专题07 全等三角形含辅助线证明题（6种类型48道）2026-2027学年八年级数学上册高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦全等三角形证明的6类辅助线方法，以题型为载体系统构建“方法-模型-变式”训练体系，强化逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倍长中线|8道|延长中线构造全等三角形|基于中线性质，通过倍长转化线段关系，渗透转化思想| |截长补短|8道|在长线段截取或延长短线段构造全等|针对线段和差问题，利用全等实现线段转移，培养空间观念| |半角模型|8道|旋转含半角的三角形构造全等|结合特殊角（如90°、120°），通过旋转整合分散条件，提升推理能力| |作垂直|8道|过顶点作高构造直角三角形全等|利用垂直条件创造直角全等条件，强化辅助线作图规范性| |补全图形|8道|补全残缺图形（如倍长中线补全三角形）|通过补形转化复杂图形为基本模型，培养模型意识| |探究线段关系|8道|综合运用全等与几何性质推导数量关系|整合前5类方法，探究动态或变式情境下的线段规律，发展创新意识|

专题07 全等三角形含辅助线证明题 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 倍长中线】 1 【类型2 截长补短】 17 【类型3 半角模型】 31 【类型4 作垂直】 56 【类型5 补全图形后证明全等】 71 【类型6 探究线段的数量关系】 89 【类型1 倍长中线】 1．如图，是的中线，是的中线，且，求证：． 【答案】证明：延长至点，使得，连接 ∵是中线，是中线 ∴， ∵在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴，， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（同旁内角互补） ∵， ∴（等边对等角） ∴ ∵ 点共线（是的中线）， ∴（平角定义） ∴ ∵在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴ 【分析】本题考查了三角形中线性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质；解题的关键是通过中线倍长法构造全等三角形，利用等腰三角形和平行线的性质推导角与边的关系，从而证明线段倍分关系．先构造倍长中线，再证得；得到对应角相等，对应边相等，推导出，证得，转化线段关系，即可得到． 【详解】略 2．如图，为中线，点在上，交于点．求证：． 【答案】 证明：延长至点，使，连接， ∵为中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．延长至点，使，连接，证明，得到，进而得到，得到，根据对顶角相等，推出，即可．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】略 3．如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：延长到点F，使得，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴（AAS）， ∴， ∴． 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）延长到点F，使得，连接，易证，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】（1）略． （2）略． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键． 4．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在CB上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD． （1）求证：AD=AE； （2）若点F为CD中点，AF交BE于点G，求∠AGE的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）90°． 【分析】（1）根据∠BAC=90°，EA⊥AD，可得∠BAD=∠CAE，然后根据AB=AC，∠ACE=∠ABD，可证明△ABD≌△ACE，继而可得出AD=AE； （2）延长AF至M，使FM=AF，连接MC，易证△ADF≌△MCF，可得出AD=AE=CM，易证∠BAE=∠ACM，从而证得△ABE≌△CAM，通过∠ABG=∠CAF，得到∠AGE=90°． 【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，EA⊥AD， ∴∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（ASA）， ∴AD=AE； （2）延长AF至M，使FM=AF，连接MC， 在△ADF与△MCF中， ， ∴△ADF≌△MCF（SAS）， ∴AD=CM，∠DAF=∠M， ∴AD∥CM， ∴∠ACM+∠DAC=180°， ∵△ABD≌△ACE， ∴AD=AE， ∴AD=AE=CM， ∵∠BAC+∠DAE=180°， ∴∠BAC+∠DAC+∠CAE=180°， ∴∠BAE+∠DAC=180°， ∴∠BAE=∠ACM， 在△ABE和△CAM中， ， ∴△ABE≌△CAM（SAS）， ∴∠ABG=∠CAF， ∵∠CAF+∠BAG=90°， ∴∠ABG+∠BAG=90°， ∴∠AGB=∠AGE=90°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键． 5．在等腰和等腰中，，连为中点，连． （1）如图1，请写出与的关系，并说明理由； （2）将图1中的旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由． 【答案】 (1)OM=，理由如下： 如图OM至E，使ME=OM，连接DE，AE ∵AM=DM，EM=OM， ∴四边形AODE为平行四边形， ∴AO=DE， 又∵AO=BO， ∴OB=DE， ∵∠BOC+∠AOD=360°－∠COD－∠AOB=180°， 又∠EDO+∠DOA=180°， ∴∠BOC=∠EDO， 又OC=OD， 在△BOC和△EDO中， ∴△BOC≌△EDO， ∴BC=OE， 又∵OM=OE ∴OM=BC； （2）（1）结论成立，理由如下： 延长OM至E，使ME=MO，连接DE，AE ∵AM=DM，EM=OM， AODE为平行四边形， ∴AO=DE 又∵AO=BO， ∴OB=DE， ∵∠BOC+∠AOD=∠AOB+∠COD=180°， 又∠EDO+∠DOA=180°， ∴∠BOC=∠EDO， 又OC=OD， 在△BOC和△EDO中， ∴△BOC≌△EDO， ∴BC=OE， 又∵OM=OE， ∴OM=BC； 【分析】（1）延长OM至E，使ME=MO，连接DE，AE，可判断四边形AODE为平行四边形，得到AO=DE，根据三角形，四边形内角和定理，结合条件可判定△BOC≌△EDO，得到BC=OE，进而得出结论； （2）延长MO至E，使ME=OM,连接DE，AE利用（1）中的方法即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，解题关键是正确做出辅助线利用平行四边形的性质得出全等三角形最后得出结论． 6．如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【答案】(1) 证明：∵在与中， ∴ ． (2) 证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即， ，即， ∴． ∵在与中， ． (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．证明，得出，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，得到． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．完成下列各题    (1)【模型启迪】如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． (2)【模型探索】如图2，在中，D为边的中点，连接，E为边上一点，连接交于点F，且．求证：． 【答案】(1)，： (2) 证明：延长至点，使，连接，    由（1）同理可得：， ，， ， ， ， ，即， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质． （1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答； （2）延长至点，使，连接，利用（1）中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明． 【详解】（1）解：∵为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ∴， 故答案为：，； （2）略 8．在中，点是的中点，连接．    (1)如图1，若，，且的长为偶数，求的长度． (2)如图2，延长到点，使，连接，点为的中点，连接，点为上一点，且，，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：如图所示，延长至，使得，连接   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 【分析】（1）延长至，使得，证明得出，根据三角形三边关系求得，则，根据的长为偶数，即可求解； （2）延长至，使得，连接，证明，进而根据已知条件，证明，即可得出结论 【详解】（1）解：如图所示，延长至，使得，    ∵是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的长为偶数， ∴； （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线法证明全等三角形是解题的关键． 【类型2 截长补短】 9．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：在上截取，连接．    ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∴． (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点． （1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形； （2）连CE，求证：BE＝AE+CE． 【答案】 （1）证明：∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵线段AC与AD关于直线AP对称， ∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC， ∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°， ∴∠BAD＝90°， ∵AB＝AC＝AD， ∴△ABD是等腰直角三角形； （2）证明：在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF， ∵线段AC与AD关于直线AP对称， ∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC， ∵AD＝AC＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE， 在△ABF与△ACE中， ∴△ABF≌△ACE（SAS）， ∴AF＝AE， ∵AD＝AB， ∴∠D＝∠ABD， 又∠CAE＝∠DAE， ∴， ∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°， ∴△AFE是等边三角形， ∴AF＝FE， ∴BE＝BF+FE＝CE+AE． 【分析】（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出∠BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出结论； （2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再进一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）求∠ADB的度数； （2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（1）120°； （2）DE＝AD+CD，理由如下： 在线段DE上截取DM＝AD，连接AM， ∵∠ADE＝60°，DM＝AD， ∴△ADM是等边三角形， ∴∠ADB＝∠AME＝120°． ∵AE＝AB， ∴∠ABD＝∠E， 在△ABD和△AEM中，， ∴△ABD≌△AEM（AAS）， ∴BD＝ME， ∵BD＝CD， ∴CD＝ME． ∵DE＝DM+ME， ∴DE＝AD+CD． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案； （2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，得到△ADM是等边三角形，根据△ABD≌△AEM，得到BD＝ME，结合图形证明结论 【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°， ∵DB＝DC，∠DCB＝30°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°， 在△ABD和△ACD中，， ∴△ABD≌△ACD （SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°， ∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°； （2）略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 12．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）； （2）证明：如图，延长至F，使，连接， 由（1）得为等边三角形， ∴， ∵， 又∵，且， ∴， 在与中， ∴ ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴为等边三角形 ∴， 又∵，且， ∴， 【分析】（1）由，，可得为等边三角形，由，，，可证 （2）延长至F，使，连接， 由，，且，可证 由，可证为等边三角形，可得， 可推出结论， 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∵， ∴ （2）略 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形． 13．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC． 求证：BC=AB+CD．    【答案】 证明：在线段BC上截取BE=BA，连接DE，如下图所示： ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD， 在△ABD和△EBD中： ， ∴△ABD≌△EBD(SAS)， ∴∠DEB=∠BAD=108°， ∴∠DEC=180°-108°=72°，又AB=AC， ∴∠C=∠ABC=(180°-108°)÷2=36°， ∴∠CDE=180°-∠C-∠DEC=180°-36°-72°=72°， ∴∠DEC=∠CDE， ∴CD=CE， ∴BC=BE+CE=AB+CD． 【分析】在BC上截取点E，并使得BE=BA，连接DE，证明△ABD≌△EBD，得到∠DEB=∠BAD=108°，进一步计算出∠DEC=∠CDE=72°得到CD=CE即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质等，本题的关键是能在BC上截取BE，并使得BE=BA，这是角平分线辅助线和全等三角形的应用的一种常见作法． 14．数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：∵在和中， ∵，，， ∴， ∴． (2)相等，证明如下： ∵是等腰直角三角形，，， ∴， 由（1）可知，，设， ∵， ∴，且， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (3)，证明如下： 过点作交延长线于点，延长交于点，      ∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据“边角边”判定和全等即可求证； （2）是等腰直角三角形，设，根据，用含的式子表示，根据，用含的式子表示，由此即可求解； （3）过点作交延长线于点，延长交于点，可证，可得，根据（2）的结论，可证，可得，再根据可得是等腰三角形，可找出的关系，由此求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差计算的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键． 15．如图中，分别平分相交于点． （1）求的度数； （2）求证： 【答案】（1）∠CPD=60°； （2）证明：如图，在AC上截取AF=AE，连接PF， ∵∠CPD=60°， ∴∠APC=120°，∠APE=60° ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠BAD=∠CAD，∠ACE=∠BCE 在△APE与△APF中 ， ∴△APE≌△APF（SAS） ∴∠APF=∠APE=60°， ∴∠CPF=∠AOC-∠APF=60°， 在△CFP与△CDP中， ∴△CFP≌△CDP（ASA） ∴CD=CF ∴AC=AF+CF=AE+CD， 即． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义，三角形的外角性质即可求出； （2）在AC上截取AF=AE，先证明△APE≌△APF（SAS），再证明△CFP≌△CDP（ASA），根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】解：（1）∵∠ABC=60°， ∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°， 又∵AD、CE分别平分， ∴， ∴， 又∵∠CPD是△ACP的外角， ∴∠CPD=∠CAD+∠ACE=60°， ∴∠CPD=60°． （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理与角平分线的角度计算问题，解题的关键是通过在AC上截取AF=AE构造全等三角形． 16．如图1，在等边三角形中，于D，于E，与相交于点O． (1)求证：； (2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：； (3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：、、三条线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：为等边三角形， ，， 又，， 平分，平分， ，， ，， 又在中，，， ， ． (2) 证明：，， ，， ， 又平分， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． (3)， 证明如下： 如图，连接，在上截取，连接， AI，， ，， ，， 又，等边三角形． ，， ，， ， 在和中， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）利用等边三角形的“三线合一”性质，结合“直角三角形角所对的直角边是斜边的一半”进行证明． （2）是等边三角形的中垂线，可得，再通过角的计算推导角的关系，结合全等三角形证明线段相等． （3）通过构造全等三角形，将、转化为的组成部分，进而推导线段的和差关系． 【类型3 半角模型】 17．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 18．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：　　＋　　＝　　．（不需证明） （2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由． （3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 【答案】（1）AE；CF；EF； （2）如图2，（1）中结论成立；理由如下： 延长FC到H，使CH=AE，连接BH， ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠A=∠BCH=90°， ∴△BCH≌△BAE（SAS）， ∴BH=BE，∠CBH=∠ABE， ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°， ∴∠HBC+∠CBF=60°， ∴∠HBF=∠MBN=60°， ∴∠HBF=∠EBF， ∴△HBF≌△EBF（SAS）， ∴HF=EF， ∵HF=HC+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF； （3）不成立，新的关系为AE＝EF＋CF． 【分析】（1）根据题意易得△ABE≌△CBF，然后根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CBF=30°，进而根据30°角的直角三角形及等边三角形的性质可求解； （2）如图2，延长FC到H，使CH=AE，连接BH，根据题意可得△BCH≌△BAE，则有BH=BE，∠CBH=∠ABE，进而可证△HBF≌△EBF，推出HF=EF，最后根据线段的等量关系可求解； （3）如图3，在AE上截取AQ=CF，连接BQ，根据题意易得△BCF≌△BAQ，推出BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，进而可证△FBE≌△QBE，推出EF=QE即可． 【详解】解：（1）如图1，AE+CF=EF，理由如下： ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠A=∠C=90°， ∵AB=BC，AE=CF， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠ABE=∠CBF，BE=BF， ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠ABE=∠CBF=30°， ∴， ∵∠MBN=60°，BE=BF， ∴△BEF是等边三角形， ∴， 故答案为：AE+CF=EF； （2）略． （3）如图3，（1）中的结论不成立，关系为AE=EF+CF，理由如下： 在AE上截取AQ=CF，连接BQ， ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠A=∠BCF=90°， ∵AB=BC， ∴△BCF≌△BAQ（SAS）， ∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ， ∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE， ∴∠CBE+∠ABQ=60°， ∵∠ABC=120°， ∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN， ∴∠FBE=∠QBE， ∴△FBE≌△QBE（SAS）， ∴EF=QE， ∵AE=QE+AQ=EF+CF， ∴AE=EF+CF． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键． 19．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【答案】（1） （2）证明：在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图， ∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°， ∴∠ADG＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠ADG＝90°， ∵BE＝DG，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE， ∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD， ∵， ∴∠EAF＝∠FAG， 又∵AF＝AF，AE＝AG， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF； （3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下： 如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF＝∠BAD． ∴∠GAE＝∠BAD=∠EAF． ∵AE＝AE，AG＝AF． ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE−BG ∴EF＝BE−FD． 【分析】（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案； （2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案； （3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】（1）解：，理由如下： 延长CD，使DM=BE，连接AM， ∵在正方形中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°， ∴， ∴∠BAE=∠DAM，AE=AM， ∵， ∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°， ∴∠EAF=∠MAF=45°， 又∵AF=AF，AE=AM， ∴， ∴EF=MF=MD+DF=BE+DF； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题． 20．问题背景 如图①，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系．    探究发现 （1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后再证明，从而得出结论：______； 拓展延伸 （2）如图②，在四边形中，，，点，分别是边，上的点，且，连接．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图③，在正方形中，点，分别是边，上的点，且，连接，已知，，求正方形的边长． 【答案】（1）； （2）（1）中的结论仍然成立． 证明：如解图，将绕点逆时针旋转至的位置，使与重合.    则，，，， 又∵， ∴， ∴，，三点共线. ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）正方形的边长为6． 【分析】（1）证明，可得，即可得出结论； （2）要探究，，之间的数量关系，方法同（1）即可得出结论； （3）根据（1）（2）的结论和勾股定理，即可求出正方形的边长. 【详解】（1）解：由旋转得：AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG， ∵， ∴∠EAG=120°， ∵, ∴∠GAF=, 又∵AF=AF， ∴， ∴EF=GF， ∵GF=DG+DF， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：由（1）（2）可知． 设正方形的边长为， 则，， 在中，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， 故正方形的边长为6. 【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用，正方形的性质，解题中注意类比方法的运用，同样的类型题可以运用同样的思路及方法进行证明. 21．在 中，，点 D 与点 E 分别在、边上， ，且，点 F 与点 G分别在、边上， (1)若，，如图1，点G与点 C重合，证明：； (2)当G在线段上时，如图2，探究线段，，的数量关系，并给予证明； (3)当G在线段上时，如图3，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明． 【答案】(1) 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 解：如图2中，结论：． 理由：在上截取，使得． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (3) 解：如图3中，结论：． 理由：在射线上截取，使得． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）直角三角形得到，，则，再证明得到，即可得到； （2）在上截取，使得．先证明，得到，，再证明，得到，即可根据得到． （3）在射线上截取，使得．先证明，得到，，再证明，得到，最后根据得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 22．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 【答案】(1) 解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)24 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键的通过截长补短，构造特殊三角形和全等三角形． （）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （3）过点C作，垂足为点C，截取．连接、，证明，再证明，得到，，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过点C作，垂足为点C，截取．连接、． ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中 ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 在和中 ∵ ， ∴ ∴，， ∴． 故答案为：24． 23．已知为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，连接、，点、分别在、所在的直线上，连接、． (1)如图①，若，点、在边、上，，则、、之间的数量关系是_______；若，则的周长为______； (2)如图②，点在上，，求证：； (3)如图③，点在边上，点在的延长线上，在（2）的条件下，若，证明：． 【答案】(1)，2 (2) 证明：如图：过点作， ∵为等边三角形，点为的垂直平分线上一点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； (3) 证明：设，如图：过点作， 同理可证 ∴ ∵ ∴ ∴ 则 【分析】（1）延长至点，使，结合等边三角形以及垂直平分线性质，证明，然后证明，进行边的等量代换，即可作答．结合的周长，且，即可作答． （2）过点作，因为为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，得到为中位线，从而证明，； （3）设，如图：过点作，同理证明，则，故，即可作答． 【详解】（1）解：如图：延长至点，使 ∵点为的垂直平分线上一点， ∴, ∵为等边三角形， ∴ ∴ 故 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 则； ∵的周长，且 ∴ （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，涉及判定三角形全等以及全等三角形的性质、四边形内角和，垂直平分线的性质，辅助线等内容，综合性强，难度大，解题的关键是正确作出辅助线证明三角形全等． 24．已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【答案】(1) 补全图形，如图： ； (2)成立， 证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 【类型4 作垂直】 25．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1) ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q， 在和中， ∴， ∴， 又∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． (3)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质， （1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论； （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论； （3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点C作交于P，作交延长线于G，    ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同理可得：，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ 【点睛】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等． 26．如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 【答案】 （1）∵AD⊥AC，BC⊥AC， ∴∠CAD＝∠ACB＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B＝45°， ∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°， ∴∠EAF＝∠DAF， 在△EAF和△DAF中， ， ∴△EAF≌△DAF（SAS）； （2）∠DCF＝45°． 【分析】（1）由垂直定义可得∠CAD=∠ACB=90°，再根据题意得∠EAF=∠DAF，即可证得结论； （2）过点F作FM⊥FA交AC于点M，由“AAS”可证△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可证△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°． 【详解】（1）略 （2）如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M， ∵FA⊥FM，∠FAM＝45°， ∴∠FMA＝45°＝∠FAM， ∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°， ∵EF＝FC， ∴∠FEM＝∠FCA， 在△AEF和△MCF中， ， ∴△AEF≌△MCF（AAS）， ∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF， ∵△EAF≌△DAF， ∴∠EFA＝∠DFA， ∴∠DFA＝∠MFC， ∴∠AFM＝∠DFC＝90°， ∵DF＝EF＝CF， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠DCF＝45°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 27．如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 【答案】 证明：如图，过点D作的延长线于点G， ， ， ， 又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD， ∴， ， 又∵BC=BE， ， 又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG， ∴， ∴EF=DF. 【分析】如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案. 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 28．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.    【答案】 证明：如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F， 则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°， 又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC， ∴， ∴DF=CG，. 又， ∴≌， .    【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案. 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键. 29．如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 【答案】 如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∴CE＝CF， ∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°， ∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL）， ∴∠ACF＝∠ECB， ∴∠ACB＝∠ECF， ∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ACB+∠AOB＝180°， ∴∠OAC+∠OBC＝180°． 【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. 30．已知：中，，，连接，在直线右侧作, (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，若；求 (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点P．若．求证：； (3)如图3，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点P,请直接写出的值（不需要计算过程）． 【答案】(1)2； (2) 证明：如图2，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵,， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； (3)． 【分析】（1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质代入计算即可； （2）如图2，过点E作，由垂直得结合已知证，得到，，再证得，利用角所对的直角边等于斜边的一半换算即可； （3）当点D在延长线上时，如图，交的延长线于N，由，设则，解出，分别，，利用全等的性质求出，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：当点D在延长线上时，如图，交的延长线于N， ∵， ∴设则， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， 又∵,， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角所对的直角边等于斜边的一半、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 31．如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由； （2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】（1）；（2）（1）中结论仍然成立，见解析；（3）（1）中结论不成立， ，见解析. 【分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出ODOC，同OEOC，即可得出结论； （2）同（1）的方法得OF+OGOC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论； （3）同（2）的方法即可得出结论． 【详解】（1）∵OM是∠AOB的角平分线， ∴∠AOC=∠BOC∠AOB=30°． ∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°， ∴∠OCD=60°， ∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°． 在Rt△OCD中，OD=OC•cos30°OC， 同理：OEOC， ∴OD+OEOC； （2）（1）中结论仍然成立，理由如下： 过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G， ∴∠OFC=∠OGC=90°． ∵∠AOB=60°， ∴∠FCG=120°， 同（1）的方法得：OFOC，OGOC， ∴OF+OGOC． ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点， ∴CF=CG． ∵∠DCE=120°，∠FCG=120°， ∴∠DCF=∠ECG， ∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG， ∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE， ∴OD+OEOC； （3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣ODOC，理由如下： 过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G， ∴∠OFC=∠OGC=90°． ∵∠AOB=60°， ∴∠FCG=120°， 同（1）的方法得：OFOC，OGOC， ∴OF+OGOC． ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点， ∴CF=CG． ∵∠DCE=120°，∠FCG=120°， ∴∠DCF=∠ECG， ∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG， ∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD， ∴OE﹣ODOC． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 32．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD． 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明． 【答案】 证明：方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G． ∴∠F=∠CGE=90°， 在△BFE和△CGE中， ， ∴△BFE≌△CGE（AAS）， ∴BF=CG， 在△ABF和△DCG中， ， ∴△ABF≌△DCG（AAS）， ∴AB=CD； 方法二：如图2，作CF∥AB交DE的延长线于点F． ∴∠F=∠BAE． 又∵∠BAE=∠D， ∴∠F=∠D， ∴CF=CD， 在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴AB=CF， ∴AB=CD． 【分析】方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G，先证明△BFE≌△CGE，得BF=CG，再证明△ABF≌△DCG即可； 方法二：如图2中，作CF∥AB交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明△ABE≌△FCE即可． 【类型5 补全图形后证明全等】 33．如图，，，，是的中点，连并延长线交射线于点． (1)如图1，当时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若为钝角时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) ，理由如下：如图1所示：连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， (2) 与的数量关系：，证明如下： 如图2， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识； （1）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论； （2）先证，得，再证，得，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 34．如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点． (1)如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数； (2)当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)， 补全图形见图： (2) 解：补全图形如图： ，理由如下： 如图， 在的延长线上截取， 连接，以点为圆心为半径作弧，交于点， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在等腰中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．关键是添加辅助线构造全等三角形，找到线段的等量关系． （1）当点D与点B重合时，是等腰三角形，等边对等角， 可求的度数，可求的度数． （2）在的延长线上截取连接，以点B为圆心为半径作弧，交于点N，连接， 证明可得即可得到和的等量关系． 【详解】（1）解：∵点与点重合， ， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）略 35．在△ABC中，，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF． （1）当点E在线段AC时，依题意补全图1，用式子表示线段与EF的大小关系，并证明． （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用式子表示线段与EF的大小关系，并证明． 【答案】（1），证明见解析；（2）图见解析，，理由见解析 【分析】（1）补全图形，延长FD到H，使得，连接AH，EH，利用SAS证明，得到，，等量代换得到，根据等腰三角形三线合一的逆定理得出，再根据三角形三边关系得出结果； （2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交与点M，连接MF，证明得，，由垂直平分线的判定定理得，进而根据三角形三边关系得出结论； 【详解】（1）补全图形，延长FD到H，使得，连接AH，EH， ∵D是AB的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴； （2）补全图形如图，，理由如下： 证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交与点M，连接MF， 则，， ∵D是AB的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形综合应用，三角形三边关系，准确分析证明是解题的关键． 36．如图，在中，，点在边上，连接，点是边上一点，且，连接交于点．延长到，使得，连接，是的中线． (1)依题意补全图形； (2)若，． ①证明：； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)补全图形如下： (2)①证明：， ． ， ， ， ， ．                                                                          在和中， ， ， ；                                     ②关系：；                                         证明：延长到，使得，连接， 是的中线， ． 在和中， ， ， ，， ， ． ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）按照题意进行画图即可； （2）①证明，根据全等三角形的性质即可求解； ②延长到，使得，连接，证明，通过平行线的性质以及角度的和差关系可知，进而证明即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 37．如图，中，，的角平分线，相交于点． (1)求的度数； (2)点在的延长线上，连接交于点．若满足． ①依题意补全图形； ②写出线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 解：①如图所示： ②之间的数量关系为 证明：过点作于 ，于，于 又∵、是角平分线，是角平分线交点，故（角平分线性质）； 由得四边形是正方形，故； 设，因为则，； 在和中： 因为，，所以； 则； 同理可证：，则 因为，；所以; 因为,且共线， 则, 所以，即． 【分析】本题考查三角形全等（）、角平分线性质及直角三角形内角和，解题思路是通过角的推导证明三角形全等，将线段转化后推导关系；解题关键是利用角平分线和角度关系构造全等三角形，易错点是忽略角度等量代换及全等条件的验证． （1）由角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解. （2）①根据题意画出图形即可.②过点作于 ，于，于,得四边形是正方形,再利用全等三角形的判定和性质即可求解. 【详解】（1）解：在 中，，故 因为 是角平分线， 所以， 则 （2）略 38．如图，为等腰直角三角形，，在内作射线，过点作的垂线交线段的延长线于点，在射线上截取，连接，过点作交线段于点． (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) 解：如图所示： (2) (3) 解：． 证明：过点A作交于点H，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、余角性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）根据题干要求画图即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可得答案； （3）过点A作交于点H，连接，先证明，再证明，得到，，进而根据等腰直角三角形的判定和性质得到，，然后进行线段的和与差即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴； （3）略 39．已知△中，，点D是上一点，，点E是上一点，，设． (1)直接写出度数（用含α的式子表示）； (2)连接，平分交于F，作点B关于的对称点G，连接 ①依题意在图2中补全图形，并直接写出的度数； ②用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) ①画图如下 点B、点G关于的对称点，连接， ，．由（1）可知 ， ． ． ②证明： ． 连接，，在上取点H，使，连接，、交于O， 平分交于F， ． 在和中 ． ，，． ， ． 由（1）知， ． 点B、点G关于的对称， ，，，． ， ． ． 由①知． ， 是等边三角形． ，． 在和中 ． ． ，，，， ． ． ， ． ． ． ． ， ． 【分析】（1）由可得，利用外角定义可得； （2）①依题意补全图形，由对称得，．由三角形内角和可得出的度数；②连接，，在上取点H，使，连接，、交于O，先证 ，则，，，接着证是等边三角形，则，．再由，可得出，则，最后可得． 【详解】（1）解：， ． ， ． （2）略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、对称的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理及外角的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、对称的性质． 40．如图，中，，，为线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求证：； (2)连接，取的中点，连接，． 依题意补全图形； 求． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴； (2) 依题意画图， 延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（）根据三角形的内角和定理，旋转的性质，角度和差即可求证； （）根据题意补全图形即可； 延长到点，使，连接，证明， 根据性质得，，则有，由平行线的性质得到， 再证明， 最后由性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【类型6 探究线段的数量关系】 41．在中，，． (1)如图1若平分，交于F，过B作，垂足为E，探究、的数量关系； (2)如图2，当点D为线段上一点（不与B，C重合），，，垂足为E，与相交于点F，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：． 理由如下：如图，延长，交于点H， ∵平分交于F，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，且，， ∴， ∴， (2) 解：，理由如下： 如图，过点D作交延长线于点H，交于点G， 则，， ∵， ∴平分，又， 故由（1）可知． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，添加辅助线是解答的关键． （1）延长，交于点H，先证明得到，则，再证明可得结论； （2）过点D作交延长线于点H，交于点G，根据平行线的性质得到，，进而可得平分，由（1）可知． 【详解】（1）略 （2）略 42．如图1，在等腰中，，，， (1)求证； (2)如图2，过点A作于点G，交于点F，过F作交于点P，交于点H． ①猜想与的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：由题可得： 在与中， ， ∴， ∴； (2) ①， 证明：∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴； ② ， 证明：如图，过点C作交的延长线于点M，延长交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据题干条件即可直接证得，从而证得； （2）①由（1）可知，从而可得，结合，可知，从而可得； ②过点C作交的延长线于点M，延长交于点N，先证，可得，，从而可证，可得，，从而可得，，即可推出． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，垂直定义，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法并找出全等的条件是解题的关键． 43．在等腰中，，点D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作等腰，使，，点D，E在直线两旁，连接． (1)如图1，当时，直接写出与的位置关系； (2)如图2，当时，过点A作于点F． ①若点F在线段的延长线上时，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若点F在射线上时，直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①，图形见解析，证明见解析；② 【分析】（1）当时，由，，，易证，可得，进而求出，即可证明； （2）①结论：，由（1）可知，，，可证，可得，即可求解；②画出图形，结论：，同理可得出结论． 【详解】（1）解：当时，， ， ，，， ，即， ， ， ， ， ； （2）①如图，点F在线段的延长线上时，补全图形如图所示； 结论：， 理由如下：延长到点，使，连接， 由（1）可知：， ，，． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②如图所示，若点F在射线上时，， 在上截取，连接， 由（1）可知：， ，，． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 44．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 【答案】(1) 解：， 证明：延长到，使， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； (2) 解：， 证明：延长到，使，连接， ， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法． （1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在上截取，连接，证，推出，，证，推出即可； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 证明：在上截取，连接， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 45．在中，，是直线上一点（点D不与点A、B重合），连接并延长到E，使得，过点E作，交直线于点． (1)如图1，当点D为线段的上任意一点时，用等式表示线段的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D为线段的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段的数量关系是否发生改变，并证明． 【答案】(1)，证明见解析； (2)改变，，补图和证明见解析． 【分析】（1）过D作于H，可得，故，再由，可得，从而可得； （2）依题意补全图形，过D作交的延长线于H，可得，故；又，故，从而可得． 【详解】（1）解：结论：． 理由如下：过D作于H， ∵于F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 （2）解：依题意补全图形． 结论：． 证明：过D作交的延长线于H， ∵于F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查三角全等的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线并证明三角形全等． 46．（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）； （2）证明：如图，延长至点E，使得， 同（1）理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】本题考查“全等三角形的判定与性质”，灵活运用中点构造出全等三角形进行线段转换和计算是解题关键． （1）延长，构造全等三角形，将，，放在同一个三角形的三边中，利用三角形三边关系即可找出的范围； （2）先延长，构造全等三角形，再借助这个全等三角形，得到与全等的三角形，从而得到与的关系； （3）延长到，使，同（1）可证，得出，，利用角的和差关系及外角性质得出，利用证明，即可得． 【详解】（1）解：如图，延长至点E，使得， ∵是的中线， ∴， 又， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可知，， ∴，即， ∵， ∴； （2）略 （3）如图，延长到，使， ∵，， ∴， ∴， 同（1）可证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 47．在中，． (1)如图1，若，D为上一点，过点B作，垂足为E，过点C作，垂足为F，，，求的长度． (2)如图2，M为中点，点P、Q分别为线段、上的动点（不与B、C重合），且，，，请猜想与的数量关系并说明理由． (3)在（2）的条件下，若，当D、Q、M三点共线时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 如图2，连接，延长至点G，使得，连接， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵M为中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴； (3) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据中点构造辅助线． （1）证明，得到，，即可得解； （2）连接，可证，得到，，延长至点G，使得，连接，可证，得到，，从而可得，，得到，证得，得到； （3）连接，由共线可得，延长至点H，使得，连接，可证，得到，，从而，连接，令与交于点N，由可得，可证，得到，，，作，可证，得到，推到，，，，最终得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）略 （3），证明如下： 如图3，连接，，延长至点H，使得，连接，作交于K，令与交于点N， ∵， ∴， ∴， ∵D、Q、M三点共线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 48．在中，，点是直线上一点． (1)如图，若点在边上，且，，求点到边的距离； (2)如图，若点在的延长线上，且，于点，交于点，连接，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若点在边上，点在边上，且．连接当取最小值时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求解； （2）通过构造等边三角形和全等三角形来探究线段之间的数量关系； （3）利用全等三角形将线段进行转换，根据两点之间线段最短确定最小值. 【详解】（1）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：点到的距离是； （2）答：，理由如下： 延长至点，使得，连接， 由（1）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， 即：； （3）解：作，，连接， ∴ 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∴当在上时，最小，是等腰三角形，则， ∵≌， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，关键是知识点的灵活应用. 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 全等三角形含辅助线证明题 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 倍长中线】 1 【类型2 截长补短】 3 【类型3 半角模型】 6 【类型4 作垂直】 10 【类型5 补全图形后证明全等】 13 【类型6 探究线段的数量关系】 16 【类型1 倍长中线】 1．如图，是的中线，是的中线，且，求证：． 2．如图，为中线，点在上，交于点．求证：． 3．如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分． (1)求证：； (2)求证：． 4．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在CB上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD． （1）求证：AD=AE； （2）若点F为CD中点，AF交BE于点G，求∠AGE的度数． 5．在等腰和等腰中，，连为中点，连． （1）如图1，请写出与的关系，并说明理由； （2）将图1中的旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由． 6．如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 7．完成下列各题    (1)【模型启迪】如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． (2)【模型探索】如图2，在中，D为边的中点，连接，E为边上一点，连接交于点F，且．求证：． 8．在中，点是的中点，连接．    (1)如图1，若，，且的长为偶数，求的长度． (2)如图2，延长到点，使，连接，点为的中点，连接，点为上一点，且，，求证：． 【类型2 截长补短】 9．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点． （1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形； （2）连CE，求证：BE＝AE+CE． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）求∠ADB的度数； （2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由． 12．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，． （1）求的度数； （2）求证：． 13．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC． 求证：BC=AB+CD．    14．数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 15．如图中，分别平分相交于点． （1）求的度数； （2）求证： 16．如图1，在等边三角形中，于D，于E，与相交于点O． (1)求证：； (2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：； (3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：、、三条线段之间的数量关系，并证明． 【类型3 半角模型】 17．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 18．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：　　＋　　＝　　．（不需证明） （2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由． （3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 19．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 20．问题背景 如图①，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系．    探究发现 （1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后再证明，从而得出结论：______； 拓展延伸 （2）如图②，在四边形中，，，点，分别是边，上的点，且，连接．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图③，在正方形中，点，分别是边，上的点，且，连接，已知，，求正方形的边长． 21．在 中，，点 D 与点 E 分别在、边上， ，且，点 F 与点 G分别在、边上， (1)若，，如图1，点G与点 C重合，证明：； (2)当G在线段上时，如图2，探究线段，，的数量关系，并给予证明； (3)当G在线段上时，如图3，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明． 22．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 23．已知为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，连接、，点、分别在、所在的直线上，连接、． (1)如图①，若，点、在边、上，，则、、之间的数量关系是_______；若，则的周长为______； (2)如图②，点在上，，求证：； (3)如图③，点在边上，点在的延长线上，在（2）的条件下，若，证明：． 24．已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______． 【类型4 作垂直】 25．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 26．如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 27．如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 28．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.    29．如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 30．已知：中，，，连接，在直线右侧作, (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，若；求 (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点P．若．求证：； (3)如图3，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点P,请直接写出的值（不需要计算过程）． 31．如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由； （2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 32．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD． 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明． 【类型5 补全图形后证明全等】 33．如图，，，，是的中点，连并延长线交射线于点． (1)如图1，当时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若为钝角时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论． 34．如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点． (1)如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数； (2)当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 35．在△ABC中，，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF． （1）当点E在线段AC时，依题意补全图1，用式子表示线段与EF的大小关系，并证明． （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用式子表示线段与EF的大小关系，并证明． 36．如图，在中，，点在边上，连接，点是边上一点，且，连接交于点．延长到，使得，连接，是的中线． (1)依题意补全图形； (2)若，． ①证明：； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 37．如图，中，，的角平分线，相交于点． (1)求的度数； (2)点在的延长线上，连接交于点．若满足． ①依题意补全图形； ②写出线段之间的数量关系，并证明． 38．如图，为等腰直角三角形，，在内作射线，过点作的垂线交线段的延长线于点，在射线上截取，连接，过点作交线段于点． (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)猜想与的数量关系，并证明． 39．已知△中，，点D是上一点，，点E是上一点，，设． (1)直接写出度数（用含α的式子表示）； (2)连接，平分交于F，作点B关于的对称点G，连接 ①依题意在图2中补全图形，并直接写出的度数； ②用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 40．如图，中，，，为线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求证：； (2)连接，取的中点，连接，． 依题意补全图形； 求． 【类型6 探究线段的数量关系】 41．在中，，． (1)如图1若平分，交于F，过B作，垂足为E，探究、的数量关系； (2)如图2，当点D为线段上一点（不与B，C重合），，，垂足为E，与相交于点F，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 42．如图1，在等腰中，，，， (1)求证； (2)如图2，过点A作于点G，交于点F，过F作交于点P，交于点H． ①猜想与的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． 43．在等腰中，，点D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作等腰，使，，点D，E在直线两旁，连接． (1)如图1，当时，直接写出与的位置关系； (2)如图2，当时，过点A作于点F． ①若点F在线段的延长线上时，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若点F在射线上时，直接写出线段，，之间的数量关系． 44．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 45．在中，，是直线上一点（点D不与点A、B重合），连接并延长到E，使得，过点E作，交直线于点． (1)如图1，当点D为线段的上任意一点时，用等式表示线段的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D为线段的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段的数量关系是否发生改变，并证明． 46．（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 47．在中，． (1)如图1，若，D为上一点，过点B作，垂足为E，过点C作，垂足为F，，，求的长度． (2)如图2，M为中点，点P、Q分别为线段、上的动点（不与B、C重合），且，，，请猜想与的数量关系并说明理由． (3)在（2）的条件下，若，当D、Q、M三点共线时，直接写出的值． 48．在中，，点是直线上一点． (1)如图，若点在边上，且，，求点到边的距离； (2)如图，若点在的延长线上，且，于点，交于点，连接，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若点在边上，点在边上，且．连接当取最小值时，直接写出的度数． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $