第二章 实数 单元卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学“实数”单元，以核心素养为导向，覆盖无理数识别、平方根、二次根式化简等关键知识点，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，适配单元复习需求，强化抽象能力、运算能力与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数判断、平方根计算、二次根式化简|第3题结合矩形与数轴体现几何直观，第5题以图形验证化简渗透数形结合思想| |填空题|6/18|取值范围、平方根性质、大小比较|第13题综合平方根与立方根，第15题关联多项式求值，强化知识综合应用| |解答题|8/72|计算、解方程、材料阅读|20题通过错误辨析培养推理意识，24题结合有理化因式考查数学语言表达，契合真题情境化命题趋势|

第二章 实数（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各数中，，，，，，，，无理数的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：，， 无理数有：，，，，共个； 2、的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：，4的平方根为， 的平方根是， 3、如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形为矩形， ， 由勾股定理得， ， ∵点表示的数为， 点表示的数为， 4、把二次根式化简成最简二次根式，结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 5、化简二次根式除了利用二次根式的性质外，还可以借助图形解释验证．如：化简时，我们可以构造如图所示的图形，图2是一个面积为2的正方形，根据两图的关系我们可以得到：（　　） A．分类讨论 B．数形结合 C．公理化 D．类比 【答案】B 【详解】解：借助几何图形解释数量关系是数形结合， 6、把根号外的因式移进根号内，结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：, 7、下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：A、和的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； B、和的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； C、和的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确； D、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误． 8、下图是按某种规律排列的数阵： 第一行                 1      第二行                      第三行                 第四行 …… 根据数阵规律，第8行第11个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得：第行的元素个数为：（个），第行的末尾数为：， ∴第8行共有个数，末尾数为， ∴第8行11个数也为倒数第6个数，即． 9、若，则的值为（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵0＜a＜1， ∴＞1＞a＞0， ∴原式= = = =-2a， 10、如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①，②1，③b，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：∵ab＞0，a+b＜0， ∴a＜0，b＜0 ①，被开方数应≥0，a，b不能做被开方数，（故①错误）， ②•1，•1，（故②正确）， ③b，b，（故③正确）． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如果有意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：由题意得，，， 解得，且， 故答案为：且． 12、的平方根是 ． 【答案】 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 13、一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为________． 【答案】2 【详解】解：∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4， ∴2b﹣1+b+4＝0， ∴b＝﹣1． ∴b+4＝﹣1+4＝3， ∴a＝9． ∴a+b＝9+（﹣1）＝8， ∵8的立方根为2， ∴a+b的立方根为2． 故答案为：2． 14、比较大小： ． 【答案】 【详解】解：∵， ， ． 故答案为：＞． 15、当时，多项式的值为__________． 【答案】0 【详解】解：由题意知，， ， 故答案为：0 16、如果a+b，那么a+2b﹣3c＝________． 【答案】0 【详解】解：原等式可变形为： a﹣2+b+1+|1|＝425 （a﹣2）+（b+1）+|1|﹣425＝0 （a﹣2）﹣44+（b+1）﹣21+|1|＝0 （2）2+（1）2+|1|＝0； 即：2＝0，1＝0，1＝0， ∴2，1，1， ∴a﹣2＝4，b+1＝1，c﹣1＝1， 解得：a＝6，b＝0，c＝2； ∴a+2b﹣3c＝6+0﹣3×2＝0． 故答案为：0． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题12分，18-22，每题8分, 23-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算： （1） （2） ． （3）． 【答案】（1）1 （2） （3） 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 18、求下列式子中的值 (1) (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴或， ∴的值为或； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 19、一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 20、先阅读材料，然后回答问题： 小赵同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小赵解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第____步出现了错误，化简的正确结果为____； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④， (2) 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； 解： ． 21、已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2)14 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解： ． 22、已知的立方根是，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)的平方根为． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是2， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴， ∴，，； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 23、请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式 的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)8 (2)2028 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴ 2，即1， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴． 24、【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）1；（4） 【详解】解：（1）； 故答案为：； ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：＞； （3）∵ ， ∴， ，是有理数， ，且， ； 故答案为：1； （4）∵ ， ∴ ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各数中，，，，，，，，无理数的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2、的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 3、如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A．2 B． C． D． 4、把二次根式化简成最简二次根式，结果为（　　） A． B． C． D． 5、化简二次根式除了利用二次根式的性质外，还可以借助图形解释验证．如：化简时，我们可以构造如图所示的图形，图2是一个面积为2的正方形，根据两图的关系我们可以得到：（　　） A．分类讨论 B．数形结合 C．公理化 D．类比 6、把根号外的因式移进根号内，结果等于（    ） A． B． C． D． 7、下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 8、下图是按某种规律排列的数阵： 第一行                 1      第二行                      第三行                 第四行 …… 根据数阵规律，第8行第11个数为（   ） A． B． C． D． 9、若，则的值为（　　　） A． B． C． D． 10、如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①，②1，③b，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如果有意义，那么x的取值范围是 ． 12、的平方根是 ． 13、一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为________． 14、比较大小： ． 15、当时，多项式的值为__________． 16、如果a+b，那么a+2b﹣3c＝________． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题12分，18-22，每题8分, 23-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算： （1） （2） ． （3） ． 18、求下列式子中的值 (1) (2)． 19、一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 20、先阅读材料，然后回答问题： 小赵同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小赵解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第____步出现了错误，化简的正确结果为____； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 21、已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 22、已知的立方根是，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 23、请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式 的值； (2)已知，求代数式的值． 24、【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $