止运动时，点也随之停止．设点的运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要 秒： (2)当时，点在“折线数轴”上所对应的数是 ，P、Q两点在“折线数轴”上相距 个单位长度： (3)当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求的值； (4)当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出的取值范围． 24．（25-26七年级上·全国·期末）两个完全相同的长方形，如图所示放置在数轴上． (1)长方形的面积是 ． (2)若点P在线段上，且，求点P在数轴上表示的数． (3)若长方形分别以每秒2个单位长度、1个单位长度在数轴上相向而行．设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为t． ①在整个运动过程中，S的最大值是 ，持续时间是 ； ②当S是长方形面积一半时，求t的值． ◆题型9 和差倍分问题 25．（25-26六年级下·四川成都·阶段检测）原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增加，乙书架上的书增加，这样，两个书架上的书就一样多．原来甲、乙两个书架各有图书多少本？ 26．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）两支高度相同，但粗细不同的蜡烛，同时点燃后，粗蜡烛每小时缩短，细蜡烛每小时缩短，小时后，粗蜡烛的高度是细蜡烛的倍． (1)求出两支蜡烛原来的高度； (2)当两支正在燃烧的蜡烛高度相差时，若立即熄灭其中一支蜡烛，等待另一支蜡烛燃尽时，再立即点燃之前熄灭的蜡烛．求从开始点燃两支蜡烛到两支蜡烛全部燃尽时一共持续了多少小时？ 27．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）2026年是丙午马年，临近学期结束，学校决定购买马年吉祥物用于奖励品学兼优的学生．已知某文创店出售的每个玩偶比挂件贵40元． (1)若学校购买4个挂件和6个玩偶一共花费440元，请你运用一元一次方程的知识，算一算每个挂件和玩偶分别多少钱？ (2)临近春节，文创店推出了优惠活动，有两种优惠方式可供顾客选择，甲方式：玩偶和挂件均打八折出售：乙方式：保持原价不变，但是购买1个玩偶可以赠送1个挂件，学校计划购买玩偶10个，挂件x个（）．经过学校测算，两种方式所付的总费用相同，求学校计划购买挂件多少个？ (3)若学校打算购买10个玩偶和30个挂件，选哪种方式更合算？请你通过计算说明理由． ◆题型10 电费和水费问题 28．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费： 每户每月用水量 单位（元/吨） 不超过15吨 3.7 超过15吨的部分 5.1 另：每吨用水加收污水处理费、水资源费共1.9元 (1)某用户1月份用水10吨，1月份应交水费 元； (2)某用户7月份共交水费119元，该用户7月份用水多少吨？（列方程解决） 29．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量（） 收费标准（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家年的年用水量为，水费为元，求的值； (3)若该城市某户居民年的年用水量为，这户居民的水费是多少元?（用含的代数式表示） 30．（25-26七年级上·江苏南京·期末）某市为了增强市民节约用水的意识，自来水公司实行阶梯收费，具体收费标准如下： 每月用水量 收费标准 第一阶梯 不超过10吨 1.8元/吨 第二阶梯 10吨以上至20吨的部分 2.7元/吨 第三阶梯 20吨以上的部分 5.4元/吨 (1)已知小明家6月份用水15吨，则小明家6月份应交水费__________元； (2)已知小亮家7月份用水量为吨，按照第三阶梯交费，则小亮家7月份应交水费__________元（用含的代数式表示）； (3)已知小华家6月份和7月份共用水40吨，其中7月份用水量超过6月份，两月共交纳水费103.5元．小华家6月份，7月份各用水多少吨？ ◆题型11 行程问题 31．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出． (1)若相向而行，出发后多少小时相遇？ (2)若相背而行，多少小时后，两车相距800千米 32．（25-26六年级下·山东烟台·期中）用方程的方法求解下面的问题： 已知两地相距420千米，一辆慢车从A地出发，每小时行驶60千米；一辆快车从B地出发，每小时行驶90千米． (1)若两车同时出发，相向而行，经过多长时间两车相遇？ (2)若两车同时出发，反向而行，经过多长时间两车相距560千米？ (3)若慢车出发1小时后快车从B地出发，两车同向而行，快车在慢车后面，那么快车追上慢车用了多长时间？ 33．（2022七年级·江苏盐城·竞赛）甲、乙两人设计了一个移动游戏： 游戏方式制定：如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动． 移动规则制定：①若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位； ②若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位； ③若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位． 游戏中的数学思考： (1)经过第一次移动游戏，甲、乙两人相距 个单位； (2)从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错，且乙最终停留的位置对应的数为，求甲、乙两人分别猜对了几次？ (3)从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现有3次是甲、乙都猜对了，甲、乙共猜对了12次，甲最终停留的位置对应的数为1，求甲、乙两人分别猜对了几次？ ◆题型12 比例分配 34．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 35．（25-26七年级上·江苏南京·期末）数学课上，鲍老师提出问题：观察下面几种简单多面体，每个多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间有怎样的数量关系？ 同学们的思考如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 ________ 正八面体 ________ 8 12 正十二面体 20 12 30 我通过观察，根据表格数据猜想V、E、F之间的数量关系式是________ (1)完成以上解答． (2)某玻璃饰品厂生产的一种玻璃饰品是一个简单多面体，它的外表面是由三角形构成，且面数与顶点数的比值，那么这个玻璃饰品是几面体？ (3)如果一个简单多面体的各个面为相同的正多边形，且各个顶点处结构完全相同，这样的多面体称为正多面体又称柏拉图立体，那么柏拉图立体共有________种． 36．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）扬州是中国历史文化名城，物产丰饶，其中“绿杨春”茶叶尤为著名．现有、两名农户种植茶叶，农户种植了8亩“绿杨春”茶叶，农户种植了12亩“绿杨春”茶叶，农户平均每亩“绿杨春”制成的茶叶重量是农户每亩制成茶叶重量的（制作茶叶的过程中的损耗忽略不计）．农户制成绿杨春茶叶，农户制成绿杨春茶叶，今年制成“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶两种产品共计千克．两种产品的销售规格如下表： 每盒净重（） 每盒售价（元） 绿杨春茶叶 绿杨春茶叶 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶各多少千克? (2)若销售这两种茶叶共盒，销售额为元，求销售“绿杨春”的盒数； (3)若张华第一次销售这两种茶叶共盒，第二次销售时对所有剩下的“绿杨春”茶叶打八折促销．两次销售完后，他发现第二次总销售额比第一次总销售额多元．求第一次销售“绿杨春”多少盒? ◆题型13 日历问题 37．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）在学习课本132页的数学探究《月历中的方程问题》后，小明和小红对2026年1月份的月历进行探究，小明用如图1所示的“T”字形框在月历中任意框出5个数，设“T”字形框中的五个数分别为，，，，． (1)若，则__________； 若，则__________（用含的代数式表示）； (2)在移动“T”字形框的过程中小明说被框住的5个数之和可能为46，小红说被框住的5个数之和可能为71，他们的说法对吗？请说明理由； (3)小丽设计了如图2所示的“倒T”字形框，框住的五个数分别为，，，，，当时，是否存在的值，使得“倒T”字形框中的五个数与“T”字形框中的五个数有且仅有两个数对应相等，若存在，直接写出符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 38．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． (1)若，则___________，___________； 若，则___________（用含的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则___________． 39．（25-26七年级上·重庆·期中）下方左图是年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d．      (1)若，则________；若，则________； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为，你认为他的说法对吗？请说明理由． ◆题型14 古代问题 40．（2025七年级上·全国·专题练习）在明代数学家程大位（1533—1606）所著的《算法统宗》中有这样一道题：“假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干?” 题意是：“用绳子测量井深，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺．井深和绳长各是多少?” 请列方程解决这个问题． 41．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．图1“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： (1)根据“洛书”，图2中______，______； (2)根据图2所填数字，我们不难发现：方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．若图3符合“洛书”的规律，每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等，求c的值． 42．（24-25七年级上·山东聊城·阶段检测）《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ ◆题型15 其他问题 43．（2026·湖南长沙·二模）为进一步提升城市形象，驱动消费，长沙某地准备开展音乐节活动．长沙文旅计划组织140名志愿者参与服务．志愿者分为引导组和物资组，其中引导组6人一组，物资组8人一组，总组数比引导组多10组． (1)求引导组和物资组各有多少人？ (2)本次活动需租用A、B两种型号车辆一次性接送，它们的载客量和租金如下表所示：若租用同一种型号车辆，使每位志愿者都有座位，应怎样租用才合算？ A型车辆 B型车辆 载客量（人/辆） 20 15 租金（元/辆） 200 150 44．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，用长度相等的木棍按一定规律拼成图案，其中第1个图案用了12根木棍拼成1个正六边形和2个正方形，第2个图案用了20根木棍拼成2个正六边形和3个正方形……    (1)第5个图案中用了44根木棍拼成了__________个正六边形和__________个正方形； (2)第个图案中用的木棍根数为__________（用含的代数式表示）； (3)如果现有木棍324根，求拼成的图案中正六边形的个数和正方形的个数． 45．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）列方程（组）不等式（组）解应用题： 近年来，北京市大力推进新能源汽车充电基础设施建设．年，北京市发布了新修订的《电动汽车充电基础设施规划设计标准》．根据该标准，行政办公、学校、医院等公共建筑，直接建设充电设施的停车位比例应不低于总车位数的． 某三甲医院积极响应政策，计划与充电站经营企业合作，将地下停车场部分车位改建成充电车位．该医院地下停车场共有个停车位．根据医院规划，建设慢充桩与快充桩的数量比为． 充电桩的收费标准涉及电费和服务费两部分，实行“价费分离”政策．电费按一般工商业电价（约元/度）执行，由充电站经营企业代收代缴，不计入收入，服务费则由充电站经营企业按充电量向用户收取，作为主要收入来源．参考北京市场行情，两种充电桩的运营数据如下： 充电桩类型 单桩日均充电量（度） 收费标准（元/度） 慢充桩（） 快充桩（） 医院希望充电站每天的服务费收入恰好达到元，那么应当建设慢充桩和快充桩各多少台？ 综合攻坚·知能拔高 46．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）家具厂卖出书柜的数量是办公桌的，卖出书柜的个数比办公桌的张数少120，家具厂卖出书柜多少个，办公桌多少张？（列方程解答） 47．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元，求水蜜桃的进价是每千克多少元？ 48．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）如图，是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由． (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 49．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图是两张不同类型的火车票（开头表示动车，开头表示高铁） (1)根据信息可知：动车和高铁是___________（填“同向”或“相向”）而行，动车比高铁早发车___________小时； (2)已知动车的平均速度是，高铁的平均速度是，两列火车长度不计，中途均不停车，最终高铁比动车早到，求、两地之间的距离． 50．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）一项工程，若由甲队单独做需要天完成，若由乙队单独做需要天完成． (1)若甲乙两队先一起施工天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 51．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）惠山区“社区便民市集”筹备期间，某厂家计划采购甲、乙两种日用品．已知甲日用品的每件进价比乙日用品的每件进价少20元．若采购甲种日用品5件，乙种日用品3件，共需要700元． (1)求甲、乙两种日用品的每件进价分别是多少元？ (2)该采购商从批发商处采购了甲种日用品3万件、乙种日用品2万件．在市集售卖时，甲种日用品的每件售价为100元，要使得这5万件日用品所获利润率为，求每件乙种日用品的售价是多少元？ 52．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）为增强公民节水意识，泗阳县城区居民生活用水量采用“阶梯收费”其中到户水费＝基本水价＋污水处理费＋水资源费，具体计价标准如下表： 收费方式 月用水量（吨） 基本水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 水资源费（元/吨） 到户水费（元/吨） 第一阶梯 月用水量≤16吨 1.65 0.95 0.20 2.80 第二阶梯 16吨＜月用水量≤24吨 2.29 1.01 0.20 3.50 第三阶梯 月用水量＞24吨 4.69 1.01 0.20 5.90 设某用户某月用水量为吨（为正整数），解决以下问题： (1)若，则应缴水费__________元．若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是__________元；若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是__________元； (2)若该用户11月份的水费是51.8元，求该用户11月份水资源费多少元？ (3)如果该用户5、6月份共用水50吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费167元，直接写出5、6月份各用水多少吨？ 53．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）为鼓励居民节约用电，M市根据国家发改委的有关文件，结合地方实际，决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费：用电量不超过120千瓦·时的部分，电费价格0.6元/千瓦·时；超过120千瓦·时，但不超过300千瓦·时的部分，电费价格0.8元/千瓦·时；超过300千瓦·时的部分，电费价格1元/千瓦·时． (1)若小明家10月份用电350千瓦·时，求小明家10月份应缴纳的电费． (2)11月缴费后，小明经过计算发现当月平均电费为0.68元/千瓦·时，请直接写出小明家11月份用电范围属于哪一个“阶梯电价”，并求小明家11月份的用电量． 54．（25-26七年级上·福建厦门·期末）学校准备在教室靠走廊一侧做一排开放式储物柜（没有门和背板），柜中每个格子内部空间满足： 长度35cm，高度25cm，深度40cm． 某工厂现有一些厚度为2cm的板材，其类型、规格和价格如表 板材类型 规格：长×宽 价格（元/块） 竖板 60 隔板 15 A型顶板 30 B型顶板 85 C型顶板 130 (1)林老师从该厂购买了1块A型顶板，2块竖板，3块隔板，用这6块板材组装了一个三层一列的储物柜（如图），请计算该储物柜的高度 (2)学校采购该厂现有的板材，不切割直接进行组装，再将其并排放在一起供师生使用．为不影响视野，储物柜高度不超过1米；为确保结构稳定，每个储物柜的顶板、竖板和隔板之间无缝隙不错位，其两侧有竖板且每列底部都有隔板． ①用一块B型顶板以及若干块竖板和隔板可以组装出一个三层几列的储物柜？购买能组装出这个储物柜所需的全部板材要多少费用？ ②已知七年1班有51名学生，每名学生都要有独立格子可用，请你设计一个最优的购买方案，并求该方案所需费用． 55．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）阅读材料，解决问题： 探究蛋白质含量 材料1 面粉、牛奶、牛肉、鸡蛋的蛋白质含量 食品种类 面粉 牛奶 牛肉 鸡蛋 每所含蛋白质（g） 10 3 20 15 材料2 有研究认为，周岁男、女生每天分别约需要摄入、蛋白质． 问题解决 问题1 若小冉早餐是一个的鸡蛋、牛奶和牛肉食品，则该份早餐中蛋白质总含量为________g． 问题2 某天小冉哥哥刚好通过面粉和牛肉共实现了蛋白质的摄入量，这天他摄入面粉和牛肉各多少克？ 56．（25-26七年级上·江苏南京·期末）某快递公司利用无人机提供同城快送服务，配送费用＝基础配送费＋路程附加费＋重量附加费，已知基础配送费为12元，其他收费标准如下表： 路程附加费 重量附加费 不超过的部分 超过的部分 不超过的部分 超过且不超过的部分 超过且不超过的部分 4元 5元 6元 2元 5元 例如：配送路程为，物品重量为时，配送费用元． (1)当配送路程为，物品重量为时，配送费用为__________元； (2)小亮的妈妈通过这家同城快递寄了一件重量不超过的物品，路程，共支付配送费32元．这件物品的重量是多少千克？ 57．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上有三个点，对应的数分别是a，b，c．满足，原点O是中点．动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． (1)则___，_____，_____． (2)若点到点的距离是点到点的距离的2倍，求点对应的数； (3)当点运动到点时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．则点Q运动______________秒时，两点之间的距离为4． 58．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）阅读材料，解决问题： 参考数据 材料1 谷物、牛奶、牛肉、鸡蛋的蛋白质含量 食品种类 谷物 牛奶 牛肉 鸡蛋 每所含蛋白质 10 3 20 15 材料2 有研究认为，周岁男性每天约需要摄入蛋白质． 问题解决 问题1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，则该份早餐中蛋白质总含量为______． 问题2 某天中学生小强刚好通过谷物和牛肉共，实现了蛋白质的摄入量，这天他摄入谷物和牛肉各多少克？ 59．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）某市居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费 不超过部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 (1)小亮家2025年用水量为，应缴纳水费 元； (2)小红家2025年缴水费960元，该家庭实际用水量是多少？ (3)小华家和小强家2025年的用水量共，且小华家用水量比小强家多，两家共缴纳水费2240元，求小华家和小强家的用水量分别为多少？ 60．（25-26七年级上·江苏常州·期中）【数学概念】 、为数轴上不重合的两个点，为数轴上任意一点，我们比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点到线段的“密距离”．特别地，若线段和的长度相等，则将线段或的长度定义为点到线段的“密距离”． 【概念理解】 如图1，点表示数，点表示数3． （1）若点表示数，则点到线段的“密距离”为___________； （2）若点在点、之间，点表示的数是，点到线段的“密距离”是3，则___________； 【概念应用】 （3）如图2，在数轴上，点表示的数是-6，点表示的数是-3，点表示的数是2．点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动的时间为秒，当点到线段的“密距离”为1时，求的值． 61．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）定义：已知，分别是关于，的方程的解，若满足：（为正数），则称前者是后者的“属方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且满足，则称方程是方程的“属方程”． (1)下列方程是方程的“属方程”的是______（请填写正确的序号）； ①；②；③ (2)若关于的方程是关于的方程的“2属方程”，求整数的值； (3)若对于任何正数，关于的方程都是关于的方程的“属方程”，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次方程的实际问题 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程的实际问题 题型1 配套问题 题型2 工程问题 题型3 销售盈亏 题型4 比赛积分 题型5 方案选择 题型6 数字问题 题型7 几何问题 题型8 动点问题 题型9 和差倍分问题 题型10 电费和水费问题 题型11 行程问题 题型12 比例分配 题型13 日历问题 题型14 古代问题 题型15 其他问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程的实际问题 ◆题型1 配套问题 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个，若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天，那么x天共生产甲种零件 个，天共生产乙种零件 个；（用含x的代数式表示） (2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程． 【答案】(1)； (2)安排生产甲种零件20天，则安排生产乙种零件30天． 【详解】（1）解：安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天， 那么x天共生产甲种零件个，天共生产乙种零件个； （2）解：根据题意得， 解得， ， 答：安排生产甲种零件20天，则安排生产乙种零件30天． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ 【答案】(1)男生21人，女生24人 (2)分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人，根据班级总人数为45人列出方程求解即可； （2）设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底，根据1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：七年级（3）班的男生人数为21人，女生人数为24人； （2）解：设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底， 由题意得，， 解得， ∴， 答：分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，李明计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户，该窗户一边长为3米，另一边长为米，玻璃上方安装了两张半径为1米的相同的扇形遮光帘． (1)某厂家现有工人40人，平均每人每天可加工长方形玻璃10块或遮光帘5张，为使每天生产的玻璃数量：遮光帘数量，应安排生产长方形玻璃和遮光帘的工人各多少名？ (2)在同等质量的前提下，甲、乙两个厂家制作玻璃与遮光帘的收费方式如下： 遮光帘（元） 玻璃（元） 甲厂家 80 不超过，200元；超过的部分，160元． 乙厂家 100 190元，且每购买的玻璃赠送遮光帘 若李明在甲、乙两厂安装此窗户所需的费用相同，求的值（取3）． 【答案】(1)应安排24名工人生产长方形玻璃，安排16名工人生产遮光帘 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用． （1）设应安排x名工人生产长方形玻璃，则安排名工人生产遮光帘，根据每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍列出方程求解即可； （2）先分别求出窗户的总面积和遮光帘的面积，再分别用含a的式子表示出甲、乙两个厂家所给方案的费用，再根据选择甲、乙两个厂家所需费用相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设应安排x名工人生产长方形玻璃，则安排名工人生产遮光帘， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应安排24名工人生产长方形玻璃，安排16名工人生产遮光帘； （2）解：由题知，窗户的总面积为平方米，遮光帘的面积为（平方米）， ∵， ∴， ∵李明选择甲、乙两个厂家所需费用相同， 当时，即， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，即， ∴， 解得 ∴的值为． ◆题型2 工程问题 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）根据题意列出方程（不必求解）： (1)某班到离校的国家森林公园春游．先坐车，速度为，下车后以的速度步行到达目的地，共花了．问：他们步行了多少时间？ (2)某车间接到一批小家电组装任务，原计划每天组装36台，预计若干天完成．在组装了任务的三分之一后，调整工序，改进操作技术，工效提高了1倍，结果提前2天完成任务．求这次组装小家电的总台数． 【答案】(1)设步行时间为，所列方程为 (2)设组装小家电的总台数为台，所列方程为 【分析】（1）设步行时间为，根据“坐车路程+步行路程=总路程”列出方程； （2）设组装小家电的总台数为台，根据“原计划完成总任务所需的天数-实际完成总任务所需的天数=提前的天数（2天）”列出方程． 【详解】（1）略 （2）略 5．（2026·江苏扬州·一模）2026年是红军长征胜利90周年，某车间接到制作一批纪念章的任务，原计划每天制作400枚可以完成．实际制作时，每天比原计划多做100枚，结果提前5天完成任务，求这批纪念章一共有多少枚？设这批纪念章一共有x枚，请列方程解决问题． 【答案】10000枚 【分析】设这批纪念章一共有枚，原计划每天制作400枚，原计划完成时间为天，实际每天比原计划多做100枚，实际每天制作枚，实际完成时间为天，根据实际比原计划提前5天完成，列方程求解即可； 【详解】解：设这批纪念章一共有枚， 根据题意可得， 解得：， 答：这批纪念章一共有枚． 6．（25-26七年级上·河南信阳·期末）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有45个工人，每个工人一天能做40个茶杯或8个茶壶，如果10个茶杯和1个茶壶为一套． (1)如何安排生产可使每天生产的产品配套？ (2)该厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起合作，恰好完成这项工作的，假设这些人的工作效率相同，应怎样安排参与制作茶具的具体人数？ 【答案】(1)人生产茶杯，则人生产茶壶 (2)先安排人工作小时，再增加人（共人）一起工作小时，可完成任务 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设人生产茶杯，则人生产茶壶，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． （2）设先安排人做，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设人生产茶杯，则人生产茶壶，根据题意得， 解得： ∴人生产茶壶， 答：人生产茶杯，则人生产茶壶； （2）解：设先安排人做，根据题意得， 解得： 答：先安排人工作小时，再增加人（共人）一起工作小时，可完成任务． ◆题型3 销售盈亏 7．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【答案】(1)50元/个 (2)A型节能灯的单价为100元/个 (3)售出的A型号的节能灯有11件，B型号的节能灯有4件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察表格数据先推出B型节能灯单价，设A型节能灯的单价，根据6月16销售情况列关于的方程，解出即可求出A型节能灯单价；设A和B型节能灯的件数和，根据题意，列关于的方程，即可求出两种型号节能灯各自的件数． 【详解】（1）解：6月15日的销售情况可知，售出0个A型节能灯，1个B型节能灯，总售价为50元， B型节能灯的单价为50元/个． （2）解：设A型节能灯的单价为元/个，根据6月16日的销售情况，售出1个A型节能灯，2个B型节能灯，总售价为200元， 可列方程得， 解得， A型节能灯的单价为100元/个． （3）解：设售出A型节能灯个，则售出B型节能灯个，根据题意，可列方程得 ， 解得， ． 售出的A型号的节能灯有11个，B型号的节能灯有4个． 8．（2026·江苏常州·一模）某商场在世博会上购置A、B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与3个A玩具共花费300元．求A，B玩具的单价． 【答案】A玩具单价为50元，B玩具单价为75元． 【分析】先根据题意设出未知数，再利用题目给出的两个等量关系列出一元一次方程，求解方程即可得到结果． 【详解】解：设A玩具单价为元，由题意得B玩具单价为元． ∵购置2个B玩具与3个A玩具共花费300元， ∴， 解得， ∴B玩具单价为（元）． 答：A玩具的单价为50元，B玩具的单价为75元． 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球打八折． (1)每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元． (2)若联合购买120套队服和个篮球，请用含的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 【答案】(1)180，120 (2)甲商场费用为元，乙商场费用为元 (3)到甲商场购买比较合算 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的等量关系列一元一次方程求解； （2）根据甲、乙商场各自的优惠方案，分别计算总费用，整理得到含的代数式； （3）将代入两个代数式求值，比较大小即可判断哪家更合算． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格是元，则每套队服的价格是元， 根据题意得， 解得， 则， 答：每套队服180元，每个篮球120元； （2）解：到甲商场购买，购买120套队服赠送 个篮球， 总费用为： 元； 到乙商场购买，队服超过80套，篮球打八折， 总费用为： 元； （3）解：将代入两个代数式， 甲商场费用： (元)， 乙商场费用： (元)， ， 到甲商场购买比较合算． ◆题型4 比赛积分 10．（25-26七年级下·重庆南川·期中）某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； (3)不可能，见解析 【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1题的得分总分全答对的题数，再由乙同学的成绩就可以得出答错1题的得分； （2）设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分76分”建立方程求出其解即可； （3）假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分80分”建立方程求出其解即可判断． 【详解】（1）解：由题意，可得，答对1题的得分是：分， 答错1题的得分为：分； （2）解：设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题， 由题意，得， 解得， ， 答：参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； （3）解：不可能．理由如下： 假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题， 由题意，得， 解得， ∵为整数，而不是整数， ∴参赛者小明说他得80分，是不可能的． 11．（24-25七年级上·广东广州·期末）某联赛部分队伍积分如下（每队已经完成18场比赛）； 队名 比赛场次 胜场数 负场数 总积分 18 18 0 54 18 9 9 36 18 7 11 32 18 12 6 42 备注：积分胜场积分负场积分 根据表格提供的信息解答下列问题： (1)求胜一场积 分，负一场积 分； (2)某队已完成18场比赛，该队的胜场总积分可能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)3，1 (2) 不能，理由如下： 假设该队的胜场总积分能等于负场总积分，设该队胜场，则负场， 根据题意得：， 解得：， 又需为非负整数， 不符合题意， 假设不成立，即该队的胜场总积分不能等于负场总积分． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键； （1）利用胜一场的积分队的总积分队的胜场数，可求出胜一场的积分；利用负一场的积分队的总积分队的胜场数）队的负场数，可求出负一场的积分； （2）假设该队的胜场总积分能等于负场总积分，设该队胜场，则负场，根据该队的胜场总积分等于负场总积分，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合需为正整数，可得出不符合题意，进而可得出假设不成立，即该队的胜场总积分不能等于负场总积分． 【详解】（1）解：根据题意得：胜一场积（分）； 负一场积（分）． 故答案为：3，1； （2）略 12．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）阅读素材，解决问题． 生活中的数学：走进“苏超” 素材1 下表为2025赛季苏超联赛淮安队6次主场的观众人数统计记录（以场均2.7万人为基准，超过记为正，不足记为负）． 主场对战球队 镇江 南京 常州 苏州 泰州 徐州 与场均人数差值（万人） 素材2 截止2025年9月20日，“苏超”联赛积分前四强如图所示（积分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分）． 问题解决 问题1 淮安队在6次主场中，现场观众人数最多的是对战___________队；其中，淮安队对战苏州队现场观众有___________万人． 问题2 淮安队在11场比赛中，胜的场次和负的场次一样多，总积分为15分，请列一元一次方程求出淮安队胜的场次． 【答案】问题1：徐州 ，；问题2：在11场比赛中，淮安队胜4场 【分析】本题考查正负数的实际应用、有理数加减运算解应用题、一元一次方程解应用题等，读懂题意，在问题1中求出各个场次的观众人数；在问题2中列出一元一次方程求解是解决问题的关键． 问题1：根据淮安队6次主场的观众人数统计记录（以场均2.7万人为基准，超过记为正，不足记为负）分别求出各场比赛的观众人数即可得到答案； 问题2：设淮安队在11场比赛中胜场，则负场，平场，根据得分规则，由总积分为15分，列一元一次方程求解即可得到淮安队胜的场次． 【详解】解：问题1：由题中淮安队6次主场的观众人数统计记录（以场均2.7万人为基准，超过记为正，不足记为负）可知， 对战镇江队现场观众人数为：（万人）； 对战南京队现场观众人数为：（万人）； 对战常州队现场观众人数为：（万人）； 对战苏州队现场观众人数为：（万人）； 对战泰州队现场观众人数为：（万人）； 对战徐州队现场观众人数为：（万人）； 综上所述，淮安队在6次主场中，现场观众人数最多的是对战徐州队，其中，淮安队对战苏州队现场观众有万人， 故答案为：徐州，； 解：问题2：设淮安队在11场比赛中胜场，则负场，平场， ， 解得， 答：在11场比赛中，淮安队胜4场． ◆题型5 方案选择 13．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 【答案】(1)选用汽车运输比较好 (2)550千米 【分析】（1）分别求出两种运输方式所需的费用，比较大小即可； （2）根据两种运输方式所需的费用相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：汽车：（元） 火车：（元） 因为6120元元，所以选汽车． （2）解：设运输路程为千米，由题意得， 解得 即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同． 15．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）遵辣1号系贵州遵义虾子镇的特产辣椒品种，因其香辣浓郁、皮薄肉厚、色泽鲜亮、辣味纯正而著称．小温家种植了一片遵辣1号辣椒，每日需对辣椒进行采收并完成分拣装筐工作．据了解，每人每日能够采摘120千克辣椒或分拣装筐280千克辣椒．新鲜辣椒的售价为每千克8元，干辣椒的售价为每千克30元． (1)小温家雇佣了20名工人进行采摘和分拣装筐，每名工人一天只能做一项工作，不计其他因素，要使每天采摘的辣椒全部分拣装筐，应如何分配工人？ (2)一位商贩计划购买100千克的干辣椒和a千克（）新鲜辣椒．小温提供了两种优惠方案： 方案一：每买5千克的干辣椒，赠送3千克的新鲜辣椒； 方案二：每千克干辣椒和新鲜辣椒都按定价打九折付款． ①按购买方案一需支付费用______元；按购买方案二需支付费用______元；（请用含a的代数式表示） ②当a为何值时，两种购买方案的费用一样． 【答案】(1)有14名工人采摘，则有6名工人分拣装筐 (2)①；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找出等量关系是解题的关键． （1）设有名工人采摘，则有名工人分拣装筐，根据采摘的数量等于分拣装筐的数量列方程即可； （2）①根据题意列代数式并化简即可； ②根据两种购买方案的费用一样建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：设有名工人采摘，则有名工人分拣装筐，由题意得 解得， ， 答：有14名工人采摘，则有6名工人分拣装筐； （2）①方案一：（元）， 方案二：（元）； ②由题意得 解得． ◆题型6 数字问题 16．（25-26七年级下·福建泉州·期末）阅读与理解 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字大于十位数字，那么称这个两位数为“灵动数”．若将一个“灵动数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将新两位数与原两位数的差（大数减小数）与9的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数51，则新两位数与原两位数的差为，此差与9的商为，所以．根据上述定义，按要求回答下列问题： (1)①填空：三个数11，21，36中，“灵动数”为________； ②计算：________； (2)若一个“灵动数”的十位数字是，个位数字是，且，求“灵动数”． 【答案】(1)①36；②3； (2)“灵动数”b为79 【分析】（1）①先明确“灵动数”判定条件：两位数的个位数字大于十位数字，用该条件逐个判断给出的数即可． ②计算时，先写出原“灵动数”的十位、个位数字，得到对调后的新两位数，计算两数差后除以9即可． （2）先将“灵动数”和对调后的新数用含的代数式表示，再根据的定义列出关于的方程，求解后代入即可得到． 【详解】（1）解：①三个数11，21，36中，“灵动数”为36；             ②； （2）解：依题意得：原两位数为，         新两位数为，             ，             ， ； ，             十位数字：，个位数字：， ∴“灵动数”b为79． 17．（25-26七年级下·全国·期末）小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能；13，21，23，25，33 【分析】（）设十字形框架中间的数为，再根据上下的数相差，左右的数相差，就可以求出个数之和； （）设十字形框架中间的数为，根据这五个数的和等于列方程，求出的值，即可判断． 【详解】（1）解：设十字形框架中间的数为，则另外个数分别为：，，，， ∴十字形框架中的五个数的和为； （2）解：能，理由： 设十字形框架中间的数为，则 ， 解得， 所以这五个数的和能等于115， 这五个数为13，21，23，25，33． 18．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）密码，是数学施展的“魔法”．它应用精妙的数学变换，将空中传输的通信内容转化为唯有掌握特定“密钥”才能解读的密文，从而守护信息的安全．一般来说，一个密码系统由明文、加密规则和密文三个基本要素构成，如图1所示． 小明将明文藏在如下信息中： 妈， 每当想您的时候， 一股暖意就涌上心头． 我明白， 唯有努力求学， 才能不负这养育深恩． 他以密文的形式发给妈妈．设定加密规则为：信息的每一行从左向右数，取第行的第个字，用“”表示所取汉字的密文，例如密文表示“妈”． 【爱的密码】 （1）小明想将明文“想，您”加密，则密文是______； （2）小明将用图所示的加密规则转换成了新密文． 请将“努，力”转换成新密文； 若妈妈收到新密文“，，”，请帮她翻译； 【规则评价】 （3）图是小明设计的另一种对加密的规则，请评价该加密规则． 【答案】（），； （），；我，能，学； （）解：不合理，若为偶数，则新密文为偶数；若为奇数，还是偶数， 故在进行新密文解密时，对应的值可能不唯一，例为时，可以是也可以是， 所以意思不具有唯一性，可以将修改为． 【分析】本题考查了有理数的运算，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据密文规则即可求解； （）根据加密规则即可求解； 设第行的第个字，分别求出的值即可； （）若为偶数，则新密文为偶数；若为奇数，还是偶数，故在进行新密文解密时，对应的值可能不唯一，从而求解． 【详解】解：（）因为密文表示“妈”， 所以明文“想”加密，则密文是，明文“您”加密，则密文是， 故答案为：，； （）“努”的密文是，转换成新密文为，即， “力”的密文是，转换成新密文为，即， 设第行的第个字， 由可得：，解得：， ∴密文为， ∴第行的第个字为：我； 由可得：，解得：， ∴密文为， ∴第行的第个字为：能； 由可得：，解得：， ∴密文为， ∴第行的第个字为：学； （）略 ◆题型7 几何问题 19．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）在综合实践课上，小华用一张长方形纸片进行操作探究． (1)如图，小华先将该长方形纸片对折两次，再沿虚线剪去一个三角形； 将剪下的三角形展开，可得到的图形是：______；（填选项） A．        B．            C．        D．当剪下的三角形展开后得到的图形是正方形，猜想的度数是______； (2)若长方形纸片的两条邻边分别为和．选取该长方形的较短边作为正方形的边长，并剪去该正方形（第一次操作，如下图所示），剩余部分为一个新长方形．继续对新长方形进行同样的操作（第二次操作）；按此方式，进行次操作． 第二次操作后，剩余纸片的两条邻边分别为______、______；（用化简后的代数式表示） 第三次操作后，若剩余纸片为正方形，求的值． 【答案】(1)，； (2)， ； 或． 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减，一元一次方程的应用，掌握相关知识解决问题是解题的关键． （）根据图形的折叠可得结论； 根据图形的折叠可得结论； （）根据第二次操作后，剩余纸片的两条邻边分别为，，从而求解； 分两种情况，根据第三次操作后剩下的是正方形列出方程，解之即可． 【详解】（1）解：由题意，图形的对角线互相垂直平分，四边形是菱形， 故选：； 当剪下的三角形展开后得到的图形是正方形，猜想的度数是， 故答案为：； （2）解：第二次操作后，剩余纸片的两条邻边分别为，， 故答案为：， ； 当时，即时， ∴第三次操作后，剩余纸片的两条邻边分别为，， ∵剩余纸片为正方形， ∴，解得：； 当时，即时， ∴第三次操作后，剩余纸片的两条邻边分别为，， ∵剩余纸片为正方形， ∴，解得：； 综上可得：的值为或． 20．（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 【答案】(1)， (2)的值为7时，可以制作9个盒子 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用， （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共领取了9张纸板，其中张用A方法裁剪，每张纸板裁成6个侧面，每张纸板裁成9个底面， ∴一共可裁剪出侧面个，底面个； （2）解：根据题意得， 解得 ∴ 答：的值为7时，可以制作9个盒子． 21．（25-26七年级上·江苏南通·期末）“苏超”赛事热度飙升，足球迷小明萌生了动手制作足球场模型的想法，他准备用一根木棒搭建长方形的足球门框（靠地面的一边无需制作，只需搭建另外三边），他给出了下面两种方法： 方法：门框的长比宽的倍少； 方法：门框的长比宽的倍多． (1)若这两种方法设计的门框宽度相同，且所需木棒长度一致，求这根木棒的长度； (2)若木棒长度为，已知标准足球门框的长宽比为，你觉得这两种方法中，哪种方法设计的门框更贴近这一标准？请说明理由． 【答案】(1)木棒长为； (2)方法二设计合理，理由如下： 方法一：设门框的宽为， 由题意得： ， ∴， 此时，长宽比为； 方法二：设门框的宽为， 由题意得：， ， ∴， 此时，长宽比为， ∵方法二的长宽比与标准长宽比一致， ∴方法二设计的门框更贴近标准． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设门框的宽为，由题意得，然后解方程即可； （）由方法一：设门框的宽为，由题意得，求出的值，从而得出长宽比，由方法二：设门框的宽为，由题意得，求出的值，从而得出长宽比，从而求解． 【详解】（1）解：设门框的宽为， 由题意得： ∴， 答：木棒长为； （2）略． ◆题型8 动点问题 22．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，数轴上有，两点，，之间距离为12，原点在，之间，到的距离是到距离的两倍，则 (1)点表示的数为_____________，表示的数为_____________； (2)若点是，之间的一点，且满足到原点的距离与到的距离之和等于到的距离，则点所表示的数为_____________； (3)若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒，当点与点重合时，，两点停止运动． ①设到的距离为，到的距离为，当为何值时，； ②当点到达点时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点追上点后立即返回，以同样的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以同样的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动，求在此过程中，点行驶的总路程和点最后位置在数轴上对应的数． 【答案】(1)，4 (2) (3)①1.6秒或8秒；②点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16 【分析】（1）由可知，将12平均分成三份，占两份为8，占一份为4，由图可知，A在原点的左边，B在原点的右边，从而得出结论； （2）分两种情况：①点C在原点的左边，即在线段上时，②点C在原点的右边，即在线段上时，分别根据列式即可； （3）①分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，表示的代数式为：（左侧）或（右侧），，分别代入列式即可求出t的值； ②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为t秒，列式为，解出即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴A点所表示的实数为，B点所表示的实数为4； （2）解：设C点所表示的实数为x， 分两种情况：①点C在线段上时，则，如图1， ∵， ∴， 解得：； ②点C在线段上时，则，如图2， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，C点所表示的实数是； （3）解：①当时，如图3， ，，，， ∵， ∴， 解得：， 当点P与点Q重合时，如图4， ，， 当时，如图5， ，， 则， 解得：， 综上所述，当t为1.6秒或8秒时，； ②当点P到达点O时，，此时，，即点Q所表示的实数为8， 如图6，设点M运动的时间为t秒， 由题意得：， 解得：， 此时，点P表示的实数为，所以点M表示的实数也是16， ∴点M行驶的总路程为：， 答：点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16． 23．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-8，点表示6，点表示12，我们称点和点在“折线数轴”上相距20个单位长度．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到达终点时停止运动；点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．当点停止运动时，点也随之停止．设点的运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要 秒： (2)当时，点在“折线数轴”上所对应的数是 ，P、Q两点在“折线数轴”上相距 个单位长度： (3)当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求的值； (4)当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) (4)或 【分析】（1）计算P从A到C的总时间时，分段计算A到O、O到B、B到C的运动时间，求和即可； （2）求t为定值时P、Q的位置及两点距离，先判断t对应两个动点各自的运动阶段，再分别计算对应坐标，用折线数轴的距离规则计算两点距离； （3）求相遇时间时，判断相遇所在的时间区间，根据该区间内两点的位置表达式列等式求解； （4）求距离小于距离的范围时，分区间写出、的长度表达式，列不等式求解，再合并各区间的解集． 【详解】（1）段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 总时间：秒． （2）对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 距离：； （3）相遇时、路程和为总长，分区间讨论： ①当点在上运动时，且点在上运动，即时， 故无法相遇，舍去； ②当点在上运动时，且点在上运动时，即时， 故无法相遇，舍去； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ∴， 解得； 当时，不再相遇； 故． （4）①当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ②当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ， 解得， ∴； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ④当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴，恒成立， 故； ⑤当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 24．（25-26七年级上·全国·期末）两个完全相同的长方形，如图所示放置在数轴上． (1)长方形的面积是 ． (2)若点P在线段上，且，求点P在数轴上表示的数． (3)若长方形分别以每秒2个单位长度、1个单位长度在数轴上相向而行．设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为t． ①在整个运动过程中，S的最大值是 ，持续时间是 ； ②当S是长方形面积一半时，求t的值． 【答案】(1)12 (2)点P在数轴上表示的数是 (3)①9；；②当S是长方形ABCD面积一半时， 或 【分析】本题主要考查了数轴，数形结合，数轴上两点的距离的应用，动点问题，一元一次方程的应用，第（3）题关键是正确列出方程，并注意分类讨论． （1）根据已知条件得出，，由长方形面积公式计算得出结果即可； （2）根据已知条件根据数轴上两点的距离表示和的长，根据列方程可得x的值； （3）①当长方形的边在上时，S最大，同时计算E与A重合时的时间，F与B重合时的时间，两个时间差可得结论；②本题求解时应根据当A在E、F之间，，或点B在E、F之间，根据S是长方形面积一半列方程可得结论． 【详解】（1）解：由图形可得：，， 两个完全相同的长方形、， ， 长方形的面积是； 故答案为：12； （2）设点P在数轴上表示的数是x， 则，， 因为， 所以， 解得， 答：点P在数轴上表示的数是； （3）①整个运动过程中，S的最大值是， 当点B与F重合时，，解得：， 当点A与E重合时，，解得：， ， 整个运动过程中，S的最大值是9，持续时间是秒； ②由题意知移动t秒后， 情况一：当点B在E、F之间时，时，重叠部分的面积为6， 此时， 解得， 情况二：当点A在E、F之间时，时，重叠部分的面积为6， 此时， 解得， 综上所述，当S是长方形面积一半时，或． ◆题型9 和差倍分问题 25．（25-26六年级下·四川成都·阶段检测）原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增加，乙书架上的书增加，这样，两个书架上的书就一样多．原来甲、乙两个书架各有图书多少本？ 【答案】甲原来有400本；乙原来有500本 【分析】根据“甲书架上的书增加，乙书架上的书增加，这样，两个书架上的书就一样多”列方程求解即可． 【详解】解：设甲书架原来有本书，则乙书架原来有本书， 根据题意，得， 解得， （本）， 答：甲书架原来有400本书，乙书架原来有500本书． 26．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）两支高度相同，但粗细不同的蜡烛，同时点燃后，粗蜡烛每小时缩短，细蜡烛每小时缩短，小时后，粗蜡烛的高度是细蜡烛的倍． (1)求出两支蜡烛原来的高度； (2)当两支正在燃烧的蜡烛高度相差时，若立即熄灭其中一支蜡烛，等待另一支蜡烛燃尽时，再立即点燃之前熄灭的蜡烛．求从开始点燃两支蜡烛到两支蜡烛全部燃尽时一共持续了多少小时？ 【答案】(1)两支蜡烛原来的高度为． (2)一共持续了小时 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列出代数式是关键． （1）蜡烛原来的高度为，根据题意可列方程，求解即可； （2）根据两支蜡烛的燃烧速度计算出相差所需的时间，再计算出两支蜡烛剩余的燃烧时间，最后求和即可． 【详解】（1）解：设蜡烛原来的高度为，则2小时后，粗蜡烛的高度为，细蜡烛的高度为， 根据题意，可列方程， 解得． 答：两支蜡烛原来的高度为． （2）解：两支蜡烛每小时相差， ∴相差时，经过的时间为（小时）， 则细蜡烛还可以燃烧（小时），粗蜡烛还可以燃烧（小时）， ①当先熄灭粗蜡烛时， 一共持续（小时）； ②当先熄灭细蜡烛时， 一共持续（小时）． 综上所述，从开始点燃两支蜡烛到两支蜡烛全部燃尽时一共持续了小时． 答：一共持续了小时． 27．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）2026年是丙午马年，临近学期结束，学校决定购买马年吉祥物用于奖励品学兼优的学生．已知某文创店出售的每个玩偶比挂件贵40元． (1)若学校购买4个挂件和6个玩偶一共花费440元，请你运用一元一次方程的知识，算一算每个挂件和玩偶分别多少钱？ (2)临近春节，文创店推出了优惠活动，有两种优惠方式可供顾客选择，甲方式：玩偶和挂件均打八折出售：乙方式：保持原价不变，但是购买1个玩偶可以赠送1个挂件，学校计划购买玩偶10个，挂件x个（）．经过学校测算，两种方式所付的总费用相同，求学校计划购买挂件多少个？ (3)若学校打算购买10个玩偶和30个挂件，选哪种方式更合算？请你通过计算说明理由． 【答案】(1)挂件20元，玩偶60元 (2)20个 (3)解:选甲方式更合算；理由: 比较10个玩偶个挂件的两种费用， 甲方式：（元）； 乙方式：（元）； ∵， ∴选甲方式更合算． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）设每个挂件x元，玩偶元，根据“购买4个挂件和6个玩偶一共花费440元”列方程求解； （2）根据“两种方式所付的总费用相同”，列方程求解即可； （3）先分别求出两种方案所需的钱数，再比较求解． 【详解】（1）解：设每个挂件x元，玩偶元． 依题意列方程：； 去括号：； 合并：； 解得， 玩偶：（元）； 答：挂件20元，玩偶60元； （2）解：甲方式费用：， 乙方式费用：， 两方式费用相等：， 移项：， 解得， 答：学校计划购买挂件20个； （3）略 ◆题型10 电费和水费问题 28．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费： 每户每月用水量 单位（元/吨） 不超过15吨 3.7 超过15吨的部分 5.1 另：每吨用水加收污水处理费、水资源费共1.9元 (1)某用户1月份用水10吨，1月份应交水费 元； (2)某用户7月份共交水费119元，该用户7月份用水多少吨？（列方程解决） 【答案】(1)56 (2)该用户7月份用水20吨 【分析】（1）直接根据用水量对应计费段计算即可； （2）先判断用水量是否超过15吨，再根据总水费的等量关系列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：， 应交水费为（元）. （2）解：当用水量为15吨时，总水费为（元）， ， 该用户7月份用水量超过15吨， 设该用户7月份用水吨， 由题意得： ， 整理得， 解得， 答：该用户7月份用水20吨． 29．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量（） 收费标准（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家年的年用水量为，水费为元，求的值； (3)若该城市某户居民年的年用水量为，这户居民的水费是多少元?（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)这户居民的水费为： 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用（分段计费问题），以及列代数式表示数． （1）根据小明家的年用水量所处的阶段，分段计费并计算费用总和． （2）根据小颖家的年用水量所处的阶段，分段计费并根据费用总和列一元一次方程，得到的值． （3）根据年用水量的范围分情况讨论，得到不同用水量阶段的用表达水费的代数式． 【详解】（1）解：∵小明家年用水量为，处于第二阶梯， ∴水费为：元​； 故答案为：； （2）解：小颖家年用水量为，跨越三个阶梯： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 第三阶梯：元， ∵总水费为元， ∴可列方程为， 解得：； ∴的值为； （3）解：根据年用水量的范围分情况讨论： 当时， 水费为， 当时， 水费​为， 当时，代入， 水费​为， ∴这户居民的水费为：． 30．（25-26七年级上·江苏南京·期末）某市为了增强市民节约用水的意识，自来水公司实行阶梯收费，具体收费标准如下： 每月用水量 收费标准 第一阶梯 不超过10吨 1.8元/吨 第二阶梯 10吨以上至20吨的部分 2.7元/吨 第三阶梯 20吨以上的部分 5.4元/吨 (1)已知小明家6月份用水15吨，则小明家6月份应交水费__________元； (2)已知小亮家7月份用水量为吨，按照第三阶梯交费，则小亮家7月份应交水费__________元（用含的代数式表示）； (3)已知小华家6月份和7月份共用水40吨，其中7月份用水量超过6月份，两月共交纳水费103.5元．小华家6月份，7月份各用水多少吨？ 【答案】(1)31.5 (2)（5.4a－63） (3)6月份用水15吨，7月份用水25吨 【分析】（1）根据第一阶梯每月用水量不超过10吨的收费标准是1.8元/吨，第二阶梯10吨以上至20吨的部分收费标准是2.7元/吨列式计算即可； （2）根据三个阶梯的收费标准，列式化简即可； （3）设小华家6月份用水x吨， 7月份用水吨， 7月份用水量超过6月份，得，则,根据两月共交纳水费103.5元，分当时， 当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由表可知，每月用水量不超过10吨的收费标准是1.8元/吨，10吨以上至20吨的部分的收费标准为2.7元/吨， 小明家6月份用水15吨，则小明家6月份应交水费 （元）； 故答案为：31.5； （2）解：∵小亮家7月份用水量为吨，按照第三阶梯交费， 第三阶梯20吨以上的部分收费标准为5.4元/吨， ∴ 故答案为：； （3）解：设小华家6月份用水x吨，则7月份用水吨， ∵7月份用水量超过6月份， ∴， 解得，则, 当时，， 解得，舍去； 当时，， 解得，符合题意， ∴， 答：小华家6月份，7月份各用水15吨、25吨． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用——阶梯收费，熟练掌握阶梯收费标准，列式计算，列一元一次方程计算，分类讨论，是解决本题的关键． ◆题型11 行程问题 31．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出． (1)若相向而行，出发后多少小时相遇？ (2)若相背而行，多少小时后，两车相距800千米 【答案】(1)若相向而行，出发后3小时相遇． (2)若相背而行，1小时后，两车相距800千米． 【分析】（1）设出发后x小时相遇，根据题意易得，然后进行求解即可； （2）设y小时后两车相距800千米，根据题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设出发后x小时相遇，根据题意得： ． 解得：； 答：若相向而行，出发后3小时相遇． （2）解：设y小时后两车相距800千米，根据题意得： ． 解得： 答：若相背而行，1小时后，两车相距800千米． 32．（25-26六年级下·山东烟台·期中）用方程的方法求解下面的问题： 已知两地相距420千米，一辆慢车从A地出发，每小时行驶60千米；一辆快车从B地出发，每小时行驶90千米． (1)若两车同时出发，相向而行，经过多长时间两车相遇？ (2)若两车同时出发，反向而行，经过多长时间两车相距560千米？ (3)若慢车出发1小时后快车从B地出发，两车同向而行，快车在慢车后面，那么快车追上慢车用了多长时间？ 【答案】(1)经过2.8小时两车相遇 (2)经过小时两车相距560千米 (3)快车追上慢车用了16小时 【分析】（1）设经过小时两车相遇， 由题意得，解方程即可得出答案． （2）设经过小时两车相距560千米，由题意得，解方程即可得出答案． （3）设快车追上慢车用了小时，由题意得，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设经过小时两车相遇，由题意得， 解得， 因此，经过2.8小时两车相遇； （2）解：设经过小时两车相距560千米， 由题意得， 解得， 因此，经过小时两车相距560千米； （3）解：设快车追上慢车用了小时， 由题意得， 解得， 因此，快车追上慢车用了16小时． 33．（2022七年级·江苏盐城·竞赛）甲、乙两人设计了一个移动游戏： 游戏方式制定：如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动． 移动规则制定：①若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位； ②若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位； ③若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位． 游戏中的数学思考： (1)经过第一次移动游戏，甲、乙两人相距 个单位； (2)从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错，且乙最终停留的位置对应的数为，求甲、乙两人分别猜对了几次？ (3)从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现有3次是甲、乙都猜对了，甲、乙共猜对了12次，甲最终停留的位置对应的数为1，求甲、乙两人分别猜对了几次？ 【答案】(1)6； (2)甲猜对了5次，乙猜对了5次； (3)甲猜对了5次，乙猜对了7次． 【分析】（1）利用规则分别求出甲对乙错、甲错乙对、甲乙都对或都错，两人相距的单位数，由此可得结论； （2）根据题意设乙猜对n次，则甲猜对次，利用平移规则列出方程并求解，即可推算出结果； （3）根据题意设甲猜对x次，则甲猜错次，乙猜对次，乙猜错(次)，再根据甲、乙都猜对3次，得出甲对乙错次，甲错乙对次，都错(次)，最后，再按照甲的平移规则及最终位置列出方程并解出即可． 【详解】（1）解：①若甲对乙错，则甲移动后的点表示的数为，则乙移动后的点表示的数为，此时，甲、乙两人相距 (个)单位； ②若甲错乙对，则甲移动后的点表示的数为，则乙移动后的点表示的数为，此时，甲、乙两人相距 (个)单位； ③若都对或都错，则甲移动后的点表示的数为，则乙移动后的点表示的数为，此时，甲、乙两人相距 (个)单位； 综上，经过第一次移动游戏，甲、乙两人相距6个单位； （2）解：由题意设乙猜对n次，则乙猜错次， 则有：，解得， ∴(次)， ∴甲猜对了5次，乙猜对了5次； （3）解：根据题意设甲猜对x次，则甲猜错次，乙猜对次，乙猜错(次) ． ∵甲、乙都猜对3次， ∴甲对乙错次，甲错乙对次，都错(次)， ∴，解得，则 (次)， ∴甲猜对了5次，乙猜对了7次． 【点睛】解题的关键是充分理解题意找出平移规则，按照平移规则及次数逐个分析，最后，列出方程解出即可． ◆题型12 比例分配 34．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 【答案】(1)原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人 (2)租用7辆70座客车合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． （1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人，根据“租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原计划租用45座客车的数量； （2）利用总租金=每辆车的租金×租用数量，可分别求出租用45座及70座客车所需总租金，比较后即可得出租用7辆70座客车合算． 【详解】（1）解：设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人； （2）解：租用45座客车所需费用为（元）， 租用70座客车所需费用为（元）． ∵， ∴租用7辆70座客车合算． 35．（25-26七年级上·江苏南京·期末）数学课上，鲍老师提出问题：观察下面几种简单多面体，每个多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间有怎样的数量关系？ 同学们的思考如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 ________ 正八面体 ________ 8 12 正十二面体 20 12 30 我通过观察，根据表格数据猜想V、E、F之间的数量关系式是________ (1)完成以上解答． (2)某玻璃饰品厂生产的一种玻璃饰品是一个简单多面体，它的外表面是由三角形构成，且面数与顶点数的比值，那么这个玻璃饰品是几面体？ (3)如果一个简单多面体的各个面为相同的正多边形，且各个顶点处结构完全相同，这样的多面体称为正多面体又称柏拉图立体，那么柏拉图立体共有________种． 【答案】(1)12；6； (2)这个玻璃饰品是二十面体 (3)5 【分析】本题考查欧拉公式，熟记多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系是解题关键． （1）从表格观察发现：顶点数+面数-棱数=2； （2）根据题意得到，，将其代入即可求解； （3）各个面为相同的正多边形，且各个顶点处结构完全相同，然后根据这些特征去列举出所有可能的正多面体，据此判断即可． 【详解】（1）解：； ； ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是； 故答案为：12；6；； （2）解：设这个玻璃饰品的面数为F，顶点数为V， 已知面数与顶点数的比值为，则可得，即， 因为该多面体外表面是由三角形构成，每个三角形有3条边，每一条棱被两个面共用，所以棱数， 根据欧拉公式，得， 解得， 答：这个玻璃饰品是二十面体； （3）解：1、正四面体：正四面体的每个面都是正三角形，且每个顶点处有3个面相交，满足正多面体的定义； 2、正六面体(正方体)：正六面体的每个面都是正方形，每个顶点处有3个面相交，符合正多面体的条件； 3、正八面体：正八面体的每个面都是正三角形，每个顶点处有4个面相交，是正多面体的一种； 4、正十二面体：正十二面体的每个面都是正五边形，每个顶点处有3个面相交，满足正多面体的要求； 5、正二十面体：正二十面体的每个面都是正三角形，每个顶点处有5个面相交，属于正多面体； 综上，柏拉图立体共有5种； 故答案为：5． 36．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）扬州是中国历史文化名城，物产丰饶，其中“绿杨春”茶叶尤为著名．现有、两名农户种植茶叶，农户种植了8亩“绿杨春”茶叶，农户种植了12亩“绿杨春”茶叶，农户平均每亩“绿杨春”制成的茶叶重量是农户每亩制成茶叶重量的（制作茶叶的过程中的损耗忽略不计）．农户制成绿杨春茶叶，农户制成绿杨春茶叶，今年制成“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶两种产品共计千克．两种产品的销售规格如下表： 每盒净重（） 每盒售价（元） 绿杨春茶叶 绿杨春茶叶 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶各多少千克? (2)若销售这两种茶叶共盒，销售额为元，求销售“绿杨春”的盒数； (3)若张华第一次销售这两种茶叶共盒，第二次销售时对所有剩下的“绿杨春”茶叶打八折促销．两次销售完后，他发现第二次总销售额比第一次总销售额多元．求第一次销售“绿杨春”多少盒? 【答案】(1)“绿杨春”茶叶有千克，“绿杨春”茶叶有千克 (2)“绿杨春”茶叶有盒 (3)第一次销售“绿杨春”茶叶盒 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，寻找题目中的等量关系列方程求解是解题关键． （1）设农户每亩产茶重量为千克，根据“、总产量千克”列方程，分别求出、的产量； （2）设销售茶叶的盒数为，根据“总盒数、总销售额元”列方程求解； （3）先确定、的总存量，设第一次销售的盒数为，分别表示出第一次、第二次的销售额，根据“第二次销售额第一次销售额元”列方程． 【详解】（1）解：设农户每亩制成茶叶的重量为千克，则农户每亩制成茶叶的重量为千克． 根据总产量可列方程：， 化简得：，解得， 故茶叶的重量为：千克，茶叶的重量为：千克． 答：“绿杨春”茶叶有千克，“绿杨春”茶叶有千克． （2）解：设销售茶叶的盒数为，则销售茶叶的盒数为， 根据销售额列方程：， 化简得：，解得． 答：“绿杨春”茶叶有盒． （3）解：根据题意，两种茶叶总盒数为： 茶叶总盒数为（盒）， 茶叶总盒数为（盒）， 设第一次销售茶叶的盒数为，则第一次销售茶叶的盒数为， 剩余的茶叶的盒数为，剩余的茶叶的盒数为， 可得第一次的销售额为：， 第二次的销售额为：， 根据题意可列方程： ， 化简可得： ， ， 解得． 答：第一次销售“绿杨春”茶叶盒． ◆题型13 日历问题 37．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）在学习课本132页的数学探究《月历中的方程问题》后，小明和小红对2026年1月份的月历进行探究，小明用如图1所示的“T”字形框在月历中任意框出5个数，设“T”字形框中的五个数分别为，，，，． (1)若，则__________； 若，则__________（用含的代数式表示）； (2)在移动“T”字形框的过程中小明说被框住的5个数之和可能为46，小红说被框住的5个数之和可能为71，他们的说法对吗？请说明理由； (3)小丽设计了如图2所示的“倒T”字形框，框住的五个数分别为，，，，，当时，是否存在的值，使得“倒T”字形框中的五个数与“T”字形框中的五个数有且仅有两个数对应相等，若存在，直接写出符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6； (2) 小明说法正确，小红说法不正确， 理由：由日历可知，，，，， 由题意可得 解得，成立，所以小明说法正确； 解得，根据提供月历，不能框住5个数，故舍去，所以小红说法不正确； (3)存在，b的值为16或26或30 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）直接结合日历作答即可； （2）分别表示出，，，与的关系，进而列方程求解的值，判断在日历上是否成立即可； （3）分别表示出，，，与的关系，找出所有对应情况，列方程求解的值，进而得到的值，判断在日历上是否成立即可． 【详解】（1）解：由日历可知，若，则；若，则； 故答案为：6；； （2）略 （3）解：由（2）知，，，， ∵， 由日历可知，，，，， 若有且仅有两个数对应相等， 则对应且对应 即， 解得， 此时，在日历上成立； 或对应且对应 即， 解得， 此时，在日历上成立； 或对应且对应 即 解得， 此时，在日历上不成立； 或对应且对应 即 解得， 此时，在日历上成立； 或对应且对应 即 解得， 此时，在日历上不成立； 综上所述，存在，b的值为16或26或30． 38．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． (1)若，则___________，___________； 若，则___________（用含的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则___________． 【答案】(1)9，16， (2) 不同意，理由如下： 根据题意得，， 解得， 26位于月历的最右边，与的位置不符， ∴5个数字之和不可能为116； (3)14 【分析】本题考查了一元一次方程与日历问题，整式加减无关型的问题，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据月历，找出各数之间的数量关系求解即可； （2）根据各数之间的关系，列出方程然后求解，最后进行比较即可； （3）根据各数之间的关系表示出，然后整理整式即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 若，则 ， ； 若，则 ； 故答案为：9，16，； （2）略 （3）解：根据题意得， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：14． 39．（25-26七年级上·重庆·期中）下方左图是年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d．      (1)若，则________；若，则________； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为，你认为他的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2) 小明的说法错误， 理由：设b代表的数为m， 则 ， 解得， 此时，，，， 但是其位置不符合 “T”字形框， 故小明的说法是错的． 【分析】本题考查规律探索，列代数式，一元一次方程的应用，掌握月历中数的排列规律，利用规律表示数并建立方程是解决问题的关键． （1）根据月历中上下相邻数差7、左右相邻数差1的规律，用表示；再用同一字母表示a、b、c、d，结合和为列方程求解； （2）设未知数表示4个数的和，列方程判断解是否符合月历的数的范围． 【详解】（1）解：月历中，上下相邻数差7，左右相邻数差1， 若，则，故， 设，则，，， 由， 解得， 故． 答案：，； （2）略 ◆题型14 古代问题 40．（2025七年级上·全国·专题练习）在明代数学家程大位（1533—1606）所著的《算法统宗》中有这样一道题：“假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干?” 题意是：“用绳子测量井深，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺．井深和绳长各是多少?” 请列方程解决这个问题． 【答案】井深8尺，绳长36尺 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是此题的关键． 设井深尺，由两次测量绳长不变列出方程求解即可． 【详解】解：设井深尺， 根据题意列方程得， 解得， ． 答：井深8尺，绳长36尺． 41．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．图1“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： (1)根据“洛书”，图2中______，______； (2)根据图2所填数字，我们不难发现：方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．若图3符合“洛书”的规律，每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等，求c的值． 【答案】(1)5，6； (2) 【分析】本题考查了数字类规律，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据“洛书”中的点，找出，的值； （2）根据第二行及对角线上的三个数的和相等，可求出第三行第一个方格中的数为7，再根据第三行及第三列上的三个数的和相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据“洛书”，图2中，． 故答案为：5，6； （2）解：第三行第一个方格中的数为， 根据题意得：， 解得． 答：的值为． 42．（24-25七年级上·山东聊城·阶段检测）《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 【答案】(1)走路快的人在前面，两人相隔300步 (2)500步 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解决本题的关键是根据题意列出正确的方程． （1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，列方程求解即可； （2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解． 【详解】（1）解：设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步， 由题意得： 解得：， ∴两人相隔（步）， 答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步； （2）解：设走路快的人走y步才能追上走路慢的人， 由题意得： 解得：， 答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人． ◆题型15 其他问题 43．（2026·湖南长沙·二模）为进一步提升城市形象，驱动消费，长沙某地准备开展音乐节活动．长沙文旅计划组织140名志愿者参与服务．志愿者分为引导组和物资组，其中引导组6人一组，物资组8人一组，总组数比引导组多10组． (1)求引导组和物资组各有多少人？ (2)本次活动需租用A、B两种型号车辆一次性接送，它们的载客量和租金如下表所示：若租用同一种型号车辆，使每位志愿者都有座位，应怎样租用才合算？ A型车辆 B型车辆 载客量（人/辆） 20 15 租金（元/辆） 200 150 【答案】(1)引导组60人，物资组80人 (2)租用7辆A型车 【分析】（1）设引导组有人，根据“引导组6人一组，物资组8人一组，总组数比引导组多10组”，列一元一次方程求解即可； （2）分别求出租用两种型号车辆的费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：设引导组有人，物资组有人， 由题意得：， 解得：， 则（人）， 答：引导组60人，物资组80人 （2）解：若租用A型车辆，则需要租用（辆），费用为（元）， 若租用B型车辆，（辆），即需要租用辆，费用为（元）， 因为， 所以租用7辆A型车合算． 44．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，用长度相等的木棍按一定规律拼成图案，其中第1个图案用了12根木棍拼成1个正六边形和2个正方形，第2个图案用了20根木棍拼成2个正六边形和3个正方形……    (1)第5个图案中用了44根木棍拼成了__________个正六边形和__________个正方形； (2)第个图案中用的木棍根数为__________（用含的代数式表示）； (3)如果现有木棍324根，求拼成的图案中正六边形的个数和正方形的个数． 【答案】(1)5；6 (2) (3)40个正六边形和41个正方形 【分析】根据图形，找到规律即可解答． 【详解】（1）解：第5个图案中用了44根木棍拼成了5个正六边形和6个正方形； （2）解：第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， ……， 第个图案用了根木棍； （3）解：根据题意，得 ， 解得， 第40个图案中有40个正六边形和41个正方形． 45．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）列方程（组）不等式（组）解应用题： 近年来，北京市大力推进新能源汽车充电基础设施建设．年，北京市发布了新修订的《电动汽车充电基础设施规划设计标准》．根据该标准，行政办公、学校、医院等公共建筑，直接建设充电设施的停车位比例应不低于总车位数的． 某三甲医院积极响应政策，计划与充电站经营企业合作，将地下停车场部分车位改建成充电车位．该医院地下停车场共有个停车位．根据医院规划，建设慢充桩与快充桩的数量比为． 充电桩的收费标准涉及电费和服务费两部分，实行“价费分离”政策．电费按一般工商业电价（约元/度）执行，由充电站经营企业代收代缴，不计入收入，服务费则由充电站经营企业按充电量向用户收取，作为主要收入来源．参考北京市场行情，两种充电桩的运营数据如下： 充电桩类型 单桩日均充电量（度） 收费标准（元/度） 慢充桩（） 快充桩（） 医院希望充电站每天的服务费收入恰好达到元，那么应当建设慢充桩和快充桩各多少台？ 【答案】应当建设慢充桩150台，快充桩50台 【分析】设建设快充桩x台，则建设慢充桩台，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设建设快充桩x台，则建设慢充桩台，根据题意可得： ， 解得：， ， 总充电车位为，占总车位的，符合题意， 答：应当建设慢充桩150台，快充桩50台． 综合攻坚·知能拔高 46．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）家具厂卖出书柜的数量是办公桌的，卖出书柜的个数比办公桌的张数少120，家具厂卖出书柜多少个，办公桌多少张？（列方程解答） 【答案】 家具厂卖出书柜30个，办公桌150张 【分析】以办公桌数量为未知量，结合书柜与办公桌的数量关系和数量差列方程求解． 【详解】解：设卖出办公桌的数量为x，则卖出书柜的数量为， 根据题意得：， 解得：， ∴书柜数量为（个）， 答：家具厂卖出书柜30个，办公桌150张． 47．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元，求水蜜桃的进价是每千克多少元？ 【答案】 水蜜桃的进价是每千克5元 【分析】以两种水果总获利1800元为等量关系，设水蜜桃进价为未知数列一元一次方程求解． 【详解】解：设水蜜桃的进价是每千克元，则苹果的进价是每千克元， 根据题意可得， 解得， 答：水蜜桃的进价是每千克5元． 48．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）如图，是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由． (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 【答案】(1)带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍 (2)成立；理由如下： 假设中间数为，则上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是， (3)不能 【分析】（1）根据所给数据进行计算可得答案； （2）根据图上的数之间的关系可得：中间一个为上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是，然后再计算这五个数的和即可； （3）根据题意用未知数表示出框出个数，根据这个数的和为列出方程解答即可． 【详解】（1）解：     答：带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍． （2）略 （3）解：设中间数为． 答：在该月历上，是最后一列上的数，不能成为十字框中间的数． 49．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图是两张不同类型的火车票（开头表示动车，开头表示高铁） (1)根据信息可知：动车和高铁是___________（填“同向”或“相向”）而行，动车比高铁早发车___________小时； (2)已知动车的平均速度是，高铁的平均速度是，两列火车长度不计，中途均不停车，最终高铁比动车早到，求、两地之间的距离． 【答案】(1)同向， (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据车票中的信息即可得； （2）设、两地之间的距离为，根据高铁列车比动车早到、动车比高铁列车早发车1小时建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：根据车票中的信息可知，该列动车和高铁列车都是从地开往地，动车的发车时间是2026年1月10日，高铁列车的发车时间是2026年1月10日， ∴该列动车和高铁列车是同向而行，动车比高铁列车发车早1小时， 故答案为：同向，1； （2）解：设、两地之间的距离为， 由题意得：， 解得， 答：、两地之间的距离为． 50．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）一项工程，若由甲队单独做需要天完成，若由乙队单独做需要天完成． (1)若甲乙两队先一起施工天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 【答案】(1)乙队还需要天能够完成任务 (2)甲队得报酬万元，乙队得报酬万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程在工程问题中的应用，核心是利用“工作总量工作效率工作时间”的数量关系解题 ． （1）设乙队还需要天能够完成任务，根据甲乙合作天的工作量与乙单独完成的工作量之和等于总工作量列方程求解即可； （2）先分别计算甲乙两队完成的工作量占总工作量的比例，再按比例分配总报酬得出两队各自的报酬即可解答． 【详解】（1）解： 设乙队还需要天能够完成任务， 甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， 根据题意，列出方程 ， 解得， 答：乙队还需要天能够完成任务； （2）甲队的工作量为 ，甲队的报酬为 （万元）， 乙队的工作量为 ，乙队的报酬为 （万元）， 答：甲队得报酬万元，乙队得报酬万元． 51．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）惠山区“社区便民市集”筹备期间，某厂家计划采购甲、乙两种日用品．已知甲日用品的每件进价比乙日用品的每件进价少20元．若采购甲种日用品5件，乙种日用品3件，共需要700元． (1)求甲、乙两种日用品的每件进价分别是多少元？ (2)该采购商从批发商处采购了甲种日用品3万件、乙种日用品2万件．在市集售卖时，甲种日用品的每件售价为100元，要使得这5万件日用品所获利润率为，求每件乙种日用品的售价是多少元？ 【答案】(1)甲种日用品的进价80元，则乙种日用品的进价100元 (2)每件乙种日用品的售价是114元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）设甲种日用品的进价x元，则乙种日用品的进价元，根据采购甲种日用品5件，乙种日用品3件，共需要700元，列出方程进行求解即可； （2）设乙种日用品的售价为a元，根据总利润等于两种日用品的利润之和，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲种日用品的进价x元，则乙种日用品的进价元， 根据题意，得． 解得． 则． 答：甲种日用品的进价80元，则乙种日用品的进价100元； （2）解：设乙种日用品的售价为a元， 根据题意，得． 解得． 答：每件乙种日用品的售价是114元． 52．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）为增强公民节水意识，泗阳县城区居民生活用水量采用“阶梯收费”其中到户水费＝基本水价＋污水处理费＋水资源费，具体计价标准如下表： 收费方式 月用水量（吨） 基本水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 水资源费（元/吨） 到户水费（元/吨） 第一阶梯 月用水量≤16吨 1.65 0.95 0.20 2.80 第二阶梯 16吨＜月用水量≤24吨 2.29 1.01 0.20 3.50 第三阶梯 月用水量＞24吨 4.69 1.01 0.20 5.90 设某用户某月用水量为吨（为正整数），解决以下问题： (1)若，则应缴水费__________元．若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是__________元；若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是__________元； (2)若该用户11月份的水费是51.8元，求该用户11月份水资源费多少元？ (3)如果该用户5、6月份共用水50吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费167元，直接写出5、6月份各用水多少吨？ 【答案】(1)28，， (2)该用户11月份水资源费为元 (3)5月份用水20吨，6月份用水30吨 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据“阶梯收费”的计价标准分别列式计算即可； （2）先求出该用户11月份的用水量，再计算水资源费即可； （3）设5月份用水x吨，则6月份用水吨，分情况讨论，分别根据共缴水费167元列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：若，则应缴水费元， 若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是元； 若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是元， 故答案为：28，，； （2）若用水量在第一阶梯，则收费最多为元， 若用水量在第二阶梯，则收费最多为元， 因为该用户11月份的水费是元， 所以用水量在第二阶梯， 则， 解得：， 所以该用户11月份水资源费为元； （3）设5月份用水x吨，则6月份用水吨， 若5月份用水量在第一阶梯，6月份用水量在第三阶梯， 由题意得：， 解得：， 与5月份用水量在第一阶梯矛盾，此情况不存在； 若5月份用水量在第二阶梯，6月份用水量在第三阶梯， 由题意得：， 解得：， 则， 答：5月份用水20吨，6月份用水30吨 53．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）为鼓励居民节约用电，M市根据国家发改委的有关文件，结合地方实际，决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费：用电量不超过120千瓦·时的部分，电费价格0.6元/千瓦·时；超过120千瓦·时，但不超过300千瓦·时的部分，电费价格0.8元/千瓦·时；超过300千瓦·时的部分，电费价格1元/千瓦·时． (1)若小明家10月份用电350千瓦·时，求小明家10月份应缴纳的电费． (2)11月缴费后，小明经过计算发现当月平均电费为0.68元/千瓦·时，请直接写出小明家11月份用电范围属于哪一个“阶梯电价”，并求小明家11月份的用电量． 【答案】(1)266元 (2)属于超过120千瓦·时但不超过300千瓦·时的阶梯，用电量为200千瓦·时 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）先求出用电300千瓦·时的平均电费，结合小明家的平均电费确定用电范围，设小明家11月份的用电量为千瓦·时，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：（元）， 答：小明家10月份应缴纳的电费为266元； （2）解：当用电300千瓦·时，应缴纳电费为（元）， 此时平均电费为（元）， ∵小明家当月平均电费为0.68元/千瓦·时，且， ∴小明家11月份用电范围属于超过120千瓦·时但不超过300千瓦·时的阶梯； 设小明家11月份的用电量为千瓦·时， 根据题意，得， 解得， 答：小明家11月份的用电量为200千瓦·时． 54．（25-26七年级上·福建厦门·期末）学校准备在教室靠走廊一侧做一排开放式储物柜（没有门和背板），柜中每个格子内部空间满足： 长度35cm，高度25cm，深度40cm． 某工厂现有一些厚度为2cm的板材，其类型、规格和价格如表 板材类型 规格：长×宽 价格（元/块） 竖板 60 隔板 15 A型顶板 30 B型顶板 85 C型顶板 130 (1)林老师从该厂购买了1块A型顶板，2块竖板，3块隔板，用这6块板材组装了一个三层一列的储物柜（如图），请计算该储物柜的高度 (2)学校采购该厂现有的板材，不切割直接进行组装，再将其并排放在一起供师生使用．为不影响视野，储物柜高度不超过1米；为确保结构稳定，每个储物柜的顶板、竖板和隔板之间无缝隙不错位，其两侧有竖板且每列底部都有隔板． ①用一块B型顶板以及若干块竖板和隔板可以组装出一个三层几列的储物柜？购买能组装出这个储物柜所需的全部板材要多少费用？ ②已知七年1班有51名学生，每名学生都要有独立格子可用，请你设计一个最优的购买方案，并求该方案所需费用． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了方案设计的问题， 对于（1），根据竖板的高加上顶板的厚度即可； 对于（2）①，根据B型顶板的长度确定竖板和隔板的个数即可得出答案； ②，先分别求出1个A，B，C型顶板组成的储物柜所需费用，再分别求出五个方案的费用，比较得出答案． 【详解】（1）解：储物柜的高度为； （2）解：①由，可知需要竖版5块，即可组一个三层四列的储物柜；每一列需要3块隔板，共需要隔板，则此储物柜需要12块隔板，1块B型顶板，5块竖板，即（元）， 所以购买能组装出这个储物柜所需的全部板材要565元； ②1块A顶板需要（元）； 1块B型顶板需要（元）； 1个C型顶板需要21块隔板，1块C型顶板，8块竖板，即（元）． 方案一：全部用A型顶板，（元），共需要3315元； 方案二：4个B型顶板，1个A型顶板，（元），共需要2455元； 方案三：3个C型顶板，（元）； 方案四：由，则2个C型顶板，1个B型顶板，（元）； 方案五：由，则2个C型顶板，3个A型顶板，（元）； 因为2415元费用最低， 所以购买2个C型顶板，1个B型顶板，个竖板，隔板，该方案所需费用为2415元． 55．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）阅读材料，解决问题： 探究蛋白质含量 材料1 面粉、牛奶、牛肉、鸡蛋的蛋白质含量 食品种类 面粉 牛奶 牛肉 鸡蛋 每所含蛋白质（g） 10 3 20 15 材料2 有研究认为，周岁男、女生每天分别约需要摄入、蛋白质． 问题解决 问题1 若小冉早餐是一个的鸡蛋、牛奶和牛肉食品，则该份早餐中蛋白质总含量为________g． 问题2 某天小冉哥哥刚好通过面粉和牛肉共实现了蛋白质的摄入量，这天他摄入面粉和牛肉各多少克？ 【答案】 问题1：35 问题2：他摄入面粉，牛肉。 【分析】此题考查了有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握百分率意义，列算式，列方程． 问题1考查有理数混合运算的实际应用，根据每种食物的蛋白质占比计算各自的蛋白质含量再求和即可； 问题2考查一元一次方程的实际应用，通过设未知数，结合蛋白质总摄入量的等量关系列方程求解。 【详解】问题1： ∴该份早餐中蛋白质总含量为 问题2：设摄入面粉，则摄入牛肉， 由题意得，， 两边同乘100得，， 展开得，， 移项合并同类项得，， 解得，， 则， 答：他摄入面粉，牛肉． 56．（25-26七年级上·江苏南京·期末）某快递公司利用无人机提供同城快送服务，配送费用＝基础配送费＋路程附加费＋重量附加费，已知基础配送费为12元，其他收费标准如下表： 路程附加费 重量附加费 不超过的部分 超过的部分 不超过的部分 超过且不超过的部分 超过且不超过的部分 4元 5元 6元 2元 5元 例如：配送路程为，物品重量为时，配送费用元． (1)当配送路程为，物品重量为时，配送费用为__________元； (2)小亮的妈妈通过这家同城快递寄了一件重量不超过的物品，路程，共支付配送费32元．这件物品的重量是多少千克？ 【答案】(1)47 (2)10千克 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确的列出算式和方程是解题的关键： （1）根据收费标准，列出算式进行求解即可； （2）设这个物品的重量为千克，分3种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：（元）； 故答案为：47； （2）解：设这个物品的重量为千克． 当时，配送费用元；，故舍去 当时， ． 当时， （舍）． 答：这件物品的重量为10千克． 57．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上有三个点，对应的数分别是a，b，c．满足，原点O是中点．动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． (1)则___，_____，_____． (2)若点到点的距离是点到点的距离的2倍，求点对应的数； (3)当点运动到点时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．则点Q运动______________秒时，两点之间的距离为4． 【答案】(1)，， (2)点对应的数为或2 (3)8，16， 【分析】本题考查的是绝对值及平方的非负性、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离及一元一次方程的应用， （1）根据绝对值及平方的非负性求出a、b，再得出b、c互为相反数求得c值即可； （2）先求出点表示的数是，再根据两点之间的距离列绝对值方程，再根据绝对值的性质分别即可； （3）设在点开始运动后第秒时，、两点之间的距离为，分三种情况分别求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∵点O是中点， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，点表示的数是， 点到点的距离是点到点的距离的2倍， ∴ 即，解得 当时，      当时，； 点对应的数为或2； （3）解：点运动到点的时间为秒，点从点运动到点的时间为秒，点运动到点的时间为秒， 设在点开始运动后第秒时，、两点之间的距离为4， 当点在点的右侧，且点还没追上点，则， 解得8； 当点在点的左侧，且点追上点后，则， 解得，此时点Q到达C处； 当点到达点后返回，且点在点右侧，则， 解得； 综上，当点开始运动后第8，16， 秒时，、两点之间的距离为4． 58．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）阅读材料，解决问题： 参考数据 材料1 谷物、牛奶、牛肉、鸡蛋的蛋白质含量 食品种类 谷物 牛奶 牛肉 鸡蛋 每所含蛋白质 10 3 20 15 材料2 有研究认为，周岁男性每天约需要摄入蛋白质． 问题解决 问题1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，则该份早餐中蛋白质总含量为______． 问题2 某天中学生小强刚好通过谷物和牛肉共，实现了蛋白质的摄入量，这天他摄入谷物和牛肉各多少克？ 【答案】问题1：28；问题2：他摄入谷物，牛肉 【分析】本题考查一元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 问题1：根据题意列出算式求解即可； 问题2：设摄入谷物，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：问题1：， ∴该份早餐中蛋白质总含量为； 问题2：设摄入谷物，则牛肉 由题意得， 解得， 所以， 答：他摄入谷物，牛肉． 59．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）某市居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费 不超过部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 (1)小亮家2025年用水量为，应缴纳水费 元； (2)小红家2025年缴水费960元，该家庭实际用水量是多少？ (3)小华家和小强家2025年的用水量共，且小华家用水量比小强家多，两家共缴纳水费2240元，求小华家和小强家的用水量分别为多少？ 【答案】(1)300 (2) (3)小华家用水量，小强家用水量 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，有理数的四则混合运算的应用，解题的关键是正确理解题意，正确运用分类讨论和方程的思想求解． （1）用水量未超过，按3元计算； （2）水费960元介于540元和1020元之间，说明用水量在到之间，列方程求解； （3）设小强家用水量为，则小华家用水量为，然后分两种情况讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：用水量，则水费（元）， 故答案为：300； （2）解：（元） （元） （元） ， 小红家2025年实际用水量应为“超过但不超过”这种情况． 设用水量，水费， ∴ 解得 答：实际用水量为； （3）解：设小强家用水量为，则小华家用水量为， 当时，则小华家用水量超过 由题意得，， 解得，不符合题意，舍； 当时，则小华家用水量超过， 由题意得，， 解得，符合题意， 则小华家用水量为， 答：小华家用水量，小强家用水量． 60．（25-26七年级上·江苏常州·期中）【数学概念】 、为数轴上不重合的两个点，为数轴上任意一点，我们比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点到线段的“密距离”．特别地，若线段和的长度相等，则将线段或的长度定义为点到线段的“密距离”． 【概念理解】 如图1，点表示数，点表示数3． （1）若点表示数，则点到线段的“密距离”为___________； （2）若点在点、之间，点表示的数是，点到线段的“密距离”是3，则___________； 【概念应用】 （3）如图2，在数轴上，点表示的数是-6，点表示的数是-3，点表示的数是2．点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动的时间为秒，当点到线段的“密距离”为1时，求的值． 【答案】（1）2；（2）或0（3）t=1、2、7、9 【分析】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，数形结合并分类讨论，是解题的关键． （1）先求出、的长，由“密距离”的定义，可得答案； （2）点到线段的“密距离”为3时，分和两种情况列出方程，解方程即可得答案； （3）按照和，分类讨论计算即可． 【详解】解：（1）点表示的数是，点表示的数是3，若点表示的数是， ，， 点到线段的“密距离”为2， 故答案为：2； （2）根据两点间的距离可得，，， ∵点到线段的“密距离”为3， ∴当时，解得，此时，符合题意； 当时，解得，此时，符合题意； 故的值为或0； （3）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是， ，， 当时，解得：或，此时或，符合题意； 当时，解得：或，此时或，符合题意； 当时，无解， 综上，的值为或或7或9． 61．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）定义：已知，分别是关于，的方程的解，若满足：（为正数），则称前者是后者的“属方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且满足，则称方程是方程的“属方程”． (1)下列方程是方程的“属方程”的是______（请填写正确的序号）； ①；②；③ (2)若关于的方程是关于的方程的“2属方程”，求整数的值； (3)若对于任何正数，关于的方程都是关于的方程的“属方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“属方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出的解，再分别求出①，②，③三个方程的解，然后代入（为正数）进行逐一验证，即可得到答案； （2）先分别求出方程和方程的解，然后代入（为正数），即可求解的值； （3）先分别求出方程和方程的解，后代入（为正数），然后根据取任意正数方程都成立，即可求解的值； 【详解】（1）解：求得方程的解为， ①，求得，将，代入：（为正数），求得，属于“属方程”，即①正确； ②，求得，将，代入：（为正数），求得，不属于“属方程”，即②不正确； ③，求得，将，代入：（为正数），求得，属于“属方程”，即③正确； 故答案为：①③； （2）解：方程的解是， 方程的解是， 方程是方程的“2属方程”， ∴， 方程化简，得：， 解得：或， 为整数， ∴； （3）解：方程的解是， 方程的解是， 方程是方程的“属方程”， ∴， ， 即，或， 取任意正数方程都成立， ∴，或， 即，或， 经验证，当时，一个方程有唯一解，另一个方程无解，不满足题意， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $