第二章 实数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 八年级上册数学第二章实数单元能力提升卷，覆盖二次根式、无理数等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合数学眼光、思维与语言素养，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式定义、无理数识别、运算化简|基础概念辨析，如第2题无理数分类考查抽象能力| |填空题|6/18|同类二次根式、三斜求积术、新定义运算|文化传承（第15题秦九韶算法）与创新情境结合| |解答题|9/72|网格作图、实际应用、数形结合|分层设计，如第25题通过建模思想培养推理意识与应用意识，第20题矩形面积问题体现几何直观|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 实数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式要求被开方数是非负数，逐项判断即可． 【详解】解：A选项：，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：当时，无意义，不一定是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：当时，无意义，不一定是二次根式，故C选项不符合题意； D选项：，是二次根式，故D选项符合题意． 2．在实数，，3.14，，，2.10010001，中，无理数有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：是无理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是无理数； ，是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是无理数； 则无理数有个． 3．下列选项中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘除运算与化简，根据二次根式的运算法则，分别计算每个选项即可判断正误． 【详解】对选项A：∵ ，∴ A错误； 对选项B：∵ ，等式成立 ，∴ B正确； 对选项C：∵ ，∴ C错误； 对选项D：∵ ，， ，∴ D错误． 4．把 化简得（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 5．已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的被开方数是非负数，求出的取值范围，进而对原等式进行化简，再根据绝对值和算术平方根的非负性确定的值即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 则原式可化为， 整理得＝0， 则， 解得， ． 6．已知，化简的结果为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据给出的的取值范围，判断出和的正负，再利用二次根式和绝对值的性质化简，再合并同类项得到化简结果． 【详解】解：， ∴， 原式． 7．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：根据题意：有理数不输出，有理数不输出，为无理数，输出， 所以输出的是． 8．学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度为，则这块花圃的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出矩形花圃的长和宽，再求出面积即可． 【详解】解：∵矩形花圃的周长为，宽为， ∴矩形花圃的长为， ∴花圃的面积为． 9．现将一组数，，3，，，，…，，…，按照以下方式进行排列，则第7行左起第3个数字是（     ） 第1行         第2行            3 第3行             … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先整理出原数组的统一规律，再根据排列规律计算目标数是原数组的第几个数，代入公式化简即可得到结果。 【详解】解：整理已知数组可得，这组数的第个数为，观察排列规律可知，第行有个数， ∵前6行的数的总个数为 ， ∴第7行左起第3个数是原数组的第个数， 将代入得：． 10．如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求出、、的周长，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴的周长为， 同理可得：的周长为， 的周长为， 归纳类推得：的周长为（为正整数）， ∴的周长为 ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．实数的相反数是______． 【答案】/ 【详解】解：的相反数为． 12．最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：． 13．已知，，则代数式的值等于____________． 【答案】 【详解】解：． 14．已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 【答案】 1 【分析】根据算术平方根，绝对值的非负性求出，的值，通过估算无理数的大小得到的值，再计算，最后根据立方根的定义得到结果． 【详解】解：，且，， ，， 解得，， ，，， ， 的整数部分， 将，，代入得：， 的立方根是． 15．在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶提出了解决“已知三角形的三边，求三角形面积”这个问题的办法，即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为，，，那么三角形的面积的计算公式为（）．若，，，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题直接将已知的三边长代入给出的面积公式，按照实数运算顺序计算即可得到结果． 【详解】解：已知，，， 将各值代入公式 先计算各边的平方，得，， 计算 计算，可得 将结果代入公式，得 16．对任意正数，定义运算“※”：当，；当，则．若（），则的值为___________． 【答案】9或25/25或9 【分析】分两种情况，即或，分别列方程即可解答． 【详解】 当时， ， 则可得， ， ，符合题意； 当时， ， 则可得， ， ，符合题意； 综上，的值为或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) , (2) 【分析】（1）移项，根据得到或，由此即可求解； （2）原式变形得，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∵， ∴， 解得，． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．图1、图2、图3均为网格，每个小正方形的边长为1．请在三幅图中各画出一个顶点均在格点上的直角三角形，且满足对应边长要求． (1)在图1中，画出的直角三角形三边长，仅有一条边长是无理数，另外两条边长均是有理数； (2)在图2中，画出的直角三角形三边长，仅有两条边长是无理数，另外一条边长是有理数； (3)在图3中，画出的直角三角形三边长都是无理数． 【答案】(1)解：如图所示，图中三角形即为所求； （答案不唯一）； (2)解：如图所示，图中三角形即为所求； （答案不唯一）； (3)解：如图所示，图中三角形即为所求； （答案不唯一）． 【分析】（1）根据有理数与无理数的定义进行作图即可； （2）根据有理数与无理数的定义进行作图即可； （3）根据无理数的定义进行作图即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为有理数，为无理数，且， ∴是直角三角形，符合题意； （2）解：∵， ∴为无理数，为有理数，且， ∴是直角三角形，符合题意； （3）解：∵， ∴都为无理数，且， ∴是直角三角形，符合题意． 20．有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行． 【答案】(1) (2)解：∵要裁的长方形面积为，宽为， ∴它的长为 ， ∵原长方形的长为、宽为， ∴， 即要裁出的长方形的长大于原长方形的任意一边， ∴小牛的想法不可行． 【分析】（1）因为正方形是面积为的正方形，所以先根据正方形面积公式求其边长。因为正方形边长等于，也等于，所以代入和的长度，可分别求出长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算其面积． （2）先根据裁出长方形的面积和宽，用长方形面积公式求出其长，再将裁出长方形的长和宽分别与长方形的长和宽比较大小，判断是否可行． 【详解】（1）解：∵正方形面积为， ∴正方形边长为． ∵，： ∴， ． ∴长方形的面积为 ． （2）略 21．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由图可知，则，，再利用绝对值的性质化简绝对值，进而求得答案； （3）根据非负数的性质求出c、d的值，再代入，进而求其立方根． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点表示，点所表示的实数为， ∴； （2）解：由图可知，， ∴，， ∴； （3）解：与互为相反数， ， 又， ， 解得，， ， 的立方根为． 22．阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“”和“”称为一对“对偶式”，如，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简． (1)的“对偶式”为__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“对偶式”的定义，两个含二次根式的式子相乘后不含根号，因为的对偶式为，所以直接对应构造即可． （2）因为分母是，属于带根号的差的形式，所以可以给分子分母同乘它的对偶式，利用平方差公式去掉分母的根号，完成分母有理化． （3）设所求式子为，已知式子为，因为两个式子相乘可以用平方差公式消去根号，得到只含常数的结果，且已知的值，所以通过计算的结果即可求出的值． 【详解】（1）解：根据材料定义：与互为对偶式，只需改变原式中间的符号， 因此的对偶式为． （2）解：利用对偶式分母有理化化简： ． （3）解：设， ， 根据平方差公式计算：， 因此． 23．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把分母有理化即可； （2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式； （3）按照小明的方法，先把分母有理化，可得：，两边同时平方可得：，等式两边同时乘以可得：，然后利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， 即， ， ， ， ． 24．观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， …… 按上述规律，回答以下问题： (1)按上述规律填空： ； ． (2)求的值． (3)利用以上规律计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)3 (3)44 (4) 【分析】本题主要考查分母有理化、二次根式的运算及大小比较，熟练掌握分母有理化、二次根式的运算及大小比较是解题的关键； （1）根据分母有理化可进行求解； （2）根据分母有理化进行化简，然后问题可求解； （3）根据题意可直接代入进行求解即可； （4）由题意得，，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：， ； 故答案为，； （2）解： ； （3）解：由题意得： ； （4）解：∵， ， ∴，即， ∴． 25．阅读以下素材并解决问题： “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上，向右平移直角使点B和E重合（图1），这时，，问题就变成“点 B 在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值是_____． (2)根据上述信息，求代数式的最小值． (3)已知正数满足，结合上述问题的方法，求的值． 【答案】(1)41 (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）解：如图2，根据题意得：，， ， ∴的最小值是41； （2）解：如图，，， 设，则， ∴， ∴的最小值是； （3）解：构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 实数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．在实数，，3.14，，，2.10010001，中，无理数有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列选项中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．把 化简得（     ） A． B． C． D． 5．已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 6．已知，化简的结果为（     ） A． B．1 C． D． 7．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（     ） A． B． C．3 D． 8．学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度为，则这块花圃的面积为（     ） A． B． C． D． 9．现将一组数，，3，，，，…，，…，按照以下方式进行排列，则第7行左起第3个数字是（     ） 第1行         第2行            3 第3行             … A． B． C． D． 10．如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．实数的相反数是______． 12．最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 13．已知，，则代数式的值等于____________． 14．已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 15．在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶提出了解决“已知三角形的三边，求三角形面积”这个问题的办法，即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为，，，那么三角形的面积的计算公式为（）．若，，，则的值为_______． 16．对任意正数，定义运算“※”：当，；当，则．若（），则的值为___________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．求的值： (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)． 19．图1、图2、图3均为网格，每个小正方形的边长为1．请在三幅图中各画出一个顶点均在格点上的直角三角形，且满足对应边长要求． (1)在图1中，画出的直角三角形三边长，仅有一条边长是无理数，另外两条边长均是有理数； (2)在图2中，画出的直角三角形三边长，仅有两条边长是无理数，另外一条边长是有理数； (3)在图3中，画出的直角三角形三边长都是无理数． 20．有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行． 21．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 22．阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“”和“”称为一对“对偶式”，如，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简． (1)的“对偶式”为__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 23．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 24．观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， …… 按上述规律，回答以下问题： (1)按上述规律填空： ； ． (2)求的值． (3)利用以上规律计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 25．阅读以下素材并解决问题： “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上，向右平移直角使点B和E重合（图1），这时，，问题就变成“点 B 在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值是_____． (2)根据上述信息，求代数式的最小值． (3)已知正数满足，结合上述问题的方法，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章实数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ⊙ ⊙ A 0 C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.2-V5-V5+2 12.3 13.24 14. -2 15.②6 16.9或25/25或9 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：(2x-1-169=0 (2x-1)2=169 .(生13}=169 .2x-1=13或2x-1=-13, 解得，=75-6 3分 (2)解.125(r-2}-343 c2-。 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 引. -2s- 5 解得，x三，6分 18. 【详解】(1)解： 6层丽-5明 =V⑧-√5+3+2W2 =2W2-3+3+2W2 =4v2 .3分 (2)解： 2+(5-2)*5+5 =V2x。1 1 x3-V2V3+V2 √2 (3-23+2) =√2 6分 19. 【详解】(1)解：AB=2,BC=LAC=VP+22=V5 AB,BC为有理数，AC为无理数，且AB+BC2=5=AC2, ∴.△ABC是直角三角形，符合题意： 如图所示，图中三角形即为所求： 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (答案不唯一)；2分 (2)解：：DE=DF=VP+P=2,EF=2 DE,DF为无理数，EF为有理数，且DE2+DF2=4=EF2, .△DEF是直角三角形，符合题意： 如图所示，图中三角形即为所求： (答案不唯一)；…4分 (3)解：GH=G1=VP+2=V5,Hm=VP+3=v0 .GH,GL,Ⅲ都为无理数，且GH2+G=10=, ∴△GHⅢ是直角三角形，符合题意. 如图所示，图中三角形即为所求： (答案不唯一).6分 H 20. 【详解】(1)解：，正方形AGFE面积为192cm2, AE=AG=192=83cm 正方形边长为 DE-23cm BG=63cm 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :4D=AE-DE=8V5-25=65(c,m) AB=AG-BG=83-6V3=23(c,m) 长方形BCD的面积为4D.AB=65x25=12x3=36(m）.3分 √6 cm (2)解：.要裁的长方形面积为18cm2,宽为2， 18+6-6N6(cm） 它的长为 2 ,原长方形的长 65cm、宽为25cm, ,66>65>25 即要裁出的长方形的长大于原长方形的任意一边， .小牛的想法不可行.6分 21. 【详解】(1)解：由题意得，AB=2, :点4表示5，点°所表示的实数为m, m=-V2+2 ;2分 (2)解：由图可知，-1<m<1, ∴.m+1>0,m-1<0, :m++m-=m+1+1-m=2 ；5分 (3)解：Bc+d与+9互为相反数， .l3c+d+vd+9=0 又3c+d≥0，va+9≥0 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.3c+d=0,d+9=0 解得d=-9,c=3, .cd=3×(-9)=-27 .cd的立方根为-3.8分 22. 【详解】(1)解：根据材料定义： a+6与a-6 互为对偶式，只需改变原式中间的符号， 因此5-V 的对偶式为5+V5 2分 (2)解：利用对偶式分母有理化化简： 2 2(7+5) 2万+5-万+5 7-5(7-5)7+57-5 5分 (3)解：设1=15-t+V8-x 15-x-V8-x=1 根据平方差公式计算：4(5--8-列-(5-x+8-5--8-)15-)-(8-)-7, 15-x+V8-x=7 因此 .8分 23. 1 【详解】(1)解：Vn+1+Vn √n+i-√n (n+1+nn+1-n √n+i-Nn （n+i-(mj /n+1-/n n+1-n 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =vn+l-√n 2分 11 1 (②)解：2+18+2+2+5+* √2026+√2025 √2-1 3-√2 2-V5 √2026-√2025 2+1j02-可(5+25-2(2+5j2-万+…+(W2026+V20252026-v22西 -2-l+5-2,3-5+…+2026-v202 2-13-24-3 2026-2025 =√2-1+V5-V2+2-√5+…+√2026-V2025 =-1+√2026 ;5分 1 (3)解：a= V37-6’ 1 √37+6 =37+6 37-637+6)(37-6) .a-6=V37 即a-62-37 ∴.a2-12a+36=37 a2-12a=1 .a3=12a2+a ∴.a3-10a2-25a+3 =12a2+a-10a2-25a+3 =2a2-24a+3 =2(a2-12a+3 =2×1+3 =5.8分 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24. 1 5-2 【详解】解，452不595-习5-2 1 √n+i-n a,=n+1+n (n+i+v)n+i- =Vn+l-√n 5-2√n+1-√n 故答案为 3分 111 2)解：(5++5++7+57+0 3-1 V5-5 V万-5 [3+15-可5+55-7+57-⑤ ×(W7+) 1,5,5w 2 2 -7-xW7+n 2 =3；6分 (3)解：由题意得： a1+a2+43+…+a2024 =√2-1+V5-V2+2-√5+…+√2025-√2024 =√2025-1 =44:9分 √99+√98 (4)解：：99-8(99-8)√9+8) =√99+√98 √98+√97 98-97(98-97(98+97 =√98+√97 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 ·99+V98>98+97,即99-9898-97， :6-s<v8-v7 12分 25. 【详解】(1)解：如图2，根据题意得：AH=4+5=9,HD=40, AD=V92+402=41 .V2+42+V(40-x+52的最小值是41：4分 (2)解：如图，AC=2,DF=1,CF=5,AH=2+1=3,HD=5, 设BC=x,则BF=5-x, D :D=V32+5=V34 :R+4+V-+1的最小值是34；…8分 (3)解：构造△ABC,CD⊥BC于D,AC=6,BC=8,如图所示： >B D 设CD=x,则D=V36-x,BD=V64-F .AB=V36-x2+V64-x2=10 62+82=102 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACB=90°， 1 ×6×8= 2 ×10×x, ∴.x=4.8. 方程的解是x=4.8.…12分 9/9………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 实数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．在实数，，3.14，，，2.10010001，中，无理数有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列选项中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．把 化简得（     ） A． B． C． D． 5．已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 6．已知，化简的结果为（     ） A． B．1 C． D． 7．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（     ） A． B． C．3 D． 8．学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度为，则这块花圃的面积为（     ） A． B． C． D． 9．现将一组数，，3，，，，…，，…，按照以下方式进行排列，则第7行左起第3个数字是（     ） 第1行         第2行            3 第3行             … A． B． C． D． 10．如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．实数的相反数是______． 12．最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 13．已知，，则代数式的值等于____________． 14．已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 15．在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶提出了解决“已知三角形的三边，求三角形面积”这个问题的办法，即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为，，，那么三角形的面积的计算公式为（）．若，，，则的值为_______． 16．对任意正数，定义运算“※”：当，；当，则．若（），则的值为___________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．求的值： (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)． 19．图1、图2、图3均为网格，每个小正方形的边长为1．请在三幅图中各画出一个顶点均在格点上的直角三角形，且满足对应边长要求． (1)在图1中，画出的直角三角形三边长，仅有一条边长是无理数，另外两条边长均是有理数； (2)在图2中，画出的直角三角形三边长，仅有两条边长是无理数，另外一条边长是有理数； (3)在图3中，画出的直角三角形三边长都是无理数． 20．有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行． 21．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 22．阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“”和“”称为一对“对偶式”，如，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简． (1)的“对偶式”为__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 23．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 24．观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， …… 按上述规律，回答以下问题： (1)按上述规律填空： ； ． (2)求的值． (3)利用以上规律计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 25．阅读以下素材并解决问题： “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上，向右平移直角使点B和E重合（图1），这时，，问题就变成“点 B 在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值是_____． (2)根据上述信息，求代数式的最小值． (3)已知正数满足，结合上述问题的方法，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $